Автореферат - Братский Государственный Университет

На правах рукописи
Зварыч Евгений Богданович
РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ РАВНОВЕСНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
РЫНКА ГОРОДСКИХ ТРАНСПОРТНЫХ УСЛУГ
05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы
и комплексы программ»
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Братск  2010
1
Работа выполнена в ГОУ ВПО «Кузбасский государственный технический
университет»
Научный руководитель:
кандидат технических наук, доцент
Корягин Марк Евгеньевич
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор
Алпатов Юрий Никифорович
кандидат физико-математических наук, доцент
Мешечкин Владимир Викторович
Ведущая
организация:
ГОУ
ВПО
«Тюменский
государственный
нефтегазовый университет»
Защита состоится
18 июня 2010 г., в 10-00 часов на заседании
диссертационного совета Д 212.018.01 при ГОУ ВПО «Братский
государственный университет» по адресу: 665709, Иркутская обл., г. Братск,
ул. Макаренко, 40.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Братский
государственный университет».
Автореферат разослан 17 мая 2010 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
кандидат технических наук, доцент
И.В. Игнатьев
2
Актуальность работы. Переход экономики к рыночным механизмам
функционирования требует применения новых методов исследования
поведения поставщиков и потребителей товаров и услуг. В этих условиях
особенно возрастает значение городского пассажирского транспорта (ГПТ) в
экономике городов и страны в целом, так как именно маршрутный транспорт
в основном перевозит пассажиров в пределах большинства российских
городов.
Увеличение количества маршрутов и интенсивности движения
транспорта, в том числе и общественного, приводит, с одной стороны, к
более качественному обслуживанию пассажиров (уменьшается время
ожидания на остановочном пункте, появляется возможность выбора варианта
передвижения и т. д.). С другой стороны, рост интенсивности работы
транспорта приводит к ухудшению экологической обстановки, повышает
опасность перегрузки дорог, а увеличение количества маршрутов – к
излишней конкуренции между перевозчиками за пассажиров, что снижает
безопасность движения.
Большой вклад в математическую постановку задачи оптимизации
движения ГПТ внесли М.Е. Антошвили, Г.А. Варелопуло, С.Ю. Либерман,
И.В. Спирин, А.О. Арак, А.П. Артынов, В.В. Скалецкий, Ю.С. Лигум, В. А.
Гудков, Л. Б. Миротин и другие. В работах этих авторов доказывается, что
нахождение оптимального значения интенсивности движения подвижного
состава по маршрутам необходимо осуществлять с учетом как интересов
автотранспортных предприятий, так и пассажиров. При этом не учитывались
наложение
маршрутов, различная стоимость проезда и конкуренция
транспортных операторов.
Основными участниками рынка городских пассажирских перевозок
являются пассажиропотоки, транспортные операторы и муниципальные
органы власти. У каждого из участников свои цели и возможности их
достижения, что приводит к необходимости применения теории игр для
моделирования поведения участников рынка городских пассажирских
перевозок. Большой вклад в теорию игр внесли Р. Ауман, Дж. Нэш, Дж.
Нейман, О. Моргенштерн, а также Н.Н. Воробьев, Л.А. Петросян, Л.С.
Понтрягин и другие. На данный момент для описания рынка транспортных
услуг практически нет приложения теории игр.
Таким образом, недостаточно исследованными и разработанными в
этом направлении являются: исследование взаимодействия потока
пассажиров, транспортных операторов и муниципальных органов власти,
построение математических моделей распределения пассажиров по
маршрутам, постановка математических задач оптимизации движения ГПТ с
учетом наложения маршрутных схем и различных интересов участников
рынка городских пассажирских перевозок.
Цель работы. Целью данной работы является исследование и
оптимизация параметров работы городского транспорта в условиях
конкуренции транспортных операторов.
3
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие
задачи:
1. Разработать математические модели прибытия пассажирского транспорта
на остановочные пункты и распределения пассажиропотоков между
маршрутами в городских условиях.
2. Построить математические модели конкуренции операторов городского
пассажирского транспорта с учетом наложения маршрутных схем.
3. Исследовать вопрос образования равновесных тарифов на услуги
грузового транспорта на примере г. Новокузнецк.
Методика исследований. Для исследования задач оптимизации рынка
городских перевозок используются марковские процессы, теория игр, теория
управления запасами, задачи выпуклого программирования, численные
методы решения задач безусловной оптимизации, натурные эксперименты.
Научная новизна заключается в том, что в диссертационной работе
получены и выносятся на защиту следующие результаты:
– математические модели распределения пассажиропотоков между
маршрутами общественного транспорта: с участием муниципального
транспорта и коммерческих операторов при организации передвижения
пассажиров с пересадками, и наложения маршрутных схем;
– математическая модель смешанного рынка городских пассажирских
перевозок, для которой доказано существование равновесия Нэша;
– математическая модель свободного рынка городских пассажирских
перевозок в случае возможности передвижения пассажиров с пересадкой,
для которой доказано существование равновесия Нэша.
Теоретическая ценность работы состоит в том, что разработаны и
исследованы теоретико-игровые модели оптимизации рынка городских
пассажирских перевозок с учетом наложения маршрутных схем.
Практическая значимость работы заключается в том, что
предложенные математические модели помогут повысить эффективность
использования городского транспорта с учетом интересов транспортных
операторов и потребителей.
Разработанные математические модели внедрены в учебный процесс
на кафедре “Общепрофессиональных технических дисциплин” филиала ГУ
КузГТУ в г. Новокузнецке и OOO «Афганец +».
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав,
заключения – общим объемом 157 страниц, 2 приложений, 12 таблиц и 45
рисунков, библиографического списка, включающего 137 наименований.
Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные
ее результаты докладывались и обсуждались на:
1. XII Международной научно-практической конференции «Природные и
интеллектуальные ресурсы Сибири. Сибресурс 2008» (20-21 ноября
2008г.), г. Кемерово;
