х = а +1.

Министерство образования и науки Самарской области
государственное автономное образовательное учреждение дополнительного
профессионального образования (повышения квалификации) специалистов
САМАРСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ
КВАЛИФИКАЦИИ
И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ
ИТОГОВАЯ РАБОТА
на курсах повышения квалификации по ИОЧ, ВБ
«Методические особенности обучения решению задач с параметром в
условиях перехода к новым образовательным стандартам»
(15.06 — 19.06.2015 г.)
по теме: «Проектирование многоуровневой системы задач с
параметром для работы в 8 классе
Выполнила:
Лобачева Татьяна Валентиновна
учитель математики
ГБОУ СОШ с. Озерки
Челно – Вершинского района
Самара 2015 г.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
ФИО
Лобачева Татьяна Валентиновна,
(полностью)
Зорина Лидия Александровна
2.
Место работы
ГБОУ СОШ с. Озерки, МБОУ СОШ №65 г. Самара
3.
Должность
Учитель
4.
Предмет
Математика
5.
Класс
8
6.
Тема
Проектирование многоуровневой системы задач с
параметром для работы в 8 классе
7.
Базовый учебник
Алгебра. Учебник для учащихся общеобразовательных
1.
учреждений / А. Г. Мордкович. — 12-е изд., стер. —
М. : Мнемозина, 2010.
8.
Цель: научить решать задачи с параметром по ключевым темам курса алгебры 8 класса
с помощью многоуровневой системы задач.
9. Задачи:
- образовательные (формирование познавательных УУД):
умение высказывать предположения, обсуждать проблемные вопросы, составлять
план решения задачи, выбирать решение из нескольких предложенных, выявлять известное и
неизвестное, воспроизводить по памяти информацию, необходимую для решения учебной
задачи, проверять информацию, находить дополнительную информацию, используя
справочную литературу, выделять общее и частное (существенное и несущественное), целое
и часть, общее и различное.
- воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):
умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении
проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие,
воспитывать ответственность и аккуратность, поддержание здорового духа соперничества
для поддержания мотивации учебной деятельности, самоопределение с целью получения
наивысшего результата.
- развивающие (формирование регулятивных УУД)
умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям;
формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в
зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и
оценка процесса и результатов деятельности.
В
последнее
время
в
контрольно-измерительных
государственной (итоговой) аттестации
материалах
для
проведения
все чаще предлагаются задания, содержащие
параметры. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. задачи с
параметрами обладают высокой диагностической и прогностической ценностью, т.е. с их
помощью можно проверить знания основных разделов школьной математики, уровень
математического
и
логического
мышления
учащегося,
навыки
исследовательской
деятельности..
И хотя математическое содержание этих задач не выходит за пределы школьной программы,
они представляют для учащихся наибольшую сложность, как в логическом, так и в
техническом плане.
Нередко ученики не могут справиться с простейшими задачами,
содержащими параметры, что свидетельствует об отсутствии навыков решения подобных
задач.
Исходя из сущности задач с параметрами, их решение – это качественное обобщение и
систематизация учебного опыта учащегося на более высоком продуктивном уровне
деятельности. Поэтому технология решения задач с параметрами должна быть гармонично
вплетена в каждую тему, четко оговорена, должны быть разобраны примеры, приведена
система упражнений. Школьников нужно специально готовить «к встрече» с такими
задачами, уделяя их решению больше внимания.
Параметром (от греческого слова parametron - отмеривающий) – называется
независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или
произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному
множеству. Под задачами с параметрами понимают задачи, в которых технический и
логический ход решения и форма результата зависят от входящих в условие величин,
численные значения которых не заданы конкретно, но должны считаться известными. Под
областью изменения параметра обычно подразумевают (если не сделано специальных
оговорок) множество всех действительных чисел, а задачу решения с уравнения с
параметром формулируют следующим образом: решить уравнение с переменной x и
параметром а - это значит на множестве действительных чисел решить семейство уравнений,
получающихся из данного уравнения
при любых действительных значениях параметра.
Причем, существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа.
Особенно это относится к тем задачам, в которых возможны разные варианты ответов в
зависимости от значений параметра (иногда говорят, что решение «ветвится» в зависимости
от параметра).
В курсе школьной математики с параметрами мы встречаемся при введении некоторых
понятий:
- функция прямая пропорциональность: y = kx (x, y – переменные; k – параметр, k  0 );
- линейная функция: y=kx+b (x, y – переменные; k, b – параметры);
- линейное уравнение: ax+b=0 (x – переменная; a, b – параметры);
- квадратное уравнение: x 2 =а , ax 2 + bx + c = 0 ( x – переменная; a, b, c –параметры; a  0 ).
