1. Линейное пространство, размерность, базисы и координаты.

1. Линейное пространство, размерность, базисы и координаты.
Определение линейного пространства
Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать
котором установлены правила:
1) любым двум элементам
элементов
соответствует третий элемент
...), в
называемый суммой
(внутренняя операция);
2) каждому
и каждому
отвечает определенный элемент
(внешняя операция).
Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:
I.
II.
III.
IV.
(нулевой элемент, такой, что
).
(элемент, противоположный элементу
), такой, что
V.
VI.
VII.
VIII.
Аналогично определяется комплексное линейное пространство (вместо R рассматривается C).
Линейная комбинация векторов
Линейной комбинацией векторов
где
называют вектор
- коэффициенты линейной комбинации. Если
комбинация называется тривиальной, если
Линейная зависимость и независимость векторов
Система
линейно зависима
Система
линейно независима
Критерий линейной зависимости векторов
- нетривиальной.
что
Для того чтобы векторы
(r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы
хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.
Размерность линейного пространства
Линейное пространство V называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем:
1) существует n линейно независимых векторов;
2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.
Обозначения : n = dim V;
Базис пространства
.
. Координаты вектора
Базис - любая упорядоченная система
из n линейно независимых векторов пространства
.
Обозначение:
Для каждого вектора
Числа
существуют числа
такие что
называются координатами вектора
однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора
в базисе (
) (определяются
в этом базисе. Употребляется запись:
Справедливы формулы:
Пусть X — линейное пространство.
Определение. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую
систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –
мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.
Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn , где n = dim Xn — размерность
пространства Xn .
Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному
количеству линейно независимых векторов.
Замечания.
1. Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю.
Такое пространство называется тривиальным.
2. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то
такое пространство называется бесконечномерным. Мы будем рассматривать, в основном,
конечномерные линейные пространства. Бесконечномерные пространства являются
предметом специального изучения.
Определение. Упорядоченная система векторов e1, e2, … , en О X называется базисом в X , если
 система векторов e1, e2, … , en линейно независима;
 любой вектор x пространства X может быть представлен в виде
x = ξ1e1 + ξ2e2 + … + ξnen.
(1)
 Выражение (1) называется разложением вектора x по базису e1, e2, … , en .
 Коэффициенты ξ1, ξ2, … , ξn в разложении векторапо данному базису определяются
однозначно.
 Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
(Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.42).
 Коэффициенты разложения (1) вектора x по базису e1, e2, … , en называются
координатами вектора x в этом базисе.
 Удобно использовать обозначение для i –ой координаты ξi = бei, xс и для вектора x = {ξ1,
ξ2, … , ξn} . Координаты вектора записывают также в виде матрицы–столбца
ж ξ1 ц
з ξ2 ч
з …ч
з ξn ч
з
ч
з
ч
и
ш
 который называется координатным столбцом вектора x .
 В n–мерном линейном пространстве Xn существует базис. Он содержит n векторов.
 Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
(Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.43).
 Замечания.
 1. В линейном пространстве существует бесчисленное множество базисов.
 2. В бесконечномерном пространстве всегда существует базис. Он содержит бесконечное
множество векторов. Подробнее о базисах в бесконечномерных пространствах можно
прочитать, например, в книге "Функциональный анализ" под ред. С.Г. Крейна (М.: Наука,
1972).
 3. Любая упорядоченная линейно независимая система из n векторов в n–мерном
пространстве является базисом.
 Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
(Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.44).
 Теорема. Пусть Xn — линейное пространство и e1, e2, … , en — некоторый базис в Xn .
Тогда:
1. При сложении векторов их координаты складываются.
2. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
(Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.45).
Утверждения теоремы в наших обозначениях выглядят следующим образом:
3. бei, x + yс = бei, xс + бei, yс ;
4. бei, αxс = αбei, xс .
Это означает, что скобки б · , · с обладают свойством линейности по второму аргументу.
2.Матрица перехода от одного базиса к другому. Связь координат вектора в разных
базисах.
Пусть
^
A
:Xn → Xn — линейный оператор. Зададим в Xn два базиса: "старый" базис e = (e1, e2, … , en) и "новый" базис f =
(f1, f2, … , fn) .
Матрицей перехода от базиса e к базису f называется матрица C = (cik) (i,k = 1, … ,n) , столбцами которой являются
координатные столбцы векторов f1, f2, … ,fn в базисе e , т.е.
f1 = c11 e1 + c21 e2 + … + cn1 en,
f2 = c12 e1 + c22 e2 + … + cn2 en,
……………… ,
fn = c1n e1 + c2n e2 + … + cnnen,
или в матричной форме:
f = eC
(1)
где C — матрица перехода
ж c11 c12 … c1n ц
з c21 c22 … c2n ч
C =з
… … …… ч
з
ч
cn1 cn2 … cnn
з
ч
и
ш
Замечание. В силу линейной независимости базисных векторов матрица C — невырожденная ( det C ≠ 0 ).
Следовательно, C имеет обратную матрицу C − 1 .
Теорема 1. Преобразование координат вектора при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису f определяется
формулой:
X\f = C − 1X\e.
(2)
Доказательство. Обозначим координатные столбцы произвольного вектора
x О Xn в "старом" базисе e и в "новом" базисе f
ж x'1 ц
ж x1 ц
з x'2 ч
з x2 ч
Xf
=
з …ч
Xe = з
…ч
з
ч
з
ч
x'n
xn
з
ч
з
ч
и
ш
и
ш
Произвольный вектор x в базисе e имеет вид:
x = eXe
В базисе f тот же вектор имеет вид:
x = fXf
и в силу формулы (1)
x = eCXf.
Сравнивая формулы (3) и (4), получаем
X\e = C · Xf.
Умножая это равенство слева на C −1 , получаем формулу (2), которую требовалось доказать.
(3)
(4)
^
Пусть линейный оператор
: Xn → Xn в базисе e имеет
A матрицу Ae . Найдем матрицу этого оператора Af в базисе f . Пусть C — матрица
перехода от базиса e к базису
f.
Теорема. Преобразование матрицы оператора
^
при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису f
A определяется формулой:
Af = C −1 Ae C.
(1)
Доказательство.
Рассмотрим произвольный вектор x и его образ y =
^
x . Обозначим координатные столбцы этих векторов: Xe
и Ye — в "старом" базисе e ; Xf и Yf — в "новом" базисе
A
f.
Тогда
Ye = Ae · Xe
Отсюда,
Yf = Af · Xf.
используя формулы преобразования вектора, получаем
Yf = C −1 Ye = C −1 Ae Xe = C −1 Ae C Xf.
Сравнивая с выражением Yf = Af · Xf , приходим к формуле (1), которую требовалось доказать.
3.Подпространства линейного пространства. Теорема о размерностях суммы и
пересечения подпространств.
Подпространство линейного пространства
Множество
называется подпространством линейного пространства V, если:
1)
2)
Определение. Пусть
- линейные подпространства в L. Их суммой называется множество
Легко убедиться, что сумма также является линейным подпространством и что эта операция сложения
ассоциативна и коммутативна, так же как и операция пересечения линейных подпространств. Другое описание
суммы L1 + ... + Ln состоит в том, что это наименьшее подпространство в L, содержащее все Li.
Следующая теорема связывает размерности суммы двух подпространств и их пересечения:
3. Теорема. Если
конечномерны, то
и L1 + L2 конечномерны и
dim(
) + dim(L1 + L2) = dim L1 + dim L2.
Доказательство. L1 + L2 является линейной оболочкой объединения базисов L1 и L2 и потому
конечномерно;
содержится в конечномерных пространствах L1 и L2.Положим m = dim
L1, p = dim L2. Выберем базис {e1, ..., em} пространства
и L2: пусть это будет
L1 и L2 согласованной.
, n = dim
, его можно дополнить до базисов пространств L1
и
. Назовем такую пару базисов в
Докажем, что семейство
Отсюда будет следовать утверждение теоремы:
составляет базис пространства L1 + L2.
dim(L1 + L2) = p + n - m = dim L1 + dim L2 - dim
.
Поскольку каждый вектор из L1 + L2 есть сумма векторов из L1 и L2, т. е. сумма линейных комбинаций
и
, объединение этих семейств порождает L1 + L2.
Поэтому остается лишь проверить его линейную независимость.
Предположим, что существует нетривиальная линейная зависимость
Тогда обязательно должны существовать индексы j и k, для которых
и
: в противном случае мы
бы получили нетривиальную линейную зависимость между элементами базиса L1 или L2.
Следовательно, ненулевой вектор
. Значит он лежит в
составляющих базис
векторами
должен лежать также в L1, либо он равен -
и потому представим в виде линейной комбинации векторов {e1, ..., em},
. Но это представление дает нетривиальную линейную зависимость между
, что противоречит их определению. Теорема доказана.
Следствие. Пусть
- размерности пространств L1, L2 и L соответственно. Тогда числа i = dim
и s = dim (L1 + L2) могут принимать любые значения, подчиненные условиям
+ s = n1 + n2.