2. III Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и
математическое моделирование» (28-29 ноября 2008г.), г. Новокузнецк;
4
3. VI Всероссийской научно-технической конференции «Политранспортные
системы» (21-23 апреля 2009) г. Новосибирск;
4. III межвузовской научно-практической конференции студентов и молодых
учёных «Перспективные направления в науке, обществе, образовании,
экономике и праве» (24 апреля 2009г.), г. Новокузнецк;
5. VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным
участием
«Информационные
технологии
и
математическое
моделирование» (13-14 ноября 2009 г.), г. Анжеро-Судженск;
6. Всероссийской
научно-практической
конференции
«Перспективы
развития и безопасность автотранспортного комплекса» (9 декабря 2009
г.), г. Новокузнецк;
7. научных семинарах кафедры «Автомобильные перевозки» ГОУ ВПО
«Кузбасский государственный технический университет» 2007-2009 гг.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ (из
них 2  в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций материалов
докторских диссертаций).
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении обосновывается актуальность темы, приводится
характеристика работы, аннотируются структура и содержание работы.
В первой главе сформулированы основные системные положения,
принятые в работе. Рассмотрены основные участники процесса пассажирских
перевозок.
В упрощенном виде структура системы городского пассажирского
транспорта может быть представлена в виде трех подсистем, влияющих на ее
состояние. Это подсистемы: «город», «население» и «транспортные
операторы».
Для каждой подсистемы рассмотрены показатели эффективности
работы городского транспорта. Определены возможности участников
изменить ситуацию в свою пользу.
Подсистема «город» должна решать две проблемы: снижение
экологического ущерба от работы транспорта и обеспечение необходимого
уровня мобильности. Решение данного вопроса должно осуществляться с
помощью муниципальных органов власти. Для достижения поставленной
цели может быть использована регулировка стоимости проезда, а в
некоторых случаях – составление расписания движения ГПТ.
Для подсистемы «транспорт» определяющей является прибыль
транспортных операторов. Для достижения цели транспортные операторы
варьируют расписание движения по маршрутам, в некоторых случаях могут
изменять стоимость проезда. Важным условием конкуренции является то,
что предпочтения пассажиров изменяются в зависимости от расписания
движения ГПТ, т.е. пассажиры меняют маршруты передвижения, особенно в
случае плотной маршрутной сети.
5
В интересах подсистемы «пассажиры» минимизировать потери при
перемещении. Для этого пассажиры выбирают предпочтительный маршрут
передвижения или подходящий им способ передвижения.
Так как на рынке городских пассажирских перевозок существует
несколько участников с различными целями и возможностями, то
необходимо использовать аппарат теории игр для моделирования данного
рынка.
Рассмотрено взаимодействие этих подсистем с помощью моделей
рынка городских пассажирских перевозок: минимальное регулирование –
развитие модели свободного рынка; охватывающие весь город конкурентные
тендеры – регулируемая конкуренция (административная модель); часть
маршрутной сети обслуживается муниципальным оператором, а некоторые
услуги выполняются коммерческими операторами (смешанная модель).
Во второй главе построены модели, необходимые для постановки
задач оптимизации движения ГПТ с учетом наложения маршрутных схем.
В данном случае пассажир может выбрать один из нескольких
маршрутов для перемещения до места назначения (т.е. осуществляет посадку
в первое подошедшее транспортное средство). Основная модель потоков
транспорта и пассажиров – распределение Пуассона. Это связано с тем, что
на передвижение влияет множество случайных факторов, а наличие
большого количества людей и транспорта приводит к формированию
простейшего потока.
Рассмотрим модель распределения пассажиропотоков между
маршрутами. В большинстве российских городов присутствуют две
разновидности общественного транспорта. Условно обозначим их как
муниципальный транспорт и маршрутные такси. К тому же существуют две
категории пассажиров по отношению к льготам на проезд. Таким образом,
льготная категория пассажиров перемещается только на муниципальном
транспорте, а пассажиры без льгот осуществляют посадку в первое
подошедшее транспортное средство независимо от разновидности ГПТ.
Чтобы описать процесс перевозки пассажиров в данном случае,
необходимо ввести параметры: N – количество остановочных пунктов, по
которым движутся транспортные средства и перемещаются пассажиры; K –
количество конкурирующих между собой пассажирских транспортных
операторов; Lk – количество маршрутов, которые эксплуатирует k -й
транспортный оператор ( k  1, K );  0,l – интенсивность пуассоновского
потока муниципального оператора, ( l  1, Lk , k  1, K );  k ,l – интенсивность
пуассоновского потока транспорта по l -му маршруту k -го коммерческого
оператора, движущегося по маршруту в единицу времени ( l  1, Lk , k  1, K );
Aik, ,jl – принимает значение 1, если по l -му маршруту k -го оператора можно
переехать с i -го остановочного пункта на j -й, иначе принимает значение 0
( i, j  1, N , l  1, Lk , k  0, K ).
 k ,l
–
6
себестоимость
одного
рейса
транспортного средства на l -том маршруте k -го оператора ( l  1, Lk ,
k  0, K ); (i0, )j – интенсивность пуассоновского потока льготных категорий
пассажиров, поступающих в единицу времени на i -й остановочный пункт с
желанием переехать на маршрутном транспортном средстве на остановочный
j -й пункт ( i, j  1, N ); (i1,)j – интенсивность пуассоновского потока не
имеющих льгот категорий пассажиров, поступающих в единицу времени на
i -й остановочный пункт с желанием переехать на маршрутном транспортном
средстве на остановочный j -й пункт ( i, j  1, N ).
В данной модели в маршрутных такси перемещаются только категории
пассажиров, не имеющие льгот, поэтому определим среднее количество
пассажиров, перевозимое на l -м маршруте k -го оператора:
N N
Aik, ,jl  k ,l i(1)
,j
.
 K L
i 1 j 1
 Ais,,jms,m
(1)
s
s 0 m1
Отметим, в знаменателе указано, что категории пассажиров, не
имеющие льгот, также осуществляют посадку и в муниципальные
транспортные средства.
Льготные категории пассажиров распределяются только по
муниципальным маршрутам, поэтому среднее количество пассажиров,
перевозимое на l -м маршруте:




