1. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине
реклама
АНО ВО «МОСКОВСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
Рабочая программа одобрена
Ученым советом МРСЭИ
Протокол № 1 от 28.08.2015 г.
Утверждаю
Ректор__________Стражевская Н.Я.
«___»____________2015 г.
Кафедра общегуманитарных и естественно-научных дисциплин
Рабочая программа дисциплины
«Математика»
Б.2.Б.1
Направление подготовки
38.03.04 Государственное и муниципальное управление
Профиль общий
Квалификация (степень) выпускника: бакалавр
Форма обучения – очная, заочная
Видное 2015
ББК
УДК
Автор: Луканкин Александр Геннадьевич, к.ф.-м.н., доцент, зав.
кафедрой общегуманитарных и естественно-научных дисциплин МРСЭИ
Рецензент: Киселев Геннадий Михайлович, к.п.н., доцент кафедры
общегуманитарных и естественно-научных дисциплин МРСЭИ
Рабочая программа по дисциплине «Математика»
составлена в
соответствии с Федеральным
Государственным образовательным
стандартом высшего профессионального образования по направлению
38.03.04- Государственное и муниципальное управление.
Рабочая программа дисциплины обсуждена и одобрена на заседании
кафедры «Общегуманитарных и естественно-научных дисциплин»
Московского регионального социально-экономического института протокол
№ 1 от 1 сентября 2015 г. и рекомендована к печати Ученым советом МРСЭИ
Предназначена для студентов очной и заочной формы обучения.
©Московский региональный
социально-экономический
институт, 2015.
©Луканкин А.Г.
С О Д ЕР Ж А Н И Е
1. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине,
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
программы 38.03.04 Государственное и муниципальное управление
4
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата ................................................. 4
3. Объем дисциплины в Зачет с оценкойных единицах с указанием
количества академических часов, выделенных на контактную работу
обучающихся с преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную
работу обучающихся ......................................................................................................... 5
3.1. Объём дисциплины по видам учебных занятий (в часах) ................................. 5
4. Содержание дисциплины, структурированное по темам (разделам) с
указанием отведенного на них количества академических часов и видов
учебных занятий ................................................................................................................ 7
4.1. Разделы дисциплины и трудоемкость по видам учебных занятий (в
академических часах) ................................................................................................... 7
4.2 Содержание дисциплины, структурированное по темам (разделам) ................ 7
5. Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине......................................................................................... 34
6. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дисциплине......................................................................................... 48
6.1. Паспорт фонда оценочных средств по дисциплине ......................................... 48
6.2. Типовые контрольные задания или иные материалы ...................................... 48
6.3. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующие
этапы формирования компетенций ........................... Error! Bookmark not defined.
7. Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой
для освоения дисциплины .............................................................................................. 72
а) основная учебная литература: ............................... Error! Bookmark not defined.
б) дополнительная учебная литература: ................... Error! Bookmark not defined.
8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети
«Интернет» (далее – сеть «Интернет»), необходимых для освоения
дисциплины...................................................................... Error! Bookmark not defined.
9. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины ................. 73
10.
Перечень
информационных
технологий,
используемых
при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине, включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости) ............................................................... Error! Bookmark not defined.
11. Описание материально-технической базы, необходимой для
осуществления образовательного процесса по дисциплинеError! Bookmark not defin
12. Иные сведения и (или) материалы .......................... Error! Bookmark not defined.
1. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине,
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
программы 38.03.04 Государственное и муниципальное управление
В результате освоения ООП бакалавриата обучающийся должен
овладеть следующими результатами обучения по дисциплине:
Коды
компетенций
Результаты освоения ООП
Содержание компетенций
ОК – 7
способностью к
самоорганизации и
самообразованию
ПК-6
владением навыками
количественного и
качественного анализа при
оценке состояния
экономической, социальной,
политической среды,
деятельности органов
государственной власти
Российской Федерации, органов
государственной власти
субъектов Российской
Федерации, органов местного
самоуправления,
государственных и
муниципальных, предприятий и
учреждений, политических
партий, общественнополитических, коммерческих и
некоммерческих организаций
Перечень планируемых
результатов обучения по
дисциплине
Студент должен знать:
- основные понятия и
инструменты алгебры и
геометрии, математического
анализа,
теории
вероятностей, необходимые
для
решения
экономических задач;
Студент должен уметь:
применять
методы
математического анализа и
моделирования,
теоретического
и
экспериментального
исследования для решения
экономических задач;
Студент должен владеть:
- навыками применения
современного
математического
инструментария
для
решения
экономических
задач;
- методикой построения,
анализа
и
применения
математических
моделей
для
оценки состояния и
прогноза
развития
экономических явлений и
процессов.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Математика» представляет собой дисциплину базовой
части
математического
и
естественно-научногоцикла.Преподавание
дисциплины ведется на 1 курсе (1,2 семестр).
Программа дисциплины строится на предпосылке, что студенты
владеют элементарными знаниями по математике, полученными в школе.
Учебная дисциплина «Математика» дает знания, умения и владения, которые
составляют методологическую и теоретическую основу для следующих
дисциплин: информационные технологии в управлении, статистика, теория
управления.
В результате освоения дисциплины, обучающийся должен
демонстрировать следующие результаты образования:
Студент должен знать:
- основные понятия и инструменты алгебры и геометрии, математического
анализа, теории вероятностей, необходимые для решения экономических
задач;
Студент должен уметь:
- применять
методы математического анализа и моделирования,
теоретического и экспериментального исследования для решения
экономических задач;
Студент должен владеть:
- навыками применения современного математического инструментария для
решения экономических задач;
- методикой построения, анализа и применения математических моделей для
оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.
Обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК):
способностью к самоорганизации и самообразованию - ОК-7.
Обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):
владением навыками количественного и качественного анализа при
оценке состояния экономической, социальной, политической среды,
деятельности органов государственной власти Российской Федерации,
органов государственной власти субъектов Российской Федерации, органов
местного самоуправления, государственных и муниципальных, предприятий
и
учреждений,
политических
партий,
общественно-политических,
коммерческих и некоммерческих организаций – ПК-6.
3. Объем дисциплины в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с
преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу
обучающихся
3.1. Объём дисциплины по видам учебных занятий (в часах)
Общая трудоемкость (объем) дисциплины составляет 5 зачетные
единицы для очной формы обучения (ЗЕ), 180 академических часа.
Объем дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины
Контактная работа обучающихся преподавателем (по видам
учебных занятий) (всего)
Аудиторная работа (всего):
в том числе:
Лекции
Семинары, практические занятия
Практикумы
Лабораторные работы
Внеурочная работа (всего):
В том числе, индивидуальная работа обучающихся с
преподавателем:
Курсовое проектирование
Групповая, индивидуальная консультация и иные виды
учебной деятельности, предусматривающие групповую или
индивидуальную работу обучающихся с преподавателем
Контрольная работа
Самостоятельная работа обучающихся (всего)
Вид промежуточной аттестации обучающегося
Объем дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины
Контактная работа обучающихся преподавателем (по
видам учебных занятий) (всего)
Аудиторная работа (всего):
в том числе:
Лекции
Семинары, практические занятия
Практикумы
Лабораторные работы
Внеурочная работа (всего):
В том числе, индивидуальная работа обучающихся с
преподавателем:
Курсовое проектирование
Групповая, индивидуальная консультация и иные виды
учебной деятельности, предусматривающие групповую
или индивидуальную работу обучающихся с
преподавателем
Всего часов
Для очной
формы
обучения
180
76
76
–
38
38
–
–
–
–
–
–
–
64
Зачет 1
Всего часов
Для заочной
формы
обучения (4
года)
180
16
16
–
8
8
–
–
–
–
–
–
Контрольная работа
Самостоятельная работа обучающихся (всего)
Вид промежуточной аттестации обучающегося
–
151
Зачет 1
Объем дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины
Контактная работа обучающихся преподавателем (по
видам учебных занятий) (всего)
Аудиторная работа (всего):
в том числе:
Лекции
Семинары, практические занятия
Практикумы
Лабораторные работы
Внеурочная работа (всего):
В том числе, индивидуальная работа обучающихся с
преподавателем:
Курсовое проектирование
Групповая, индивидуальная консультация и иные виды
учебной деятельности, предусматривающие групповую
или индивидуальную работу обучающихся с
преподавателем
Контрольная работа
Самостоятельная работа обучающихся (всего)
Вид промежуточной аттестации обучающегося
Всего часов
Для заочной
формы
обучения (5
лет)
144
24
24
–
8
16
–
–
–
–
–
–
–
143
Зачет 1
4. Содержание дисциплины, структурированное по темам (разделам) с
указанием отведенного на них количества академических часов и видов
учебных занятий
4.1. Разделы дисциплины и трудоемкость по видам учебных занятий (в
академических часах)
Таблица 1
Очная форма обучения
№
тем
Наименование разделов и тем
Раздел I. Аналитическая геометрия и
элементы линейной алгебры.
1.
Тема 1. Элементы векторной и
линейной алгебры
2.
Тема 2. Методы решения систем
линейных уравнений
Общее
к-во
часов
Аудиторные часы
в том числе:
семинары,
всего
лекции
практич.
занятия
СР
28
16
8
8
12
8
4
2
2
4
8
4
2
2
4
Тема 3. основы аналитической
геометрии в пространстве
Раздел II. Математический анализ.
4.
Тема 1. Элементарные функции и
их свойства
5.
Тема 2. дифференциальное
исчисление функций одной
переменной
6.
Тема 3. интегральное исчисление
функций одной переменной
7.
Тема 4. Функции многих
переменных
8.
Тема 5. методам решения
дифференциальных уравнений
первого и второго порядков
Раздел III. Теория вероятностей
9.
Тема 1. Элементы комбинаторики
10. Тема 2. Классическое определение
вероятности
11. Тема 3. Основные теоремы и
формулы теории вероятностей
12. Тема 4. Случайные величины
Раздел IV. Математическая
статистика.
13. Тема 1. Выборка и выборочное
распределение
14. Тема 2. графические изображения
выборок, выборочные
характеристики
15. Тема 3. элементы регрессионного
и корреляционного анализа
16. Тема 4. Статистическая проверка
гипотез
Зачёт / Экзамен
Всего:
1.
12
52
8
24
4
12
4
12
4
28
8
4
2
2
4
16
8
4
4
8
12
6
2
2
8
10
6
2
2
4
10
28
6
6
16
4
2
8
2
4
8
2
4
12
2
8
4
2
2
4
6
8
4
4
2
2
2
2
2
4
28
16
8
8
12
6
4
2
2
2
6
4
2
2
2
8
4
2
2
4
14
4/36
180
4
2
2
4
76
36
36
64
Заочная форма обучения 4 года
№
тем
Наименование разделов и тем
Раздел I. Аналитическая геометрия и
элементы линейной алгебры.
1.
Тема 1. Элементы векторной и
линейной алгебры
2.
Тема 2. Методы решения систем
линейных уравнений
3. Тема 3. основы аналитической
геометрии в пространстве
Раздел II. Математический анализ.
4.
Тема 1. Элементарные функции и
их свойства
Общее
к-во
часов
Аудиторные часы
в том числе:
семинары,
всего
лекции
практич.
занятия
СР
34
4
2
2
30
13
1
0,5
0,5
12
7
1
0,5
0,5
6
14
60
2
4
1
2
1
2
12
56
11
1
0,5
0,5
10
Тема 2. дифференциальное
исчисление функций одной
переменной
6.
Тема 3. интегральное исчисление
функций одной переменной
7.
Тема 4. Функции многих
переменных
8.
Тема 5. методам решения
дифференциальных уравнений
первого и второго порядков
Раздел III. Теория вероятностей
9.
Тема 1. Элементы комбинаторики
10. Тема 2. Классическое определение
вероятности
11. Тема 3. Основные теоремы и
формулы теории вероятностей
12. Тема 4. Случайные величины
Раздел IV. Математическая
статистика.
13. Тема 1. Выборка и выборочное
распределение
14. Тема 2. графические изображения
выборок, выборочные
характеристики
15. Тема 3. элементы регрессионного
и корреляционного анализа
16. Тема 4. Статистическая проверка
гипотез
Зачёт / Экзамен
Всего:
5.
17
1
0,5
0,5
16
15
1
0,5
0,5
14
8
8
9
38
7
1
4
1
0,5
2
0,5
0,5
2
0,5
8
34
6
11
1
0,5
0,5
10
9
11
1
1
0,5
0,5
0,5
0,5
8
10
34
4
2
2
30
7
1
0,5
0,5
6
7
1
0,5
0,5
6
9
1
0,5
0,5
8
11
3/8
180
1
0,5
0,5
10
16
8
8
151
Заочная форма обучения 5 лет
№
тем
Наименование разделов и тем
Раздел I. Аналитическая геометрия и
элементы линейной алгебры.
1.
Тема 1. Элементы векторной и
линейной алгебры
2.
Тема 2. Методы решения систем
линейных уравнений
3. Тема 3. основы аналитической
геометрии в пространстве
Раздел II. Математический анализ.
4.
Тема 1. Элементарные функции и
их свойства
5.
Тема 2. дифференциальное
исчисление функций одной
переменной
6.
Тема 3. интегральное исчисление
функций одной переменной
Общее
к-во
часов
Аудиторные часы
в том числе:
семинары,
всего
лекции
практич.
занятия
СР
34
4
2
2
30
11,5
1,5
0,5
1
10
11
1
0,5
0,5
10
11,5
67
1,5
8
1
2
0,5
6
10
53
11,5
1,5
0,5
1
10
16,5
2,5
0,5
2
14
14,5
2,5
0,5
2
12
Тема 4. Функции многих
переменных
8.
Тема 5. методам решения
дифференциальных уравнений
первого и второго порядков
Раздел III. Теория вероятностей
9.
Тема 1. Элементы комбинаторики
10. Тема 2. Классическое определение
вероятности
11. Тема 3. Основные теоремы и
формулы теории вероятностей
12. Тема 4. Случайные величины
Раздел IV. Математическая
статистика.
13. Тема 1. Выборка и выборочное
распределение
14. Тема 2. графические изображения
выборок, выборочные
характеристики
15. Тема 3. элементы регрессионного
и корреляционного анализа
16. Тема 4. Статистическая проверка
гипотез
Зачёт / Экзамен
Всего:
7.
8,5
0,5
0,5
8
10
36
5
1
6
1
0,5
2
0,5
0.5
4
0,5
9
30
4
11,5
1,5
0,5
1
10
7,5
12
1,5
2
0,5
0,5
1
1,5
6
10
36
6
2
4
30
5
1
0,5
0,5
4
11,5
1,5
0,5
1
10
7,5
1,5
0,5
1
6
12
3/8
180
2
0,5
1,5
10
24
8
16
143
4.2. Содержание дисциплины, структурированное по темам (разделам)
Таблица 2
№
п/п
1
Наименование
раздела
дисциплины
Аналитическая
геометрия и
элементы
линейной алгебры
Содержание раздела
(дидактические единицы)
2
Математический
анализ.
Элементарные функции и их свойства; дифференциальное
исчисление функций одной переменной; интегральное
исчисление функций одной переменной; рассмотрению
геометрических и физических приложений определенного
интеграла; методам решения дифференциальных уравнений
первого и второго порядков и примерам их приложения к
практическим задачам.
3
Теория
вероятностей
Элементы комбинаторики (соединения без повторений),
классическое определение вероятности, основные теоремы и
формулы теории вероятностей, случайные величины.
4
Математическая
статистика
Выборка и выборочное распределение; графические
изображения выборок, выборочные характеристики;
элементы регрессионного и корреляционного анализа.