К задачам с параметрами можно отнести и поиск решений линейных и квадратных
уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений
параметров.
Пусть дано равенство с переменными
х, а: f (x; а) = 0. Если ставится задача для
каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение f
(х; а) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а. Решить уравнение с
параметром а – это значит, для каждого значения а найти значение х, удовлетворяющие
этому уравнению.
В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает некий психологический
барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной
стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой
-
конкретное значение параметра не известно. С одной стороны параметр является величиной
постоянной, а с другой
- он может принимать различные значения. Получается, что
параметр в уравнении – неизвестная известная, переменная постоянная величина. Этот
«каламбур» очень точно отражает существо тех сложностей, которые нужно преодолеть
ученикам. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с
числом, а во-вторых, степень свободы общения ограничиваемся его неизвестностью. Так,
деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных
выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих
исследований влияют и на решение и на ответ.
Основное, что нужно усвоить при знакомстве с параметром – это необходимость
осторожного, даже деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.
Построение матричной модели многоуровневых систем задач с параметром
для работы в 8 классе
Основные методы решения задач с параметрами:

Аналитический - способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры решения
в задачах.

Графический - при решении данным способом рассматриваются графики в координатных
плоскостях (х,у) или ( х,а).

Решение задач относительно параметра. Переменные «х» и
параметр «а» принимаются
равноправными, и выбирается переменная, относительно которой аналитическое решения
признается более простым.
Тема 1 Линейные уравнения, неравенства и их системы
Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с
параметрами: ах = b, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или
контрольным значением параметра (КЗП) является то, при котором:
 обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
 значение параметра, при котором уравнение (неравенство теряет смысл)
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр
равен контрольному значению и отличен от него.
Особым значением параметра а является значение а = 0.
в
1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = .
а
2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b. В этом случае значение b = 0
является контрольным значением параметра b.
2.1.
При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.
2.2.
При b = 0 уравнение примет вид: 0 х = 0. Решением данного уравнения является любое
действительное число.
Линейные
равнения
Линейные
неравенства
ЗЗ Для каждого
значения
параметра а
решить уравнение
ах=1
ЗЗ Для всех
значений
параметра aрешить
неравенство
3(4а-x)< 2ах + 3
Системы
линейных
уравнений
ЗЗ При каком
значении парамет
ра а система ур
авнений
Системы линейных
неравенств
ЗЗ При каких
значениях а система
неравенств
2(а + 1)х + 2у = 21;
5(а − 3)х + у = 13.
н
хотя бы одно
е имеет
решение?
решений?
{
МЗ Для каждого
значения
параметра а
решить уравнение
(а2 – 1)х = а + 1
НЗ. Найти все
значения
параметра а, при
которых
уравнение
|2х −a| + 1 =
|х + 3| имеет
единственное
решение
МЗ Решить
неравенство
𝑥(𝑎−2)
2𝑎
− 3 ≤ 2𝑥 −
𝑎−1
𝑎
1.
при а ≠
НЗ. Решить
неравенство
|1 + x| ≤ аx
относительно х.
имеет
МЗ При всех
значениях а и b
решить систему:
𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑎;
{
𝑎𝑥 + 𝑦 = 1.
МЗ При
всех значениях а реши
ть систему
НЗ При
всех значениях па
раметра а решит
ь систему
уравнений:
НЗ Укажите какиелибо значения a и b,
при которых
множеством решения
системы
5𝑥 − 𝑏 ≥ 4;
{
является:
𝑎𝑥 − 2 ≤ 𝑏.
а) пустое множество;
б) числовой
промежуток [2; 4];
в) числовой
промежуток [3; +∞).
Решение линейных уравнений с параметром
ЗЗ.Решить уравнение ах=1.
Решение:
Решить уравнение с параметром – значит, для всех допустимых значений параметра
найти множество всех решений уравнения.
1.Если а≠0, то х=1/а.
2. Если а=0, то данное уравнение решений не имеет.
Ответ: при а=0 решений нет;
при а≠ 0, х=1/а.
МЗ. Для каждого значения параметра а решить уравнение
(а2 – 1)х = а +1.
1. Контрольное значение параметра а: а=±1.
2. Если а =1, то уравнение принимает вид 0х = 2 и не имеет решений.
3. Если а = - 1, то уравнение принимает вид 0х = 0, и тогда х - любое действительное
число.