Определение. Пространство L является прямой суммой своих подространств L1, ..., Ln, если каждый
вектор
однозначно представляется в виде
, где
.
иi
Когда условия определения выполнены, мы пишем
{e1, ..., en} - базис L, а
, или
- линейная оболочка вектора ei, то
. Например, если
. Очевидно, если
, то
; последнее условие является более слабым.
8. Теорема. Пусть
любое из следующих двух условий:
а)
- подпространства в L.
и
б)
и
Доказательство.
Li тогда и только тогда, когда выполнено
для всех
;
(здесь предполагается, что L конечномерно).
а) Однозначность представления любого вектора
в виде
такого представления для нулевого вектора. В самом деле, если
Если имеется нетривиальное представление
, равносильна однозначности
, то
, в котором, скажем,
, и наоборот.
, то
, так что условие а) нарушено. Обращая это рассуждение, получаем, что из нарушения условия а) следует
неоднозначность представления нуля.
b) Если
, то во всяком случае
и
,
потому что объединение базисов Li порождает L и, значит, содержит базис L. По теореме п. 3, примененной к Lj и
, имеем
Но размерность пересечения слева нулевая по предыдущему утверждению. Кроме того, если сумма всех Li
прямая, то и сумма всех Li, кроме Lj, прямая, и мы можем по индукции считать, что
. Поэтому
Наоборот, если
.
, то объединение базисов всех Li состоит из dim L элементов и
порождает все L, а потому является базисом в L. В самом деле, нетривиальное представление нуля
, дало бы нетривиальную линейную комбинацию элементов этого базиса, равную нулю, что невозможно.
4.Задание подпространства системой линейных уравнений.
.2.1. Для системы (1) положим
Тогда выражение a1 x1 +a2 x2 +...+an xn = bназывается векторной формой записи системы (1). Отметим, что
тогда и только тогда является решением системы (1), когда b -- линейная комбинация
столбцов a1 ,a2 ,...,an с коэффициентами x10 ,x20 ,...,xn0.
4.2.2. Для системы (1) положим
и назовем A матрицей системы (1). Отметим, что столбцами
матрицы A служат столбцы aj из векторной формы (2). Если в качестве (n+1)-го столбца к матрице A добавить столбец
b из (2), то получим расширенную матрицу B= (A|b) системы (1). Матричной формой системы (1) назовем
выражение
где x = (x1 ,x2 ,...,xn ), а
неизвестных. Отметим, что
или, что то же самое,
-- транспонированная строка x -- столбец высоты n, составленный из
тогда и только тогда является решением системы (1), когда
(здесь
означает транспонирование, умножение
есть когда произведение матрицы A (размера
) на матрицу
(размера
-- умножение матриц), то
) равно матрице b
(размера
).
Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида
м a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
п a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
п …………………………
(1)
н
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
п
Здесь aik О R ( i = 1, … , m , k = 1, … , n ) — коэффициенты системы, x1, x2, … , xn — неизвестные и b1, b2, … ,
bm О R — свободные члены.
Совокупность n чисел c1, c2, … , cn называется решением системы (1), если при подстановке их в каждое
уравнение вместо соттветственно неизвестных x1, x2, … , xn все уравнения системы обращаются в тождества.
Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система решений не
имеет, то она называется несовместной.
Введем следующие обозначения
ж a11 a12 … a1n ц
з a21 a22 … a2n ч
A =з
… … …… ч
з
ч
am1 am2 … amn
з
ч
— основная матрица системы (1),
ж a11 a12 … a1n п b1 ц
з a21 a22 … a2n п b2 ч
Aрасш = з … … … … п … ч
п
з
ч
з am1 am2 … amn п bm ч
— расширенная матрица системы (1),
x1
ж x2 ц
X=
з …ч
з xn ч
з
ч
— столбец неизвестных и
b1
ж b2 ц
ч
— столбец свободных членов. з
B=
Теперь можно записать систему (1) в матричной форме
A · X = B.
Пусть Xn и Ym — произвольные линейные пространства. Выберем в них некоторые базисы e1, e2, … , en и f1, f2,
… , fm и определим оператор А с матрицей A , векторы x = x1e1 + x2e2 + … + xnen и b = b1f1 + b2f2 + … + bmfm .
Тогда система (1) эквивалентна операторному уравнению Ax=b
Из определения образа линейного оператора следует условие совместности в операторной форме:
Вектор x является решением операторного уравнения (2)
Ax = b тогда и только тогда, когда вектор b принадлежит образу оператора A
Более удобной для решения задач является матричная форма условия совместности:
Теорема Кронекера–Капелли. Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и
достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы.
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия", стр.76.
Замечание. Система (1) имеет простую геометрическую интерпретацию. Каждое уравнение этой системы — это
уравнение гиперплоскости в n –мерном пространстве. Решение системы (если оно существует) определяет
координаты точки пересечения этих m гиперплоскостей.
Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида
м a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
п a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
(1)
п …………………………
н am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Здесь aik О R ( i = 1, … , m , k = 1, … , n ) — коэффициенты системы, x1, x2, … , xn — неизвестные и b1, b2, … ,
bm О R — свободные члены.
Совокупность n чисел c1, c2, … , cn называется решением системы (1), если при подстановке их в каждое
уравнение вместо соттветственно неизвестных x1, x2, … , xn все уравнения системы обращаются в тождества.
Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система решений не
имеет, то она называется несовместной.
Введем следующие обозначения (см. выше )
Теперь можно записать систему (1) в матричной форме A · X = B.
Векторная форма системы (1) имеет вид x1 A1 + x2 A2 + … + xn An = B. Здесь A1, A2, …, An — столбцы матрицы A.
Видно, что решить систему (1) значит разложить столбец свободных членов B по всем столбцам матрицы A. Это
возможно тогда и только тогда, когда базисные столбцы основной матрицы являются базисными столбцами
расширенной. Отсюда следует
Теорема Кронекера–Капелли (условие совместности системы уравнений). Для того, чтобы система линейных
уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен рангу расширенной
матрицы.
Замечание. Система (1) имеет простую геометрическую интерпретацию. Каждое уравнение этой системы — это
уравнение гиперплоскости в n –мерном пространстве. Решение системы (если оно существует) определяет
координаты точки пересечения этих m гиперплоскостей.
5.Прямая сумма подпространств.
Определение. Пространство L является прямой суммой своих подространств L1, ..., Ln, если каждый
вектор
однозначно представляется в виде
, где
.Когда условия определения выполнены, мы
пишем
, или
оболочка вектора ei, то
. Например, если {e1, ..., en} - базис L, а
. Очевидно, если
слабым.8. Теорема. Пусть
любое из следующих двух условий:
а)
, то
- подпространства в L.
и
; последнее условие является более
Li тогда и только тогда, когда выполнено
для всех
б)
и
Доказательство.
- линейная
;
(здесь предполагается, что L конечномерно).
а) Однозначность представления любого вектора
в виде
такого представления для нулевого вектора. В самом деле, если
Если имеется нетривиальное представление
, в котором, скажем,
, равносильна однозначности
, то
, и наоборот.
, то
, так что условие а) нарушено. Обращая это рассуждение, получаем, что из нарушения условия а) следует
неоднозначность представления нуля.
b) Если
, то во всяком случае
и
,
потому что объединение базисов Li порождает L и, значит, содержит базис L. По теореме п. 3, примененной к Lj и
, имеем
Но размерность пересечения слева нулевая по предыдущему утверждению. Кроме того, если сумма всех Li
прямая, то и сумма всех Li, кроме Lj, прямая, и мы можем по индукции считать, что
. Поэтому
Наоборот, если
.
, то объединение базисов всех Li состоит из dim L элементов и порождает все
L, а потому является базисом в L. В самом деле, нетривиальное представление нуля
нетривиальную линейную комбинацию элементов этого базиса, равную нулю, что невозможно.
, дало бы
6. Линейные отображения линейных пространств
Пусть X и Y — линейные пространства. Отображением (оператором) A, действующим из пространства X в
пространство Y , называется любое правило, согласно которому каждому вектору x из некоторого множества D М X
поставлен в соответствие (единственный) вектор y из Y .
Вектор y , соответствующий вектору x при отображении A
, называется образом вектора x и обозначается символом A(x) , т.е. y = A(x) . При этом x называется прообразом
вектора y .
Множество D называется областью определения отображения A
. Множество E соответствующих векторов y называется областью значений отображения A.
Тот факт, что оператор A отображает множество D М X в множество E М Y , будем записывать в виде A : D М X → E
М Y или просто A : X → Y .
Термины "отображение", "функция" и "оператор" являются синонимами.
Заметим, что согласно нашему определению, каждому вектору x О D соответствует единственный образ y = A(x) , т.е.
мы будем рассматривать только так называемые однозначные отображения.
Линейные операторы
Отображение A :D М X → Y называется линейным отображением, или линейным оператором, если "x1, x2 О X и "α О
R выполняются следующие условия:
1. A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2) ;
2. A(αx1) = αA(x1) .
Если A— линейный оператор, то можно опускать скобки и писать y = Ax .
Линейные операторы, действующие из Xn в Xn , называют также линейными преобразованиями.