Элементы векторной и линейной алгебры, методы решения
систем линейных уравнений; основы аналитической
геометрии в пространстве, включая канонические уравнения
кривых и поверхностей второго порядка.
Модуль 1.Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры
Тема 1.1. Векторные величины. Операции над векторами
Скалярные и векторные величины. Угол между векторами. Проекция
вектора на ось. Сумма векторов. Разность двух векторов. Произведение
вектора на число.
Вектор определяется как направленный отрезок так, как такое представление
больше согласуется с физическими представлениями о векторных величинах.
Обратить внимание на то, что углом между двумя векторами называется
внутренний угол треугольника , построенного на этих векторах.По
определению величина угла между векторами лежит в промежутке от 0° до
180° (в радианной мере от 0 до π радиан).Прямая, на которой выбраны
начальная точка и единичный вектор, называется координатной осью или
координатной прямой.Ортогональной проекцией (или просто проекцией)
вектора на ось называется число, равное произведению длины этого вектора
на косинус угла между вектором и осью.Чтобы сложить два вектора по
правилу треугольника необходимо параллельным переносом перестроить эти
векторы так, чтобы конец второго вектора совпадал с началом первого. Тогда
вектор проведенный из начала первого в конец второго и будет суммой.
Другой способ получил название правило параллелограмма. Чтобы сложить
два вектора по правилу параллелограмма необходимо перестроить их так,
чтобы они имели началом одну точку и достроить чертеж до
параллелограмма. Тогда диагональ параллелограмма, выходящая из общего
из общего начала, и будет суммой этих векторов. Операция сложения
векторов обладает свойствами коммутативности (перестановки) и
ассоциативности (сочетательности). Разность двух векторов можно ввести
как сложение одного вектора с противоположным второму.Произведением
вектора 𝑎⃗ на число λ≠0 называется вектор, длина которого равна |𝜆||𝑎⃗|, а
направление совпадает с направлением 𝑎⃗, если λ>0, и противоположно ему,
если λ<0. Обратить внимание на необходимое и достаточное условие
коллинеарности векторов.
Тема 1.2. Координаты вектора
Декартова прямоугольная система координат на плоскости. Декартова
прямоугольная система координат в пространстве. Координаты суммы,
разности векторов и произведения вектора на число. Координаты точки,
делящей отрезок в данном отношении.
Если на плоскости выбрать две взаимно перпендикулярных оси с общим
началом, то каждой точке плоскости можно поставить в однозначное
соответствие пару чисел и наоборот – каждой паре чисел можно поставить в
однозначное соответствие точку плоскости. Такая система координат
получила
название
–
декартова
система
координат
на
плоскости.Координатами вектора называются проекции вектора на на оси
координат. Проекция вектора на осьОх называется первой координатой или х
координатой, а проекция на ось Оу – второй координатой или у
координатой.Следовательно, координаты вектора равны разностям
соответствующих координат его конца и начала: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = {(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ); (𝑦𝐵 −
𝑦𝐴 )}.В пространстве декартова прямоугольная система координат образуется
тремя взаимно перпендикулярными осями координат с общим началом. К
осям абсциссОх и ординат Оу добавляют третью – ось аппликат и
обозначают Oz.При сложении (вычитании) двух векторов их
соответственные координаты складываются (вычитаются), а при умножении
вектора на число его координаты умножаются на это число.
Тема 1.3. Скалярное произведение векторов
Определение скалярного произведения векторов. Скалярное произведение
векторов, заданных своими координатами.
Будем говорить, что в вещественном пространстве определено скалярное
произведение, если каждой паре векторов 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, из этого пространства,
поставлено в соответствие действительное число, которое обозначим
через(𝑎⃗, 𝑏⃗⃗), обладающее свойствами:
(𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) = (𝑏⃗⃗, 𝑎⃗);
(𝜆𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) = 𝜆(𝑎⃗, 𝑏⃗⃗), где R;
(𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗) = (𝑎⃗, 𝑐⃗) + (𝑏⃗⃗, 𝑐⃗);
Скалярное произведение вектора с самим собой неотрицательно:
(𝑎⃗, 𝑎⃗) ≥ 0, и обращается в нуль лишь если𝑎⃗ = 0.
С помощью введенного понятия скалярного произведения определяют длину
вектора и угол между векторами. Обратите внимание на необходимое и
достаточное условие ортогональности двух ненулевых векторов. Для
векторов𝑎⃗ = {𝑥𝑎 ; 𝑦𝑎 }и 𝑏⃗⃗ = {𝑥𝑏 ; 𝑦𝑏 }, заданных на плоскости, имеет место
1.
2.
3.
4.
формула (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) = 𝑥𝑎 𝑥𝑏 + 𝑦𝑎 𝑦𝑏 . Заметим, что эта формула справедлива только
для декартовой прямоугольной системы координат.
Тема 1.4. Матрицы и определители матриц
Матрицы. Элементарные преобразования. Определитель матрицы.
Миноры и алгебраические дополнения.
При решении ряда прикладных задач используются специальные
математические
выражения,
называемые
матрицами.Матрицей
размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из
m строк и n столбцов.Каждой квадратной матрицеА ставится в
соответствие число detA, обладающее свойствами:
1) величина определителя матрицы не меняется при ее
транспонировании;
2) если к матрице применить элементарное преобразование первого типа,
то определитель изменит знак на противоположный;
3) если к матрице применить элементарное преобразование второго типа,
то определитель не изменится;
4) умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя
на число k равносильно умножению определителя на это число k;
5) если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен
нулю;
6) если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны
нулю, то и сам определитель равен нулю;
7) если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны,
то определитель равен нулю.
Тема 1.5. Системы линейных алгебраических уравнений
Метод Крамера. Однородные системы.
Система линейных алгебраических уравнений имеет единственное
решение тогда и только тогда, когда матрица системы невырождена.В этом
случае решение находят по правилу Крамера.В случаях, когда detA = 0,
система уравнений может либо вовсе не иметь решений (быть
несовместной), либо иметь бесконечное множество различных решений,
когда отдельные уравнения системы не противоречат друг другу.
Однородная система всегда имеет так называемое тривиальное решение
x = 0, y = 0, z = 0. В случае, когда у этой системы det A 0 , тривиальное
решение является единственным в силу сформулированной выше теоремы.
Однородная система линейных уравнений может иметь ненулевое
(нетривиальное) решение только в случае detA = 0. При этом оказывается,
она всегда имеет бесконечное множество решений.
Тема 1.6. Операции над матрицами
Равенство матриц.Сложение матриц.Умножение
скаляр.Умножение матриц.Обратная матрица.
матрицы
на
МатрицыА и В называют равными, если они имеют одинаковые
размерности и все элементы aij матрицы A совпадают с
соответствующими элементами bij матрицы B. Суммой матриц А и В
одинаковой размерности называют матрицу S = A + B, элементы которой
sij равны суммам соответсвующих элементов матриц А и В: sij aij bij .
При этом сумма будет матрицей с той же размерностью. Сумма матриц
разной размерности не определяется. Произведением матрицы А на
скаляр k называют матрицу, элементы которой получены из элементов
матрицы А умножением на k. Произведением матрицы А размерности
m n на матрицу В размерности n q называют матрицу Р размерности
m q,
элементы
которой
определяются
формулами:
pij
n
pij aik bkj ,
i 1,2..., m;
j 1,2,..., q .
Из
этого
правила
следует,
что
k 1
матрицуА можно умножить на матрицу В только тогда, когда число
столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Матрица A 1 ,
удовлетворяющая вместе с заданной матрицей А равенствам
AA 1 A 1 A E , называется обратной к А.
Тема 1.7. Решение системы линейных уравнений в матричной форме
Отметим, что всегда можно от системы линейных алгебраических
уравнений можно перейти к матричному уравнению и обратно.
Тема 1.8. Векторное произведение двух векторов
Определение векторного произведения.
векторов, заданных своими координатами.
Векторное
произведение
Векторным произведениемвектора 𝑎⃗ на неколлинеарный ему вектор𝑏⃗⃗
называется вектор [𝑎⃗, 𝑏⃗⃗] длина которогоравна произведению длин
̂
векторов 𝑎⃗и𝑏⃗⃗ на синус угла между ними |[𝑎⃗, 𝑏⃗⃗]| = |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| sin (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗),
направленный перпендикулярно к плоскости в которой лежат исходные
вектора так, чтобы с его конца поворот от первого вектора ко второму по
наименьшей дуге выглядел против часовой стрелки.Обратите внимание
на то, что векторное произведение не коммутирует. Отметим еще, что
значительное число физических величин определяется при помощи
векторного произведения.Формулу векторного произведения двух
векторов, для удобства запоминания, записывают в виде
𝑖⃗
[𝑎⃗, 𝑏⃗⃗] = |𝑥𝑎
𝑥𝑏
𝑗⃗
𝑦𝑎
𝑦𝑏
⃗⃗
𝑘
𝑧𝑎 |.
𝑧𝑏
(*)
Заметим, что определитель (*) называют символическим, так как, в
отличии от обычного определителя, его можно раскрывать только по
первой строке.
Тема 1.9. Смешанное
геометрический смысл
произведение
трех
векторов
и
его
Произведение вектора [𝑎⃗, 𝑏⃗⃗] на вектор 𝑐⃗, носит название смешанного
произведения векторов 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ и 𝑐⃗и обозначается (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗). Эта конструкция
используется в практических задачах, так как имеет конкретный
геометрический смысл: абсолютная величина смешанного произведения
некомпланарных векторов 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ и 𝑐⃗ равна объему параллелепипеда,
построенного на данных векторах. Смешанное произведение трех
векторов равно определителю третьего порядка, в первой строке которого
стоят координаты первого вектора, во второй – второго и в третьей –
координаты третьего вектора.
Тема 1.10.Прямая на плоскости
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение
прямой в отрезках. Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой,
проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Уравнение
прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному
вектору. Общее уравнение прямой на плоскости.
Отметим, что указанные уравнения прямой на плоскости содержат
переменные х и у в степени не выше первой. Поэтому все аналогичные
уравнения называются линейными.
Тема 1.11. Решение некоторых задач планиметрии
Вычисление угла между прямыми. Условие параллельности и
перпендикулярности двух прямых. Вычисление расстояния от данной
точки до данной прямой.
Тема 1.12. Кривые второго порядка
Уравнение окружности. Уравнение эллипса. Уравнение гиперболы.
Уравнение параболы. Общее уравнение второго порядка.
Рассматриваются канонические уравнения окружности, эллипса,
гиперболы и параболы. Отметим, что указанные уравнения содержат
переменные х и ув степени не выше второй. Поэтому такие кривые
называют кривыми второго порядка.На практике кривые второго порядка
встречаются при изучении небесной механики. Все небесные тела
движутся по траекториям, представляющие собой кривые второго
порядка: эллиптические, параболические, гиперболические траектории.
Тема 1.13. Плоскость
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Уравнение
плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному
вектору. Угол между плоскостями. Условия параллельности и
перпендикулярности плоскостей.
Как известно, три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно задают
плоскость в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через три
заданные точки, имеет вид определителя третьего порядка, составленного
из координат этих точек.Плоскость в пространстве единственным образом
определяется точкой, через которую она проходит, и нормальным
вектором.Всякая плоскость в пространстве определяется линейным
уравнением с тремя переменными.Углом между плоскостями называется
любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими
плоскостями. Достаточно определить один из этих углов, так как их сумма
равна 180°.Условие параллельности двух плоскостей совпадает с
условием
коллинеарности
нормальных
векторов.
Условие
ортогональности плоскостей есть одновременно условие ортогональности
их нормалей.
Тема 1.14.Прямая в пространстве
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение
прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Как и на плоскости, две точки однозначно определяют прямую в
пространстве. Следовательно, искомые уравнения можно получить
аналогично уравнениям прямой на плоскости (с учетом ещё одного
измерения).
Тема 1.15. Решение некоторых задач стереометрии методами
аналитической геометрии
Решение стереометрических задач методами векторной алгебры.
Вычисление расстояния от данной точки до данной плоскости.
С помощью методов векторной алгебры можно решать разнообразные
задачи на вычисление углов, площадей граней, объемов многогранников и
т. д. Например, найти площадь сечения куба плоскостью иливычисление
расстояния от данной точки до данной плоскости.
Тема 1.16. Поверхности второго порядка
Общее уравнение второго порядка с тремя переменными. Эллиптический,
гиперболический и параболический цилиндры. Эллипсоид. Двуполостный
гиперболоид. Однополостный гиперболоид. Эллиптический параболоид.
Гиперболический параболоид.
Поверхности, уравнения которых содержат переменные x,y,z в степени не
выше второй, называются поверхностями второго порядка. Рассмотрим
частные случаи таких поверхностей. Обратите внимание на то, что
поверхности второго порядка находят широкое применение в технических
устройствах.
Модуль 2.Математический анализ.
Тема 2.1.Множество. Операции над множествами.
Множество и его элементы. Подмножества. Пересечение множеств.
Объединение множеств. Вычитание множеств. Дополнение до множества.
Прямое произведение двух множеств. Законы действий. Правило суммы и
произведения.
Множество представляет собой собрание или совокупность некоторых
предметов или объектов, объединенных по некоторому признаку. Это одно
из самых фундаментальных понятий математики. Если любой элемент
множества B является и элементом множества A , то множество B называется
подмножеством (частью) множества A.Множество С, состоящее из всех
тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных
множеств А и В, называют пересечением множеств А и В и обозначается
A B ( - знак пересечения). Объединением множеств А и В называется
такое множество С , которое состоит из всех элементов множествА и В и
только из них. Множество С , которое состоит из всех элементов множества
А, не принадлежащих множеству В , называют разностью множеств А и В и
обозначают A \ B . Прямым (декартовым) произведением множеств А и
Вназывается множество, элементами которого являются все упорядоченные
пары (x; y), в которых первым компонентом является элемент из А, вторым
компонентом – элемент из В. Прямое произведение множеств А и В
обозначается А В ( – знак прямого произведения).
Тема 2.2. Частные случаи числовых множеств.
Координатная ось и числовая прямая. Числовые промежутки. Ограниченные
и неограниченные числовые множества. Числовая (координатная)
плоскость.
Прямая, на которой выбраны начальная и единичная точки, называется
координатной осью или координатной прямой. Каждая точка координатной
оси имеет единственную координату, и наоборот, каждое действительное
число является координатой единственной точки координатной оси.
Множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих двойному
неравенству a x b , называется отрезком с началом в точке а и концом в
точке b и обозначается a ; b . Множество всех действительных чисел х, таких,
что a < x < b, называется интервалом с началом в точке а и концом в точке b
и обозначается a; b . Назовем окрестностью точкис любой интервал a; b ,
содержащий с, а -окрестностью (читается “эпсилон-окрестность”) точки с интервал c ; c , где 0.Числовое множествоА называют ограниченным
сверху (снизу), если существует такое действительное число М (число т), что
для каждого элемента х числового множества выполняется неравенство
x M ( x m) . При этом число М (число т) называется верхней границей
(нижней границей) числового множества А. Числовое множество А
называется ограниченным, если оно ограничено снизу и сверху. Под числовой
(координатной) плоскостью будем понимать плоскость с заданными на ней
двумя взаимно перпендикулярными координатными осями (или числовыми
прямыми). Поэтому целесообразно множество упорядоченных пар
действительных чисел называть числовой плоскостью, а любую числовую
пару - точкой числовой плоскости.
Тема 2.3.Множество действительных чисел.
Натуральные числа. Целые числа. Рациональные числа. Представление
рациональных чисел десятичными дробями. Рациональные числа и
бесконечные периодические десятичные дроби. Действительные числа.
Действия над действительными числами. Абсолютное значение (модуль)
действительного числа.