1
4. Если а ≠ ± 1 и уравнение имеет единственное решение х=
𝑎−1
Ответ: при a=-1, хϵ R
при a=1решений нет;
1
при a ϵ (-∞; -1)ᴗ(−1; 1)ᴗ(1; +∞), х= .
𝑎−1
НЗ. Найти все значения параметра а, при которых уравнение |𝟐х −𝒂| + 𝟏 = |х + 𝟑|
имеет единственное решение
Удобно воспользоваться графической иллюстрацией на координатной плоскости (X0Y).
Графиком функции y = |2x − a| является подвижный «уголок», расположенный в верхней
полуплоскости, вершина которого скользит по оси абсцисс. График функции y = |x + 3| −
1 - неподвижный «уголок» с вершиной в точке (-3;-1), пересекающий ось 0X в точках (-4; 0)
и (-2;0), ось 0Y – в точке (0;2)
12
10
8
y=|x+3|-1
6
y=|2x-a|
y=|2x-a|2
4
y=|2x-a|3
2
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-2
Уравнение имеет единственное решение, если вершина подвижного «уголка» попадает в
точку А(-4;0) или В(-2;0). Так как координаты точек А и В удовлетворяют уравнению y =
|2x − a|, то |−8 − a| = 0 или |−4 − a| = 0, откуда а=-8 или а= -4
Ответ: а= - 8 или а= - 4
Решение линейных неравенств с параметром
Неравенства, которые имеют вид ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные
числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина,
называются линейными неравенствами.
Принципы решения линейных неравенств с параметром очень схожи с принципами решения
линейных уравнений с параметром.
ЗЗ. Для всех значений параметра a решить неравенство 3(4а-x)< 𝟐ах + 𝟑
12а-3х<2ах+3;
12а-3<2ах+3х;
х(2а+3)>12а-3.
Контрольное значение параметра а=-1,5
1) если а=-1,5, то неравенство примет вид 0∙х>-21, х∈R;
12𝑎−3
2) если а<-1,5, х<
;
3) если а>-1,5, х>
2𝑎+3
12𝑎−3
2𝑎+3
.
Ответ: при а∈ (−1,5; +∞), х ∈ (
12𝑎−3
2𝑎+3
при а∈ (−∞; −1,5), х ∈ (−∞;
при а=-1,5, х∈ (−∞; +∞).
; +∞) ;
12𝑎−3
2𝑎+3
);
МЗ. Решить неравенство
𝑥(𝑎−2)
𝑎−1
−
2𝑎
≤ 2𝑥 − 𝑎
3
при а ≠ 1.
Решение.
Преобразуем исходное неравенство:
𝑥(𝑎−2)
𝑎−1
−𝑎𝑥
𝑎−1
𝑎𝑥
≤
− 2𝑥 ≤
−𝑎
3
2𝑎
3
– a;
;
𝑎
𝑎−1
≥ ;
3
Исследуем возможные случаи для параметра а:
1)
𝑎
> 0 при [
𝑎−1
𝑎−1
𝑎<0
. Тогда 𝑥 ≥ 3 ;
𝑎>1
𝑎
2) 𝑎−1 < 0 при 0 < 𝑎 < 1. Тогда 𝑥 ≤
𝑎−1
3
;
3) при a=0, a≠1, x-любое действительное число.
Ответ: при а ∈ (-∞; 0)∪(1; +∞), 𝑥 ≥
при а ∈(0; 1), 𝑥 ≤
𝑎−1
3
𝑎−1
3
;
;
при при a=0, a≠1, x∈ 𝑅.
НЗ. Решить неравенство |1 + x| ≤ аx относительно х.
Решение.
Из условия следует, что правая часть неравенства ах ≥ 0.
По правилу раскрытия модуля из неравенства |1 + x| ≤ аx имеем двойное неравенство
-ах ≤ 1 + x ≤ аx.
Перепишем результат в виде системы:
{
𝑎𝑥 ≥ 1 + 𝑥,
.
−𝑎𝑥 ≤ 1 + 𝑥
Преобразуем к виду:
{
(а – 1)x ≥ 1;
(𝑎 + 1)𝑥 ≥ −1
Контрольные значения параметра: 0;1;-1.
Исследуем полученную систему на интервалах и в точках (рис. 1):
а–1
__
а+1
__
__
__
+
+
+
+
а
-1
0
1
Рис.1
1. Если а< −1, тогда а − 1 < 0, а + 1 < 0 и данная система равносильна системе:
1
{
𝑥 ≤ − 𝑎+1 ;
1
𝑥 ≤ 𝑎−1
1
1
→ 𝑥 ≤ 𝑎−1( т.к.