7. Матрица линейного отображения (оператора)
Пусть Xn , Ym — линейные пространства и А : Xn → Ym — линейный оператор.
Пусть e1, e2, … , en — некоторый базис в Xn и f1, f2, … , fm — некоторый базис в Ym . Тогда "x О Xn можно
представить в виде:
x = α1e1 + α2e2 + … + αnen
и его образ y = Аx О Ym можно представить в виде:
y = β1f1 + β2f2 + … + βmem .
Поставим задачу: выразить координаты образа произвольного вектора через координаты этого вектора (т.е.
координаты образа через координаты прообраза: β через α ).
Используем угловые скобки для обозначения координат.
Из свойств линейности угловых скобок по второму аргументу и линейности оператора А
следует: βi = бfi, yс = бfi, Аxс = бfi
А(α1e1 + α2e2 + … + αnen)с= бfi
α1Аe1 + α2Аe2 + … + αnАenс = α1 бfi
Аe1с + α2 бfi, Аe2с + … αn бfi, Аenс
Так как в последнем выражении в угловых скобках стоят числа, обозначим их
aik = бfi,
Аekс, (i = 1, … , m, k = 1, … , n).
Очевидно, что aik — i –ая координата образа k –ого базисного вектора.
Окончательно получаем искомое выражение координат образа через координаты прообраза
n
βi =
∑ aikαk
i = 1, … ,
m
k=1
Итак,
действие линейного оператора А : Xn → Ym определяется набором из m × n чисел, которые
удобно располагать в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов.
Теперь дадим определение матрицы линейного оператора:
Матрицей линейного оператора А: Xn → Ym в базисах e1, e2, … , en и f1, f2, … , fm называется матрица размера m × n
, у которой
1) столбцы определяются как координатные столбцы образов базисных векторов пространства
Xn :Аe1, Аe2, … , Аen в базисе пространства Ym ;
2) строки определяются как коэффициенты в выражении координат образа произвольного вектора через координаты
самого этого вектора.
Матрицы мы будем обозначать теми же буквами, что и операторы (только без крышки):
ж a11 a12 … a1n ц
з a21 a22 … a2n ч
A = (aik) = з
… … …… ч
з
ч
am1 am2 … amn
и
ш
Замечания.
1. Пользуясь определением, можно строить матрицу оператора любым из двух способом (по строкам или по
столбцам).
2. Количество столбцов матрицы линейного оператора
А : Xn → Ym равно размерности исходного пространства Xn , а количество строк — размерности пространства Ym .
3. Как в случае векторов мы можем, фиксировав базис, вместо абстрактного линейного пространства, оперировать с
координатным пространством (т.е. с наборами чисел), так и в случае линейных (и только линейных!) операторов мы
можем оперировать с их матрицами (т.е. с таблицами чисел).
4. Если оператор А отображает пространство Xn в Xn , то оба базиса совпадают и матрица оператора А (квадратная)
определяется заданием одного базиса.
8. Изменение матрицы линейного отображения при смене базисов
Пусть задан линейный оператор A: F → F, действующий в n-мерном пространстве F. Если в F задан базис, то можно использовать координатное представление оператора и свести исследование оператора к исследованию его матрицы. Однако эта матрица существенно зависит от выбора базиса, чем удачнее
выбран базис, тем она проще, тем проще работа с оператором. Как выбрать
удобный базис?
Для реализации правильного выбора посмотрим, как меняются координаты вектора и матрица оператора при смене базиса.
Пусть в пространстве F имеются два базиса:
e1, e2,…, en; (1)
e1′, e2′,…, en′; (1')
Каждый вектор базиса (1') можно разложить по первому базису, записав:
(2)
Эти формулы преобразования базиса полностью определяются заданием матрицы
(3)
называемой матрицей перехода от базиса (1) к базису (1'). Каждый j–столбец
этой матрицы состоит из координат вектора ej′ в базисе (1).
Базисные векторы линейно независимы, поэтому матрица перехода Р невырождена. И вообще, всякая невырожденная (n×n)-матрица есть матрица перахода от заданного базиса (1) к некоторому базису (1').
9. Инвариантные подпространства. Инвариантные подпространства и блочнотреугольные матрицы.
1 Инвариантные подпространства.
Пусть
-- подпространство пространства
произвольного
,
-- поворот на угол
и
-- линейное преобразование в
. Например, если
, то очевидно, что для любого
. Вообще говоря, для
-- евклидова плоскость,
и принадлежащего
-- произвольная прямая и
,
может случиться, что некоторые подпространства переходят сами в себя при линейном преобразовании
следующие определения.
Определение 10.1 Пусть
-- линейное преобразование пространства
называется инвариантным относительно
принадлежит
, если для каждого вектора
. Однако
. Введем
. Линейное подпространство
из
вектор
также
.
При изучении линейного преобразования
в инвариантном подпространстве
можно, таким образом,
рассматривать это преобразование только в
.
Тривиальными инвариантными подпространствами являются подпространство, состоящее лишь из нуля, и все
пространство.
Большая часть матриц, встречающихся в теории линейных пространств над полем
, имеет своими элементами
элементы самого этого поля. Однако бывают и исключения. Например, мы будем иногда рассматривать
упорядоченный базис {e1, ..., en} пространства L, как матрицу размера
с элементами из этого пространства.
Другой пример - блочные матрицы, элементами которых в свою очередь являются матрицы - блоки исходной.
Именно разбиение номеров строк
и номеров столбцов
на идущие подряд попарно непересекающиеся отрезки определяет разбиение матрицы A на блоки
где
имеет своими элементами
. Если
, можно очевидным способом
определить понятия блочно диагональной, блочной верхней треугольной, блочной нижней треугольной матриц.
Этот же пример показывает, что не всегда удобно нумеровать столбцы и строки матрицы числами от 1 до m (или
n): часто существен лишь порядок строк и столбцов.
10. Ядро и образ линейного оператора, их размерности.
Образ и ранг линейного оператора
Пусть А : Xn → Ym — линейный оператор.
Образом линейного оператора А : Xn → Ym называется множество всех векторов y О Ym , представимых в виде y = Аx
, где x "пробегает" всю область определения оператора D М Xn (т.е. образ — это область значений оператора).
Образ оператора А будем обозначать Img А.
Таким образом y О Img А ЬЮ $x О Xn: Аx = y.
Теорема.
1. Образ линейного оператора А : Xn → Ym является линейным подпространством пространства Ym .
2. Размерность образа не превосходит размерности исходного пространства Xn .
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ,
2000), стр.63.
Рангом линейного оператора называется размерность его образа.
Ранг оператора будем обозначать Rg А= dim Img А
.Таким образом Rg А ≤ n.
Ядро и дефект линейного оператора
Ядром линейного оператора А : Xn → Ym называется множество всех векторов x О Xn таких, что Аx = θ . Ядро
оператора А будем обозначать Ker А.
Теорема. Ядро линейного оператора
А :Xn → Ym является линейным подпространством пространства Xn .
Дефектом линейного оператора называется размерность его ядра.
Дефект оператора будем обозначать Def А= dim Ker А
Теорема. Сумма размерностей образа и ядра линейного оператора равна размерности исходного пространства, т.е.
dim Img А + dim Ker А = n или Rg А + Def А = n.
11. Собственные числа и собственные вектора. Характеристический многочлен
оператора.
Определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора
Пусть А : Xn → Xn — линейный оператор.
Вещественное число λ называется собственным значением оператора А, если существует ненулевой вектор x О Xn
такой, что А x = λ x
Вектор x называется собственным вектором оператора А, соответствующим собственному значению λ .
Замечание. Из определения следует, что образ собственного вектора коллинеарен его прообразу.
Свойства собственных векторов
Пусть А : Xn → Xn — линейный оператор.
1.Все собственные векторы линейного оператора, соответствующие одному и тому же собственному значению,
вместе с нулевым вектором образуют линейное пространство.
2.Собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям, линейно
независимы.
3.Если линейный оператор А: Xn → Xn имеет n различных (вещественных) собственных значений, то собственные
векторы, соответствующие этим собственным значениям, образуют базис в Xn . Такой базис называется
собственным базисом линейного оператора А.
4.Матрица A линейного оператора А : Xn → Xn в некотором базисе x1, x2, … , xn имеет диагональный вид тогда и
только тогда, когда этот базис собственный, причем диагональные элементы этой матрицы — собственные
значения оператора λ1, λ2, … , λn .
Нахождение собственных значений и собственных векторов по матрице оператора
Теорема. Вещественное число λ является собственным значением линейного оператора А : Xn → Xn тогда и только
тогда, когда λ удовлетворяет уравнению det (A − λE) = 0, где A — квадратная матрица n –го порядка — матрица
оператора А в некотором базисе, а E — единичная матрица того же порядка, что и A .
Доказательство. Пусть вектор x — собственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению λ ,
т.е. по определению Аx = λx x = λЕ x (А− λЕ) x = θ.
Следовательно, чтобы найти собственные значения и собственные векторы оператора А, нужно решить однородную
систему n линейных уравнений с n неизвестными (A − λE)X = O .