Множество всех натуральных чисел N = {1;2;3;...;n;...}. Если к множеству
всех натуральных чисел N присоединить число 0, то получим множество
неотрицательных
целых
чисел
Z 0 = {0;1;2;3;...;n;...}.
Объединение
натуральных чисел, чисел им противоположных
и нуля называют
множеством Z целых чисел. Объединение целых и дробных чисел называют
множеством Q рациональных чисел. Множество всех конечных и
бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных
чисел, а каждая такая дробь называется действительным числом.
Абсолютное значение (модуль) действительного числа х обозначается |x| и
определяется по формуле
x, x 0,
| x |
x, x 0.
Тема 2.4. Множество комплексных чисел.
Комплексные числа. Модуль комплексного числа. Комплексная плоскость.
Аргумент комплексного числа.
Комплексными числами называют выражения вида a bi , где aи b –
действительные числа, i - мнимая единица ( a, b R, i 2 1 ). Отметим так же,
что понятия "больше", "меньше" для комплексных чисел нельзя определить.
Суммой чисел a1 b1i и a2 b2i называется число a1 a2 (b1 b2 )i . Умножение
комплексных
чисел
производиться
по
формуле:
(a1 b1i)(a2 b2i) a1a2 b1b2 (a1b2 a2b1 )i . Для любых комплексных чисел
z1 0 0i и z2 существует комплексное число z, такое, что z1z z2 . Это число
называется частным от деления чисел z2 и z1 и обозначается z
z2
z1
. Деление
на комплексное число 0 0i , которое называется нулем, невозможно. Числа
a bi и a bi, т. е. числа, отличающиеся только знаком мнимой части,
называют сопряженными комплексными числами. Число, сопряженное числу
z, будем обозначать z* . Модуль комплексного числа z a bi обозначается z
и определяется по формуле z a 2 b2 . Аргументом комплексного числа
называется угол между положительным направлением
z a bi 0
действительной оси и радиус-вектором OM с началом в точке O(0;0) и
концом в точке M(a;b). Угол считается положительным, если отсчет ведется
против часовой стрелки, и отрицательным, если отсчет производится по
часовой стрелке.
Тема 2.5. Функции.
Понятие функции. Функции и отображения. Числовые функции. Способы
задания функции. Функция, обратная к данной функции. Четные и нечетные
функции. Периодические функции. Монотонные функции. Ограниченные
функции. Чтение графиков функций. Простейшие преобразования графиков
функций.
Одним из важнейших математических понятий является понятие функции.
Пусть заданы множестваА и В. Через х обозначим произвольный элемент
множества А, а через у - произвольный элемент множества В. Тогда, если
каждому элементу х по какому-то правилу f поставлен в соответствие
элемент у, единственный для каждого х, то говорят, что на множестве А
задана функция f со значениями из множества В, и пишут f : A B или
y f ( x), x A . Функция f с областью определения A называется четной,
если для любых х и – х из множестваА выполняется равенство f ( x) f ( x) .
Функция f с областью определения A называется нечетной, если для любых
х и – х из множества А выполняется равенство f ( x) f ( x) . Функция f с
областью определения A называется периодической, если существует число
l 0 такое, что для любых х и х l из множества А выполняется равенство
f ( x l) f ( x) f ( x l) . Числовая функция f называется строго возрастающей,
если для любых x1 и x2 из области определения f таких, что x1 x2 ,
выполняется неравенство f ( x1 ) f ( x2 ) . Числовая функция f называется строго
убывающей, если для любых x1 и x2 из области определения f таких, что x1 x2
, выполняется неравенство f ( x1 ) f ( x2 ) . Функция f с областью определенияА
называется ограниченной, если существует число M > 0 такое, что для любых
х из множества А выполняется неравенство f ( x) M .
Тема 2.6. Элементарные функции, их свойства и графики.
Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность. Линейная
функция. Квадратичная функция. Дробно-линейная функция. Функция y x
.Степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические
функции.Обратные
тригонометрические
функции
действительного
аргумента.
Прямой пропорциональностью называется функция вида y kx, k 0 –
некоторое действительное число. Число k называется коэффициентом
пропорциональности. Обратной пропорциональностью называется функция
k
x
вида y , где k ≠ 0, х ≠ 0. Линейной функцией называется функция вида
y kx b ,
где k и b – некоторые действительные числа. Квадратичной
функцией называется функция вида y ax 2 bx c , где a, b, c – некоторые
действительные числа, причема ≠ 0. Степенной функцией называется
функция вида y x , x R , где – некоторое действительное число. Число
называется показателем степенной функции. Показательной функцией
называется функция вида y a x , x R , где а –некоторое действительное
число, причем a > 0 и а 1. Логарифмической функцией называется
функция вида y log a x, x R , где а – некоторое действительное число,
причём a > 0 и а ≠ 1.Синусом действительного аргумента называется
функция вида y sin x, x R . Косинусом действительного аргумента
называется функция вида y cos x, x R . Тангенсом действительного
аргумента
называется
Котангенсом
y ctg x
функция
действительного
вида
y tg x
аргумента
sin x
, x R, x k , k Z .
cos x
2
называется
функция
вида
cos x
, x R, x k , k Z . Арксинусом называют функцию, обратную
sin x
функции y sin x, x ; и обозначают y arcsin x, x 1; 1. Арккосинусом
2 2
называют функцию, обратную функции y cos x, x [0; ] , и обозначают
y arccos x, x 1; 1. Арктангенсом называют функцию, обратную функции
y tg x, x ; , и обозначают y arctg x, x R . Арккотангенсом называют
2 2
функцию, обратную функции y ctg x, x (0; ) , и обозначают y arcctg x, x R .
Тема 2.7. Сложная функция. Многочлены. Рациональные функции.
Класс элементарных функций.
Сложная функция. Многочлены. Рациональные функции. Алгебраические
функции. Трансцендентные функции. Элементарные функции.
Пусть заданы две функции y g ( x), x X , и z f ( y), y Y , причем область
определения функции f содержит множество значений функции g. В этом
случае функция z f g( x) называется сложной функцией, составленной из
функций f и g. Многочленом степени n или целой рациональной функцией
называется функция вида Pn ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x an , x R, a0 0, где
a0 , a1 , , a n 1 , a n - произвольные фиксированные действительные числа,
называемые коэффициентами многочлена, а n N . Функции вида
y
Pn ( x)
, где Qm ( x) 0 ,
Qm ( x)
называется рациональной функцией (рациональной дробью). Область
определения такой функции - вся числовая ось, за исключением точек, в
которых знаменатель обращается в нуль. Если в формуле, определяющей
функцию, над аргументом x производятся только алгебраические операции
(сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень), то такую
функцию называют алгебраической. Всякую неалгебраическую функцию
называют трансцендентной. Функции, полученные путем конечного числа
арифметических операций и конечного числа суперпозиций из основных
элементарных функций,называются элементарными.
Тема 2.8.Последовательности.
Понятие
числовой
последовательности.
Способы
задания
последовательностей. Ограниченные и монотонные последовательности.
Понятие арифметической прогрессии. Свойства арифметической
прогрессии. Понятие геометрической прогрессии. Свойства геометрической
прогрессии.
Частный случай числовой функции, область определения которой есть
множество
натуральных
чисел,
носит
название
числовой
последовательности. Задать числовую последовательность – это значит
задать правило, по которому каждому натуральному числу п (номеру)
соответствует единственное число a n , т.е. задать функцию, область
определения которой есть множество N всех натуральных чисел.
Последовательность a n называется ограниченной, если существует такое
положительное число М, что для любого n N выполняется неравенство
an M . В противном случае последовательность называется неограниченной.
Частные случаи числовых последовательностей – арифметическая и
геометрическая прогрессии.
Тема 2.9.Предел последовательности.
Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся
последовательности. Бесконечно малые последовательности. Теоремы о
пределах последовательностей, связанные с арифметическими действиями и
неравенствами. Бесконечно большие последовательности. Существование
предела монотонной последовательности. Число е.
Понятие предела и предельного перехода имеют огромное значение в
математике и науках, использующих математику как язык! Числоа
называется пределом последовательности a n , если для каждого заданного
числа 0 существует такое натуральное число N, что для любого n > N
выполняется неравенство
an a . Последовательность называется
бесконечно малой, если ее предел равен нулю. Используя понятие бесконечно
малой последовательности, можно доказать ряд теорем, которые часто
применяют для вычисления пределов: о пределе суммы или разности,
произведения и частного функций. Последовательность a n называется
бесконечно большой, если для любого A> 0 найдется такой номер N, что для
an .
всех n > N выполняется неравенство an A . В этом случае пишут: lim
n
Принципиально важной для пониманияпроцессов,
окружающем нас мире,является теорема Веерштрасса.
проходяших
в
Тема 2.10.Предел функции.
Предел функции в точке. Теоремы о пределах функций, связанные с
арифметическими действиями и неравенствами. Односторонние пределы.
Предел функции при x . Бесконечные пределы. Бесконечно малые и
бесконечно большие функции.
Опираясь на понятие предела последовательности, сформулируем
определение предела функции в точке. Пусть функция f(x) определена в
некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. ЧислоВ
называется пределом функции f(x) в точке а (или при х стремящемся к а),
если для любой последовательности допустимых значения аргумента
xn , n N , xn a , сходящейся к а (т. е. lim
x n a ), последовательность
n
соответствующих значений функции f ( xn ), n N , сходится к числу В. В
f ( x) B . Следовательно, для предела функции можно
этом случае пишут lim
xa
доказать
набор
теорем,
аналогичных
теоремам
для
предела
последовательности: единственности предела функции, теоремы о пределах
функций связанные с арифметическими действиями и т. д. Понятия
односторонних пределов, пределов при x ,бесконечные пределы
получены на основе определения предела функции в точке. Бесконечно
малые и бесконечно большие функции вводятся по аналогии с бесконечно
малым и бесконечно большими последовательностями.
Тема 2.11.Непрерывность функции.
Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.
Непрерывность функции на множестве. Точки разрыва и их классификация.
Непрерывность элементарных функций. Особые (замечательные) пределы.
Функция f ( x), x (a; b) , называется непрерывной в точке x0 (a; b) , если
предел функции f(x) в точке x 0 существует и равен значению функции в этой
точке: lim f ( x) f ( x0 ) . Обратите внимание, что согласно данному
x x0
определению непрерывность функции
f(x) в
одновременную выполнимость следующих условий:
точке
x0
означает
1) функция f должна быть определена в точке x 0 ;
2) у функции f должен существовать предел в точке x 0 ;
3) предел функции f в точке x 0 совпадает со значением функции в
этой точке. Если функция непрерывна в каждой точке интервала (a; b), то она
называется непрерывной на этом интервале. Функция называется
непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна на интервале (a; b) и,
кроме того, непрерывна слева в точке b и непрерывна справа в точке а. Если
функция f(x) непрерывна в точке x 0 , то точка x 0 называется точкой
непрерывности функции f(x). В противном случае, т. е. когда предел
функции f(x) в точке x 0 не существует или существует, но не равен f ( x0 ) ,
говорят, что функция f(x) претерпевает разрыв в точке x 0 , а точка x 0
называется точкой разрыва функции f(x). Основные элементарные функции
непрерывны на своей области определения. Понятие непрерывности
функции в точке существенно облегчает вычисление предела функции: если
вы докажете, что функция непрерывна в точке, то вместо предела можно
вычислить её значение.
Тема 2.12. Производная.
Производная функции. Физический и геометрический смысл производной.
Вычисление производной на основе ее определения. Непрерывность
дифференцируемой функции.
Пусть задана функция f(x), x (a; b) , и пусть x 0 – некоторая точка интервала
(a; b). Предел lim
x x0
f ( x) f ( x 0 )
называется производной функции f(x) в точке
x x0
x 0 и обозначается f ( x0 ) . Если физическая величина изменяется со временем
или от точки к точке пространства, то для нее с помощью производной
удобно ввести характеристику аналогичную скорости, показывающую как
быстро происходит это изменение. Не менее важно геометрическое
истолкование производной: производная функции у = f(x) в точке x 0 равна
угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке ( x0 ; f ( x0 )) .
Исходя из определения производной, получена таблица производных
основных элементарных функций.
Тема 2.13. Производная суммы, разности, произведения и частного
функций. Производная сложной функции.
Производная суммы и разности функций. Производная произведения
функций. Производная частного двух функций. Производная сложной
функции. Производные некоторых элементарных функций.
Тема 2.14. Производные высших порядков.
Вторая производная. Физический смысл второй производной.
Если функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a; b), то каждому
x ( a; b) ставится в соответствие f (x) , т. е. на (a; b) определена новая
функция g ( x) f ( x) . Если функция g(x) дифференцируема в точке x0 (a; b) ,
то производная g ( x0 ) называется второй производной (или производной
второго порядка) от функции f(x) в точке x 0 и обозначается f ( x0 ) или
d 2 f ( x0 )
(читается «дэ два эф по дэ икс квадрат»). Если первая производная
dx 2
от физической величины по времени имеет смысл скорости изменения этой
величины, то вторая производная имеет смысл скорости изменения скорости.
Например, первая производная от координаты по времени – скорость, вторая
производная от координаты по времени – ускорение.
Тема 2.15. Приложение производной к исследованию функций.
Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Интервалы, на которых функция убывает или возрастает, называются
интервалами монотонности этой функции. К сожалению, нельзя доказать
теорему, которая была бы необходимым и достаточным условием
возрастания (убывания) функции на интервале. Отдельно доказывается
необходимое условие. С его помощью доказывают две вспомогательные
теоремы. С их помощью можно доказать достаточное условие.Точка x 0 из
области определения функции f(x) называется точкойминимума (максимума)
этой функции, если существует такая δ-окрестность точки x 0 , что для всех х
из этой δ-окрестности выполняется неравенство f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) .
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума
данной функции, а значения функции в этих точках называются
соответственно максимумом и минимумом функции или экстремумами
функции. Может оказаться, что некоторый максимум функции будет меньше
иного минимума. Это не вступает в противоречие с определениями
экстремумов функции, так как в определении экстремумов сравниваются
значения функции в точке со значениями функции из некоторой окрестности
этой точки.
Тема 2.16. Построение графиков функций.
Выпуклость графика функции. Асимптоты графика. Построение графика
функции.
График дифференцируемой функции f ( x), x (a; b) , называется выпуклым
вверх на интервале (a; b), если производная f (x) строго убывает на этом
интервале. График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз
на интервале (a; b), если f (x) строго возрастает на этом интервале.Заметим,
что на интервале, где график функции выпуклый вверх, все его точки лежат
ниже любой его касательной (рис. 62), так как угловой коэффициент
касательной уменьшается с возрастанием х. Если же на некотором интервале
график функции выпуклый вниз, то все точки графика лежат выше
касательной (кроме, конечно, самой точки касания), проведенной к графику в
любой точке интервала, так как угловой коэффициент касательной
увеличивается с возрастанием х. Точка, в которой касательная к графику
функции лежит с одной стороны выше графика, а с другой – ниже его (т. е.
график перегибается через касательную), называется точкой.Интервалы, на
которых график функции выпуклый вверх или вниз, называются
интервалами выпуклости графика функции. Выпуклость графика
определяют при помощи второй производной.Прямая y = kx + b называется
наклонной асимптотой графика функции f(x) при x , если
lim f ( x) kx b 0 . Прямая х = с называется вертикальной асимптотой
x
f ( x) или lim f ( x) . Построение
графика функции f(x), если xlim
c 0
x c 0
графика функции с учетом всех его характерных особенностей можно
осуществлять по следующей схеме:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Находим область определения функции.
Проверяем функцию на четность и нечетность.