𝑎−1
1
≤ − 𝑎+1)
2.Если -1 < а < 0, тогда а − 1 < 0, а + 1 > 0 и данная система равносильна системе:
1
{
𝑥 ≥ − 𝑎+1 ;
1
𝑥 ≤ 𝑎−1
1
1
→ − 𝑎+1 ≤ х ≤ 𝑎−1.
3. Если 0< а < 1, тогда а − 1 < 0, а + 1 >0 и данная система равносильна системе:
1
{
𝑥 ≥ − 𝑎+1 ;
1
𝑥 ≤ 𝑎−1
( т.к. –
1
𝑎 +1
1
> ), решений нет.
𝑎
4. Если а> 1, тогда а − 1 > 0, а + 1 >0 и данная система равносильна системе
1
{
𝑥 ≥ − 𝑎+1 ;
1
𝑥 ≥ 𝑎−1
1
1
1
→ 𝑥 ≥ 𝑎−1 (тк − 𝑎+1 < 0, 𝑎−1 > 0)
𝑥 ≥ −1;
5. Если а=0,тогда система примет вид {
→ 𝑥 = −1
𝑥 ≤ −1.
6. Если a=-1, тогда система примет вид {
7. Если а=1, тогда система примет вид {
1
1
𝑥 ∙ 0 ≥ −1;
→ 𝑥 ≤ − 2.
−2𝑥 ≥ 1.
𝑥 ∙ 0 ≥ 1;
1 → решений нет.
𝑥 ≥ −2.
Ответ: при а∈ (−∞; −1), х ∈ (−∞; 𝑎−1) ;
1
1
1
при а∈ (−1; 0), х ∈ (−∞; 𝑎−1) ; х ∈ (− 𝑎+1 ; 𝑎−1);
при а ∈ (0; 1⟧, решений нет;
1
при а∈ (1; +∞), х ∈ (𝑎−1 ; +∞),
при а=0, х=-1;
при а=-1, х ∈ (−∞; −1/2⟧
Системы двух линейных уравнений с параметрами
Система уравнений
Решениями системы двух линейных уравнений являются точки пересечения двух
прямых:
и
.
Возможны 3 случая:
1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е.
. В этом случае система имеет единственное решение.
2. Прямые параллельны и не совпадают. Тогда и их нормальные вектора параллельны, но
сдвиги различны, т.е.
.
В этом случае система решений не имеет .
3. Прямые совпадают. Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги
совпадают, т.е.
. В этом случае система имеет бесконечно много решений
ЗЗ. При каком значении параметра а система уравнений не имеет решений?
{
𝟐(а + 𝟏)х + 𝟐у = 𝟐𝟏;
𝟓(а − 𝟑)х + у = 𝟏𝟑.
Решение. Система не имеет решений, если
Т.е.
.
.
Ответ.
МЗ. При всех значениях параметров а и b решить систему:
𝒙 − 𝒃𝒚 = 𝒂;
{
𝒂𝒙 + 𝒚 = 𝟏.
Выразим из первого уравнения х через а и у, получим систему, равносильную данной:
{
x = a + ву;
y(ав + 1) = 1 − а2 .
Контрольное значение параметра: ав=-1 .
1−𝑎2
𝑏(1−𝑎2 )
1. Если ав≠-1, тогда система имеет единственное решение у = 𝑎𝑏+1 ; х= a+
2. Если ab=-1, а2 ≠ 1 → 0 ∙ 𝑦 = 1 − а2 , решений нет.
3. Если ab=-1, а2 = 1 → 0 ∙ 𝑦 = 0 → получим совокупность двух систем:
𝑎 = 1,
𝑎 = −1
{𝑥 = 1 − 𝑦, или {𝑥 = −1 + 𝑦
𝑦 ∈ 𝑅;
𝑦 ∈ 𝑅.
Ответ: при ab=-1,a=1, x=1-y, 𝑦 ∈ 𝑅
при ab=-1,a=-1,x=-1+y, 𝑦 ∈ 𝑅;
при ab=-1,a≠±1, решений нет;
1−𝑎2
𝑏(1−𝑎2 )
при ab≠-1, у = 𝑎𝑏+1 ; х= a+
𝑎𝑏+1
.
НЗ. При всех значениях параметра а решить систему уравнений:
Решение. Система равносильна совокупности двух систем:
Прямые параллельны, если
.
При этом прямые не совпадают, поэтому при
решений нет.
Если
, то выражая
из второго уравнения и подставляя в первое,
𝑎𝑏+1
/
Ответ: при
при
решений нет;
,(
3
𝑎+1
,
2𝑎−1
1
𝑎+1
𝑎+1
), (
,
2𝑎+1
𝑎+1
).
