Полный текст доклада

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
НАГРЕВА ПОВЕРХНОСТНОГО СЛОЯ КАТОДА
ПРИ ЭЛЕКТРОИСКРОВОМ ЛЕГИРОВАНИИ
С.И. Смагин, Ю.Ю. Пономарюк
Вычислительный Центр ДВО РАН, г. Хабаровск
Введение
В промышленности актуальна проблема повышения срока эксплуатации деталей машин,
особенно режущего инструмента, штамповой оснастки.
В 1943 г. Б.Р. Лазаренко и Н.И. Лазаренко был предложен метод электроискрового
легирования
(ЭИЛ),
который
позволял
упрочнять
металлические
поверхности
токопроводящими материалами, благодаря чему от двух до пяти и более раз повышался срок
службы обрабатываемых поверхностей машин.
Для оптимизации метода ЭИЛ требуются научные исследования во многих областях:
термодинамике, материаловедении, гидродинамике и других. За десятки лет исследований
накоплен обширный экспериментальный материал, но для последующего развития ЭИЛ
(оптимизации параметров разряда, теплофизических свойств материалов и т.д.) требуются
численные расчеты температуры в поверхностном слое. Так как эти явления очень сложны, до
сих пор отсутствует полное математическое описание физических процессов, происходящих на
рабочих поверхностях и в межэлектродном промежутке.
В [1], [2] впервые была предложена такая математическая модель и проведен численный
эксперимент. Позднее, помимо подробного описания метода ЭИЛ, эти результаты были
изложены в [3], [4]. Полученные данные представляют большой интерес для дальнейшего
развития метода.
Настоящая работа является продолжением упомянутых выше работ по развитию методов
математического моделирования ЭИЛ и получению численных результатов для различных
материалов и исходных данных, не исследованных ранее.
Математическая модель
При ЭИЛ происходит взаимодействие катода (обрабатываемой детали) и анода
(легирующего инструмента). В результате на катоде образуется лунка, заполненная материалом,
полученным при взаимодействии катода, анода и межэлектродной среды. Он имеет белый цвет
и не поддается травлению травителями, предназначенными для обрабатываемого материала.
Перенос частиц эрозии материала анода на катод осуществляется в жидкой и твердой фазах.
Одним из характерных вариантов является перенос горячей частицы (температура которой
близка к температуре плавления) на холодную поверхность (температура которой близка к
температуре окружающей среды). При этом возможно закрепление частицы на поверхности без
образования зоны взаимной кристаллизации. Для указанного случая далее рассматривается
математическая модель для определения температурного поля катода.
Рассмотрим задачу нагрева при ЭИЛ прямоугольного катода-параллелепипеда Q0 с
рабочей поверхностью 0 , расположенного так, что:


Q0  x  R3 : xi  ai , i  1,2, 0  x3  a3 ,


0  x  R3 : xi  ai , i  1,2, x3  0 .
Источниками тепла являются поверхностный тепловой поток q 0 , возникший в
результате электроискрового разряда, а также сильно разогретый жидкий металл, который в
виде капель Qi попадает с анода на рабочую поверхность  0 . Здесь q0 ( x, t )  q0 ( x,0, t ) ,
x  ( x1, x2 ) , t  0 - время, i  1, N , N - количество капель.
Предполагается, что за один электроискровой разряд капли образуются одновременно и
равномерно заполняют некоторую часть поверхности  0 . Упав на нее, они мгновенно
2
отвердевают, отдавая катоду свою теплоту плавления. Периодически перемещая анод над
поверхностью катода, добиваются ее полного покрытия. Капли Qi отдают путём
теплопроводности и излучения тепловой поток


q1i  i Ti  Tcp   i 0Ti4 ,
i  1, N ,
где Ti - температура i - ой капли; Tср - температура окружающей среды;  i - степень черноты;
 0 - универсальная постоянная Стефана-Больцмана.
Перейдём к новым обозначениям: U i  Ti  Tcp , i  0, N . Рассмотрим следующую
начально-краевую задачу, которая характеризует тепловой баланс в катоде и каплях:
U i t   i2 U i ,
U0 n  0,
x  Qi ,
(1)
x Q0 \ 0 ,
x   0 \  ,
0 U 0 x3  0U 0  q0 ,
U0  Ui ,
i  0, N ,
0 U0 x3  i Ui x3 ,
i Ui n  iUi  i 0 (Ui  Tcp )4  q0 ,
U i t 0  i ( x)  Tcp ,
x i ,
i  1, N ,
x  Si ,
i  1, N ,
x  Qi ,
Здесь:  i - основание i -ой капли, i   0 ,   
i  0, N .
N