0,
l
(1)
0,
l
(0)
N N
 Ai , j 0,l i , j  Ai , j 0,l i , j  .
(2)
  K Ls
L0

s ,m
0,m
i 1 j 1
  Ai , j  s ,m  Ai , j 0,m 
m1
 s 0 m1

Построенная модель позволяет описать три структуры рынка городских
пассажирских перевозок:
1) если L0  0 (нет муниципальных маршрутов), то свободный рынок;
2) если K  0 (нет коммерческих операторов), то административная
модель;
3) если L0  0 и K  0 , то смешанная модель рынка ГПТ.
Перейдем к следующей модели распределения пассажиропотоков по
маршрутам ГПТ. Движение транспорта в городской среде подвержено
светофорному регулированию, которое приводит к тому, что поток
транспорта не является простейшим – движение осуществляется «пачками»,
формирующимися за время горения красного сигнала светофора. Поэтому
необходимо разработать более адекватную модель движения транспорта, на
основе которой требуется рассчитать среднее время ожидания ГПТ и
распределение пассажиропотоков по маршрутам.
7
Параметр  – это продолжительность цикла светофорного регулирования.
Пусть K – количество маршрутов, способных перевезти пассажира до места
назначения, на k -м маршруте интенсивность движения общественного
транспорта составляет  k .
Рисунок 1 – Модель подъезда транспортных средств к остановочному пункту
вблизи светофора
Количество транспортных средств k -го маршрута в «пачке» обозначим
nk , однако «в пачке» могут находиться транспортные средства каждого
маршрута в количестве не более 1, тогда n k  0;1 .
Вероятность того, что ни одно транспортное средство не приедет за
K
цикл, составит    1   k .
k 1
Получим вероятность выбора s -го маршрута пассажирами:




K
1
nk
1nk 

  K  k  1   k  
nB k 1
  nk

ns 1
 k 1
.
K
1   1   k 
(3)
k 1
Несложно доказать, что вторая производная (3) по  s меньше нуля,
поэтому (3) выпукла вверх по интенсивностям движения транспорта  s .
Следующая модель распределения пассажиропотоков основана на
нетерпеливости населения, т.е. пассажир принимает решение о посадке в
транспортное средство, которое может довезти не только до места
назначения, но и в попутном направлении (возможно перемещение с
пересадкой). То есть, в зависимости от стоимости своего времени, пассажиры
принимают разные решения.
В данном случае необходимо сравнивать выигрыш времени пассажира
и дополнительную оплату проезда. Положим, что пассажиро-час распределен
экспоненциально для рассматриваемого пункта возникновения потребности в
перемещении.
8
Введем основные параметры, определяющие выбор способа
перемещения:  – стоимость проезда на общественном транспорте;  –
интенсивность движения общественного транспорта, доставляющего
пассажира в пункт назначения без пересадки;  – интенсивность движения
общественного транспорта от места возникновения потребности в
перемещении до пересадочного пункта;  – интенсивность движения
общественного транспорта от пересадочного пункта до места назначения;  –
средняя стоимость времени перемещения; p – вероятность передвижения с
пересадкой.
Цель потока населения – минимизировать суммарные затраты на
перемещения, изменяя параметр p . Предположим, что пассажиро-час
распределен экспоненциально для рассматриваемого пункта возникновения
потребности в перемещении. Пусть   – стоимость времени, которая делит
население по видам перемещений. Тогда
  
p  exp   или      ln  p  .
 
Средняя стоимость времени при перемещении потока в прямом
направлении:

 x
x
exp
    dx
0

 x
1
exp
    dx
0
1

1 p
  ln  p 

0
 x
x
  p ln p   p
exp  dx 
.

1 p
 
Средние расходы на одно перемещение в прямом направлении состоят
из потерь времени в ожидании и стоимости проезда:
  p ln  p   p  1 
(4)
    .
1 p
 
Средняя стоимость времени при перемещении с пересадкой:

x
 x
  exp   dx


 x
1
exp
    dx


 x
1
x

exp  dx     ln  p  .

p  ln  p  
 
Средние расходы на одно перемещение с пересадкой требуют двойной
оплаты проезда, а также ожидания в пересадочном пункте:
   ln  p  1   2 .
(5)
 
Суммарные затраты потока на одну поездку – взвешенная сумма затрат
на перемещения с пересадкой (5) и без пересадки (4):
9
  p ln  p   p 1   1  p   p  p ln  p  1   2p .
(6)
 
 
Вторая производная функция затрат на единичную поездку (6) больше
нуля, поэтому данная функция выпукла вниз по параметру p .
В городских условиях существует множество пунктов возникновения
потребности в перемещении и пунктов назначения. Также уровень жизни в
районах города неоднороден. Поэтому введем следующие параметры: Aik, j –
принимает значение 1, если по k -му маршруту можно переехать с i -го
остановочного пункта на j -й, иначе принимает значение 0 ( i, j  1, N ,
k  1, K ); Bik, j – принимает значение 1, если по k -му маршруту можно
переехать с i -го остановочного пункта в направлении пункта
j до
пересадочного узла, иначе принимает значение 0 ( i, j  1, N , k  1, K ); Dik, j –
принимает значение 1, если по k -му маршруту, перемещаясь с пункта i ,
можно переехать с пересадочного пункта до пункта j , иначе принимает
значение 0 ( i, j  1, N , k  1, K );  k – переменная, описывающая
интенсивность пуассоновского потока транспортных средств, движущихся
по k -му маршруту в единицу времени ( k  1, K );  i, j – средняя стоимость
времени перемещения между пунктами i и j .
Общие затраты потока перемещений между пунктами i и j :