Так как по определению собственного вектора x ≠ θ , то нас интересуют лишь нетривиальные решения этой системы
уравнений. Необходимым и достаточным условием нетривиальной совместности однородной системы n уравнений с n
неизвестными является условие det (A − λE) = 0 , что и требовалось доказать.
Уравнение (det (A − λE) = 0) называется характеристическим уравнением оператора А.
13. Корневые вектора и корневые подпространства линейного оператора. Теорема
о разложении линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств.
Корневым вектором линейного преобразования A для данного собственного значения
ненулевой вектор
, что для некоторого натурального числа m
называется такой
Если m является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть
), то m называется
высотой корневого вектора x.
Корневым подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа
называется
множество всех корневых векторов
, соответстветствующих данному собственному числу (дополненное
нулевым вектором). Обозначим его Vλ. По определению,
где

Векторное пространство L разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о Жордановой
форме (см билет 15)):
где суммирование производится по всем λi — собственным числам A.
14. Циклическое пространство, определение и примеры.
Циклические пространства и циклические клетки. Пространство L называется циклическим
относительно оператора f, если в L существует такой вектор l, также называемый циклическим, что векторы l, f(l),
..., fn-1(l) образуют базис L. Полагая ei = fn-i(l), i = 1, ... n = dim L, имеем
где
однозначно определяются из соотношения
. Матрица оператора f в таком
базисе называется циклической клеткой. Наоборот, если матрица оператора f в базисе (e1, ..., en) является
циклической клеткой, то вектор l = en цикличен, и ei = fn-i(en) (индукция вниз по i).
Покажем, что вид циклической клетки, отвечающей f, не зависит от выбора исходного циклического
вектора. Для этого проверим, что первый столбец клетки состоит из коэффициентов минимального многочлена
оператора
.
В самом деле, M(f) = 0, потому что M(f)[fi(l)] = fi[M(f)l] = 0, а векторы fi(l) порождают L. С другой стороны,
если N(t) - многочлен степени < n, то
, потому что иначе, применив оператор N(f) = 0 к циклическому
вектору l, получим нетривиальное линейное соотношение между векторами базиса l, f(l), ..., fn-1(l).
б) Критерий цикличности пространства. Согласно предыдущим рассмотрениям, если пространство L
циклично относительно f, то его размерность n равна степени минимального многочлена оператора f и, стало
быть, минимальный многочлен совпадает с характеристическим. Обратное тоже верно: если операторы id, f, ..., fn1
линейно независимы, то существует такой вектор l, что векторы l, f(l), ..., fn-1(l) линейно независимы, так что L
циклично. Мы не будем доказывать это утверждение.
в) Матрица любого оператора в подходящем базисе может быть приведена к прямой сумме
циклических клеток. Доказательство можно провести аналогично доказательству теоремы о жордановой форме.
Вместо множителей
характеристического многочлена следует рассматривать множители
, где
pi(t) - неприводимые над полем
делители характеристического многочлена. Теорема единственности также
имеет место, если ограничиться случаем, когда минимальные многочлены всех циклических клеток
неприводимы. Без этого ограничения она неверна: циклическое пространство может быть прямой суммой двух
циклических подпространств, минимальные многочлены которых взаимно просты.
15. Жорданова форма и жорданов базис линейного опреатора.
Понятие жордановой клетки и жордановой матрицы
Определение. Жордановой клеткой порядка m, отвечающей собственному значению , называется
матрица вида:
(2.1)
Иными словами, на главной диагонали такой матрицы располагается собственное значение , диагональ, ближайшая к
главной, сплошь занята единицами, а все остальные элементы матрицы равны нулю.
Блочно-диагональная матрица, на диагонали которой стоят жордановы клетки, называется жордановой матрицей:
Жорданов базис
Пусть матрица А приведена к жордановой форме J. Рассмотрим систему HJ=AH, где H=(hij) (4.1) - матрица
перехода от исходного базиса (e) к жорданову базису (h). Это система матричных n 2 уравнений с n2 неизвестными.
Определение. Пусть e – собственный вектор преобразования А, т.е. имеет место равенство А(e) = e. Вектор e1,
удовлетворяющий равенству А(e1) = e1+e, (4.2)называется присоединенным вектором первого порядка;
вектор e2, удовлетворяющий равенству А(e2) = e2+e1,
(4.3)- присоединенным вектором второго порядка;
вектор en, удовлетворяющий равенству А(en) = en+en-1,
(4.4)- присоединенным вектором n-ого порядка.
Заметим также, что(А-е)kek=e. (4.5)
Алгоритм нахождения векторов жорданова базиса
Чтобы найти жорданов базис, необходимо проделать следующие действия для каждой жордановой клетки.
Рассмотрим жорданову клетку порядка k, отвечающую собственному значению . Для нее ищутся вектора жорданова
базиса:
h, h1, h2, ...,hk-1, где:
h - собственный вектор, отвечающий собственному значению ;
h1 - присоединенный вектор 1-ого порядка;
h2 - присоединенный вектор 2-ого порядка;
hk-1 - присоединенный вектор (k-1)-ого порядка;
Эта совокупность векторов ищется, используя следующую систему:
(4.6)
В результате применения этих операций ко всем жордановым клеткам, получим векторы, составляющие жорданов
базис:
h, h1, h2, ...,hk-1, f, f1, f2, ...,fp-1,...
Векторам h соответствует жорданова клетка размера k, векторам f – размера p и т.д.
ex3
16. Евклидовы и унитарные пространства
Евклидово пространство
Вспомним, как в обычном трехмерном пространстве мы вычисляли скалярное произведение векторов. Если
координаты векторов
и
были заданы в ортонормированном базисе, то скалярное произведение вычислялось по формуле
Аналогичной формулой можно задать и скалярное произведение в
-мерном пространстве.
Пусть
-- вещественное -мерное пространство, в котором задан базис
задаются своими координатами:
Скалярное произведение векторов, обозначаеся оно обычно
. Тогда векторы
и
из
, задается формулой
(18.3)
В отличие от обычного трехмерного пространства, где с помощью транспортира и линейки можно измерить угол
между векторами и длину вектора, в -мерном пространстве ни угол между векторами, ни длину вектора измерить
невозможно (как можно, например, измерить длину многочлена или угол между многочленами?). Поэтому
ортонормированным в -мерном пространстве называется тот базис, в котором скалярное произведение
вычисляется по формуле (18.3)
Если
задать формулой
,
-- координатные столбцы векторов
и
, то скалярное произведение можно
Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в совпадении этой формулы с формулой (18.3)
Определение 18.5 Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение
называется евклидовым пространством.
В трехмерном пространстве модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя
. В евклидовом пространстве модуль вектора определим аналогично
то есть
В трехмерном пространстве с помощью склярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом
пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в -мерном пространстве не имеет
существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном проcтранстве два вектора ортогональны тогда и только
тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Определение 18.6 Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное
произведение равно нулю.
Если
-- комплексное линейное -мерное пространство, то в нем тоже можно ввести скалярное произведение,
задав его формулой
где черта над
означает комплексное сопряжение.
Определение 18.7 Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение,
называется унитарным пространством.
В унитарном пространстве модуль вектора и условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения
так же, как в евклидовом пространстве. В координатной записи
Евклидовы пространства
Определение Действительное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре векторов
сопоставляется число
так, что
и
выполняются
аксиомы:
I.
II.
III.
IV.
Число
называют скалярным произведением векторов
и
,
- скалярным квадратом вектора
(пишут
). Введенная операция называется скалярным умножением векторов
Длина вектора
Длина вектора
Свойства:
и
.
- число
1)
2)
(неравенство Коши-Буняковского);
3)
(неравенство треугольника).
4)
Угол между векторами
Углом между векторами
и
называют угол
, для которого
Ортогональные векторы
Векторы
ортогональны, если
Ортогональные операторы
Линейный оператор
называется ортогональным, если
Для того чтобы оператор
был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица
в ортонормированном базисе была ортогональной.
Ортогональные операторы и только они сохраняют длину вектора, т. е.
Сопряженные операторы
Оператор
Оператор
называется сопряженным линейному оператору
, если
также является линейным оператором. Если f в некотором ортогональном базисе имеет матрицу
A, то в этом базисе оператор
имеет матрицу
.
Свойства сопряженных операторов:
(f - невырожденный).
Самосопряженные операторы
Линейный оператор
называется самосопряженным (симметрическим), если
Для самосопряженного оператора
Оператор
является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в некотором
ортонормированном базисе симметрическая.
Свойства самосопряженных операторов: 1) самосопряженный оператор имеет только действительные
собственные числа; 2) всякий самосопряженный оператор является оператором простой структуры; 3) для
всякого самосопряженного оператора существует ортонормированный базис, состоящий из собственных
векторов этого оператора.
17. Матрица Грама, ее изменение при смене базиса
Матрицей Грама называется матрица соответствующая определителю Грама
Определителем Грама системы векторов e1, e2, ..., en в евклидовом пространстве называется определитель матрицы
Грама этой системы:
где
— скалярное произведение векторов ei и ej.
Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:
Пусть в евклидовом пространстве V система векторов e1, e2, ..., en порождает подпространство U. Зная, чему равны
скалярные произведения вектора x из U с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора x по
векторам e1, e2, ..., en.
Исходя из разложения x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen получается линейная система уравнений с матрицей Грама:
Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы e1, e2, ..., en линейно независимы. Поэтому
обращение в нуль определителя Грама системы векторов - это критерий их линейной зависимости.
Геометрический смысл определителя Грама
Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:
Пусть в евклидовом пространстве V система векторов e1, e2, ..., en порождает подпространство U. Зная скалярные
произведения вектора x из V с каждым из этих векторов, найти расстояние от x до U.
Минимум расстояний |x-u| по всем векторам u из U достигается на ортогональной проекции вектора x на U. При этом
x=u+n, где вектор n перпендикулярен всем векторам из U, и расстояние от x до U равно модулю вектора n. Для
вектора u решается задача о разложении (см. выше) по векторам e1, e2, ..., en, и решение получившейся системы
выписывается по правилу Крамера:
где Г - определитель Грама системы. Вектор n равен:
и квадрат его модуля равен
Из этой формулы индукцией по n получается следующее утверждение:
Определитель Грама системы n векторов равен квадрату n-мерного объёма параллелепипеда, натянутого на эти
вектор
Теорема. Преобразование матрицы оператора А при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису f
определяется формулой: Af = C −1 Ae
18. Неравенство Коши-Буняковского
Лемма (неравенство Коши--Буняковского). Для любых элементов x и y линейного пространства со скалярным
произведением выполняется неравенство
Доказательство. Допустим сначала, что x и y таковы, что (x,y) является вещественным числом. Тогда для любого
вещественного получим
Следовательно, квадратный трехчлен от переменной
,стоящий в правой части последней формулы, имеет не более
одного вещественного корня. Значит его дискриминант неположителен, т. е.
доказывает неравенство Коши--Буняковского в рассматриваемом случае.
,что и
Пусть теперь (x,y) является комплексным числом. Запишем его в тригонометрическом виде
и введем
в рассмотрение вспомогательный вектор
,а значит
.Тогда
является вещественным числом. Поэтому, используя доказанный выше частный случай неравенства Коши-Буняковского и пользуясь тем, что
,будем иметь
Лемма доказана.
19. Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта
2. Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта. Он весьма близок к описанному в предыдущем пункте, но
формулируется в более геометрических терминах. Будем рассматривать одновременно ортогональный и эрмитов
случай.
Исходными данными являются: пространство (L, g) с ортогональной или эрмитовой метрикой, заданной в
базисе
. Пусть Li - подпространство, натянутое на
, i = 1, ..., n. Процесс ортогонализации,
примененный к базису
, можно рассматривать как конструктивное доказательство следующего
результата.
3. Предложение. Предположим, что в описанных обозначениях все подпространства L1, ..., Ln
невырождены. Тогда существует такой ортогональный базис {e1, ..., en} пространства L, что линейная оболочка
{e1, ..., ei} совпадает с Li для всех i = 1, ..., n. Он называется результатом ортогонализации исходного базиса
. Каждый вектор ei определен однозначно с точностью до умножения на ненулевой скаляр.
Доказательство. Построим ei индукцией по i. В качестве e1 можно взять
. Если e1, ..., ei-1 уже построены, будем
искать ei в виде
Так как
порождают Li, а
и {e1, ..., ei-1} порождают Li-1, любой такой вектор ei вместе с
e1, ..., ei-1 будет порождать Li. Поэтому достаточно добиться того, чтобы ei был ортогонален к e1, ..., ei-1, или, что
тоже самое, к
. Эти условия означают, что
, k = 1, ..., i - 1, или
Это система i - 1 линейных уравнений для i - 1 неизвестных xj. Ее матрица коэффициентов есть матрица Грама
базиса
пространства Li-1. По предположению, она невырождена, так что xj существуют и
определены однозначно. Любой ненулевой вектор , ортогональный к Li-1, должен быть пропорционален ei.
Более простая и решаемая сразу система уравнений получится, если искать ei в виде
считая e1, ..., ei-1 уже найденными. Поскольку e1, ..., ei-1 попарно ортогональны, из
условий g(ei, ej) = 0,
, находим
Весь смысл этого доказательства состоит в явном выписывании систем линейных уравнений,
последовательное решение которых определяет ei. Заметим, что матрица коэффициентов первой системы суть
последовательные диагональные миноры матрицы Грама исходного базиса:
Если бы мы не стремились к алгоритмичности, проще всего было бы рассуждать так: в силу
предположения п. 2 и невырожденности Li-1 имеем
Возьмем теперь в качестве ei любой ненулевой вектор из
.
. Замечания и следствия. а) Процесс ортогонализации Грама-Шмидта чаще всего применяется в
ситуации, когда g(l, l) > 0 для всех
, т. е. к евклидовым и унитарным пространствам, которые
подробно изучим позже. В этом случае все подпространства L автоматически невырождены, и
ортогонализировать можно любой исходный базис. Форма g с таким свойством называется положительно
определенной, и ее матрицы Грама называются положительно определенными.
б) В случае
= R или C можно строить сразу ортонормированный базис. Для этого, отыскав вектор ei,
как в доказательстве предложения, следует тут же заменить его на
ортогональных пространств над C).
или
(для
в) Любой ортогональный базис невырожденного подпространства
ортогонального базиса всего пространства L.
можно дополнить до
Действительно,
, и в качестве дополнения можно взять ортогональный базис
. Искать его
можно методом Грама-Шмидта, если сначала как-нибудь дополнить базис L0 до базиса L, позаботившись о
невырожденности промежуточных подпространств.
г) Пусть
- базис (L, g), а {e1, ..., en} - его ортогонализация. Положим ai = g(ei, ei) - это
единственные ненулевые элементы матрицы Грама базиса {ei}. Будем считать, что g эрмитова или g ортогональна
над R. Тогда все числа ai вещественны, и сигнатура g определяется количеством положительных и
отрицательных чисел ai. Покажем, как восстановить ее по минорам исходной матрицы Грама
Пусть Gi - i-й диагональный минор, т. е. матрица Грама
ei}, то
.
. Если Ai - матрица перехода к базису {e1, ...,
в ортогональном случае или
в эрмитовом случае. Поэтому всегда
знак a1 ... ai = знак det Gi.
Итак, сигнатура формы g определяется числом положительных и отрицательных элементов
последовательности
В частности, форма g (и ее матрица G) положительно определена тогда и только тогда, когда все миноры
det Gi положительны (напомним, что G либо вещественна и симметрична, либо комплексна и эрмитово
симметрична). Этот результат называется критерием Сильвестра.
Для невырожденной квадратичной формы над любым полем тождество
показывает, что исходную форму с симметричной матрицей G и невырожденными диагональными минорами Gi
можно линейным преобразованием переменных привести к виду
т. к. квадраты (det Ai)2, мешающие непосредственно выразить ai через det Gi, можно внести сомножителями в
переменные. Этот результат называется теоремой Якоби.
20. Ортогональные матрицы
Определение. Матрица U, для которой справедливо U T= U -1 называется ортогональной матрицей.
Свойства ортогональных матриц
Для ортогональных матриц справедливо:
|detU | = 1;
строки (столбцы) ортогональной матрицы образуют ортонормированные системы векторов в
соответстующем евклидовом пространстве.
если
и
— два ортонормированных базиса в - мерном евклидовом
пространстве, то матрица перехода от одного из этих базисов к другому — ортогональная матрица.
Замечание. В приближенных вычислениях существенно используется следующее свойство ортогональных
матриц — умножение на ортогональную матрицу не увеличивает погрешности округления.
21. Изометрия в евклидовых и унитарных пространствах. Свойства собственных
чисел и собственных векторов оператора изометрии
Теорема 1 В пространстве U существуют такие два счетные конгруэнтные подмножества A и B, что для всякого
гомеоморфизма на F\colon U --> U F(A)\B =/= \emptyset.
Теорема 2 В пространстве U существует такое счетное подмножество A, расстояния между различными точками
которого равны 1, что для всякого собственного подмножества B subset A и всякой изометрии (в) H\colon U --> U
A\H(B) =/= \emptyset.
Положительный ответ на первый вопрос Урысона дает
Теорема 3 Для всякого компактного подмножества A subset U и всякой изометрии f\colon A\hookrightarrow U
существует такая изометрия на F\colon U --> U, что F|A=f.
Следствие 1 Для всякого компактного подмножества A subset U диаметра d существует такое топологическое
вложение гильбертова куба F\colon Q --> U, что A subset or equal F(Q) и \operatornamediamF(Q)=d.
Следствие 2 Для всякого бикомпактного подмножества A subset X вполне регулярного пространства X и всякого
непрерывного отображения f\colon A --> U существует непрерывное продолжение F\colon X --> U.
Оператор
f в (комплексном) евклидовом пространстве L называется изометрическим,
если ∀ x, y ∈ L
(f (x), f (y)) = (x, y).