Исследуем функцию на периодичность.
Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
Находим интервалы знакопостоянства функции.
Находим асимптоты (наклонные и вертикальные) графика функции.
Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции.
Находим точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции.
Строим график.
Тема 2.17. Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Нахождение
наибольшего и наименьшего значений в прикладных задачах.
Среди задач с конкретным содержанием, для решения которых
необходимо найти наибольшее или наименьшее значения некоторой
функции, значительное место занимают экономические и геометрические
задачи. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то среди ее
значений на этом отрезке существует как наибольшее, так и наименьшее.
Пусть функция f(x), кроме того, дифференцируема на интервале (a; b), за
исключением, может быть, конечного числа точек. Наибольшее и
наименьшее значения функции f(x) на отрезке [a; b] могут достигаться
функцией либо в одной из критических точек, либо на одном из концов
отрезка [a; b]. Сформулируем правило нахождения наибольшего
(наименьшего) значения функции f(x) на отрезке [a; b]:
1) найти критические точки функции f(x) на интервале (a; b);
2) вычислить значения функции f(x) в критических точках;
3) вычислить значения функции f(x) на концах отрезка [a; b], т. е. f(а)и
f(b);
4) среди найденных значений отобрать наибольшее (наименьшее)
значение.
Тема 2.18. Дифференциал функции.
Определение
дифференциала
функции.
Геометрический
смысл
дифференциала. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
Если функция f(x) имеет производную f ( x0 ) , то произведение f ( x0 )x
называется дифференциалом функции f(x) в точке x 0 и обозначается d f ( x0 ) .
Часто за определение дифференциала принимают формулу, по которой его
можно вычислить.Геометрическое истолкование дифференциала: если
функция f(x) имеет производную в точке x 0 , то дифференциал функции f в
точке x 0 равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику
данной функции в точке с абсциссой x 0 , при переходе от точки касания в
точку с абсциссой x0 x .
Тема 2.19. Неопределенный интеграл и его свойства.
Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица простейших
интегралов. Непосредственное интегрирование.
Как известно, в дифференциальном исчислении решается задача о
нахождении производной или дифференциала заданной функции. Однако на
практике
часто
приходится
решать
задачу,
обратную
задаче
дифференцирования: по заданной производной или по заданному
дифференциалу находить саму функцию. Функцию, восстанавливаемую по
заданной производной или дифференциалу, называют первообразной. Если
функция F(x) является первообразнойдля функцииf(x) на некотором
промежутке, то множество всех первообразных для функцииf(x) задается
формулой F(x) + С, С R. Совокупность всех первообразных функций для
f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается
символом f ( x)dx . Нахождение функции по ее производной (или по ее
дифференциалу) называется интегрированием. Интегрирование – действие,
обратное дифференцированию. Правильность интегрирования проверяется
дифференцированием.
Используя таблицу производных основных
элементарных функций, составим таблицу простейших интегралов. Метод
вычисления интегралов, при котором они сводятся к табличным путем
применения к ним основных свойств неопределенных интегралов,
называется непосредственным интегрированием.
Тема 2.20. Методы интегрирования.
Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям.
«Неберущиеся» интегралы.
Интеграл f ( x)dx часто можно упростить, если вместо х ввести новую
интегрирования
t,
положив
х = (t).
Тогда
f ( x) f (t ), dx (t )dt и f ( x)dx f (t ) (t )dt , где в окончательном
переменную
результате возвращаемся к переменной х по формуле t 1 ( x) . Эта формула
называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Формула udv uv vdu называется формулой интегрирования по частям. Ее
целесообразно применять в тех случаях, когда интеграл
vdu
вычислить
легче, чем исходный интеграл udv . Заметим, что не у всякой элементарной
функции первообразная есть элементарная функция. В том случае, когда
первообразная некоторой элементарной функции
f(x) является также
элементарной функцией, говорят, что интеграл f ( x)dx выражается через
элементарные функции или что этот интеграл вычисляется, «берется». Если
же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что
интеграл «не берется» или «его нельзя найти».
Тема 2.21. Определенный интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие
определенного интеграла. Условие интегрируемости функции на отрезке.
Основные свойства определенных интегралов.
n
Пусть имеется функция f(x), x [a; b]. Если предел lim
f (ci )xi существует
n
i 1
и не зависит от выбора точек ci , то функция f(x) называется интегрируемой
на отрезке [a; b], а предел называется определенным интегралом от функции
f(x) на отрезке [a; b] и обозначается
b
f ( x)dx . Обратите внимание на то, что
a
для того, чтобы функция f(x) была интегрируема на отрезке необходимо
чтобы она была на этом отрезке ограничении и имела конечное число точек
разрыва.
Тема 2.22. Основные теоремы об определенном интеграле.
Теорема о среднем. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона – Лейбница.
Если функция f(x) непрерывнана на отрезке [a; b], а функция F(x) является
первообразной для f(x) на отрезке [a; b], то справедлива формула (Ньютона –
Лейбница):
b
f ( x)dx F (b) F (a) .
Эту
формулу
часто
принимают
за
a
определение определенного интеграла. Определение дано выше. Формула
Ньютона-Лейбница только способ еговычисления.
Тема 2.23. Методы вычисления определенных интегралов.
Метод замены переменной интегрирования (метод подстановки). Метод
интегрирования по частям.
При вычислении определенных интегралов, как и неопределенных,
широко используется метод подстановки, или метод замены переменной
интегрирования и метод интегрирования по частям. Будьте внимательны: при
переходе к новой переменной не забудьте перейти к новым пределам
интегрирования.
Тема 2.24. Практические приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление длины дуги плоской кривой.
Вычисление объемов тел вращения.
Выше было показано, что определенный интеграл от неотрицательной
непрерывной функции равен площади соответствующей криволинейной
трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла и
на этом основано его применение к вычислению площадей плоских фигур.
Многие геометрические и физические задачи решаются методом, при
помощи которого было введено понятие определенного интеграла – «метод
элементарных разбиений». Например, вычисление дуги плоской кривой,
вычисление объема тела вращения, вычисление работы переменной силы.
Метод заключается в том, что объект (плоская кривая, тело вращения,
траектория тела) разбивается на элементарные «кусочки», некоторый
показатель вычисляется для одного такого «кусочка», затем суммируется по
всем элементам разбиения и предельным переходом получается интегральная
формула.
Модуль 3.Теория вероятностей.
Тема 3.1. Основные понятия комбинаторики.
Примеры простейших комбинаторных задач. Понятие выборки. Размещения
и перестановки. Сочетания. Формула Ньютона.
В математике и других науках, в повседневной жизни часто приходится
решать задачи, в которых требуется из элементов некоторого конечного
множества составлять различные комбинации, удовлетворяющие каким-либо
условиям, и подсчитывать число всех таких комбинаций. Такие задачи
получили название комбинаторных. Раздел математики, занимающийся
решением таких задач, называют комбинаторикой. Если из множества,
содержащего n элементов, каким-то способом отобраны k элементов ( k n) , то
говорят, что из этого множества произведена выборка объемаk. Всякая
упорядоченная выборка объема k из множества, содержащего n элементов
(n k ) , называется размещением из n элементов по k элементов. Размещения
из n элементов по n элементов называют перестановками из n элементов.
Всякая неупорядоченная выборка объема k из множества, содержащего n
элементов (n k ) , называется сочетанием из n элементов по k элементов.
Тема 3.2. Случайные события. Вероятность события.
Случайные события и операции над ними. Опыт с равновероятными
исходами. Классическое определение вероятности события.
Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается
всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит,
либо не происходит. Для событий вводятся операции сложения и умножения.
Суммой событий называется событие, которое осуществляется тогда и только
тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий. Сумму событийА
и В обозначают A B . Произведением событий называется событие,
осуществляющееся только в том случае, когда данные события происходят
одновременно. Произведение событийА и В обозначают A B.
Вероятностью P(A) событияA, связанного с опытом с равновероятными
исходами, называется отношение числа исходов, благоприятствующих
событиюА, к числу всех исходов.
Тема 3.3. Основные теоремы и формулы теории вероятностей.
Теорема сложения. Условная вероятность. Теорема умножения.
Независимость событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
Формула Бернулли.
В рассмотренных выше примерах вероятность события вычислялась
непосредственно, исходя из определения. К сожалению, этот путь приводит к
успеху только в самых простых случаях. Обычно же прямой подсчет как всех
исходов, так и тех из них, которые являются благоприятствующими,
оказывается неудобным, а иногда и практически невозможным из-за своей
чрезмерной сложности. Вычисление вероятностей событий, как правило,
можно
существенно
упростить,
если
использовать
теоремы,
устанавливающие связи между вероятностями событий, и формулы.
Тема 3.4. Случайные величины.
Закон распределения случайной величины. Математическое ожидание
случайной величины. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое
отклонение. Биноминальное распределение. Понятие о законе больших чисел.
Под случайной величиной, связанной с некоторым опытом, понимается всякая
переменная величина которая при осуществлении этого опыта принимает то
или иное числовое значение из множества возможных значений. Если для
случайной величины Х известны все значения x1 , x 2 , , x n , которые она может
принимать, и все вероятности p1 , p2 , , pn , с которыми эти значения
принимаются, то говорят, что задан закон распределения случайной
величины Х или просто распределение величины Х. Важной числовой
характеристикой случайной величины является ее среднее значение или
математическое ожидание. Математическим ожиданием случайной
величины называется число, равное сумме произведений всех значений
случайной величины на вероятности этих значений. Другой важной числовой
характеристикой случайной величины является ее дисперсия. Дисперсией
случайной величины называется математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Модуль 4. Математическая статистика.
Тема 4.1. Основные понятия и задачи математической статистики.
Предмет математической статистики. Выборки и выборочные
распределения. Графические изображения выборки. Полигон и гистограмма.
Выборочные характеристики.
В математической статистике разрабатываются теории и методы
обработки информации о массовых явлениях. Исходным материалом для
всякого статистического исследования служат статистические данные. Под
статистическими данными понимаются сведения о числе объектов какойлибо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными
признаками. В самых различных областях производственной и научной
деятельности приходится проводить изучение (обследование, измерение,
проверку) объектов, принадлежащих некоторой совокупности, по какомулибо признаку. При этом иногда приходится исследовать все объекты
совокупности, т. е. проводить сплошное исследование. Но во многих других
случаях в силу различных причин исследовать все объекты невыгодно или
даже невозможно. Поэтому на практике гораздо чаще применяется
выборочное исследование. При выборочном исследовании из всей
совокупности отбирают некоторым образом определенное число объектов и
только их подвергают исследованию. При этом совокупность всех
исследуемых объектов называют генеральной совокупностью. Выборочной
совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно
отобранных объектов из генеральной совокупности. Для того чтобы по
выборке можно было с определенной уверенностью судить о всей
генеральной совокупности, выборка должна достаточно полно отражать
изучаемое свойство объектов генеральной совокупности, быть достаточно
представительной (репрезентативной). Для наглядного представления о
выборке часто используют различные графические изображения выборки.
Простейшими изображениями выборки являются полигон и гистограмма. В
теории вероятностей изучались числовые характеристики случайных
величин: математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия. В
математической статистике аналогичные характеристики вводятся для
выборки.
Тема 4.2. Статистические оценки неизвестных параметров.
Точечные
оценки.
Несмещенность
и
состоятельность
оценок.
Интервальные оценки.
Одной из основных задач математической статистики является нахождение
приближенного значения некоторого неизвестного параметра а случайной
величины Х по выборке ее значений x1 , x2 ,, xn , полученной в результате п
измерений (наблюдений, опытов). Таким параметром может быть, например,
математическое ожидание случайной величины или ее дисперсия.
Приближенное значение параметра а, вычисленное каким-либо
способом по значениям выборки, в статистике называют точечной оценкой
этого параметра и обозначают a n . Точечная оценка a n параметраа называется
несмещенной, если математическое ожидание оценки равно а. Оценка a n
параметра а называется состоятельной, если для любого числа 0
lim P| a n a| 1 . Использование состоятельных оценок обеспечивает
n
сближение оценки с оцениваемым параметром при увеличении объема
выборки. Любая точечная оценка a n неизвестного параметраа является
случайной величиной. Принимая оценку a n за значение параметра а, мы, как
правило, делаем ошибку, даже в том случае, когда оценка является
несмещенной и состоятельной. Поэтому важно знать, каковы точность и
надежность используемой оценки. Задача состоит в том, чтобы уметь
находить границы, в которых с определенной вероятностью заключено
неизвестное значение параметра. Для этого существуют интервальные
оценки.
Тема 4.3. Обработка результатов измерений методом наименьших
квадратов.
Пусть изучается зависимость между величинами Х и Y в случае, когда
имеется возможность измерять значения величины Y при различных
значениях величины Х. при помощи конечного числа измерений, как
правило, нельзя установить точную функциональную зависимость между
изучаемыми величинами. Одной из важнейших задач математической
статистики является установление связи между двумя величинами по
известным выборкам их значений. Для решения поставленной задачи
используется метод наименьших квадратов.
Тема 4.4. Проверка статистических гипотез.
Под статистической гипотезой (или просто гипотезой) понимают всякое
высказывание (предположение) о генеральной совокупности, проверяемое по
выборке.
Правило по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу
Н0 (соответственно, отклонить или принять Н1), называется статистическим
критерием (или просто критерием) проверки гипотезы Н0.
Практические занятия
Модуль 1
№
Темы практических занятий
Число часов
1.
Вычисление определителей.
1/0.25/0,25
2.
Операции над матрицами.
1,5/0,5/0,5
3.
Решение систем линейных уравнений.
1/0,25/0,25
4.
Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное и
смешанное произведения векторов.
5.
Основные задачи на плоскость и прямую.
6.
Кривые второго порядка в канонической форме.
Модуль 1
1,5/0,25/0,25
2/1/1
1/0,5/0,5
Всего часов:
8/2/2
Модуль 2
№
Темы практических занятий
Число часов
1.
Комплексные числа.
2.
Операции над множествами
3.
Нахождение области определения функций.
4.
Нахождение пределов числовых последовательностей.
1/0,5/1
5.
Задачи на нахождение пределов функций.
1/0,5/1
6.
Нахождение производных различных функций.
1/0,5/1
7.
Общая схема исследования функций и построения их графиков.
8.
Непосредственное
интегрирование.
основных интегралов.
9.
Задачи на применение основных методов интегрирования.
1/0,25/0,5
10.
Вычисление и преобразование определенных интегралов.
1/0/0
11.
Вычисление площадей плоских фигур; вычисление длины дуги
плоской кривой; вычисление объема тела; вычисление площади
поверхности вращения.
12.
Решение дифференциальных уравнений первого порядка.
1/0/1
13.
Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
1/0/0
0,5/0/0
0,5/0/0,5
1/0/0
Использование
Модуль 2
таблицы
Всего часов:
1/0/1
1/0,25/0,5
1/0/0,5
12/2/6
Модуль 3
№
Темы практических занятий
Число часов
1.
Размещения, перестановки, сочетания.
1/0,5/0,5
2.
Задачи на классическое определение вероятности.
2/0,5/0,5
3.
Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей.
3/0,5/1
4.
Дискретные и непрерывные случайные величины.
3/0,5/2
Модуль 3
Всего часов:
8/2/4
Модуль 4
№
Темы практических занятий
Число часов
1.
Выборка и выборочное распределение. Полигоны и гистограммы.
2/0,5/1
2.
Выборочные характеристики.
2/0,5/1
3.
Ковариация и корреляция.
4.
Точечные и интервальные оценки.
1/0,5/0,5
5.
Статистическая проверка гипотез.