Gi , j   k k 1, K , pi , j i 1, N k
j 1, N



  i , j   i , j pi , j ln  pi , j    i , j pi , j
 
 1  pi , j  
K
k

A 

i, j k
k 1

pi, j  i, j  pi, j i, j ln  pi, j   p
 Aik, j  Bik, j k
i, j
K

k 1
K




 pi , j  Bik, j  k 
  i , j   i , j ln  pi , j 


k 1



 K
  min . (7)
K

  Aik, j  Bik, j  k 
 Dik, j  k



k 1

 k 1

Важно рассчитать количество пассажиров, которые отдадут
предпочтение оператору пассажирского транспорта. В первую очередь,
посчитаем количество перевезенных пассажиров между остановочными
пунктами i и j маршрутом m , доставляющим пассажира до пункта
назначения без пересадки:



10

 i , j Aim, j  m
K

k 1
1  pi, j   pi, j
Aik, j  k
 i , j Aim, j  m

K
k 1
Aik, j

Bik, j

.
(8)
k
Количество пассажиров, выбравших маршрут m для передвижения до
пересадочного пункта:
 i , j pi , j
Bim, j  m
 Aik, j  Bik, j k
K
.
(9)
k 1
Количество пассажиров, выбравших маршрут m для передвижения от
пересадочного пункта до пункта назначения:
K
 i , j pi , j
 Bik, j  k Dim, j  m
k 1
.
(10)
K


  Dik, j  k   Aik, j  Bik, j  k


 k 1
k 1
Общее количество перевезенных пассажиров выбравших маршрут m
складывается из трех формул (8-10). В диссертационной работе доказана
выпуклость вверх функции выигранного количества пассажиров для каждого
маршрута.
В третьей главе рассмотрены задачи оптимизации рынка городских
пассажирских перевозок. Так как интересы участников рынка городских
пассажирских перевозок различны, то математические модели должны
использовать аппарат теории игр.
Рассмотрим простейший пример конкуренции двух маршрутов ГПТ.
Введем переменные для данной задачи следующим образом: 1 –
интенсивность потока пассажиров, перевозимых транспортными средствами
 2 – интенсивность потока пассажиров,
только первого маршрута;
перевозимых транспортными средствами только второго маршрута;  0 –
интенсивность потока пассажиров, перевозимых транспортными средствами
первого и второго маршрутов;  – стоимость проезда на ГПТ; 1 –
себестоимость одного рейса на первом маршруте;  2 – себестоимость одного
рейса на втором маршруте.
Выигрыш первого маршрута (разность между доходами от продажи
билетов и транспортными расходами):

 
H1 (1 ,  2 )   1  0 1   11 .
(11)




1
2 

K

Второго маршрута:

 
H 2 (1 ,  2 )    2  0 2    2 2 .
1   2 

11
(12)
Задача поиска равновесных стратегий состоит в решении системы
нелинейных уравнений, составленной из соответствующих производных
функций выигрыша.
Решением (11, 12) является точка равновесия:
 2 0
1* 
.
1   2 2
1 0
.
1   2 2
Рассмотрим обобщенную модель конкуренции коммерческих
операторов ГПТ (модель свободного рынка ГПТ).
Очевидно, что интенсивность потоков транспортных средств,
движущихся по каждому маршруту, не отрицательна:
(13)
 k ,l  0 , l  1, Lk , k  1, K .
*2 
Затраты оператора пассажирского транспорта на перевозку в единицу
времени составят:
Lk

l 1
k ,l
 k ,l , k  1, K .
Выигрыш или прибыль k -го оператора (доходы от оплаты
пассажирами проезда минус расходы на перевозку) в единицу времени:
Lk


H k   m,r r 1, Lm   
m 1, K 

i 1 j 1
N
N
 i , j  Aik, ,jl  k ,l
l 1
K Lm
 Aim, j,r  m,r
Lk
   k ,l  k ,l , k  1, K .
(14)
l 1
m 1 r 1
Утверждение 1. Функция выигрыша оператора (14) выпукла вверх по своим
стратегиям.
Доказательство основано на выпуклости каждого слагаемого (14) и
подробно проведено в диссертационной работе.
Утверждение 2. Задача (13, 14) имеет, и притом единственное, конечное
решение.
Доказательство. Целевая функция строго выпукла, при этом для каждого
оператора существует возможность отказаться от эксплуатации маршрута,
тогда прибыль составит H k  0 , соответственно, это минимальная прибыль.
Найдем максимальное количество выполняемых рейсов:
N
N
  i , j Aik, ,jl
 k ,l 
i 1 j 1
 k ,l
.


