Решение

Математика 10
Решение задач элементарной геометрии векторным методом
Т.А. Тимошенко, профессор кафедры математики и ИТ
Педагогического института ТОГУ
§1. Некоторые сведения из векторной алгебры
Векторный метод – один из наиболее общих методов решения геометрических
задач. Он является сравнительно новой темой в школьном курсе геометрии, и
овладение им вызывает трудности не только у учащихся, но и у учителей.
Для решения задач элементарной геометрии с помощью векторов необходимо,
прежде всего, научиться «переводить» условие геометрической задачи на
«векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические
вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на
«геометрический» язык. В этом и состоит сущность векторного метода решения
геометрических задач.
Приведем некоторые факты из векторной алгебры, применяемые в решении
геометрических задач:
Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, для которого
указано какой из его концов является началом, а какой концом.
В
Обозначение: AB, CD, a, b, c .
А
à
Рис. 1
Длина (модуль) вектора есть длина соответствующего отрезка, определяющего
данный вектор. Длину вектора обозначают соответственно как | AB |, | a | .
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются
коллинеарными векторами. При этом коллинеарные векторы называются
сонаправленными (à  b) , если они лежат в одной полуплоскости относительно
прямой, содержащей их начальные точки. Если же коллинеарные векторы лежат в
разных полуплоскостях относительно этой прямой, то это противоположно
направленные векторы (a  b) .
Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях
называются компланарными.
Два вектора AB и СD называются равными, если выполняются два условия:
1. AB  CD
2. | AB || CD |
Запись: AB  CD .
Вектор называют нулевым, если его начало и конец совпадают, обозначается
0 . Нулевой вектор не имеет направления и его длина равна нулю: | 0 | 0 .
К линейным операциям над векторами относятся умножение вектора на число,
сложение и вычитание векторов.
а) Умножение вектора на число.
Произведением вектора а на вещественное число  называется такой вектор
а или  а , который удовлетворяет двум условиям:
1. |  a ||  |  | a | ;
2.  a  a , при   0 и  a  a при   0 .
В частности, вектор (1)à  à называется вектором, противоположным
вектору à . Если связать эту операцию понятием коллинеарных векторов, то имеет
место теорема:
Если a и b - два коллинеарных вектора, то существует такое вещественное
число k , что a  k b .
Вектор называется единичным, если его длина равна единице: e  1 . При этом,
вектор a 0 
a
|a|
- единичный, т. к. | a 0 |
a
|a|

1
 | a | 1 .
|a|
б) Сложение векторов.
Суммой векторов à и b называется такой вектор c  a  b
à
b
(рис.2), который строится по правилу: откладываем вектор
A
OA  a от произвольной точки О, затем строим вектор AB  b ,
à
b
тогда вектор-сумма направлен от начала первого вектора к
B
O
c  ab
концу второго, т.е. OB (правило треугольника). Тогда
рис.2
OA  AB  BO  OB  BO  0  Суммой
трех
векторов,
составляющих треугольник, является нулевой вектор.
Свойства сложения векторов:
À b
B
1. Сложение векторов коммутативно: a  b  b  a (рис.3).
а
Отсюда получаем сложение векторов по правилу
а
параллелограмма.
C
О b
2. сложение векторов ассоциативно: a  b  c  a  b  c
рис.3
(рис.4). Это позволяет складывать любое количество
векторов.
3. a  0  a .
b
А
B
4. a   a  0 .
5. Свойство дистрибутивности связывает
a
c
операции сложения векторов и умножения
ab c
вектора на число:    a   a   a , где О
C
a bc
 ,  - вещественные числа.
 
 
 
 
 
 
6.  a  b   a   b ,  - вещественное число.
рис.4
в) Вычитание векторов.
Разностью а  b двух векторов a и b называется
А
такой вектор c , что a  b  c .
a
Из определения получаем правило построения
разности двух векторов: откладываем оба вектора от
b
общего начала О, тогда вектор-разность направлен от О
рис.5
конца второго вектора к концу первого: с  а  b  BA
(рис.5).
Операция вычитания векторов связана со сложением: a  b  a   b .
 