Если L — вещественное евклидово пространство, то такой оператор f называют ортогональным.
Если L — комплексное евклидово пространство, то такой оператор f называют
унитарным.
Лемма. Следующие условия равносильны:
1. Оператор f — изометрический.
2. (∀ x ∈ L) |f (x)| = |x|.
3. Если A — матрица f в ортонормированном базисе, то
At A = AAt = E
в вещественном случае,
(∗ )
At A = AAt = E
в комплексном случае,
(∗ ∗ )
где E — единичная матрица.
4. f f ∗ = f ∗ f = id, где id — тождественное отображение.
5. f переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис.
Вещественная матрица, удовлетворяющая (∗ ), называется ортогональной.
Комплексная матрица, удовлетворяющая (∗ ∗ ), называется унитарной.
www.phys.nsu.ru
Из 4 также следует, что изометрический оператор — нормальный.
Доказательство. 1 =⇒ 2:
|f (x)|2 = (f (x), f (x)) = (x, x) = |x|2 .
2 =⇒ 1: Для евклидова пространства
1
(x, y) = (|x + y|2 − |x|2 − |y|2 ),
4
что проверяется прямой проверкой. Отсюда следует, что сохранение длин ведет
к сохранению скалярных произведений.
Для комплексного евклидова пространства аналогично имеем
1
Re(x, y) = (|x + y|2 − |x|2 − |y|2 ),
4
(x, y) = Re(x, y) − i Re(ix, y).
Значит сохранение длин снова ведет к сохранению скалярных произведений.
1 =⇒ 3. В ортонормированном базисе комплексного евклидового пространства
имеем
(x, y) = xt y.
Так как f (x) = Ax,
(f (x), f (y)) = (Ax)t Ay = xt (At A)y.
Тогда из (f (x), f (y)) = (x, y) выводим At A = E. Отсюда A−1 = At и, следовательно, AAt = AA−1 = E.
В вещественном случае доказательство аналогично.
Лемма. Собственные числа изометрического оператора по модулю равны
единице. Собственные векторы, отвечающие разным собственным числам,
ортогональны.
Доказательство. Ограничимся случаем комплексного евклидова пространства.
Если f (x) = λx, x = 0, то
(x, x) = (f (x), f (x)) = λλ(x, x),
т. е |λ|2 = λλ = 1.
Если f (x) = λx, f (y) = µy, λ = µ, x = 0, y = 0, то
(x, y) = (f (x), f (y)) = λµ(x, y).
Так как |λ| = |µ| = 1, а λ = µ, то λµ = 1. Поэтому (x, y) = 0.
Теорема (о каноническом виде матрицы унитарного оператора). Для оператора
f в унитарном пространстве следующие условия эквивалентны:
1. f — изометрия.
2. f — нормальный оператор и его спектр лежит на единичной окружности в C.
3. В подходящем ортонормированном базисе матрица f имеет вид
λ1 0 . . . 0
∗)
. .
..
0 0 . . . λn
где |λ1 | = |λ2 | = · · · = |λn | = 1.
Доказательство. 1 =⇒ 2: Следует из предыдущих лемм.
2 =⇒ 3: В подходящем ортонормированном базисе матрица каждого нормального оператора имеет диагональный вид (∗ ). Так как спектр лежит на единичной
окружности, все λi по модулю равны единице.
3 =⇒ 1: Очевидно следует из формулы для скалярного произведения в ортонормированном базисе.
22. Каноническая форма ортогональных и унитарных операторов.
анонический вид матрицы ортогонального оператора. Теорема Эйлера. Канонический вид матрицы ортогонального оператора более сложный.
Если dim L = 1, то f (x) = λx, где λ = ±1.
Разберем случай dim L = 2. Пусть e1 , e2 — ортонормированный базис в L.
Пусть
ab
A=
cd
— матрица ортогонального оператора f в этом базисе. Так как собственные
числа по модулю равны единице, det A = ad − bc = ±1. Сначала разберем случай
собственного ортогонального оператора: det A = 1, т. е. ad − bc = 1.
Найдем обратную матрицу
1
d −b
A−1 =
.
det A
−d a
Учитывая, что det A = 1, получим
d −b
A−1 =
.
−d a
С другой стороны, условие ортогональности At A = E означает, что
ac
A−1 = At =
,
bd
Следовательно,
d
−b
=
−d
a
ac
.
bd
Отсюда
a −c
A=
,
ca
где a2 + c2 = 1. Полагая a = cos ϕ, c = sin ϕ, заключаем, что каждый собственный ортогональный оператор имеет в произвольном ортонормированном базисе
матрицу вида
cos ϕ − sin ϕ
.
sin ϕ cos ϕ
Это — матрица поворота в плоскости на угол ϕ.
Пусть теперь f — несобственный ортогональный оператор, т. е. det A = ad −
bc = −1. В этом случае характеристическое уравнение имеет вид λ2 − a + d − 1
и, следовательно, имеет вещественные корни λ1 и λ2 . Так как по модулю они
равны единице, имеем λ1 = ±1, λ2 = ±1. Так как их произведение равно −1,
одно число равно 1, а второе −1. По лемме отвечающие им собственные векторы
e1 и e2 ортогональны. Также можно считать, что e1 и e2 — единичные векторы.
Итак, в ортонормированном базисе e1 , e2 матрица оператора f имеет вид
10
.
0 −1
Это — матрица зеркального отражения плоскости относительно одной из осей.
Теорема (о каноническом виде матрицы ортогонального оператора). Для оператора f в евклидовом пространстве следующие условия эквивалентны:
1. f — изометрия.
2. В подходящем ортонормированном базисе матрица оператора f имеет
вид
A(ϕ1 )
A(ϕm )
1
1
O
где
cos ϕ
− sin ϕ
A(ϕ) =
.
sin ϕ
cos ϕ
Доказательство. 2 =⇒ 1: упражнение.
1 =⇒ 2: Случаи dim L = 1 и dim L = 2 разобраны выше.
Лемма. У каждого линейного оператора f в вещественном векторном пространстве L существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.
Доказательство. Фиксируя произвольный ортонормированный базис, можем
считать, что f — оператор в Rn с ортогональной матрицей A.
Далее, если у оператора f есть вещественное собственное число λ0 ∈ R, и x0
— собственный вектор, отвечающий этому числу, то x0 порождает одномерное
инвариантное собственное подпространство. В этом случае лемма доказана.
Если вещественных собственных чисел нет, то существует комплексное собственное число λ0 = α + iβ. Ему отвечает собственный вектор
v = (x1 + iy 1 , . . . , xn + iy n ), xj , y j ∈ R, j = 1, . . . , n.
Подставляя в равенство
Av = λ0 v,
aj v k = λ0 v j ,
k
координаты вектора v:
aj (xk + iy k ) = (α + iβ)(xj + iy j ),
k
и отделяя вещественную часть от мнимой, имеем
aj xk = αxj − βy j ,
k
aj y k = αy j + βxj .
k
В векторной записи:
Ax = αx − βy,
Ay = αy + βx.
Эти равенства означают, что двумерное подпространство, порожденное векторами x и y инвариантно относительно f . Лемма доказана.
Продолжим доказательство теоремы.
Если dim L ≥ 3 и f имеет вещественное собственное число λ (заметим, что
обязательно λ = ±1), то как и в доказательстве теоремы о каноническом виде
нормального оператора положим L = Lλ ⊕ L⊥ и будем рассуждать как в укаλ
занном доказательстве. Наконец, если f не имеет вещественных собственных
чисел, то следует выбрать двумерное f -инвариантное подпространство L0 ⊂ L,
которое существует по доказанной выше лемме. На нем, как мы видели выше,
матрица ограничения f в любом ортонормированном базисе будет иметь вид
A(ϕ). Поэтому остается проверить, что L⊥ также f -инвариантно. Действитель0
но, если (x0 , x) = 0 для всех x0 ∈ L0 , то
(x0 , f (x)) = (f (f −1 (x)), f (x)) = (f −1 (x0 ), x) = 0,
ибо f −1 (x0 ) ⊂ L0 для всех x0 ∈ L0 . Это завершает доказательство.
Следствие (теорема Эйлера). В трехмерном евклидовом пространстве любое
ортогональное отображение f , не меняющее ориентацию, является вращением относительно некоторой оси.
Доказательство. Так как характеристический многочлен f имеет степень 3, у
него обязательно есть вещественный корень. Если он единственный, то он должен быть равен 1, ибо det f = 1. Если есть еще вещественный корень, то все корни должны быть вещественны и возможны комбинации (1, 1, 1) или (1, −1, −1).
В любом случае собственное значение 1 имеется. Соответствующее собственное подпространство является осью вращения, а сужение f на ортогональную к
нему плоскость является собственным ортогональным преобразованием плоскости, т. е., как мы видели выше, вращением в этой плоскости на некоторый угол
ϕ.
4.5. Самосопряженный оператор, вещественность его спектра, канонический диагональный вид матрицы. Оператор f : L → L называется самосопряженным (или эрмитовым), если f ∗ = f . Другими словами, если для всех
x, y ∈ L
(f (x), y) = (x, f (y)).