Таким образом, решение находится в интервале 0, k,l . Исходя из этих
положений, решение (13, 14) существует оно конечно и единственно.
12
Операторы работают независимо друг от друга, и каждый стремится
максимизировать собственную прибыль, изменяя интервал движения
транспортных средств на своем маршруте. Так как пассажиропоток у многих
операторов общий, то доход оператора зависит от действий других
операторов. Для разрешения данной конфликтной ситуации построим
игровую модель.
Утверждение
3.
Игра
 K ,  k ,r r 1, Lk , H k k 1, K
k 1, K
имеет
ситуацию
равновесия по Нэшу.
Доказательство. Так как функции выигрыша выпуклы вверх по стратегиям
каждого игрока и непрерывны, а множество стратегий компактно, то по
Теореме (Дебрэ, Гликсберг, Фан Ки (1952)) игра  имеет ситуацию
равновесия по Нэшу в чистых стратегиях.
Также тривиальной заменой переменных доказаны следующие
утверждения.
Утверждение 4. При увеличении стоимости проезда возрастает
интенсивность движения транспорта по маршрутам.
Это позволит городу наиболее эффективным способом управлять рынком
перевозок, чтобы решить двухкритериальную задачу оптимизации работы
городского пассажирского транспорта.
Утверждение 5. При пропорциональном снижении транспортных расходов
на каждом маршруте произойдет пропорциональное увеличение
интенсивности движения транспорта.
Обобщение модели свободного рынка возможно при введении
дополнительного муниципального оператора. Данная ситуация описывает
условия, при которых муниципальные органы власти управляют
муниципальным транспортом, а частные операторы сами определяют
оптимальное расписание движения.
Опишем основные движущие силы и ограничения, действующие на
рынке пассажирских перевозок. В первую очередь, это стремление частных
операторов повысить свою прибыль. Прибыль состоит в разности доходов,
полученных от продажи билетов и расходов на транспортировку:
Lk N N
Lk
i , j Aik, ,jl  k ,l


H k   k ,r r 1,Lk    K Lm
   k ,l  k ,l  max .
(15)
k 0 , K 

l 1 i 1 j 1
 Aim, j,r m,r l1
m0 r 1
Прибыль муниципального транспорта:
L0 N N
L0
 0  i , j Ai0,,jl  0,l


H 0   k ,r r 1, Lk    K Lm
   0,l  0,l .
k 0 , K 

l 1 i 1 j 1
m ,r
 Ai, j  m,r l 1
m0 r 1
13
(16)
Для муниципальных властей важно сократить суммарные потери
времени пассажиров, имеющих льготы, пассажиров, не имеющих льгот, а
также ущерб городской среде от работы общественного транспорта.
N N
N N
 0i0, j



F   k ,r r 1,Lk    L0
  K Lm i , j

k 0 , K 

i 1 j 1
 Ai0,,jr 0,r i1 j1  Aim, j,r m,r
r 1
K
m0 r 1
Lk
   k ,l  k ,l  min .
(17)
k 0 l 1
Введем ограничения, накладываемые на переменные. В первую
очередь – это неотрицательность:
(18)
 k ,l  0 , l  1, Lk , k  0, K .
Вторым ограничением является ограничение на объем бюджетного
субсидирования:
H 0  B .
(19)
В данном случае имеется несколько участников рынка, каждый из
которых обладает своими целью и стратегиями. Мы имеем игру K  1-лиц
(муниципалитет и коммерческие операторы) со стратегиями  k ,r r 1, L и
k
k 0 , K
целевыми функциями  F и
нормальной
форме
H k k 1, K ,
игра
при ограничениях (18, 19). В
записывается
как
 K  1,  0,r r 1,L ,  k ,r r 1, Lk , F , H k k 1,K .
k 1, K
0
Утверждение
6.
Игра
 K  1,  0, r r 1, L ,  k , r r 1, Lk , F , H k k 1, K
k 1, K
0
имеет
ситуацию равновесия Нэша.
Доказательство. Очевидно, что выполняются условия теоремы
существования равновесия Нэша в чистых стратегиях: выпуклость вверх
функций выигрыша игроков, непрерывность, выпуклость (19), компактность
множества стратегий.
Построим модели свободного рынка в случае светофорного
регулирования движения. Выигрыш или ожидаемая прибыль s -го маршрута
(доходы от оплаты пассажирами проезда минус расходы на перевозку) в
единицу времени:


1
 i , j  s    K
  k  nk 1  Aik, j k 
k 1 
n
k s   k
k
Ai , j 1  k 1

K
N
N
H s  1,  2 ,..,  K   
i 1 j 1
K
1   1  Aik, j  k  
k 1
14


1nk





  s s , s  1, K .(20)
Транспортные операторы работают независимо друг от друга, и каждый
стремится максимизировать собственную прибыль, изменяя интервал
движения транспортных средств на своем маршруте. Для описания данной
ситуации построим игру  K , s s 1,K ,H s s 1,K .
Утверждение 7. Игра  K , s s 1,K ,H s s 1,K
имеет ситуацию равновесия
Нэша.
Доказательство. Выпуклость вверх функции выигрыша доказывается с
помощью второй производной, остальные условия существования
равновесия Нэша выполняются очевидно.
Рассмотрим модель свободного рынка в условиях конкуренции
транспортных операторов в случае передвижения пассажиров с пересадками.
Очевидно, что интенсивность потоков транспортных средств,
движущихся по каждому маршруту, не отрицательна:
 k  0 , k  1, K .
Расходы населения при перемещении между пунктами i и
выпуклая функция по pi , j :

Gi , j   k k 1, K , pi , j i 1, N k
j 1, N



  i , j   i , j pi , j ln  pi , j    i , j pi , j
 
 1  pi , j  
K

Ak 

k 1

j –
i, j k
pi, j  i, j  pi, j i, j ln  pi, j   p

K
k 1
Aik, j

Bik, j

i, j

k
K



 pi , j  Bik, j  k
  i , j   i , j ln  pi , j 

k 1

   K
K

  Aik, j  Bik, j  k
 Dik, j  k


k 1

 k 1







  min .