В
Векторы можно не только складывать, вычитать и умножать на числа, но
можно их перемножать между собой.
Скалярным произведением вектора a на вектор b называется число ab , равное
произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
 
ab  a  b  cos a, b
Для скалярного произведения выполняются следующие свойства:
1. a  b  b  a .
2. a  b  a  пр a b  b  прb a .
3. a  b  0 - необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов a
и b.
4. a  b  c  a  b  a  c .
5.
 
  a  b   a  b  a  b,   вещественное число.
2
2
6. a  a .
§2. Примеры решения геометрических задач векторным методом
Задача 1
Точка С – середина отрезка AB, а О – произвольная точка на плоскости (рис. 6).
Доказать, что OC  1 / 2(OA  OB) .
В
С
Решение
OC  OA  AC ,
По
правилу
треугольника
А
OC  OB  BC . Складывая эти равенства, получаем:
2 OC  OA  OB  ( AC  BC ) .
Так как точка С – середина отрезка АВ, то AC  BC  0 .
Таким образом , 2 OC  OA  OB , или OC  1 / 2(OA  OB) .
Задача 2
Доказать, что прямая, проведенная через
середины оснований трапеции, проходит через точку
пересечения продолжений боковых сторон.
Решение
B
Пусть ABCD - данная трапеция, M и N середины оснований BC и AD , а O - точка пересечения
прямых AB и CD (рис. 7). Докажем, что точка O лежит
на прямой MN .
Треугольники OAD и OBC подобны по первому A
признаку
подобия
треугольников,
поэтому
О
Рис. 6
О
M
C
N
Рис. 7
OA OD

 K . Так как OB  OA и OC  OD , то
OB OC
(1).
OA  k  OB , OD  k  OC
Точка M - середина отрезка BC , поэтому OM  1 / 2(OB  OC ) .
D
Аналогично
ON  1 / 2(OA  OD) .
Подставив в последнее равенство выражения (1) для OA и OD , получим:
ON  k  1 / 2 (OB  OC )  k  OM .
Отсюда следует, что векторы ON и OM коллинеарны, и, значит, точка O
лежит на прямой MN .
Задача 3
Дан произвольный треугольник ABC . Докажите, что существует треугольник,
стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника ABC .
Решение
Пусть AA1 , BB1 , CC1 - медианы треугольника ABC (рис. 8). Тогда
AA1  1 / 2 ( AB  AC) ,
CC1  1 / 2 (CA  CB)
BB1  1 / 2 ( BC  BA) ,
С
(задача 1). Сложив эти
равенства, получим
В1
AA1  BB1  CC1 
А1
 1 (( AB  BA)  ( AC  CA)  (CB  BC ))  0
2
Отсюда
следует,
что
существует А
В
С1
треугольник, стороны которого соответственно
Рис. 8
параллельны и равны медианам треугольника
ABC .
Задача 4
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции,
параллелен ее основаниям.
Решение
Пусть M и N - середины диагоналей трапеции ABCD (рис. 9). Покажем, что
MN || AD . Для этого достаточно показать, что MN
B
C
коллинеарен AD .
Так как M и N - середины отрезков AC и
BD , то


M
1
1
AC  AB  BC ,
2
2
1
AN  AB  AD .
2
AM 

Следовательно,
MN  AN  AM 

N

 
 
1
1
1
AB  AD  AB  BC  AD  BC
2
2
2

А
D
Рис. 9
.
Но BC коллинеарен вектору AD , поэтому  AD  BC ,  - вещественное число.
Тогда