Тема 2 Функции и графики
Линейная функция
Квадратичная функция
ЗЗ Найдите значение m, если
известно, что график линейной
функции y = -5x + m проходит
через точку:
а) N (1; 2) б) K(0,5; 4); в) M(-7; 8);
г) P (1,2; -3).
ЗЗ
Найдите
значение
коэффициента
с,
если
известно, что график функции
y = x2 + 4x + c пересекает ось
ординат в точке А(0; 2).
МЗ График функции 3х + ву = с
проходит через точки А(15; -7),
В(-6;2). Чему равны значения в и
с
МЗ При каких значениях р
парабола y=px2-4x+3 не имеет
с осью Ох ни одной общей
точки.
НЗ. При каком значении а
графики функций 3х +5у=10 и 2х
+ау=6 пересекаются в точке,
принадлежащей оси ординат?
НЗ. . При каких
отрицательных значениях к
прямая у = кх + 5 имеет с
параболой y=x2-4x+14
единственную общую точку.
Решение задач с параметром по теме «Функции и графики»
Линейная функция
МЗ. График функции 3х + ву = с проходит через точки А(15; -7), В(-6; 2). Чему равны
значения в и с
90 − 14в = 2с
45 − 7в = с
в=7
<= >{
<= > {
−126 + 14в = 7с
с = −4
−18 + 2в = с
Ответ: при в=7, с=-4.
НЗ. При каком значении а графики функций 3х +5у=10 и 2х +ау=6 пересекаются в точке,
принадлежащей оси ординат?
Решение. Графики функций пересекаются в точке, принадлежащей оси ординат, значит эта
точка имеет координаты (0;у). Составим уравнение и выразим у.
3х +5у - 10=2х +ау-6
3х +5у – 10-2х –ау+6=0
х+(5-а)у=4
Решение.{
4−х
у=5−а
4
Так как х=0, то у=5−а
1) При а=5, точки пересечения нет
4
2) При а≠5, точка пересечения имеет координаты (0; 5−а)
4
3) Ответ: При а≠5, точка пересечения имеет координаты (0; 5−а)
Квадратичная функция
МЗ При каких значениях р парабола y=px2-4x+3 не имеет с осью Ох ни одной общей
точки.
Решение:
Для того, чтобы парабола y=px2-4x+3 не имела с Ох ни одной общей точки, D <0.
D =16-12р<0, 16-12р<0
-12р<-16
р> 4/3
Ответ: При р> 4/3 парабола y=px2-4x+3 не имеет с осью Ох ни одной общей точки.
НЗ. При каких отрицательных значениях к прямая у = кх + 5 имеет с параболой y=x24x+14 единственную общую точку.
РЕШЕНИЕ:
Прямая y=kx+5 имеет с параболой y=x2-4x+14 единственную общую точку тогда и только
тогда, когда уравнение x2-4x+14= kx+5 имеет один корень.
х2-4x+14= kx+5
x2-4x+14- kx-5=0
x2-4x- kx+9=0
x2- (4+к) х+9=0
Д= (4+к)2-4*9=16+8к+к2-36=к2+8к-20
к2+8к-20=0
Д= 144
К1=2
К2=-10
Ответ: при К=-10 прямая y=kx+5 имеет с параболой y=x2-4x+14 единственную общую точку.
Тема 3 Квадратные уравнения и неравенства
Параметрической величиной может стать любой из коэффициентов уравнения: а, в или с.
Найти корни квадратного трехчлена для всякого из значений параметра – значит решить
квадратное уравнение ax 2  bx  c =0, перебрав каждое из возможных значений
нефиксированной величины.
Назовем контрольными значениями параметра (КЗП) те его значения, при
которых обращается в нуль: 1) старший коэффициент в уравнении или неравенстве; 2)
знаменатель дроби; 3) дискриминант квадратного уравнения.
Если в уравнении ax 2  bx  c =0 является параметром старший коэффициент а, то оно
будет квадратным лишь тогда, когда а ≠0. При а =0 оно вырождается в линейное уравнение
bx  c =0, имеющее один корень: x=-с/в. Поэтому проверка условия а ≠0, а =0 должна идти
первым пунктом.
Квадратное уравнение имеет действительные корни при неотрицательном дискриминанте
D=в²-4ас. При D>0 оно имеет два различных корня, при D=0 только один. Наконец, если
D<0 – корней нет.
Часто для решения задач с параметрами применяется теорема Виета. Если квадратное
уравнение ax 2  bx  c =0 имеет корни х1 и x2, то для них верна система: х1+ x2=-в/а, х1· x2=с/а.