Таким образом, выигрыш или прибыль m -го маршрута (доходы от
оплаты пассажирами проезда минус расходы на перевозку) в единицу
времени:


 Am  1  p  p Am  B m  

 N N
i, j m
i, j
i, j i, j
i, j m 
H m   k k 1, K , pi , j i 1, N k      i , j 
 K

K


j 1, N 
k
k
k

i 1 j 1
  Ai , j  k
 Ai, j  Bi, j  k 
k 1
 k 1



15


K
N
 Bik, j  k Dim, j  m
N
  m m  max
  i, j pi, j  K k 1  K
i 1 j 1
  Dik, j  k   Aik, j  Bik, j  k


 k 1
k 1
Утверждение 8. Игра  N 2  K , pi , j 
i , j 1, N

,m m1,K , Gi , j
i, j1,N ,H mm1,K
имеет ситуацию равновесия Нэша.
Доказательство подробно рассмотрено в диссертационной работе и
аналогично доказательству предыдущих утверждений.
В четвертой главе
исследованы вопросы оптимизации работы
транспорта на ООО «Афганец +». Предприятие занимается предоставлением
услуг грузовых и пассажирских перевозок. В первую очередь, рассмотрим
задачу оптимизации тарифов на услуги грузовых перевозок в условиях рынка
г. Новокузнецк.
Зададим исходные данные к задаче оптимизации стратегии предприятия
на рынке грузовых перевозок: M – количество предприятий; Ai0  xi0 , yi0 –
координаты предприятия


i;

A1  x1 , y1



– координаты потребителя;
 A1, Ai0 – расстояние от предприятия i до потребителя; t – время
выполнения транспортных операций у потребителя; v – средняя скорость
движения грузового автомобиля; Ri – доля прибыли в тарифе; Ci – размер
тарифа для потребителя (стоимость авточаса).
Тогда расходы времени потребителя при обращении на предприятие i
состоят из времени выполнения транспортных операций, а также времени на
передвижение автомобиля от предприятия до заказчика (потребителя) и в
обратном направлении:
1
t  2 A1, Ai0 .
v
Расходы потребителя могут составить:
C
Cit  2 A1, Ai0 i .
v
Из них прибыль предприятия:
RC
RiCit  2 A1, Ai0 i i .
v
Цель потребителя – минимизировать свои расходы:
C
H  Cit  2 A1, Ai0 i  min ,
v
i
т.е. необходимо найти предприятие, при работе с которым затраты будут
наименьшими.
Целью же предприятия является максимизация прибыли. Для расчета
этого показателя рассмотрим следующую постановку задачи.







16

Дополнительными параметрами модели послужат координаты
потребителей. Заметим, что координаты могут быть заданы в непрерывной
форме (как двумерное распределение на плоскости), в этом случае суммы
следует рассматривать как интегралы по поверхности – пространству
потребителей.
В данном случае пусть имеется N потребителей с координатами


A1j  x1j , y1j .
Тогда цель потребителя j :

H j  Cit  2 A1j , Ai0
 Cv  min .
i
i
Решением будет выбор наилучшего предприятия для выполнения
транспортной операции:
C 

I j  arg min Cit  2 A1j , Ai0  i  .