Теорема. 1. Оператор f самосопряжен тогда и только тогда, когда в про-
извольном ортонормированном базисе его матрица A эрмитова (эрмитово
t
симметрична), A = A, в случае комплексного евклидова пространства, и
симметрична, At = A, в случае вещественного евклидова пространства.
2. Спектр самосопряженного оператора вещественен, а собственные векторы, отвечающие разным собственным числам ортогональны.
3. В подходящем ортонормированном базисе матрица самосопряженного
оператора имеет диагональный вид с вещественными числами по диагонали.
Доказательство. 1. Это очевидно из связи между матрицей сопряженного оператора и матрицей исходного оператора в ортонормированном базисе.
2. Если f (x) = λx, то
λ(x, x) = (f (x), x) = (x, f (x)) = λ(x, x).
Если f (x) = λx, f (y) = µy, λ = µ, то λ, µ ∈ R и
λ(x, y) = (f (x), y) = (x, f (y)) = µ(x, y),
что влечет (x, y) = 0.
Для унитарного пространства утверждение прямо следует из того, что эрмитов оператор нормален, и факта, что в унитарном пространстве матрица нормального оператора имеет диагональный вид в подходящем ортонормированном
базисе. Диагональные элементы это конечно собственные значения оператора, а
по предыдущему мы знаем, что они вещественные.
В евклидовом пространстве вопрос проще всего ввести произвольный ортонормированный базис и рассмотреть матрицу данного самосопряженного оператора в этом базисе. Она — симметричная. Поэтому существует ортонормированный базис в Rn в котором эта матрица имеет требуемый вид. Последний
порождает искомый базис в L.
23. Сопряженный оператор, его матрица
Сопряженный оператор, его матрица. Пусть L — евклидово пространство и f : L → L — линейное отображение (оператор). Линейное отображение
f ∗ : L → L, удовлетворяющее равенству
(f (x), y) = (x, f ∗ (y)),
называется сопряженным к f (сопряженный оператор).
Теорема. В евклидовом пространстве для каждого оператора существует
сопряженный оператор и притом только один. В ортонормированном базисе
матрица A∗ сопряженного оператора f ∗ связана с матрицей A исходного
оператора f формулой A∗ = At , a∗ i = aj , т. е. посредством транспонироваj i
ния и комплексного сопряжения.
Для вещественного пространства матрица сопряженного оператора в ортонормированном базисе является транспонированной.
Матрица At называется эрмитово сопряженной матрице A.
Доказательство. Сначала докажем формулу. Это также докажет единственность сопряженного отображения, так как по матрице отображение восстанавливается однозначно.
В ортонормированном базисе
(x, y) = xt y,
где x, y — координаты векторов x, y ∈ L. Далее
а
(f (x), y) = (Ax)t y = xt At y,
(x, f ∗ (y)) = xt A∗ y = xt A∗ y,
где A и A∗ — матрицы одноименных операторов в фиксированном базисе. Если
(f (x), y) = (x, f ∗ (y)), то отсюда выводим
At = A∗ ,
что эквивалентно доказываемой формуле.
Докажем теперь существование. Это очень просто, Возьмем произвольный
ортонормированный базис. Найдем матрицу A данного отображения в этом базисе, рассмотрим матрицу At и построим отображение f ∗ с этой матрицей. Оно
— искомое.
Замечание. В произвольном базисе матрица A∗ сопряженного оператора f ∗ связана с матрицей A исходного оператора f формулой
A∗ = G−1 At G.
Действительно, как и выше выводим:
(f (x), y) = (Ax)t Gy = xt At Gy,
(x, f ∗ (y)) = xt GA∗ y = xt GA∗ y,
откуда
At G = GA∗ ,
что эквивалентно указанной выше формуле.
4.2. Нормальный оператор, канонический вид его матрицы. Пусть L — евклидово пространство. Оператор (линейное отображение) f : L → L называется
нормальным, если f f ∗ = f ∗ f . Иначе говоря, если операторы f и f ∗ перестановочны (коммутируют).
Теорема (о каноническом виде матрицы нормального оператора). Оператор f в
комплексном евклидовом пространстве является нормальным тогда и только тогда, когда его матрица является диагональной в некотором ортонормированном базисе.
Иначе говоря, матрица нормального оператора в ортонормированном базисе
приводится к диагональной форме.
Доказательство. Достаточность. Если в некотором ортонормированном базисе
матрица оператора f диагональная, т. е. имеет вид
λ1 0 . . . 0
. .
0
. .
0 ...
λn
то матрица оператора f ∗ имеет вид
λ1 0
0
0
...
λn
Матрицы операторов f и f ∗ — диагональные и, значит, перестановочны, но тогда
и сами операторы перестановочны.
Докажем необходимость. Выберем собственное значение λ оператора f и
определим соответствующее собственное подпространство
Lλ = {x ∈ L : f (x) = λx}.
Проверим, что Lλ — f ∗ -инвариантно: f ∗ (Lλ ) ⊂ Lλ . Действительно, если x ∈
f ∗ (Lλ ), y = f ∗ (x), то
f (y) = f (f ∗ (x)) = f ∗ (f (x)) = f ∗ (λx) = λf ∗ (x) = λy.
поскольку f f ∗ = f ∗ f , т. е. y = f ∗ (x) ∈ Lλ .
Отсюда вытекает, что пространство L⊥ f -инвариантно: если (x, x0 ) = 0 для
λ
всех x0 ∈ Lλ , то
(f (x), x0 ) = (x, f ∗ (x0 )) = 0.
Такое же рассуждение показывает, что L⊥ f ∗ -инвариантно. Ограничения f и f ∗
λ
на L⊥ , очевидно, коммутируют. Применяя индукцию по размерности L, мы моλ
жем считать, что на L⊥ оператор f диагонализируется в ортогональном базисе.
λ
Так как то же верно для Lλ , это завершает доказательство.
24. Самосопряженный оператор, свойства собственных чисел и собственных
векторов самосопряженного оператора.
Самосопряженный оператор, вещественность его спектра, канонический диагональный вид матрицы. Оператор f : L → L называется самосопряженным (или эрмитовым), если f ∗ = f . Другими словами, если для всех
x, y ∈ L
(f (x), y) = (x, f (y)).
Теорема. 1. Оператор f самосопряжен тогда и только тогда, когда в произвольном ортонормированном базисе его матрица A эрмитова (эрмитово
t
симметрична), A = A, в случае комплексного евклидова пространства, и
симметрична, At = A, в случае вещественного евклидова пространства.
2. Спектр самосопряженного оператора вещественен, а собственные векторы, отвечающие разным собственным числам ортогональны.
3. В подходящем ортонормированном базисе матрица самосопряженного
оператора имеет диагональный вид с вещественными числами по диагонали.
Доказательство. 1. Это очевидно из связи между матрицей сопряженного оператора и матрицей исходного оператора в ортонормированном базисе.
2. Если f (x) = λx, то
λ(x, x) = (f (x), x) = (x, f (x)) = λ(x, x).
Если f (x) = λx, f (y) = µy, λ = µ, то λ, µ ∈ R и
λ(x, y) = (f (x), y) = (x, f (y)) = µ(x, y),
что влечет (x, y) = 0.
Собственные векторы самосопряженного оператора
Пусть А: En → En — самосопряженный оператор.
Теорема 1. Собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным
значениям, взаимно ортогональны.
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия".
Теорема 2. Пусть А: En → En — самосопряженный оператор. В евклидовом пространстве En существует
ортонормированный базис из собственных векторов оператора А(собственный ортонормированный базис).
Схема построения собственного ортонормированного базиса.
1. Выбираем некоторый (лучше ортонормированный) базис и находим в нем матрицу оператора A (если она не была
задана).
2. Находим корни характеристического уравнения det (A − λE) = 0 (все они вещественны!).
3. Для каждого корня λi кратности s находим s линейно независимых решений однородной системы уравнений (A −
λiE) X = O (базис ядра оператора А− λiЕ).
4. Из всех найденных векторов (их должно оказаться ровно n ) составляем базис, применяем к нему процесс
ортогонализации Грама–Шмидта и нормируем.
26. Квадратичные формы, матрица квадратичной формы, ее изменение при
преобразовании координат.
Определение квадратичной формы
Квадратичная форма переменных
- функция
- коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают
Если переменные
называется действительной.
тогда
принимают действительные значения и
квадратичная форма
Матричная запись квадратичной формы
Матрица
называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется
невырожденной, если
Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы.
В пространстве
квадратичную форму можно записать в виде
где X - координатный столбец вектора
В пространстве
квадаратичную форму можно представить в виде
где f - линейный
самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A.
Канонический вид квадратичной формы
Квадратичная форма называется канонической, если все
т. е.
Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На
практике обычно применяют следующие способы.
1. Ортогональное преобразование пространства
где
:
- собственные значения матрицы A.
2. Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если
Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой
форме все
но есть
и т. д. Если в квадратичной
то после предварительного преобразования дело сводится к
рассмотренной процедуре. Так, если, например,
то полагаем
3. Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры
квадратичной формы отличны от нуля):
Нормальный вид квадратичной формы
Для действительной квадратичной формы
где
r = rank A.