i0 и
i1 i ; Ui - температура катода при
i -ой капли при i  0 ;   i 1  2 xi2 - оператор Лапласа; n - внешняя нормаль; i , ci , i ,
i - коэффициенты теплопроводности, удельной теплоёмкости, удельной плотности и
теплоотдачи (здесь и далее коэффициенты с индексом i  0 относятся к подложке Q0 , с
3
индексами i  0 - к i -ой капле);  i2  i  ci i  - коэффициент температуропроводности.
Рассматриваемая задача является нелинейной и определена в сложной трехмерной
области Q0
Q , где Q  
N
Q , с увеличивающимся числом капель после каждого
i 1 i
электроискрового разряда.
Предположим, что размеры капель по сравнению с размерами подложки достаточно
малы. Тогда распределение температуры внутри каждой капли будет почти постоянным и
существенно зависимым только от времени t . Будем считать, что при каждом t  0
справедливы следующие приближения:
T ( x, t )  T (t ),
T ( x, t ) t  Tt(t ),
T ( x, t ) x3  T ( x, t ) x3 x 0  Tx3 (t ),
3
x  Qi ,
x  i ,
i  1, N ,
i  1, N .
Пользуясь гипотезами (2) и усредняя температуру по объёмам Qi , задачу (1) можно
свести к задаче в области Q0 [2].
(2)
Пусть Q - некоторая капля с основанием   0 и гладкой поверхностью S  Q \  , а
n - внешняя нормаль к поверхности капли. Капля Q отдает тепловой поток, равный
U  f (U ) , где U - температура капли, а f (U )   0 (U  Tср )4 .
Обозначим Q - объём Q . Для средней температуры U (t )  Q
1
Q U ( x, t )dx
верно
равенство:
c  Q  U t  0  U x3 d    U  f (U )  q0  dS  0.

(3)
S
Пользуясь гипотезами (2), равенство (3) можно заменить следующим:
 c Q U
где q0  S
1
t  0 U x3   S U  f (U )  q0  
 0,
x3 0
S q0 ( x, t )dS , а
x  , t  0,
(4)
 и S - площади  и S .
Здесь U - уже температура подложки. Соотношение (4) в качестве граничного условия
на  для температуры U ( x, t ) подложки - параллелепипеда заменяет все уравнения теплового
баланса в капле Q .
Если на поверхность 0 нанесено N капель Qi , то, приняв для них те же гипотезы (2),
получаем для температурного поля подложки на каждом  i граничное условие (4).
Граничное условие (4) приводится к виду:
U x3  hU  q  c0 U t  c1U  c2 f (U ),
x  , t  0.
(5)
Учитывая (5), задачу (1) определения температуры U подложки можно переписать так:
U t   02 U , x  Q0 ,
U n  0, x  Q0 \ 0 ,
(6)
q,
x   ,
qˆ(U )  U x3  hU  
q  c0 U t  c1U  c2 f (U ), x   ,
 ( x)  Tcp , x  Q0 ,


U |t 0  ˆ ( x)  


 i ( x)  Tcp , x   .
Эта задача определена только в области Q0 , так как граничное условие для температуры
U заменяет все уравнения теплового баланса в каплях. Однако сложностью здесь является
нелинейный теплообмен между каплями Qi , i  1, N , и подложкой Q0 . Поэтому разобьём
решение задачи (1) на два этапа.
На первом приближенно рассчитывается тепловой поток  (t ) от одной
среднестатистической капли Q как функция времени t от начального момента времени t0  0 .
На втором этапе рассматривается множество одинаковых мелких капель, нанесенных на
 0 с заданным одинаковым известным тепловым потоком  (t ) .
Математически это выглядит так:
П е р в ы й э т а п : пусть U 0 - решение нелинейной задачи:
4
U 0 t   02 U 0 , x  Q0 ,
U 0 n  0, x  Q0 \ 0 ,
(7)
x  ,
q,
qˆ(U 0 )  U 0  hU 0  
0
0
0
q  c0  U t  c1U  c2 f (U ), x   ,
U 0 |t 0  ˆ ( x), x  Q0
С
U0
помощью
.
найденного
-
решения
задачи
(7)
–
определяется
 (t )  q  c0 U 0 t  c1U 0  c2 f (U 0 ) .
В т о р о й э т а п : сложный нелинейный теплообмен между каплями Qi , i  1, N , и
подложкой Q0 в граничном условии задачи (6) заменяется линейным:
 0,
x   ,
U x3  hU  
 (t ), x   , t  0.
.
(В данной работе подробно рассматривается первый этап).
Для решения (7) воспользуемся функцией Грина G( x,  , t   ) , где t ,   0 , которая
является решением соответствующей задачи.
Так как размеры параллелепипеда существенно превышают размеры капли, то для
простоты
решения
задачи
его
можно
рассматривать
как
полупространство


R3  x  R3 : x3  0 , положив a1  a2  a3   .
Поместим систему координат так, чтобы начало её совпадало с центром основания капли
Q , для которой решается задача (7), а оси Ox1, Ox2 , Ox3 были осями симметрии задачи.
Решение
задачи
(7)
будем
искать
в
октанте
Q01   x1  0, x2  0, x3  0
дополнительными условиями на его границах U x j
 0,
x j 0
с
j  1, 2.
Если 0  0 (и, следовательно h  0 ), то функция Грина G записывается в явном виде
через фундаментальное решение g3 ( x, t )  g1( x1, t )  g1( x2 , t )  g1( x3 , t ) задачи Коши для
параболического уравнения:
3  2