 v
i 
Тогда прибыль предприятия i :
N
CR

Fi    Ri Ci t  2 A1j , Ai0 i i   max .
Ri
v 
j 1 


I j i
Предприятие имеет возможность увеличения прибыли только за счет
изменения своих тарифов, что может привести к перераспределению рынка
грузовых перевозок.
Рынок транспортных услуг состоит из множества предприятий. Все это
множество рассмотреть невозможно. Цель работы – проанализировать лишь
часть рынка, чтобы описать процесс конкурентной борьбы и
промоделировать различные ситуации на рынке. В качестве примеров были
выбраны 4 предприятия, находящиеся в разных частях г. Новокузнецк.
Данные предприятия имеют продолжительную историю существования
и, соответственно, разнообразный автопарк. Предприятия создавались для
обслуживания крупных производств, расположенных по соседству: ООО
«Афганец
+»;
Автотранспортное
управление
ОАО
«ЗСМК»;
Автотранспортное предприятие ОАО «Южкузбассуголь»; ООО «ГРАДЭКО».
Важным конкурентным преимуществом является географическое
расположение автотранспортных предприятий на территории города. На
самом деле, автотранспортные предприятия находятся рядом с территорией
крупного
предприятия,
и
данному
предприятию
экономически
(географически) выгодно использовать услуги своего АТП.
Рассмотрим следующую задачу: расположим 16 потребителей и 4
поставщика автотранспортных услуг на дорожной сети города размером 25
на 22 км.
Для предприятия доля выигранного рынка является важным
показателем. Однако большее значение имеет прибыль. Опустить тариф
ниже себестоимости экономически не целесообразно. К тому же изменение
17
3000
3000
2000
2000
1000
0
200
-1000
220
240
260
280
-2000
-3000
300
Количество потребителей в
Количество потребителей в
стратегии автотранспортного предприятия в области тарифной политики
неизбежно приведет к пересмотру тарифов другими участниками рынка
грузовых перевозок в г. Новокузнецк.
ООО «Афганец +» не удастся завоевать весь рынок, поэтому в качестве
критерия рассмотрим прибыль предприятия. Пусть себестоимость грузовых
перевозок составляет в среднем 250 рублей за авточас при использовании
автомобиля ГАЗ-33073. Тариф со значением ниже 250 рублей приводит к
убыткам.
-4000
1000
0
200
-1000
220
240
260
280
300
-2000
-3000
-4000
Тариф
Тариф
Рисунок 2 – Прибыль ООО «Афганец +» при доставке грузов до 4 т по
Манхэттенской и Евклидовой метрике в зависимости тарифа
Положительный показатель прибыли находится при тарифах от 255 до
300 рублей. Предприятие может выбрать оптимальный тариф 275 рублей за
авточас. Он обеспечит наилучшие финансовые показатели для ООО
«Афганец +». Т.е. тариф на перевозку грузов автомобилем ГАЗ-33073
необходимо снизить на 13 рублей, что повысит прибыльность услуги почти в
2 раза.
Оптимизация тарифов одним предприятием, очевидно, скажется на
рынке транспортных услуг. Другие предприятия также захотят изменить
свою стратегию для увеличения прибыли. В такой ситуации каждое
автотранспортное предприятие является игроком, а стратегиями предприятий
являются тарифы.
Построенная таким образом игра четырех автотранспортных
предприятий за потребителей может иметь точку равновесия.
Таблица 1 – Равновесные тарифы при перевозке грузов до 4 т по
Манхэттенской метрике
Предприятие
Афганец +
ЗСМК
Южкузбассуголь
ГРАДЭКО
Тариф, р.
280
279
275
271
Изменение
-8
-4
+15
-11
тарифа, +/- р.
Отметим, что «ЗСМК» выгодно иметь наиболее высокий тариф, а
«Афганец +» и «ГРАДЭКО» – минимальный. Причем тарифы
«Южкузбассуголь» необходимо повысить.
Для метрики, рассчитанной по прямой, тарифы составят:
18
Таблица 2 – Равновесные тарифы при перевозке грузов до 4 т по прямой
Предприятие
Афганец +
ЗСМК
Южкузбассуголь
ГРАДЭКО
Тариф, р.
274
271
267
265
Изменение
-14
-12
+7
-17
тарифа, +/- р.
Для данной метрики рынок предлагает примерно те же рекомендации,
однако уровень тарифов из-за более высокой конкуренции ниже.
Второй задачей ООО «Афганец +» является организация перевозок
трудящихся на ОАО «НКМК» и в обратном направлении.
Маршрутная сеть Новокузнецка проектировалась и развивалась с
учетом того, что ОАО «НКМК» являлся градообразующим предприятием.
Поэтому большое количество маршрутов соединяют районы города с
проходными комбината. В конце 70-х – начале 80-х годов ОАО «НКМК»
начал активное строительство жилья для своих работников в Новоильинском
микрорайоне, подшефном совхозе “Металлург” и в районе улиц Белана и
Ноградская. Поэтому в настоящее время в этих районах проживает большое
количество трудящихся комбината.
Построим математическую модель для оптимизации трудовых
перевозок. Так как пассажиропоток неравномерный в течение суток, то
разобьем его на N частей.
Пусть
t i0 – время начала части i . Тогда начало периода времени – t10 ,
а окончание – t N0 1 .  i – количество пассажиров, собирающихся для
перевозки на служебных автобусах Афганец +.
Наиболее простой способ составления расписания – максимально
использовать имеющуюся пассажировместимость. В таком случае время
ожидания транспорта в расчетах участвовать не будет. В результате,
количество автобусов, необходимое для обеспечения перевозок в данный
период времени, составит:
N 
  i 
.
K   i 1 
 S 




С точки зрения транспортных расходов, необходимого количества
автобусов и рейсов, данный подход обеспечивает наилучшие показатели.
Расписание движения всех автобусов зададим в виде T j0 – начало
движения автобуса на маршруте j  1, K .
Время начала движения
рассчитывается следующим образом. Количество рейсов в начальной части

S 0 0
K1  1 . Поэтому T j0  t10 
t 2  t1 .
S
1
Далее необходимо стыковать соседние части периода, поэтому


19


 0 0 SK1 0 0  1 
 t 2  t1 
t 2  t1  0 0  – количество пассажиров, оставшихся с


 t 2  t1 
1
первой части. Поэтому начало рейсов на второй части:

  
SK
S   t 20  t10  1 t 20  t10  0 1 0 
1
S 0 0

 t 2  t1  0 0
t 20 
t3  t 2 
t3  t 2 .
2
2
И так далее. Последний рейс состоится во время окончания всего
0
периода t N 1 .






В дальнейшем, используя ряд времени, необходимо составить
расписание движения автобусов, чтобы определить их минимальное
количество. Процедура расчетов выглядит следующим образом.
Существует список времен, когда автобусы свободны. Например, в
начальный момент времени все автобусы свободны. Формально зададим это
время так:
Bl  t10 , l  1,2,3...
На каждом этапе находим автобус для следующего рейса. Т.е. если t –
время следующего рейса, то находим первый свободный автобус
l  arg min Bi
Bi t
.
Для найденного свободного автобуса задаем следующее время, когда
он будет свободен:
Bl  t   .
Т.е. в следующий раз автобус будет свободен, когда он выполнит рейс
продолжительностью  .
Однако при современном подходе необходимо учитывать не только
затраты на транспортировку. Следует также учитывать затраты времени
работников предприятия. По сути, это время также является рабочим и
предприятие должно его ценить соответствующим образом – в ту же цену.
Учитывая данный подход, расчет расписания усложняется. Время
начала движения рассчитывается следующим образом.
Используя результаты диссертационной работы Семеновой О.С.,
получим количество рейсов в начальной части (без учета количества мест в
автобусе):


1 t 20  t10
K1 
.