Для комплексной квадратичной формы
r = rank A.
Для действительных квадратичных форм имеет место закон инерции квадратичных форм: число положительных и
число отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения
квадратичной формы к нормальному виду с помощью невырожденных линейных преобразований.
Классификация действительных квадратичных форм
Положительно-определенные
Квадратичные формы, для которых
Нормальный вид
таких, что
Квадратичная форма является положительно-
определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны
(критерий Сильвестра).
Отрицательно-определенные
Квадратичные формы, для которых
Нормальный вид
только тогда, когда
Положительно-полуопределенные
таких, что
Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и
Квадратичные формы, для которых
Нормальный вид
таких, что
r < n, r = rank A.
Отрицательно-полуопределенные
Квадратичные формы, для которых
Нормальный вид
таких, что
r < n, r = rank A.
Неопределенные
Квадратичные формы, которые принимают как положительные, так и отрицательные значения. Нормальный вид:
r = rank A.
31. Классификация поверхностей второго порядка
Канонические уравнения
Сфера
Сфера радиуса R с центром в начале координат:
Параметрические уравнения:
Сфера радиуса R с центром в точке S (a; b; c):
Эллипсоид (рис. 4.18)
Каноническое уравнение:
- трехосный эллипсоид;
- эллипсоид вращения вокруг оси Oz;
- эллипсоид вращения вокруг оси Oy;
- эллипсоид вращения вокруг оси Ox;
- сфера.
.
Сечения эллипсоида плоскостями - либо эллипс (окружность), либо точка, либо
Конус второй степени (рис. 4.19)
Каноническое уравнение:
a = b - конус вращения (прямой круговой).
Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости,
параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным
образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка
(вершина).
днополостный гиперболоид (рис. 4.20)
Каноническое уравнение:
a = b - однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.
Горловой эллипс:
Асимптотический конус:
Сечения однополостного гиперболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо гипербола, либо пара
прямых (прямолинейных образующих).
Прямолинейные образующие
Через произвольную точку
векторами
проходят две прямолинейные образующие с направляющими
и
В частности, если точку
образующих будут:
где:
выбирать на горловом эллипсе
то уравнениями прямолинейных
Двуполостный гиперболоид (рис. 4.21)
Каноническое уравнение:
a = b - двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.
Асимптотический конус:
Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями: либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо точка, либо
.
Эллиптический параболоид (рис. 4.22)
Каноническое уравнение:
p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz.
Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка, либо
.
Гиперболический параболоид (рис. 4.23)
Каноническое уравнение:
Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых
(прямолинейных образующих).
Прямолинейные образующие
Через каждую точку
проходят две прямолинейные образующие:
Эллиптический цилиндр (рис. 4.24)
Каноническое уравнение:
при a = b - круговой цилиндр.
Гиперболический цилиндр (рис. 4.25)
Каноническое уравнение:
Параболический цилиндр (рис. 4.26)
Каноническое уравнение:
Общие уравнения поверхностей второй степени
Общее уравнение
определяет одну из следующих поверхностей:
30. Преобразование уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
В главе "Поверхности второго порядка", где рассматривались поверхности второго порядка, было выписано их общее
уравнение (13.1), а дальше для каждой поверхности использовалась своя прямоугольная декартова система координат,
в которой уравнение поверхности имело канонический вид. В этом разделе мы выясним, как по общему уравнению
найти такую систему координат. Результаты этого раздела используются и для приведения общего уравнения кривой
второго порядка к каноническому виду. Достаточно будет во всех рассуждениях отбросить третью координату.
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат
. Рассмотрим общее уравнение
поверхности второго порядка, коэффициенты в котором обозначены специальным образом
(19.7)
где
-- числа, причем хотя бы одно из чисел
отлично от нуля.
Выделим квадратичную часть выражения, стоящего в уравнении слева,
Такое выражение называется квадратичной формой от трех переменных. Составим матрицу
Эта матрица называется матрицей квадратичной формы
. Она является
симметричной, то есть
, или, другими словами,
. Следует обратить внимание на то, как эта
матрица составлена. На диагонали у нее стоят коэффициенты при квадратах переменных, а в остальных местах -половины коэффициентов при произведениях переменных.
Исходная система координат является прямоугольной, поэтому скалярное произведение векторов с координатными
столбцами
,
задается формулой
. Сформулируем
две теоремы, позволяющие пользоваться приведенным ниже алгоритмом.
Теорема 19.4 Если матрица
-- симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и
существует ортонормированный базис из собственных векторов.
Пусть
-- матрица квадратичной формы
. По сформулированной теореме у нее существует ортонормированный
базис из собственных векторов. Обозначим их
,
,
, и пусть эти векторы имеют координаты
Базис i, j, k назовем старым, а базис
-- новым. Тогда матрица перехода 19.1.4.а будет иметь вид
Выберем новую систему координат
так, что начало координат не изменяется, а новые базисные векторы
,
задают направления новых координатных осей
Тогда координаты
точки
базиса меняются по формуле (18.1)
,
,
,
(рис. 19.8).
являются координатами ее радиус-вектора
и, следовательно, при замене
Теорема 19.5 Пусть собственные векторы
,
,
матрицы квадратичной формы
ортонормированный базис, соответствуют собственным числам
,
,
, образующие
. Тогда в системе координат
квадратичная форма принимает вид
Если мы из равенства (19.8) выпишем выражение , , через новые переменные
, , и подставим в
уравнение (19.7), то обнаружим, что квадратичная его часть и линейная часть преобразуются независимо друг от
друга. В результате уравнение в системе координат
имеет вид
(19.9)
Хотя бы одно из чисел
Рассмотрим три случая.
1.
,
отлично от нуля, иначе матрица
,
Пусть все собственные числа
,
,
отличны от нуля. В уравнении (19.9) выделим полные квадраты
Выполним параллельный перенос системы координат
точку
была бы нулевой.
, взяв за новое начало системы координат
(см. формулы (13.21)). Тогда в новой системе координат
уравнение запишется в
виде
Здесь возможны следующие варианты.
1.
2.
Пусть
. Перенесем
в правую часть и поделим обе части на
, получим
1.
Если числа
,
,
отрицательны, то ни одна точка пространства не удовлетворяет
этому уравнению. Говорят, что оно определяет мнимый эллипсоид.
2.
Если числа
эллипсоида.
3.
Если одно из чисел
,
,
отрицательно, а остальные положительны, то (после
переименования осей) получим каноническое уравнение однополостного гиперболоида.
4.
Если одно из чисел
,
,
положительно, остальные отрицательны, то (после
переименования осей) получим каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
.
Пусть
,
,
положительны, то уравнение является каноническим уравнением
1.
Если все числа
,
,
положительны, то только начало координат удовлетворяет этому
уравнению. Поверхность выродилась в точку.
2.
Если одно из чисел
,
,
отрицательно, а два положительны, то (после
переименования осей) получим каноническое уравнение конуса.
Если же два числа отрицательны или все три отрицательны, то, умножив обе части уравнения на
, получим случай 2 или случай 1.
2.
Пусть одно из чисел
,
,
равно нулю, а два других отличны от нуля. Допустим, что
уравнении (19.9) выделим полные квадраты по переменным
,
. Тогда в
1.
Пусть
. Преобразуем уравнение к виду
Поделим обе части уравнения на
координат точку
и выполним параллельный перенос осей координат, взяв за новое начало
. Получим уравнение
1.
Если числа
и
параболоида.
2.
Если
положительны, то это -- каноническое уравнение эллиптического
, получим каноническое уравнение гиперболического параболоида.
,
Если числа
и
отрицательны или
,
, то сменим направление у оси
противоположное и получим либо случай 1, либо случай 2.
2.
Пусть
на
. Тогда поверхность является цилиндрической, образующие которой параллельны оси
, а направляющей служит кривая на плоскости
с уравнением
Анализ поверхностей с таким уравнением предоставляем читателю.
3.
Пусть только одно из чисел
,
,
отлично от нуля. Допустим, что
уравнении (19.9) выделим полный квадрат по переменному
1.
Пусть хотя бы одно из чисел
,
. Тогда в
отлично от нуля. Тогда на плоскости
перпендикулярные прямые
и
возьмем две
. Возьмем новую систему
координат, у которой начало будет в точке
, ось
направлена по оси
, ось
направлена
вдоль второй прямой, а ось
направлена вдоль первой прямой. Тогда уравнение примет вид
Это -- уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси
направляющей служит кривая на плоскости
,а
с уравнением
Анализ возможных поверхностей оставляем читателю.
Пусть
2.
. Тогда уравнение принимает вид
1.
Если число справа положительно, то уравнение определяет две плоскости
2.
Если число справа равно нулю, то уравнение определяет одну плоскость
Если число справа отрицательно, то ни одна точка пространства уравнению не
удовлетворяет.
Итак, получен алгоритм, позволяющий установить, какая поверхность задается уравнением второго порядка и каково
ее положение в пространстве.
3.