С
1
1
AD   AD  1   AD  k AD ,
2
2
То есть MN коллинеарен AD , что и требовалось
MN 
доказать.
Задача 5
Найдите угол, лежащий против основания
равнобедренного
треугольника,
если
медианы,
проведенные
к
боковым
сторонам,
взаимно
перпендикулярны.
Решение
b
a
B1
A1
A
B
Рис. 10
Пусть ABC - равнобедренный треугольник с основанием AB и AA1 , BB1 - его
медианы, проведенные к боковым сторонам (рис. 10). Введем обозначения CA1  a ,
CB1  b , | CA1 |=| CB1 |=| a |. Тогда AA1  CA1  CA  a  2b , BB 1  CB1  CB  b  2a ,
поэтому скалярное произведение
AA1  BB 1  (a  2b)  (b  2a)  5a  b  2a  a  2b  b (2)
По условию задачи AA1  BB 1 , и, следовательно, AA1  BB 1  0 . Далее,
a  b  a 2 cos C , a  a  a 2 , b  b  a 2 , поэтому равенство (2) принимает вид
0  5a 2 cos C  4a 2 . Отсюда получаем cos C 
4
4
, C  arccos .
5
5
Задача 6
правильный
ABCDEF
AB  AC  AD  AE  AF  3 AD .
шестиугольник.
Решение
Пусть
правильный
ABCDEF
шестиугольник.
Покажем,
что
Заметим, что
AB  AC  AD  AE  AF  3 AD .
AE  BD , AF  CD .
Далее AB  AE  AD и AC  AF  AD .
Отсюда
следует,
что
AB  AE  AC  AF  AD  AD  AD  AD  3 AD .
Задача 7
В параллелограмме ABCD дано: M  BC и
BM : MC  1 : 2 ; N  DC , DN : NC  1 : 2 ; AM  a ,
AN  b . Выразить векторы AB, AD, MN и BD
Доказать,
что
C
B
D
O
P
A
E
F
Рис. 11
через a и b .
Решение
Пусть ABCD - параллелограмм (рис. 12), в котором M  BC , BM : MC  1 : 2 ,
N  DC , DN : NC  1 : 2 , AM  a , AN  b .
Выразим AB, AD, MN , BD через a и b . DO  OB , DB || MN  NO1  O1 M .
1
1
N
D
2
2
MN  AN  AM  b  a ,
b
O
1
1
1
O1C  AO1  a  b ,
2
4
4
3
3
a
AC  AO1  O1C  a  b .
4
4
3
1
NC  AC  AN  a  b ,
A
4
4
Рис. 12
1
3
1
DN  NC  a  b ,
2
8
8
9
3
3
9
DC  DN  NC  a  b , AB   DC  b  a ,
8
8
8
8
Тогда AO1  a  b .
C
M
B
3
1
1
3
1
9
3
b  a, BM  MC  b  a, AD  BC  BM  MC  b  a
4
4
2
8
8
8
8
3
3
BD  AD  AB  a  b
4
4
MC  AC  AM 
Задача 8
В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний
любой точки окружности до вершин квадрата не зависит от выбора этой точки. Найти
сумму этих квадратов.
Решение
Пусть O - центр квадрата ABCD (рис. 13), а X - произвольная точка
окружности, вписанной в квадрат.
C
B
x
Имеем: XB  OB  OX , XC  OC  OX ,
XD  OD  OX , XA  OA  OX .
Тогда
2
2
2
2
2
2
XB  XC  XD  XA  OB  OC 
2
2
O
2
 OD  OA  4OX  2OX (OB  OC  OD  OA) 
2
2


a 2
a 2 A 2
2


  4 R  2OX OB
 4  
 OD

OA


  OC

   4 2   4 R


2
Рис. 13




0
0


где a - сторона квадрата, R – радиус окружности.
2
2
2
2
a
Поскольку R  , то искомая сумма равна XB  XC  XD  XA  3a 2 .
2
D
Задачи для самостоятельного решения:
1. Стороны ВС , СА , АВ треугольника АВС разделены
по его обходу
соответственно точками L , M , N в равных отношениях. Докажите что из отрезков
AL , BM и CN можно составить треугольник.
2. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их
полусумме.
3. Основания трапеции равны a и b . Найдите длину отрезка, соединяющего
середины диагоналей трапеции.
4. Даны четырехугольник и точка. Докажите, что точки, симметричные данной
точке относительно середин сторон четырехугольника, являются вершинами
параллелограмма.
5. Точка пересечения средних линий четырехугольника совпадает с точкой
пересечения его диагоналей. Докажите, что четырехугольник – параллелограмм.
6. Через вершину A треугольника ABC и середину E медианы CD проведена
прямая, пересекающая сторону BC в точке F . Докажите, что CF : FB  1 : 2 . В каком
отношении точка E делит отрезок AF .
7. Медианы боковых сторон равнобедренного треугольника пересекаются под
углом 60 0 . Найти угол при вершине треугольника.
8. В окружность с центром в точке O вписан четырехугольник ABCD , диагонали
которого пересекаются в точке P и взаимно перпендикулярны. Доказать, что
середины сторон AB и CD , центр O и точки P являются вершинами
параллелограмма.