Квадратное уравнение со старшим коэффициентом, равным единице, называется
приведенным: x²+т·x+п=0. Для него теорема Виета имеет упрощенный вид: х1+ x2=-т, х1·
x2=п. Стоит отметить, что теорема Виета верна при наличии как одного, так и двух корней.
Те же корни, найденные с помощью теоремы Виета, можно подставить обратно в запись
уравнения: x²-( х1+ x2)·x+ х1· x2=0. Не путать: здесь x - переменная, х1 и x2- конкретные числа.
Часто помогает при решении метод разложения на множители. Пусть уравнение ax 2  bx  c
=0 имеет корни х1 и x2. Тогда верно тождество ax 2  bx  c =а(x- х1)·(x- x2). Если корень
единственный, то можно просто сказать, что х1= x2, и тогда ax 2  bx  c =а·(x- х1)².
Квадратные уравнения
Корни квадратного
уравнения
ЗЗ Решить уравнение x2
- (2p + 1)x + (p2 +p - 2) =
0.
Соотношения
между корнями
квадратного
уравнения.
Теорема Виета
ЗЗ При каких а
сумма квадратов
корней уравнения
х2 – 9х+а=0 равна
21?
Квадратные неравенства
ЗЗ Решить неравенство
х2 + 2ах + 4>0
МЗ Решить уравнение
px2 + (1 - p)x - 1 = 0.
МЗ При каких а
разность корней
уравнения
х2 – 2ах – 8 =0 равна
6?
МЗ Решить неравенство
х2 – 2(а + 2)х + 4а< 0
НЗ.Найти все значения
НЗ. При каких
НЗ Решить неравенство
параметра а, при каждом
значениях а оба
х2 + 5ах + а2+ 3а +2 +
корня уравнения
√2а − 1 − а2 ≤0.
из которых среди корней
уравнения
х2 – ах +2 = 0
ах2+x(а+4)+а+1=0
имеется ровно один
лежат на
отрицательный.
интервале (0;3)?
.
Решение квадратных уравнений с параметрами
А. Корни квадратного уравнения
ЗЗ. Решить уравнение x2 - (2p + 1)x + (p2 +p - 2) = 0.
Решение.
В данном квадратном уравнении в роли коэффициентов выступают не конкретные
числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными
коэффициентами или уравнениями с параметрами.
Найдем дискриминант:
D = (2p + 1)2 - 4(p2 + p - 2) = (4p2 + 4p + 1) - (4p2 + 4p - 8) = 9
Далее
𝓍=
2р + 1 + 3
= р + 2;
2
Ответ: p + 2; p - 1.
МЗ. Решить уравнение px2 + (1 – p)x – 1 = 0.
Решение.
х=
2р + 1 − 3
= р−1
2
Это также уравнение с параметром p, но, в отличие от задачи базового уровня, его нельзя
сразу решать по формулам нахождения корней квадратного уравнения. Дело в том, что
указанные формулы применимы к квадратным уравнениям, а про заданное уравнение мы
этого пока сказать не можем. В самом деле, а вдруг p = 0? Тогда уравнение примет вид
0 * x2 + (1 – 0)x – 1 = 0,
т.е. x – 1 = 0, откуда получаем: x = 1. Вот если точно известно, что p ≠ 0, то можно применять
формулы корней квадратного уравнения:
x1;2 =
− (1−𝑝)± √(1−𝑝2 − 4∗ 𝑝∗(−1)
2𝑝
=
𝑝−1 ± √1−2𝑝+ 𝑝2 +4𝑝
2𝑝
=
𝑝− 1 ± √(𝑝+1)2
2𝑝
=
𝑝−1 ±(𝑝+1)
2𝑝
Ответ: если p = 0 или p = -1, то x = 1; если p ≠ 0 и p ≠ -1, то x1 = 1, x2 = - 1/p.
НЗ. Найти все значения параметра а, при каждом из которых среди корней уравнения
ах2+x(а+4)+а+1=0 имеется ровно один отрицательный.
Решение.
1
1. При а=0 уравнение линейное 4х+1=0⇒х=- - удовлетворяет условию задачи.
4
2. При а≠0 D=b2-4ac=(a+4)2-4a(a+1)=a2+8a+16-4a2-4a=-3a2+4a+16;
а) D=0-3a2+4a+16=0;3a2-4a-16=0;
2±√4+48 2±√52 2±2√13
=
=
.
3
3
3
a=
Пусть, а=
Пусть a=
2±2√13
,
3
2±2√13
,
3
тогда х=
тогда х=
−𝑎−4
2𝑎
−𝑎−4
2𝑎
>0
< 0 - удовлетворяет условию задачи.