2/0,5/1
1/0/0,5
Модуль 4
Всего часов:
Всего за два семестра:
8/2/4
36/8/16
5. Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине
Дисциплина «Математика» предполагает как аудиторную (лекции и
семинары), так и самостоятельную работу студентов.
При изучении дисциплины используются следующие материалы учебнометодического обеспечения для самостоятельной работы:
В самостоятельную работу студентов входит освоение теоретического
материала, подготовка самостоятельных работ, решение задач, выполнение
графических работ, подготовка ответов на проблемные вопросы, работу с
примерными тестами по теме. Задания для самостоятельной работы
содержатся в Плане семинарских занятий.
По завершении каждой темы проводится тестовый опрос.
Для подготовки к экзамену обучающиеся могут воспользоваться глоссарием.
Помимо рекомендованной основной и дополнительной литературы, в
процессе самостоятельной работы студентам рекомендуетсяответить на
контрольные вопросы и задания:
Модуль 1.Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры
Тема 1.1. Векторные величины. Операции над векторами
1. Что называется вектором?
2. Чем отличается векторная величина от скалярной? Приведите примеры
скалярных и векторных величин.
3. Какие векторы называются равными?
4. Какой вектор называется нулевым? Имеет ли он направление?
5. Какие векторы называются коллинеарными?
6. Какие векторы называются противоположными?
7. Какие векторы называются компланарными?
8. Что называется углом между векторами?
9. Какие векторы называются ортогональными?
10. Какой вектор называется единичным?
11.Что называется проекцией вектора на ось?
12. Что называется суммой двух векторов?
13.Что называется разностью двух векторов?
14.Что называется произведением ненулевого вектора на число?
15.В чем состоит необходимое и достаточное условие коллинеарности
векторов?
16.Что называется линейной комбинацией векторов ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑎1 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑎2 … , ⃗⃗⃗⃗⃗?
𝑎𝑛
17.Что означает выражение «вектор разложен по данным векторам»?
Тема 1.2. Координаты вектора
1. Что называется декартовой прямоугольной системой координат на
плоскости?
2. Что называется координатами вектора на плоскости?
3. Как записывается разложение любого вектора на плоскости по двум
взаимно перпендикулярным векторам?
4. Как находятся координаты суммы, разности векторов и произведения
вектора на число?
5. Какой вектор называется радиус-вектором точки?
6. Как найти координаты вектора, если известны координаты его начала и
конца?
7. Как расположена точка относительно прямоугольной системы
координат в пространстве, если: а) одна её координата равна нулю; б)
две её координаты равны нулю.
8. Объясните, почему все точки, лежащие на прямой, параллельной
плоскости Оху, имеют одну и ту же аппликату.
9. Даны точки A(2;4;5), B(3;x;y), C(0;4;z), D(5;t;u). При каких значениях
x,y,z,t,u эти точки лежат: а) в плоскости, параллельной плоскости Оху;
б) в плоскости, параллельной плоскости Охz;в) на прямой,
параллельной осиОх?
⃗⃗⃗⃗⃗⃗, если ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
10.Найдите координаты вектора 𝐶𝐴
𝐴𝐵 = {𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 }, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶 =
{𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 }.
11. Первая и вторая координаты ненулевого вектора 𝑎⃗равны нулю. Как
расположен вектор 𝑎⃗ по отношению к оси: а) Oz; б) Ох; в) Оу?
12. Первая координата ненулевого вектора 𝑎⃗равна нулю. Как расположен
вектор 𝑎⃗ по отношению: а) к плоскости Oxz; б)косиОх?
13.Коллинеарны ли векторы: а) 𝑎⃗ = {−5; 3; −1} и 𝑏⃗⃗ = {6; −10; −2}; б) 𝑎⃗ =
{−2; 3; 7} и 𝑏⃗⃗ = {−1; 1,5; 3,5}?
14. Длина радиус-вектора точки М равна 1. Может ли абсцисса точки М
равняться: а) 1; б) 2?
15. Длина вектора 𝑎⃗равна 3. Может ли одна из координат вектора
𝑎⃗равняться: а) 3; б) 5?
16. Абсцисса точки М1 равна 3, а абсцисса точки М2 равна 6. 1) Может ли
длина отрезка М1М2 быть равной 2? 2) как расположен отрезок М1М2 по
отношению к осиОх, если его длина равна 3?
Тема 1.3. Скалярное произведение векторов
1. Дайте определение скалярного произведения двух векторов.
2. Что называется скалярным квадратом вектора?
3. В
чем
состоит
необходимое
и
достаточное
условие
перпендикулярности двух ненулевых векторов?
4. Чему равно скалярное произведение двух векторов, заданных своими
координатами?
5. Что называют длиной вектора?
6. Что называют углом между векторами?
7. Векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗ имеют длины а и b. Чему равно скалярное произведение
векторов 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, если: а) векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗сонаправлены; б) векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗
противоположно направлены; в) векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗перпендикулярны; г)
угол между векторами 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗ равен 60°; д) угол между векторами 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗
равен 120°?
8. При каком условии скалярное произведение векторов 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗: а)
положительно; б) отрицательно; в) равно нулю?
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
9. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Перпендикулярны ли векторы: а) 𝐴𝐷
𝐷1 𝐶1 ;
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
б) 𝐵𝐷
𝐶𝐶1 ; г) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐶1 и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷; д) 𝐷𝐵
𝐷1 𝐶1 .
10.Первые координаты векторов 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗ равны соответственно 1 и 2. Может
ли скалярное произведение векторов𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗ быть: а) меньше 2; б) равно
2; в) больше 2?
Тема 1.4. Матрицы и определители матриц
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Что называется матрицей?
Что называется определителем матрицы?
По какой формуле вычисляется определитель второго порядка?
По какой формуле вычисляется определитель третьего порядка?
Что называют минором и алгебраическим дополнением?
Как вычислить определитель п-го порядка?
Какая матрица называется невырожденной?
Тема 1.5. Системы линейных алгебраических уравнений
1. Что называется решением системы трех линейных алгебраических
уравнений с тремя неизвестными?
2. Что называется матрицей системы трех линейных уравнений?
3. Сформулируйте теорему Крамера.
4. В каком случае системы трех линейных уравнений с тремя
неизвестными имеет единственное решение?
5. Какая система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
называется однородной?
6. Может ли однородная система трех линейных уравнений с тремя
неизвестными не иметь ни одного решения?
Тема 1.6. Операции над матрицами
1. Какие матрицы называют равными?
2. Что называют суммой матриц?
3. Какими свойствами обладает операция сложения матриц?
4. Что называют произведением матрицы на скаляр?
5. Какими свойствами обладает операция умножения матрицы на скаляр?
6. Что называют матричным произведением?
7. Сформулируйте свойства матричного произведения.
8. Что называют единичной матрицей?
9. Дайте определение обратной матрицы.
10. Какие способы нахождения обратной матрицы вы знаете?
Тема 1.7. Решение системы линейных уравнений в матричной форме
1. Как перейти от системы линейных алгебраических уравнений к
матричному уравнению?
2. Какой формулой выражается решение матричного уравнения?
Тема 1.8. Векторное произведение двух векторов
1. Что называется векторным произведением вектора 𝑎⃗на вектор 𝑏⃗⃗?
2. Сформулируйте необходимое и достаточное условие коллинеарности
двух ненулевых векторов.
3. Какие свойства векторного произведения вы знаете?
4. Запишите формулу для вычисления векторного произведения двух
векторов, заданных своими координатами.
Тема 1.9. Смешанное
геометрический смысл
произведение
трех
векторов
и
его
1. Что называется смешанным произведением векторов 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ 𝑏 и 𝑐⃗?
2. В чем состоит геометрический смысл абсолютной величины
смешанного произведения трех некомпланарных векторов?
3. Чему равно смешанное произведение трех векторов, заданных своими
координатами?
4. В чем состоит необходимое и достаточное условие компланарности
трех векторов, заданных своими координатами?
Тема 1.10.Прямая на плоскости
1. Запишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Во всех ли случаях это уравнение справедливо?
2. Запишите уравнение прямой в отрезках.
3. Что называется углом наклона прямой, угловым коэффициентом
прямой?
4. Запишите уравнение прямой, проходящей через данную точку
параллельно заданному вектору.
5. Запишите уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно заданному вектору.
6. Какое уравнение называется общим уравнением прямой?
Тема 1.11. Решение некоторых задач планиметрии
1. Запишите формулу для нахождения косинуса угла между прямыми,
заданными общими уравнениями.
2. Дляпрямых, заданных общими уравнениями, запишите: а) условие их
перпендикулярности; б) условие их параллельности; 3) условие их
пересечения.
3. Запишите формулу для нахождения расстояния от данной точки до
заданной прямой.
Тема 1.12. Кривые второго порядка
1. Какие кривые называются кривыми второго порядка?
2. Что называется эллипсом?
3. Какие точки плоскости называются фокусами эллипса? Как называется
расстояние между фокусами?
4. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипса?
5. Какие точки эллипса называются его вершинами?
6. Что называется большой и малой осью эллипса; его полуосями?
7. Что называется гиперболой?
8. Запишите каноническое уравнение гиперболы.
9. Какие прямые называются асимптотами гиперболы?
10. Что называется параболой?
11.Какая точка плоскости называется вершиной параболы; фокусом
параболы?
12. Запишите каноническое уравнение параболы.
13. Какие множества точек могут быть заданы уравнением второго
порядка с двумя переменными?
Тема 1.13. Плоскость
1. Запишите уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
2. Запишите уравнение плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно заданному вектору.
3. По какой формуленаходят косинус угла между плоскостями.
4. Сформулируйте условие параллельности и ортогональности двух
плоскостей.
Тема 1.14.Прямая в пространстве
1. Какой вид имеют уравнения прямой в пространстве, проходящей через
две данные точки; проходящей через данную точку параллельно
данному вектору?
2. В чем состоят условия параллельности и перпендикулярности прямой и
плоскости?
Тема 1.15. Решение некоторых задач стереометрии методами
аналитической геометрии
1. По какой формуле вычисляется расстояние от данной точки до данной
плоскости?
Тема 1.16. Поверхности второго порядка
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Какие поверхности называются поверхностями второго порядка?
Имеет ли эллипсоид плоскости симметрии?
В каком случае получается двуполостный гиперболоид вращения?
Какими свойствами обладает эллиптический параболоид?
Имеет ли гиперболический параболоид оси симметрии?
Что такое конические сечения?
Модуль 2.Математический анализ.
Тема 2.1.Множество. Операции над множествами.
1. Какими способами можно задать множество?
2. Какое множество называется числовым?
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Что называется элементом множества?
Какие множества называются равными?
Что называется подмножеством данного множества?
Какое множество называется пустым?
Какое множество называется конечным?
Какое множество называется бесконечным?
9. Что называется пересечением множеств?
10.Какие множества называются непересекающимися?
11.Что называется объединением множеств?
12.Что называется разностью множеств?
13.Что называется дополнением множества?
14.В каком случае разностьА \ В есть дополнение множества В до множества А?
15.Что называется прямым произведением множеств?
16.Как формулируются правила суммы и произведения множеств?
Тема 2.2. Частные случаи числовых множеств.
1. Что называется координатной осью (или числовой прямой)?
2. Что называется числовой (координатой) плоскостью?
3. Что называется отрезком?
4. Что называется интервалом?
5. Что называется полуинтервалом?
6. Что называется лучом?
7. Какое множество называется ограниченным?
8. Какое множество называется неограниченным?
Тема 2.3.Множество действительных чисел.
1. Какие числа называются целыми?
2. Какие операции определены на множестве целых чисел?
3. Какие числа называются рациональными?
4. Какие операции определены на множестве рациональных чисел?
5. Какую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной
десятичной дроби?
6. Какая бесконечная десятичная дробь называется периодической?
7. Что называется периодом бесконечной десятичной дроби?
8. Каким образом обыкновенную дробь можно разложить в конечную или
бесконечную десятичную дробь?
9. Какая бесконечная периодическая дробь называется чистой?
10.Каким образом чистую периодическую дробь можно обратить в обыкновенную?
11.Какая бесконечная периодическая дробь называется смешанной?
12.Каким образом смешанную периодическую дробь можно обратить в
обыкновенную?
13.Что называется множеством действительных чисел?
14.Какие числа называются иррациональными?
15.Каким образом на практике может возникнуть рациональное число?
16.Какие действительные числа называются равными?
17.Что называется п-м отрезком данной бесконечной десятичной дроби?
18.В каком случае одно действительное число больше другого?
19.Каким образом приближенно можно найти сумму, разность, произведение и частное двух бесконечных десятичных дробей?
20.Что называется абсолютным значением (модулем) действительного
числа?
21.Какие свойства модуля вы знаете?
22.Что такое стандартный вид числа?
23.Что называется мантиссой числа?
24.Что называется порядком числа?
Тема 2.4. Множество комплексных чисел.
1. Что называют множеством комплексных чисел?
2. Какие операции введены над комплексными числами?
3. По какой формуле находят частное комплексных чисел?
4. Дайте определение комплексной плоскости.
5. Что называют аргументом комплексного числа?
Тема 2.5. Функции.
1. Что такое функция?
2. Что называется областью определения функции?
3. Что называется множеством значений функции?
4. Что такое график функции?
5. Что такое числовая функция?
6. Какие способы заданий функции вы знаете? Приведите примеры
различных способов заданий функции.
7. Какие функции называются обратными?
8. Какие функции называются взаимно обратными?
9. Сформулируйте определения четной и нечетной функций. Приведите
примеры таких функций.
10. Сформулируйте определение периодической функции. Приведите
примеры периодических и непериодических функций.
11. Как располагаются графики взаимнообратных функций?
12. Какие геометрические особенности имеют области определения
четных и нечетных функций?
13. Сформулируйте определения строго возрастающей и возрастающей
функции. Приведите примеры таких функций.
14. Сформулируйте определения строго убывающей и убывающей
функции. Приведите примеры таких функций.
15. Сформулируйте определение ограниченной функции. Приведите
примеры таких функций.
Тема 2.6. Элементарные функции, их свойства и графики.
1. Какая функция называется прямой пропорциональностью?
2. Как расположен график прямой пропорциональности?
3. Какими свойствами обладает функция y kx, k 0 ?
4. Какая функция называется обратной пропорциональностью?
5. Какие особенности имеет график обратной пропорциональности?
k
x
6. Какими свойствами обладает функция y , k ≠ 0, х ≠ 0?
7. Какая функция называются линейной?
8. Является ли линейная функция монотонной?
9. Какой вид имеет график линейной функции?
10.Какая функция называется квадратичной?
11.Сформулируйте свойства квадратичной функции.
12.Как называется график квадратичной функции?
13.Как располагается график квадратичной функции в зависимости от
знака коэффициента а?
14.Какая функция называется дробно-линейной?
15.Какой вид имеет график дробно-линейной функции?
16.Является ли функция y x , x 0 , монотонной?
Тема 2.7. Сложная функция. Многочлены. Рациональные функции.
Класс элементарных функций.
1. Дайте определение сложной функции.
2. Что называют многочленом?
3. Какие функции называют рациональными?
4. Приведите примеры алгебраических и трансцендентных функций.
5. Какие функции называют элементарными?
Тема 2.8.Последовательности.
1. Что называется числовой последовательностью?
2. Какая последовательность называется ограниченной?
3. Какая последовательность называется возрастающей?
4. Какая последовательность называется строго возрастающей?
5. Какая последовательность называется убывающей?
6. Какая последовательность называется строго убывающей?
7. Какая числовая последовательность называется арифметической
прогрессией?
8. Что называется разностью арифметической прогрессии?
9. Сформулируйте свойства арифметической прогрессии.
10. Какая числовая последовательность называется геометрической
прогрессией?