Если стоимость времени работника невысока или стоимость рейса
автобуса высокая, то возможна ситуация, при которой возникнет
превышение пассажировместимости автобуса. Поэтому
оптимальный интервал движения на первой части периода:
20

 
  t0  t0 S 0 0
2
1
t  min 
, t 2  t1
1
1


 ,

поэтому T j0  t10  jt .
Стыковка маршрутов происходит аналогичным образом. Однако
следует заметить, что последний автобус должен доставить пассажиров,
подходящих к остановочному пункту позже всех в момент окончания
периода. Т.е. на последней части периода количество автобусов
рассчитывается по особым формулам – перебирается количество рейсов и
находится оптимальный вариант, минимизирующий суммарные затраты
транспорта
и
пассажиров
при
выполнении
ограничения
на
пассажировместимость.
Для того, чтобы автоматизировать процесс составления расписаний,
была создано программное обеспечение. Для удобства использования
программы вся основная информация расположена в одном окне. С помощью
соответствующих кнопок можно легко изменить информацию, загрузить
исходные данные и вывести оптимальное расписание в текстовый файл.
Например, рассчитаем оптимальное количество маршрутов при стоимости
времени 200 рублей за час. Получим расписание.
Таблица 3 – Составленное программой расписание
Автобус
Автобус
Автобус
Автобус
Автобус
Автобус
Автобус
Автобус
Автобус
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
№9
Утро
5:55
6:03
6:11
6:19
6:27
6:35
6:43
6:52
7:02
7:14 8:25
7:26 8:48
7:38 9:12
7:49
8:01
День
16:39
16:48
16:57
17:06
17:15
17:20
17:24
17:35
17:46
17:57 19:10
18:08
18:23
18:39
18:54
18:55
Вечер
20:22
20:35
20:47
21:00
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основании проведенных в диссертационной работе исследований
получены следующие результаты.
1. Разработаны математические модели распределения пассажиропотоков
между маршрутами городского пассажирского транспорта, которые наряду с
наложением маршрутных схем впервые позволяют учесть:
– светофорное регулирование уличного движения;
– возможности перемещения с пересадкой.
2. Разработаны математические модели городских пассажирских перевозок в
условиях наложения маршрутных схем, позволяющие учесть различные
интересы участников рынка:
– смешанного рынка (административная модель и свободный рынок);
21
– свободного рынка в условиях светофорного регулирования движения
транспорта;
– свободного рынка при возможности перемещения пассажиров с
пересадкой.
Для данных математических
моделей доказано существование
равновесия Нэша, что позволяет определить оптимальную стратегию для
каждого участника рынка городских пассажирских перевозок.
3.
Исследованы задачи оптимизации транспортных услуг ООО «Афганец
+», в результате чего разработаны:
– математическая модель поведения потребителей и поставщиков
транспортных услуг в г. Новокузнецк в зависимости от уровня тарифов и
взаимного расположения, позволяющая определить равновесные тарифы на
рынке грузовых перевозок;
– программный комплекс, позволяющий составлять оптимальное
расписание движения автобусов в зависимости от оценки стоимости
свободного времени трудящихся ОАО «НКМК».
Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:
1.
Зварыч Е.Б. Моделирование движения транспорта по навигационным
отметкам / Е.Б. Зварыч, М.Е. Корягин, О.Ю. Слободенюк // Вопросы
современной науки и практики. Университет им. В.И. Вернадского. – 2008. –
Т. 2(13). №3. – С. 33-42.
2.
Жуков И.А. Конкуренция операторов городского пассажирского
транспорта в условиях регулирования уличного движения / И.А. Жуков, Е.Б.
Зварыч, М.Е. Корягин // Вопросы современной науки и практики.
Университет им. В.И. Вернадского. – 2009. – №1. – С. 69-77.
Список публикаций:
3.
Зварыч Е.Б. Влияние местоположения складов на формирование
равновесных тарифов / Е.Б. Зварыч, М.Е. Корягин // Природные и
интеллектуальные ресурсы Сибири. Сибресурс 2008. Материалы XII
Международной научно-практической конференции, 20-21 нояб. 2008 г., ГУ
КузГТУ. – Кемерово. – 2008. – С. 358-360.
4.
Зварыч Е.Б. Оптимизация тарифов автотранспортных предприятий на
рынке грузовых перевозок / Е.Б. Зварыч, М.Е. Корягин // Краевые задачи и
математическое моделирование: сб. ст. 9-й Всероссийской научной
конференции. 28-29 ноября 2008 г. Новокузнецк. Т.3. // НФИ ГОУ ВПО
«КемГУ». – Новокузнецк. – 2008. – С. 85-89.
5. Зварыч Е.Б. Распределение пассажиропотока между маршрутами
городского пассажирского транспорта при детерминированных потоках
транспорта / Е.Б. Зварыч, М.Е. Корягин // Политранспортные системы:
материалы
VI
Всероссийской
научно-технической
конференции,
Новосибирск, 21-23 апреля 2009 г.: в 2-х ч. Новосибирск: Изд-во СГУПС. –
2009. – Ч.1. – С. 447-451.
22
6. Зварыч Е.Б. Математическая модель потока пассажирского транспорта в
условиях светофорного регулирования уличного движения/ Е.Б. Зварыч,
М.Е. Корягин // Информационные технологии и математическое
моделирование: материалы VII всероссийской научно-практической
конференции, Анжеро-Судженск, 13-14 ноября 2009 г., – Томск: Изд-во Том.
ун-та. – 2009. – Ч. 1. – С. 267-272.
7. Зварыч Е.Б. Ситуация равновесия Нэша на рынке городских пассажирских
перевозок при перемещении пассажиров с пересадками / Е.Б. Зварыч, М.Е.
Корягин // Вестник КузГТУ. – 2009. – №5. – С. 124-129.
8. Зварыч Е.Б. Существование ситуации равновесия на рынке городских
пассажирских перевозок / Е.Б. Зварыч, А.А. Нестерова // Наука и образование
транспорту: материалы международной научно–практической конференции
(5-7 октября 2009 г., Самара). – Самара: СамГУПС. – 2009.– С. 116-117.
9. Зварыч Е.Б. Математическая модель рынка городских пассажирских
перевозок с участием муниципального и коммерческих операторов / Е.Б.
Зварыч, М.Е. Корягин // Системы. Методы. Технологии. – №1 – 2010.— С.
89-92.
23