б) Уравнение имеет корни разных знаков тогда и только тогда, когда
ас<0, т.е.
𝑎+1
𝑎
<0, a∈(-1;0).
в) Один из корней равен нулю, если c=0 т.е. a+1=0, a=-1, тогда
-x2+3x=0, x2-3x=0, x(x-3)=0.
x2=3- не удовлетворяет условию задачи.
Ответ:(-1;0)∪ {
2−2√13
}.
3
Б. Соотношения между корнями квадратного уравнения. Теорема Виета
ЗЗ. При каких а сумма квадратов корней уравнения х2 – 9х +а=0 равна 21?
Решение. Если х1 и х2 – корни уравнения, то по теореме Виета х1 + х2=9, х1 х2=а и х12 + х22=
(х1 + х2)2 - 2 х1 х2=81 – 2а. Решая уравнение 81 – 2а=21, получаем а=30. Однако нельзя
считать, что задача решена полностью. Надо обязательно выяснить, при каких а существуют
1
корни уравнения. Из неравенства D ≥ 0 <=> 81 – 4а ≥ 0 следует, что а ≤ 204. Так как
1
а=30∉(∞; 204), то .
Ответ. Значений а, удовлетворяющих условию задачи нет.
МЗ. При каких а разность корней уравнения х2 – 2ах – 8 =0 равна 6?
Решение.
1 способ. Находим корни уравнения: х1,2= - а ±√а2 + 8. Вычитая из большего корня
меньший, имеем х1 - х2 =(- а +√а2 + 8) – (- а −√а2 + 8) =2√а2 + 8. Решая уравнение
2√а2 + 8 = 6, а2 + 8 = 9, а2 = 1, получаем а=±1
2 способ. D1=а2 + 8 > 0, уравнение имеет 2 корня. По теореме Виета х1 + х2=-2а, х1 х2=-8.
Пусть х2> х1.
Тогда (х1 + х2)2=4а2, (х1 - х2)2=(х1 + х2)2- 4 х1 х2=4а2 + 32, откуда х2 - х1 = 2√а2 + 8. Далее
завершается так же, как в первом способе.
НЗ. При каких значениях а оба корня уравнения х2 – ах +2 = 0 лежат на
интервале (0;3)?
Решение:
Ответ:
.
Решение квадратных неравенств с параметрами
ЗЗ .Решить неравенство х2 + 2ах + 4>0
Решение. D = 4(а2 – 4).
Если D < 0 (а2 – 4<0 <= > а ∈ (−2; 2)), то неравенство справедливо для
всех
действительных х.
Если D > 0 (а2 – 4 >0 <=> а ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞)) то корни трехчлена х1,2= - а ±√а2 − 4.
и множество решений неравенства х ∈ (-∞; - а −√а2 − 4)∪( - а +√а2 − 4; +∞)
Если D = 0, то а = ±2. При а = -2 х ∈ (−∞; 2) ∪ (2; +∞), при а = 2 х ∈ (−∞; −2) ∪
(−2; +∞),
Ответ: При │а│< 2 х – любое действительное число;
При │а│≥ 2 х ∈ (-∞; - а −√а2 − 4)∪( - а +√а2 − 4; +∞)
МЗ. Решить неравенство х2 – 2(а + 2)х + 4а< 0
Решение. Корни квадратного трехчлена х1,2= а + 1 ± √(а + 1)2 − 4а = (а +1) ±(а – 1). Пусть
х1 = 2а, х2 = 2
Рассмотрим следующие случаи:
1. х1 = х2, <=> а = 1. Неравенство х2 - 4х + 4<0 <=> (х – 2)2<0 решений не имеет.
2. х1 < х2 <=> а < 1. Множество решений неравенства х ∈ (2а; 2)
3. х2 < х1 <=> а > 1. Множество решений неравенства х ∈ (2; 2а)
Ответ: При а < 1. Множество решений неравенства х ∈ (2а; 2);
при а > 1. Множество решений неравенства х ∈ (2; 2а);
при а = 1 неравенство решений не имеет.
НЗ. Решить неравенство х2 + 5ах + а2+ 3а +2 + √𝟐а − 𝟏 − а𝟐 ≤0.
Решение. Установим прежде всего ОДЗ переменных: х ∈ (−∞; ∞).
Ограничения на а определим из условия 2а − 1 − а2 ≥ 0 <=> а2 − 2а + 1 ≤ 0 <=> (а – 1)2≤ 0
Поэтому а=1.