11. Что называется знаменателем геометрической прогрессии?
12. Сформулируйте свойства геометрической прогрессии.
Тема 2.9.Предел последовательности.
1. Сформулируйте определение предела последовательности.
2. Какая последовательность называется сходящейся?
3. Какая последовательность называется расходящейся?
4. В чем состоит необходимое условие существования предела
последовательности?
5. Сколько пределов имеет сходящаяся последовательность?
6. Какая последовательность называется бесконечно малой?
7. Сформулируйте теорему о пределе суммы двух последовательностей.
8. Сформулируйте
теорему
о
произведении
ограниченной
последовательности на бесконечно малую последовательность.
9. В чем заключается необходимое и достаточное условие того, чтобы
число было пределом последовательности?
10. Сформулируйте
теорему
о
пределе
произведения
двух
последовательностей.
11. Сформулируйте
теорему
о
пределе
частного
двух
последовательностей.
12. Сформулируйте теорему о пределе трех последовательностей.
13. Дайте определение бесконечно большой последовательности.
14. Сформулируйте теорему о связи между бесконечно большой и
бесконечно малой последовательностями.
15. Сформулируйте теорему о пределе монотонной последовательности.
16. Можно ли выносить число за знак предела?
17. Что называется числом е?
Тема 2.10.Предел функции.
1. Сформулируйте определение предела функции в точке.
2. Сколько пределов может иметь функция в точке?
3. Сформулируйте теорему о пределе суммы (разности) двух функций.
4. Сформулируйте теорему о пределе произведения двух функций.
5. Можно ли выносить постоянный множитель за знак предела?
6. Сформулируйте теорему о пределе частного двух функций.
7. Сформулируйте теорему о предельном переходе в функциональных
неравенствах.
8. Какой предел называют левым (или левосторонним) пределом функции
в точке?
9. Какой предел называют правым (или правосторонним) пределом
функции в точке?
10.Какова связь между односторонним пределом и пределом функции в
точке?
11.Что называется пределом функции при x ( x )?
12.Что называется бесконечным пределом функции?
13.Какая функция называется бесконечно большой при x a (или при
x )?
Тема 2.11.Непрерывность функции.
1. Какая функция называется непрерывной в точке?
2. Сформулируйте теорему о непрерывности суммы (или разности)
конечного числа непрерывных функций.
3. Сформулируйте теорему о непрерывности произведения конечного
числа непрерывных функций.
4. Сформулируйте теорему о непрерывности отношения двух
непрерывных функций.
5. Всякий ли многочлен является непрерывной функцией?
6. Любая ли рациональная функция является непрерывной?
7. Какая функция называется непрерывной на отрезке (или интервале)?
8. Сформулируйте теорему об обращении функции, непрерывной на
отрезке.
Тема 2.12. Производная.
1. Что называется производной функции в точке?
2. Какая функция называется дифференцируемой в точке (или на
интервале)?
3. В чем состоит физический (или геометрический) смысл производной?
4. В чем состоит необходимое условие дифференцируемости функции в
точке?
5. Приведите примеры непрерывных функций, которые не имеют
производной в некоторой точке.
Тема 2.13. Производная суммы, разности, произведения и частного
функций. Производная сложной функции.
1. Сформулируйте теорему о производной суммы (разности) двух
функций.
2. Сформулируйте теорему о производной произведения двух функций.
3. Можно ли выносить постоянный множитель за знак производной?
4. Сформулируйте теорему о производной частного двух функций.
5. Сформулируйте теорему о производной сложной функции.
6. Чему равна производная константы?
7. Запишите формулу производной степенной функции.
8. Запишите формулу производной показательной функции.
9. Запишите формулу производной логарифмической функции.
10.Запишите формулу производных тригонометрических функций.
11.Запишите формулу производных обратных тригоно-метрических
функций.
Тема 2.14. Производные высших порядков.
1. Что называется второй (или третьей, или п-ой производной) функции?
2. В чем состоит физический смысл второй производной?
Тема 2.15. Приложение производной к исследованию функций.
1. Какие интервалы называются интервалами монотонности функции?
2. Сформулируйте необходимое условие возрастания (или убывания)
функции на интервале.
3. Сформулируйте теорему Роля.
4. Сформулируйте теорему Лагранжа.
5. В чем состоит геометрический смысл теоремы Лагранжа?
6. Сформулируйте достаточное условие строгого возрастания (или
строгого убывания) функции на интервале.
7. Какие точки называются стационарными?
8. Какие точки называются критическими?
9. Какая точка называется точкой минимума (или максимума) функции?
10. Что называется максимумом (или минимумом) функции?
11. Какие значения называются экстремумами функции?
12. Сформулируйте правило нахождения интервалов монотонности
функции.
13. Сформулируйте теорему Ферма.
14. Сформулируйте достаточное условие существования экстремума.
15. Сформулируйте правило нахождения экстремумов функции.
Тема 2.16. Построение графиков функций.
1. Объясните, какой график функции называется выпуклым вверх (или
выпуклым вниз).
2. Какие интервалы называются интервалами выпуклости графика
функции?
3. Что такое точка перегиба графика функции?
4. Сформулируйте достаточное условие выпуклости графика функции.
5. Сформулируйте правило нахождения интервалов выпуклости графика
функции.
6. Сформулируйте правило нахождения точек перегиба графика
функции.
7. Какая прямая называется наклонной асимптотой графика функции?
8. Какая прямая называется горизонтальной асимптотой графика
функции?
9. Какая прямая называется вертикальной асимптотой графика функции?
10. Объясните, по какой схеме обычно строят график функции.
Тема 2.17. Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции.
1. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего
значений функции.
Тема 2.18. Дифференциал функции.
1. Что называется дифференциалом функции?
2. Запишите формулы для дифференциала суммы, разности,
произведения и частного двух дифференцируемых функций.
3. В чем состоит инвариантное свойство дифференциала функции?
4. В чем заключается геометрический смысл дифференциала функции?
Тема 2.19. Неопределенный интеграл и его свойства.
1. Какая функция называется первообразной?
2. Что называется неопределенным интегралом?
3. Какие формулы справедливы для неопределенного интеграла?
Тема 2.20. Методы интегрирования.
1. Приведите таблицу простейших интегралов.
2. В чем состоит метод замены переменной?
3. Запишите формулу интегрирования по частям.
Тема 2.21. Определенный интеграл.
1. Что называется криволинейной трапецией?
2. Какая сумма называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке
[a; b]?
3. Какие функции называются интегрируемыми на отрезке [a; b]?
4. Дайте определение определенного интеграла.
5. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
Тема 2.22. Основные теоремы об определенном интеграле.
1. Сформулируйте теорему о среднем.
2. Какая функция называется интегралом с переменным верхним
пределом?
3. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
Тема 2.23. Методы вычисления определенных интегралов.
1. Запишите формулу замены переменной в определенном интеграле.
2. Запишите формулу интегрирования по частям.
Тема 2.24. Практические приложения определенного интеграла.
1. Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции
(или плоской фигуры).
2. Запишите формулу для вычисления длины плоской кривой.
3. Запишите формулу для вычисления объема тела вращения.
Модуль 3.Теория вероятностей.
Тема 3.1. Основные понятия комбинаторики.
1. Что называют выборкой объема k?
2. Какие выборки называют упорядоченными?
3. Что такое размещения, перестановки, сочетания?
4. Дайте определение символа п!.
5. Какие формулы существуют для вычисления числа размещений, числа
перестановок, числа сочетаний?
6. Сформулируйте теорему о разложении натуральной степени бинома по
формуле Ньютона.
7. Укажите характерные особенности формулы Ньютона.
8. Запишите формулу для k-го члена разложения.
Тема 3.2. Случайные события. Вероятность события.
1. Что называют случайным событием?
2. Какое событие называют: а) достоверным; б) невозможным?
3. Как определяются: а) противоположное событие; б) сумма событий; в)
произведение событий?
4. Какими свойствами обладают операции сложения и умножения
событий?
5. В каком случае два события называют несовместными?
6. Что такое полная система событий?
7. Сформулируйте классическое определение вероятности события.
8. Чему равны вероятности: а) достоверного события; б) невозможного
события?
9. Каким неравенствам удовлетворяет вероятность любого события?
Тема 3.3. Основные теоремы и формулы теории вероятностей.
1. Сформулируйте теорему сложения: а) для несовместных событий; б)
для произвольных событий.
2. Чему равна вероятность события A , если вероятность событияА равна
0,6?
3. Что называют условной вероятностью?
4. Сформулируйте теорему умножения для: а) двух произвольных
событий; б) для двух независимых событий.
5. Запишите формулу полной вероятности.
6. Запишите формулу Бернулли. Вероятность каких событий можно
вычислять по этой формуле?
Тема 3.4. Случайные величины.
1. Что называют случайной величиной?
2. Что называется распределением случайной величины?
3. Какое распределение называется биноминальным?
4. Дайте определение математического ожидания случайной величины.
5. Что называется дисперсией случайной величины?
6. Что называется средним квадратическим отклонением случайной
величины?
7. В чем состоит закон больших чисел в форме Бернулли?
Модуль 4. Математическая статистика.
Тема 4.1. Основные понятия и задачи математической статистики.
1. Что называют: а) генеральной совокупностью; б) выборочной
совокупностью; в) объемом выборки.
2. Дайте определение вариационного ряда. Что называют размахом
выборки?
3. Что называют: а) статистическим рядом; б) выборочным
распределением?
4. Какие графические изображения выборок вы знаете?
5. Дайте определения выборочных характеристик: а) выборочного
среднего; б) выборочной дисперсии.
Тема 4.2. Статистические оценки неизвестных параметров.
1. Дайте определения: а) несмещенной оценки; б) состоятельной оценки.
2. Объясните, что значит, что доверительный интервал a1 ; a 2 накрывает
неизвестный параметра с вероятностью .
Тема 4.3. Обработка результатов измерений методом наименьших
квадратов.
1. Что называется прямой линией регрессии?
2. Как составляется нормальная система для определения прямой линией
регрессии?
3. Как находятся оценки параметров неизвестной линейной зависимости
между величинами методом наименьших квадратов?
Тема 4.4. Проверка статистических гипотез.
1. Что называется статистической гипотезой?
2. Сформулируйте определение статистического критерия.
3. Какие статистические критерии вы знаете?
6. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дисциплине
6.1. Паспорт фонда оценочных средств по дисциплине
№
Контролируемые разделы (темы)
Наименование
п/п
дисциплины (результаты по разделам)
оценочного средства
1. Семинарское задание
Раздел I. Аналитическая геометрия и элементы
1 линейной алгебры
2. Тестовые задания
3. Экзамен
1. Семинарское задание
2 Раздел II. Математический анализ.
2. Тестовые задания
3. Экзамен
1. Семинарское задание
3 Раздел III. Теория вероятностей
2. Тестовые задания
3. Экзамен
1. Семинарское задание
4 Раздел IV. Математическая статистика
2. Тестовые задания
3. Экзамен
6.2. Типовые контрольные задания или иные материалы
6.2.1. Экзамен
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНАМ
Элементы линейной алгебры
1. Матрица, размерность матрицы, единичная матрица.
2. Определитель матрицы второго порядка.
3. Определитель матрицы третьего порядка.
4. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
5. Произведение матрицы на число.
6. Сумма матриц.
7. Произведение матриц.
8. Скалярные и векторные величины. Координаты вектора.
9. Сумма векторов. Произведение вектора на число.
10.Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.
11.Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
12. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно
данному вектору.
13.Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно
данному вектору.
14. Каноническое уравнение эллипса.
15. Каноническое уравнение параболы.
16.Каноническое уравнение гиперболы.
17. Уравнение плоскости.
Математический анализ
1. Множество и его элементы.
2. Виды множеств: пустое, конечное, бесконечное.
3. Отношение множеств: равенство, эквивалентность, подмножество.
4. Объединение множеств.
5. Пересечение множеств.
6. Прямое произведение двух множеств.
7. Вычитание множеств.
8. Дополнение до множества.
9. Правило суммы.
10.Правило произведения.
11.Координатная прямая.
12.Координатная плоскость.
13.Понятие числовой функции. Способы задания.
14.Ограниченность функции.
15.Монотонность функции.
16.Четность функции.
17.Периодичность функции.
18.Функция, обратная данной функции.
19.Сложная функция.
20.Числовые последовательности.
21.Ограниченные и монотонные последовательности.
22.Предел числовой последовательности.
23.Бесконечно малые последовательности
24.Теоремы о пределах последовательностей, связанные с арифметическими
действиями.
25.Бесконечно большие последовательности.
26.Предел функции в точке.
27.Теоремы о пределах функций, связанные с арифметическими действиями.
28.Односторонние пределы.
29.Предел функции при x .
30.Бесконечные пределы.
31.Бесконечно малые функции.
32.Бесконечно большие функции.
33.Непрерывность функции в точке.
34.Свойства функций, непрерывных в точке.
35.Непрерывность функции на множестве.
36.Точки разрыва и их классификация.
37.Производная функции.
38.Геометрический смысл производной.
39.Производная суммы и разности функций.
40.Производная произведения функций.
41.Производная частного двух функций.
42.Производная сложной функции.
43.Необходимые условия возрастания и убывания функции.
44.Достаточные условия возрастания и убывания функции.
45.Необходимые условия существования экстремума.
46.Достаточное условие экстремума.
47.Первообразная и неопределенный интеграл.
48.Основные свойства неопределенного интеграла.
49.Метод замены переменной.
50.Метод интегрирования по частям.
51.Определенный интеграл.
52.Основные свойства определенного интеграла.
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
1.Размещения без повторений.
2.Перестановки без повторений.
3.Сочетания без повторений.
4.Виды событий: достоверное, невозможное, случайное.
5.События независимые и зависимые.
6.События совместные и несовместные.
7.Классическое определение вероятности события.
8.Статистическая вероятность.
9.Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.
10.Условная вероятность.
11.Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.
12.Формула полной вероятности.
13.Формулы Байеса.
14.Дискретные и непрерывные случайные величины.
15.Закон распределения.
16.Математическое ожидание.
17.Дисперсия.
18.Среднее квадратическое отклонение.
Математическая статистика
1.Выборы и выборочные распределения.
2.Полигон частот. Полигон относительных чисел.
3.Гистрограмма частот. Гистограмма относительных частот.
4.Выборочное математическое ожидание.
5.Выборочная дисперсия.
6.Точечные оценки. Несмещенность и состоятельность оценки.
7.Метод наименьших квадратов.
Б. Критерии и шкала оценивания.
Устный ответ на экзамене позволяет оценить степень форсированности
знаний по различным компетенциям. Ответ оценивается по 4 балльной
системе.
Ответ студента оценивается положительно при следующих условиях:
студент владеет теоретическим материалом учебной программы;
студент освоил основные методы решения математических задач в
соответствии с учебной программой;
студент способен применять теорию и методики к решению
конкретных задач.
Процедура экзамена. Экзамен проводится по билетам. Каждый билет
содержит два теоретических вопроса и одно практическое задание. На
подготовку дается 30 минут.
Процедура оценивания. Оценки за теоретические вопросы и
практическое задание суммируются.
Средства оценивания:
ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ № 1
Цель настоящих заданий – проверить знания студентов по высшей
математике в соответствии с требованиями государственного стандарта.
Знания группируются по следующим разделам:
1)
2)
3)
4)
Элементы линейной алгебры;
Математический анализ;
Основные понятия теории вероятностей;
Элементы математической статистики.
Задания призваны проверить следующие уровни подготовленности.
Первый блок состоит из заданий на диагностику базовых понятий
тестируемой дисциплины (модуля или даже цикла модулей/дисциплин). Цель
тестирования заданиями этого блока состоит в определении достижения
конкретным студентом первого уровня.