G ( x,  ,  )     g1 ( xr  (1) s  r , t ) ,


r 1  s 1



g1 ( xi , t )  1 2  t  exp  xi2 4 2t .
где
Учитывая вышеизложенное, от задачи (7) можно перейти к эквивалентным ей
интегральным соотношениям:
t
ab
t
00
U ( x, t )  V ( x, t , t )   2  d   G ( x,  , 0, t   )   ( , 0,  ) d ,
V ( x, t , t ) 

t
ab
000
t
00

x  Q01
1, t  t  ,
2
 G( x,  , t  t )U ( , t )d    d   G( x,  ,0, t   )  q( , 0, )d ,
( ,0, )  c0 U ( ,0, )   c1U ( ,0, )  c2 f U ( ,0, )  ,
(8)
U ( x, 0)  ˆ ( x), x  Q01
1,
где 1  x : 0  x1  a, 0  x2  b, x3  0 , a  l1 2, b  l2 2.
Интегральные соотношения (8), как и задача (7), приближённо описывают процесс
передачи тепла теплопроводящей подложке каплей, помещённой на её границу.
Численный эксперимент
Рассмотренная модель была реализована численно с различными исходными данными
относительно материала капли, в качестве которого рассматривались следующие тугоплавкие
металлы: 1) титан Ti  ; 2) вольфрам W  ; 3) тантал Ta  .
Материалом подложки во всех трёх случаях рассматривалось железо Fe  . Так как для
малых значений времени решение U ( x, t ) является убывающим до нуля при x1 , x 2 , x3 , то
узлы пространственной сетки были взяты вблизи начала координат.
Расчеты проводились при следующих исходных данных:
a  110 2 см; b  2 10 2 см; c  1102 см;   110 3 вт/(см 2  град); q  q0  0 ;
Tср  20  С .
Узлы пространственной сетки (в см):
 3.7i1 2 ,

 103  
 x1i 11
i 0
0  i  7,
10  0.5(i  7)2 , 7  i  11,

x2 j  j 0  2  x1i 11i0 ,
11
j  i,
 105  k 5 2 .
 x3k 19
k 0
Результаты проведённых расчётов иллюстрируют рисунки 1 и 2, на которых показана
температура U , равная разности температур подложки и окружающей среды: U  T  Tср .
На рис. 1 показано изменение со временем t температуры U в узловых точках на оси
Ox3 : x1  0 , x2  0 для x3  x3k , k  0,19 в случае: Feп  Wк . (Здесь и далее, например,
Feп  Wк означает то, что материал подложки - железо, а капли - вольфрам).
Рис. 1.
Изменение со временем температуры точек на оси Ox 3 в случае Feп  Wк .
6
На рисунке 2 показана зависимость температуры U в узловых точках прямой
x2  0, x3  0 от координаты x1 в моменты времени: t  1106 c; t  5 106 c; t  1105 c;
t  2 105 c; t  3 105 c; t  4 105 c для случая Feп  Wк .
Рис. 2.
Зависимость температуры точек прямой x2  0, x3  0 от координаты x1 в
различные моменты времени в случае Feп  Wк .
Таким образом, проведены численные расчеты по нелинейной модели для определения
температурного поля катода-параллелепипеда в случае одной капли-параллелепипеда на его
границе. Численный метод приближенно описывает процесс остывания капли, т.е. на первом
этапе задача рассмотрена. На втором этапе полученные результаты могут быть использованы
для усредненного описания нагрева параллелепипеда группой капель.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Албу А.Ф., Горбунов В.И., Зубов В.И. Оптимальное управление процессом плавления / Журн.
вычислит. математики и матем. физики, 2000, том 40, N4, с. 517-531.
Алексанян В.Д., Верхотуров А.Д., Подчерняева И.А., Сиденко Н.Р., Юртин И.И. Математическая
модель определения температурного поля в поверхностном слое при электроискровом легировании /
Институт машиноведения и металлургии [препринт]. Владивосток: ДВО АН СССР, 1991. - 34 с.
Верхотуров А.Д. Формирование поверхностного слоя металлов при электроискровом легировании.
Владивосток: Дальнаука, 1995. - 324 с.
Верхотуров А.Д. Физико-химические основы процесса электроискрового легирования металлических
поверхностей. Владивосток: Дальнаука, 1992. - 176 с.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 456 с.
Пехович А.И., Жидких В.М. Расчёты теплового режима твёрдых тел. Л.: Энергия, 1968. - 304 с.
Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656 с.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 432 с.
Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 736 с.
Теплотехнический справочник / Под общ. ред. Юренева В.Н. и Лебедева П.Д. В 2-х т. Т. 2. М.:
Энергия, 1976. - 896 с.
Физико-химические свойства элементов. Справочник / Под ред. чл.-корр. АН УССР Г.В. Самсонова.
Киев: Наукова думка, 1965. - 808 с.