Тогда данное неравенство принимает вид х2+5х +6 ≤ 0 и без труда решается: х∈ [−3; −2]
Ответ: При а≠1 решений нет; при а = 1 х∈ [−3; −2]
Тема 4 Дробно-рациональные уравнения
Дробно рациональным называется уравнение, которое содержит кроме многочленов еще и
дробно рациональные функции. В процессе решения его при помощи приведения к общему
знаменателю оно заменяется целым алгебраическим уравнением. То есть решение дробно
рационального уравнения в итоге сводится к решению линейного или квадратного. Главной
особенностью является то, что целое уравнение по отношению к исходному является
следствием и может иметь посторонние корни
Алгоритм решения:
1. Найти ОДЗ
2. Решить целое рациональное уравнение
3. Исключить те значения параметра, при которых найденные корни являютяс посторонними
4.
Сформулировать ответ
Назовем контрольными значениями параметра (КЗП) те его значения, при которых
обращается в нуль: 1) старший коэффициент в уравнении или неравенстве; 2) знаменатель
дроби; 3) при которых уравнение теряет смысл.
ЗЗ. Для каждого а решить уравнение
(х−а)(х−6)
х−7
=0
Решение. КЗП а=7, ОДЗ х≠7
При а=7 имеем
(х−7)(х−6)
При а≠7 имеем
(х−а)(х−6)
х−7
х−7
= 0, х=6 (входит в ОДЗ)
= 0, х=а, х=6
Ответ При а=7, х=6
При а≠7, х=а, х=6
МЗ При каком а уравнения
х−1
х−а
= 0 и х-1 =0 равносильны?
Решение . 1) Решим первое уравнение КЗП а=1
х−1
При а=1 уравнение х−а = 0 не имеет решений
При а≠1 х=1
2) Решим 2 уравнение. х=1
Ответ. Уравнения равносильны при а≠1.
НЗ Решим уравнение
(4)
Р е ш е н и е. Значение а=0 является контрольным. При a=0 уравнение (4) теряет смысл и,
следовательно, не имеет корней. Если а≠0, то после преобразований уравнение (4) примет
вид:
х2+2 (1 — а) х +а2 — 2а — 3=0.
(5)
Найдем дискриминант уравнения (5)
= (1 — a)2 — (a2 — 2а — 3) = 4.
Находим корни уравнения (5):
х1 =а + 1, х2 = а — 3.
При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась область определения уравнения
(4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.
П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых х1+1=0, х1+2=0,
х2+1=0, х2+2=0.
Если х1+1=0, т. е. (а+1)+1=0, то а= — 2. Таким образом, при а= — 2 х1 — посторонний
корень уравнения (4).
Если х1+2=0, т. е. (а+1)+2=0, то а= — 3. Таким образом, при а= — 3 x1 — посторонний
корень уравнения (4).
Если х2+1 =0, т. е. (а — 3)+1=0, то а=2. Таким образом, при а=2 х2 — посторонний корень
уравнения (4)'.
Если х2+2=0, т. е. (а — 3)+2=0, то а=1. Таким образом, при а= 1 х2 — посторонний корень
уравнения (4).
Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке .
В соответствии с этой иллюстрацией при а= — 3 получаем х= — 3 — 3= — 6;
при a= — 2 х= — 2 — 3= — 5; при a=1 х= 1+1=2; при a=2
х=2+1=3.
Итак, можно записать
От в ет: 1) если a= — 3, то х= — 6; 2) если a= — 2, то х= — 5; 3) если a=0, то корней нет; 4)
если a= l, то х=2; 5) если а=2, то х=3;
6) если а≠ -3 ;
а≠ -2 ;
а≠ 0 ;
то х1 = а + 1, х2 = а – 3.
а≠ 1 ;
а≠ 2,
Литература
1. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г.
Мордкович. — 12-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2010.
2. П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Задачи с параметрами. 2007 год
3. В. Локоть. Задачи с параметрами: иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи
с модулем. —М.: АРКТИ, 2004.—64 с. (Абитуриент: Готовимся к ЕГЭ).
4. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Алгебраический тренажер: Пособие для
школьников и абитуриентов/ Под ред. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. – М.:
Илекса, 2007, - 320с.
5. Проблемы реализации
ФГОС при
обучении
математике в основной
и
старшей
общеобразовательной школе: монография / коллектив авторов: Иванюк М.Е., Липилина В.В.,
Максютин А.А. – Самара: изд-во ООО «Порто-принт», 2014 – 328 с.
6. Шевкин А.В. Задачи с параметром: Линейные уравнения и их системы. Серия «Математика.
Проверь себя». – М.: ООО «Русское слово – учебная книга», 2003.