Второй блок состоит из заданий на диагностику освоения студентами
второго уровня. Это задания на проверку возможностей использовать
полученные знания и
формирующих) заданий.
умения
для
выполнения
типовых
(учебных,
В третьем блоке собраны задания, требующие от учащегося применения
полученных знаний, умений и навыков в квазиреальных жизненных
ситуациях.
Каждое задание призвано проверить усвоение студентом знаний по каждому
конкретному
разделу
с
проверкой
соответственного
уровня
подготовленности. Номера задания состоит из трех чисел, где первое число
обозначает уровень подготовленности, второе ‒ номер раздела, третье –
номер в разделе. Например, задание 2.2.24означает, что задание с номером 24
относится к разделу «Математический анализ» и призвано проверить
возможность использовать полученные знания и умения для выполнения
типовых (учебных, формирующих) заданий (второй блок).
1.1.1. Матрица размерности 3х3 объединяет:
1)
2)
3)
4)
9 чисел;
6 чисел;
3 числа;
12 чисел.
1.1.2. Матрица размерности 3х4 объединяет:
1)
2)
3)
4)
7 чисел;
12 чисел;
9 чисел;
16 чисел.
1.1.3. Система линейных алгебраических уравнений имеет единственное
решение если ее матрица:
1) вырожденная;
2) невырожденная
1.1.4. Однородная система линейных алгебраических уравнений имеет
нетривиальное решение если ее матрица:
1) вырожденная;
2) невырожденная.
1.1.5. Матрица называется вырожденной если:
1) ее определитель отличен от нуля;
2) она содержит строку нулей;
3) ее определитель равен нулю.
1.2.6. Множеством называют:
1) совокупность любых элементов, объединенных по некоторому признаку;
2) совокупность чисел;
3) совокупность геометрических фигур.
1.2.7. Запись a А означает:
1) элемент а принадлежит множествуА;
2) элемент а не принадлежит множествуА;
3) множествоа содержит в себе элемент А.
1.2.8. Прямым произведением множествА и В называют:
1) cумму произведений всех элементов первого и второго множеств;
2) множество всех упорядоченных пар (x;y), в которых первым компонентом
является элемент из А, вторым компонентом – элемент из В;
3) произведение всех элементов первого и второго множества
1.2.9. Множество не содержащее ни одного элемента называют:
1) пустым;
2) нулевым;
3) несобственным.
1.2.10. Какую особенность имеет график четной функции:
1) симметричен относительно оси OX;
2) симметричен относительно прямой y=x;
3) симметричен относительно оси OY.
1.2.11. Если функция f x имеет отрицательную производную в каждой
точке интервала a; b , то она на этом интервале:
1) строго возрастает;
2) строго убывает.
1.2.13. Если функция f x имеет в каждой точке интервала a; b первую и
вторую производные и f '' x <0 для всех x a; b , то на этом интервале график
функции f x :
1) выпуклый вверх;
2) выпуклый вниз.
1.2.14. Неопределенным интегралом
f x dx называют:
1) первообразную этой функции;
2) совокупность всех первообразных для функции f x ;
3) определенный интеграл с переменными пределами.
1.3.15. Какой выборкой является размещение из n элементов по k?
1) упорядоченной;
2) неупорядоченной.
1.3.16. Какой выборкой является сочетание из n элементов по k?
1) упорядоченной;
2) неупорядоченной.
1.3.17. Суммой событийА и В называется событие, которое осуществляется
тогда и только тогда, когда:
1) оба события произошли одновременно;
2) произошло хотя бы одно из этих событий.
1.3.18. Произведением событийА и В называется событие, которое
осуществляется тогда и только тогда, когда:
1) оба события произошли одновременно;
2) произошло хотя бы одно из этих событий.
1.3.19. Случайная величина X – количество бракованных изделий в партии –
является:
1) непрерывной;
2) дискретной.
1.3.20. Случайная величина X – надой молока от одной коровы в течении
года – является:
1) непрерывной;
2) дискретной.
1.3.21. Является ли таблица законом распределения некоторой случайной
величины?
1
2
3
0,3
0,2
0,4
1) да;
2) нет.
1.4.25. Выборочной совокупностью (выборкой) называют совокупность:
1) всех исследуемых объектов;
2) случайно отобранных объектов из генеральной совокупности;
3) объектов, обладающих заданными свойствами.
1.4.26. Выборку, представленную в виде неубывающей последовательности
чисел, называют:
1) выборочным распределением;
2) статистическим рядом;
3) вариационным рядом.
1.4.27. Выборочное математическое ожидание является несмещенной и
состоятельной оценкой для математического ожидания случайной величины:
1) да;
2) нет.
1.4.28. Выборочная дисперсия является несмещенной оценкой для дисперсии
случайной величины:
1) да; 2)нет.
2 1
. равен:
3 5
2.1.1. определитель матрицы
1)
2)
3)
4)
13;
7;
9;
12.
1 2
. равен:
3 4
2.1.2. Определитель матрицы
1)
2)
3)
4)
10;
32;
–2;
–10.
2.2.3. Объединением множеств вА={2;4;6} и В={1;3;4;5} является множество:
1){1;2;3;4;5;6};
2){4};
3) {1;2;3;4;4;5;6}.
2.2.4. Пересечением множествА={1;2;4;6} и В={2;3;4;5} является множество:
1) {2;3;4}
2) {1;2;3;4;5;6}
3) {2;4}.
2.2.5. Разностью множествА={1;3;5} и В={2;3;4;5;8} является множество:
1) Ø;
2) {1};
3) {1;2;4;8}.
2.2.6. Разностью множествА={3;4} и В={1;2;3;4;8} является множество:
1) Ø;
2) {1;2;8};
3) {3;4}
2.2.7. Сколько различных полных завтраков можно составить, если в меню
имеется 3 первых и 5 вторых блюд?
1) 8;
2) 15
3) 2
2.2.8. Лекции по математике посещают 20 студентов, а лекции по психологии
– 30. Сколько всего студентов посещают лекции по математике и
психологии, если эти лекции проходят в разное время и 10 студентов
слушают оба курса?
1)50;
2)60;
3) 40.
2.2.9. найдите область определения функции y
3x 5
x2
1) (-∞;+∞);
2) (-∞;0) (0;+ ∞)
3) [0;+ ∞).
3x 5
y
2.2.10. найдите область определения функции
x 2 1
1) (-∞;+∞);
2) (-∞;-1) (-1;1) (1;+ ∞)
3) (1;+ ∞)
2.2.11. Установите какая из данных функций является четной:
f1 ( x )
x2
;
x 1
f2 (x )
x 2 1
;
x2 2
f3 (x )
x3
?
cos x
1) f1(x)
2) f2(x)
3) f3(x)
2.2.12. Установите, какая из данных функций является нечетной:
x3
f1 ( x )
;
1 x
1) f1(x)
2) f2(x)
3) f3(x)
x3
f2 (x )
;
1 x 2
x3
f 3 (x )
?
sin x
2.2.13. Какую особенность имеет график нечетной функции:
1) симметричен относительно начала координат;
2) симметричен относительно оси OY;
3) симметричен относительно прямой y=x.
2.2.14. Предел последовательности
3n 2
lim 3 5n
n
2
равен:
3
5
1) ;
2)
5
;
3
3) 0;
4) не существует.
2.2.15. Предел последовательности
3 2n
lim 4n 7 равен:
n
1
;
2
3
2) ;
7
1)
3) 0;
4) не существует.
2.2.16. Вычислите предел функции:
lim
x2
x2 1
.
x2
1) 1;
5
;
4
5
3) ;
4
2)
4) не существует.
2.2.17. Вычислите предел функции:
lim
x 1
1)
2)
3)
4)
x2 1
.
x 1
2;
0;
–2;
не существует.
2.2.18. Вычислить предел функции:
3x 2 5
lim
x 2 7 x
3
;
7
2) ;
5
3) ;
2
1)
4) не существует.
2.2.19. Предел функции
1)
2)
3)
4)
sin x
равен:
x
x
lim
0;
1;
–1;
не существует.
2.2.2 0. Производная функции f x x3 cos x равна:
1) 3x 2 sin x ;
2) 3x 2 cos x x 3 sin x ;
3) 3x 2 cos x x 3 sin x .
2.2.21. Производная функции f x
1)
6 x 5x ln x 6 x 5x 1x
2)
6 5 x ln x 6 x 5 x 1x
4
4
ln x 2
4
3)
6 x x5
равна:
ln x
;
4
ln x 2
;
6 5x 4
.
1
x
2.2.22. Производная функции f x cosx3 равна:
1) - sin 3x 2 ;
2) sin x3 3x 2 ;
3) - sin x3 ;
4) cos3x 2 ;
5) - sin x3 3x 2 .
2.2.23. Производная функции f x sin x 5x равна:
4
1)
2)
3)
4)
4 cos x 5 ln 5 ;
4 sin x 5 ;
4 sin x 5 cos x 5
4
3 cos x 5x ln 5 ;
x
3
x 3
x 3
x
ln 5 .
2.2.24. Вычислите неопределенный интеграл: cos3x dx :
1) sin 3x C ;
2) sin 3 x C ;
1
3
x2
3) sin 3 C .
2
1
2.2.25. Вычислите определенный интеграл: x 7 dx :
0
1)
1
;
8
2)
1
;
7
3) 7;
4) 0.
2.2.26. Неопределенный интеграл x sin x 2 dx равен:
x2
cos x 2 C ;
2
x3
x2
2) - cos C ;
2
3
1) -
3) - cosx 2 C ;
1
2
4) неберущийся интеграл.
2.2.27. Вычислите определенный интеграл:
x
1
2
sin x 7 x10 dx .
1
1) 0;
2) -
20
;
33
3) 1;
4)
20
.
33
2
2.3.28. Вычислите выражение: A 5
1) 7;
2) 10;
3) 20.
2
2.3.29. Вычислите выражение: C 5
1) 7;
2) 10;
3) 20.
2.3.30. В урне находятся 3 белых и 4 черных шара. Найдите вероятность того,
что на удачу вынутый шар будет белый:
1)
2)
3)
4)
¾;
3
/7;
4
/7
0.
2.3.31. В урне находятся 2 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность
того, что на удачу вынутый шар будет зеленый:
1)
2)
3)
4)
2
/6;
/8;
6
/2;
0.
2
2.3.32. Из урны, в которой находятся 2 белых и 4 черных шара, наудачу
извлекли два. Найдите вероятность того, что два извлеченных шара будут
белыми.
1) 1/15;
2) ½;
3) 0;
4) 3/36.
2.3.33. Из урны, в которой находятся 2 белых и 4 черных шара, наудачу
извлекли два. Найдите вероятность того, что два извлеченных шара будут
черными.
1)
2)
3)
4)
2
/5;
/5;
4
/15;
1.
1
2.3.34. Дан закон распределения случайной величины:
1
2
3
4
0,1
0,2
0,3
?
С какой вероятностью принимается значение 4?
1) 0,4;
2) 0,2;
3) 0,5.
2.3.35. Закон распределения случайной величины имеет вид:
Найдите МХ?
1) 1,7;
2) 7,0;
1
2
3
0,4
0,5
0,1
3) 3,5.
2.4.36. Дана выборка: 1,2,1,1,1,3,2,0,1,0. Выборочное математическое
ожидание равно:
1) 1,2;
2) 12;
3) 0,21.
2.4.37. Дана выборка: 1,2,1,2,2,2,2,0,3,2. Выборочная дисперсия равна:
1) 1,7;
2) 3,5;
3) 0,61.
2 0
1 −2
3 1
3.1.1.Даны матрицы 𝐴 = (
);𝐵 = (
);𝐶 = (
).
−1 3
−1 3
1 0
а) Матрица 2А равна:
4 0
4 0
4 0
4 0
1) (
); 2) (
); 3) (
); 4) (
).
2 6
−2 6
−1 3
−2 3
б) Матрица В-1 равна:
−1 2
1 0
3 2
3 2
1) (
); 2) (
); 3) (
); 4) (
).
1 −3
0 1
1 1
1 0
в) Матрица (2А + В-1)С равна:
21 2
24 7
24 7
21 7
1) (
); 2) (
); 3) (
); 4) (
).
4 −1
−1 0
4 1
4 −1
3.2.2. Классифицируйте дифференциальное уравнение и найдите все его
решения: 𝑥 ′ = 𝑡𝑥 2 .
а) уравнение вида:
1) в частных производных;
2) линейное уравнение;
3) с разделяющимися переменными;
4) однородное.
б) общее решение имеет вид:
1
1) 𝑥(𝑡) = − 𝑡 2 + 𝐶;
2
2) 𝑥(𝑡) = −
1
2
𝑡 2 +𝐶
;
3) 𝑥(𝑡) = 𝑡 3 + 𝐶;
3
4) не имеет решений.
в) особое решение имеет вид:
1) х = 0;
2) х = 1;
3) х = t;
4) не имеет особых решений.
3.3.3. Самолет бомбит цель, делая пять заходов. В каждом заходе сбрасывает
одну бомбу, вероятность попадания которой в цель 0,7. Под случайной
величиной понимается число попаданий в цель.
а) Вычислите математическое ожидание случайной величины.
1) 0,7; 2) 0,3; 3) 3,5, 4) 0,35.
б) Вычислите дисперсию случайной величины.
1) 0,3; 2) 1,05; 3) 0,03; 4) 0,015.
в) Как называется такое распределение?
1) Гаусса; 2) Бернулли; 3) Пуассона; 4) равномерное.
3.4.4. Четыре измерения длины стержня дали следующие результаты: 18, 19,
21, 22 мм. Найдите:
а) выборочную среднюю длины стержня;
1) 20,2; 2) 20; 3) 19) 21.
б) выборочную дисперсию;
1) 2,0; 2) 2,1; 3) 2,3; 4) 2,5.
в) несмещенную выборочную дисперсию;
1) 2,55; 2) 3,22; 3) 3,33; 4) 3,55.
г) какие из этих оценок будут несмещенными и состоятельными.
1) выборочное среднее; 2) выборочная дисперсия; 3) несмещенная
выборочная дисперсия.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Вариант 1
1. По данным векторам a и b постройте следующие векторы:
1
b a; 2a 3b ; a b .
5
2. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(5; 0;0), B(3;0;2)
иС(5;0;2). Найдите четвертую вершину D и угол между векторами AC и BD.
3. Даны векторы a {1;2;3}, b {2;2;1}, c {0;1;2}, d {2;1;0} . Вычислите:
[a , c ]; [( a b ), d ]; [( 2a b ), (d c )].
4. Вычислите определители:
1
3
0
2
3
;
0
2
1 1 4.
2 0 1
5. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера:
x 2 y 4z 6
2 x y 3z 11
4 x y 5z 9
6. Вычислите:
2 3
,
3
1 3
2 3
, C
.
B
0 4
0 5
АВ + АС, где A
0
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Вариант 2
1. По данным векторам a и b постройте следующие векторы:
b a;
2a b ;
1
b.
5
2. Дан четырехугольник с вершинами в точках A(2;-3;1), B(1;4;0), C(-4;1;1) и
D(-5;-5;3). Найдите угол между диагоналями [AC] и [BD].
3. Даны векторы a {1;2;3}, b {2;2;1}, c {0;1;2}, d {2;1;0} . Вычислите:
[a , b ]; [( a d ), c ]; [( a b ), (d c )].
1 3
;
4. Вычислите определители:
2 2
3 0 1
2 1 4 .
2 0 1
5. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера:
x 2 y 3z 4
2 x y 4 z 12
3x y z 2
6. Вычислите:
2 3
,
1
АВ - АС, где A
0
1 3
2 3
, C
.
B
0 4
0 5
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Вариант 1
1. КругиА, В, С - множества. Заштриховать следующие множества, используя
каждый раз новый рисунок:
1) A B C;
2)( A B) \ C; 3)( A C ) \ (C B)
2. Найдите множества A B, A B, A C, A \ B, B \ C,( B C) \ A, C \ ( A B) , если
A={-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2},
B={4; 3; 2; 1; 0; -1; -2},
C={-4; -3; -2; -1; 0; 2; 3; 4}.
3. Найдите область определения функции, заданной формулой:
1) y x 2 x; 2) y
1
x2 1
; 3) y
; 4) y x .
x 1
x 1
4. Какие геометрические особенности имеют графики обратных функций?
5. Установите, какие из данных функций четные, какие нечетные:
f 1 ( x ) x 1;
f 2 ( x) x 2 ;
f 3 ( x)
1
.
x x
3
6. Найдите пределы последовательностей:
2n 3
1
3n 2 2
lim
; lim n ; lim
.
n 4n 8
n 2
n 1 4n 2
7. Вычислите пределы функций:
lim ( x 4 2 x 4);
x 4
x3 8
;
x 2 x 2
lim
1 3x
;
x 2 x 4
lim
x sin x
.
x 2 x 6
lim
8. Найдите производные функций:
f1 ( x) 3 x 4 7 x 3;
f 4 ( x) (3 x 6 2) ln x;
1
;
x3
cos x
f 5 ( x) 5
;
x 6x
f 2 ( x) x
3
f 3 ( x) 2 sin x a x ;
f 6 ( x) sin x .
9. Исследуйте функцию и постройте ее график:
y
x2 9
.
4 x2
3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Вариант 2
1. КругиА, В, С - множества. Заштриховать следующие множества, используя
каждый раз новый рисунок:
1) A B C ; 2) A ( B \ C ); 3)( A C ) \ (C B)
2. Найдите множества A B, A B, A C, A \ B, B \ C,( B C) \ A, C \ ( A B) , если
A={-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2},
B={4; 3; 1; 0; -1; -2},
C={-4; -3; -2; 0; 1; 3; 4}.
3. Найдите область определения функции, заданной формулой:
1) y
x 1
; 2) y x 2.
x2 1
4. Какие геометрические особенности имеют графики четных, нечетных и
периодических функций?
5. Установите, какие из данных функций четные, какие нечетные:
f 1 ( x ) | x 1|;
f 2 ( x) x 4 ;
f 3 ( x)
1
.
x 2
3
6. Найдите пределы последовательностей:
2n 3
1
3n 2 2
; lim n ; lim
.
n 4 8n
n 4
n 1 3n 4n 2
lim
7. Вычислите пределы функций:
lim ( x 2 x 4);
4
x 4
x3 8
lim
;
x 2 x 2
lim
x
1 3x
;
2x 4
lim
x
x sin x
.
2x 6
8. Найдите производные функций:
4
1
; f 3 ( x) 2 cos x 5 x ;
3
x
sin x
f 4 ( x) ( x 6 2 x) ln x; f 5 ( x) 5
; f 6 ( x) sin 3 x 2 9 x .
2
x 3x
f1 ( x) x 5 7 x 2 3; f 2 ( x) x 3
9. Исследуйте функцию и постройте ее график:
y
x3
.
1 x
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
Вариант 1
1. Вычислите неопределенные интегралы:
x
5 x 2dx;
3
cos x e dx.
1 1
dx;
x4 x
x
x
2. Вычислите интегралы методом замены переменного:
e
3x
dx;
sin( 5x 2)dx; x
x 2 4dx;
sin xe
cos x
dx.
3. Вычислите интегралы методом интегрирования по частям:
x3
x
x
dx;
2
xln xdx.
sin xdx;
4. Вычислите определенные интегралы:
2
4
sin 4 xdx;
e
0
1
3
e
x
x
1
dx;
0
2
xdx
4 x2
;
x cos xdx.
0
5. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
y 8 7x x 2 ,
y 2 x 16, x 0.
6. Найдите решение задачи Коши:
(1 t ) x x 0,
x(0) 1.
7. Решите уравнение с разделяющимися переменными:
1 t 2 x tx 0.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
Вариант 2
1. Вычислите неопределенные интегралы:
4 x
3
5 x 2 2dx;
x
1 1
dx;
x7 x
sin x e dx.
x
2. Вычислите интегралы методом замены переменного:
e
3 x4
dx;
sin x cos
3
xdx;
xdx
x 4
2
x sin( x
;
2
)dx.
3. Вычислите интегралы методом интегрирования по частям:
x4
x
dx;
x
2
cos xdx;
x
3
ln xdx.
4. Вычислите определенные интегралы:
4
cos 4 xdx;
0
2
x
e
1 3e x 1 dx;
3
0
xdx
4 x2
2
;
x sin xdx.
0
5. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
y 8 2x x 2 ,
y 2 x 4.
6. Найдите решение задачи Коши:
x
x2 x
, x(1) 1.
t2 t
7. Решите уравнение с разделяющимися переменными:
x
x 1
.
t 1
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
Вариант 1
1. Вычислите:
77 !
; C106 ;
76!
P6 P5
;
5!
A156 A155
.
A154
2. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3,
4, 5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?
3. Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг.
Сколькими
способами это можно сделать?
4. Из урны, в которой находятся 4 белых, 3 черных и 5 красных шаров,
наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар
окажется:
1) белым; 2) черным; 3) желтым; 4) красным.
5. Из букв Л, И, Т, Е, Р, А выбраны наугад и подставлены друг к другу в
порядке выбора 4 буквы. Найдите вероятность того, что при этом получилось
слово «тире».
6. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным
номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди
отобранных лиц окажутся три женщины.
7. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены.
Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух
извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) хотя бы одно
окрашенное изделие.
8. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Вычислите вероятность того,
что студент знает предложенные ему экзаменатором два вопроса.
9. Найти недостающую вероятность, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины:
X
-4
0
6
10
P
0,2 0,3 ?
0,4
10. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наугад вынимаются два
шара. Найдите MXиDX, если Х – число вынутых белых шаров.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
Вариант 2
1. Вычислите:
57 !
; C84 ;
56!
P6 P5
;
6!
A106 A105
.
A104
2. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3,
5,6?
3. Имеется 10 флажков разного цвета. Сколько вариантов сигнала из двух
флажков можно составить?
4. Из урны, в которой находятся 4 белых, 5 черных и 6 красных шаров,
наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар
окажется:
1) белым; 2) черным; 3) желтым; 4) красным.
5. Из букв Л, И, Т, Е, Р, А выбраны наугад и подставлены друг к другу в
порядке выбора 4 буквы. Найдите вероятность того, что при этом получилось
слово «лира».
6. На складе имеются 15 телевизоров, причем 10 из них изготовлены в Киеве.
Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу телевизоров
окажутся три телевизора киевского завода.
7. В коробке десять одинаковых изделий, причем три из них окрашены.
Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух
извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) хотя бы одно
окрашенное изделие.
8. Студент знает 20 из 30 вопросов программы. Вычислите вероятность того,
что студент знает предложенные ему экзаменатором два вопроса.
9. Найти недостающую вероятность, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины:
X
0,1 0,2 0,6 1,0
P
0,2 ?
0,1 0,4
10. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наугад вынимаются два
шара. Найдите MXиDX, если Х – число вынутых черных шаров.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5
Вариант 1
1. Дана выборка: –1, 0, –1, 1, 0, –1, 1, 1, 2, 1, 4.
Найти объем выборки, размах выборки; записать вариационный ряд,
статистический ряд, выборочное распределение; построить полигон частот.
2. Для выборки, заданной статистическим рядом (10; 3), (40; 3), (80; 2)
найдите выборочное среднее x и выборочную дисперсию S 0 .
3.Постройте гистограмму частот для выборки:
17, 19, 20, 10, 14, 16, 21, 21, 22, 22, 35, 27, 32, 24, 24, 24, 24, 27, 27, 27,
разбив промежуток от наименьшего значения выборки дот наибольшего её
значения на 5 промежутков.
4. Результаты измерений некоторой величины Y, зависящей от температуры
Х, даны в таблице:
xi
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
yi
0,2
0,3
0,6
1,0
1,8
2,7
3,8
5,1
6,7
8,3
10,2
Найдите прямую линию регрессии.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5
Вариант 2
1. Дана выборка: 0, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 5, 5, 5, 2.
Найти объем выборки, размах выборки; записать вариационный ряд,
статистический ряд, выборочное распределение; построить полигон частот.
2. Для выборки, заданной статистическим рядом (10; 3), (20; 3), (50; 4)
найдите выборочное среднее x и выборочную дисперсию S 0 .
3.Постройте гистограмму частот для выборки:
27, 29, 30, 20, 24, 26, 31, 31, 32, 32, 45, 27, 32, 24, 24, 24, 24, 37, 37, 27,
разбив промежуток от наименьшего значения выборки дот наибольшего её
значения на 5 промежутков.
4. Результаты измерений некоторой величины Y, зависящей от температуры
Х, даны в таблице:
xi
50
100
140
180
240
270
40
300
210
yi
8
14
20
23
30
36
4
37
26
Найдите прямую линию регрессии.
6. Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой
для освоения дисциплины
6.1.1. Список основной литературы.
1. Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Высшая математика для экономистов. Курс
лекций: учебное пособие для вузов. – М.: Из-во «Экзамен», 2009. 285 с.
2.
Высшая математика для экономистов: учебник для студентов,
обучающихся по экономическим специальностям / под ред. Н.Ш. Кремера.
– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 479 с.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник
для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. 573 с.
4. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия:
учебник. – М.: Проспект, 2012, – 400 с.
6.1.2.Список дополнительной литературы.
1. И.И.Баврин. Высшая математика. 3-е издание – Москва. – «Академия». –
2003.
2. Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу: –М.: АСТ, 2003.
3. Луканкин А.Г. Математика: учебник для учащихся сред.проф.
образования. – М.: ГЭОТАР-Медиа, 2012. 320 с.
6.2. Интернет-ресурсы
1. www.mrsei.ru/methodical-maintenance
9. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
1. Методические рекомендации для преподавателя
Учебная дисциплина «Математика» преподается студентам первого
курса, не имеющим опыта обучения в высших учебных заведениях, поэтому
одна из основных задач преподавателя – помочь студентам учиться в новых
для них условиях. Практика показывает, что при обучении в вузах на
младших курсах студенты сталкиваются с рядом проблем. В качестве одного
из признаков таких проблем, возникающих при переходе из школы в вуз,
можно указать резкое снижение успеваемости на первом курсе по сравнению
с результатами в школе.
Рабочая программа дисциплины ориентирован на студентов,
получивших базовые знания по математике в старшем звене средней школы,
что является необходимым условием для успешного усвоения данной
дисциплины в институте.
Учебная работа студентов по данной дисциплине включает в себя
посещение лекций, участие в семинарских занятиях, выполнение
контрольных работ (рефератов), а также самостоятельную работу.
Основным видом учебной работы является освоение лекционного
материала, преподаваемого в соответствии с настоящим УМК.
На вводном занятии преподавателю необходимо ознакомить
студентов с требованиями Федерального государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования по направлению 38.03.04
«Государственное и муниципальное управление» подготовки по учебной
дисциплине «Математика». Необходимо ознакомить студентов с формами
контроля успеваемости студентов.
При проведении занятий преподаватель должен четко формулировать
цель занятия и основные проблемные вопросы. В целях контроля
подготовленности студентов и привития им навыков краткого письменного
изложения своих мыслей по предложенной тематике преподаватель в ходе
занятий может проводить контрольные работы.
При проведении первых лекций необходимо обратить особое
внимание на доступность материала и темп его изложения (возможность
конспектирования), дать рекомендации по организации самостоятельной
работы и обеспечить контроль усвоения пройденного материала.
Семинарские занятия проводятся с целью закрепления наиболее
значимых для будущей профессиональной деятельности частей лекционного
курса, усвоения навыков и методов практического использования изученного
теоретического материала, а также контроля успеваемости учащихся.
При проведении семинарских занятий преподаватель должен четко
формулировать цель занятия и основные проблемные вопросы. После
заслушивания докладов студентов необходимо подчеркнуть положительные
аспекты их работы, обратить внимание на имеющиеся неточности (ошибки),
дать рекомендации по подготовке к следующим докладам. Рефераты,
предполагающие анализ публикаций по отдельным вопросам семинара,
рекомендуется заслушивать в середине занятия. При подведении итогов
обсуждения намеченных вопросов преподаватель оценивает каждого
выступавшего студента, выделяя наиболее активных.
В целях контроля уровня подготовленности студентов и привития
им навыков краткого письменного изложения своих мыслей по
предложенной тематике преподаватель в ходе семинарских занятий может
проводить контрольные работы.
Семинар может включать в себя элементы индивидуального
собеседования. Преподаватель должен осуществлять индивидуальный
контроль работы студентов; давать соответствующие рекомендации; в случае
необходимости помогать студенту составить индивидуальный план работы
по изучению данной учебной дисциплины.
Контрольные работы проводятся для проверки степени усвоения
студентами изученного материала.
Самостоятельная работа необходима студентам для подготовки к
семинарским занятиям и зачету, а также подготовки рефератов на выбранную
тему с использованием материалов преподаваемого курса, лекций и
рекомендованной литературы.
2.
Методические указания для студента
Основными видами аудиторной работы студента при изучении
дисциплины «Математика» являются лекции, семинары и практические
занятия в компьютерном классе. Студент не имеет права пропускать без
уважительных причин аудиторные занятия, в противном случае он может
быть не допущен к зачету.
На лекциях излагаются и разъясняются основные понятия темы,
связанные с ней теоретические и практические проблемы, даются
рекомендации для самостоятельной работы. В ходе лекции студент должен
внимательно слушать и конспектировать новый материал.
Завершают изучение наиболее важных тем или разделов учебной
дисциплины практические занятия.
Результаты контроля качества учебной работы студентов
преподаватель может оценивать, выставляя текущие оценки в рабочий
журнал. Студент имеет право ознакомиться с выставленными ему оценками.
Важным видом работы студента при изучении дисциплины
«Математика» является самостоятельная работа.
Для студентов очной формы обучения на самостоятельную работу
отводится примерно 50%, для студентов очно-заочной формы обучения – до
80% и заочной формы обучения – до 90% общего времени дисциплины,
поэтому правильная организация самостоятельной работы является залогом
успешного изучения дисциплины. Нельзя надеяться только на тот материал,
который был изучен в ходе лекций, семинаров или практических занятий,
необходимо закрепить его и расширить в ходе самостоятельной работы.
Наибольший
эффект
достигается
при
использовании
«системы
опережающего чтения», то есть предварительного самостоятельного
изучения материала следующего занятия.
Самостоятельная работа должна носить творческий и планомерный
характер. Ошибку совершают те студенты, которые надеются освоить весь
материал только за время подготовки к зачету. Опыт показывает, что уровень
знаний у таких студентов является низким, а знания и навыки – непрочными.
В процессе организации самостоятельной работы большое значение
имеют консультации преподавателя. Они могут быть как индивидуальные,
так и в составе учебной группы. С графиком консультаций преподавателей
можно ознакомиться на кафедре.
Самостоятельную работу по изучению информатики и математики
целесообразно начинать с изучения рабочей программы, которая содержит
основные требования к знаниям, умениям, навыкам; ознакомления с
разделами и темами в порядке, предусмотренном учебной программой.
Получив представление об основном содержании раздела, темы, необходимо
изучить данную тему, представленную в учебнике, придерживаясь
рекомендаций преподавателя, данных в ходе установочных занятий по
методике работы над учебным материалом.