4 - Центр дополнительного образования для детей

Государственное бюджетное
образовательное учреждение
дополнительного образования детей
«Центр
дополнительного
образования для детей»
350000 г. Краснодар,
ул. Красная,76
тел. 259-84-01
E-mail:cdodd@mail.ru
Найти
все
значения
(2  a) x 2  3ax  2a  0 больше
КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ
«ЮНИОР»
Математика 8 класс
ответы и решения к работе № 4,
2012-2013 уч. год
Задание 1.
параметра
а, при
котором
корни
уравнения
1
.
2
Решение
1
2
Выписывая необходимые условия при a  2 и A  , получим систему неравенств:
(2  a)  (2  a)
 0 . Решая эту систему неравенств,
4
16
2
 a  2 . Если a  2 , то уравнение примет вид  6x  4  0 , откуда x  , а так
получим
17
3
2 1
16
как  , то a  2 тоже входит в ответ. Если a  , то D  0 и все условия также
17
3 2
16
 a  2.
выполнены. Поэтому
17
9a 2  8a(2  a)  0 ;
3a
1

2(2  a) 2
и
Задание 2.
Решить уравнение: | x + 1| - | x| + 3| x - 1| - 2| x - 2| = x + 2.
Решение
Ответ: x = - 2 или x≥2. Если 1≤x<2, получаем тождество. Если 1x < 2, получаем
уравнение 4x = 8, которое не имеет корней на данном интервале. Если 0≤x < 1,
получаем уравнение -2x = 2, которое не имеет корней на данном интервале. Если -1≤x
<
0,
получаем
0
=
2,
чего
не
может
быть.
Если
x < - 1, получаем корень x = - 2
Задание 3.
На окружности записаны а) 6; б) 30 чисел. Каждое из этих чисел равно модулю
разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Сумма всех чисел равна
1. Найти эти числа.
Решение
Поскольку каждое из выписанных чисел равно модулю разности двух других, а
модуль любой величины всегда неотрицателен, то все числа должны быть
неотрицательны. Пусть наибольшее из них равно x. Два следующих за ним числа
должны быть не больше x и различаться на x. Это возможно лишь в случае, когда одно
из них равно x, а другое — нулю. Итак, в каком-то месте должны стоять либо числа x,
x, 0, либо числа x, 0, x. Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы
однозначно восстановим остальные числа. В обоих случаях получается один и тот же
набор — x, x, 0, ..., x, x, 0. Из условия, что сумма всех чисел равна 1, находим: а) x =
1/4, б) x = 1/20. Ответа), б) один набор.
Задание 4.
Эстафета длиной 2004 км состоит из нескольких этапов одинаковой длины,
выражающейся целым числом километров. Участники команды города Энскбежали
несколько дней, пробегая каждый этап ровно за один час. Сколько часов они бежали,
если известно, что они уложились в неделю?
Решение
По условию 2004 делится на число часов. С другой стороны, это число не превосходит
числа часов в неделе, то есть 168. Все делители числа 2004 = 2·2·3·167, не
превосходящие 168, это 1, 2, 3, 4, 6, 12 и 167. Если бегуны бежали не больше 12, часов,
то их скорость была не меньше 167 км/ч, что нереально. Значит, они бежали 167 часов
(со скоростью 12 км/ч). Ответ:167 часов.
Задание 4.
а) В городе Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной
автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжать на
улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее 10
машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если ее члены
могут сами выбирать запрещенные дни для своих автомобилей?
б) В Мехико для каждой частной автомашины устанавливается один день в неделю, в
который она не может выезжать на улицы города. Состоятельная семья из 10 человек
подкупила полицию, и для каждой машины они называют 2 дня, один из которых
полиция выбирает в качестве невыездного дня. Какое наименьшее количество машин
нужно купить семье, чтобы каждый день каждый член семьи мог самостоятельно
ездить, если утверждение невыездных дней для автомобилей идет последовательно?
Решение
а) 13 машин не хватит. Действительно, общее число запретов равно 26, в неделе 7
дней, поэтому в один из дней будут "отдыхать" не менее четырёх машин, то есть
выехать смогут только 9. 14 машин достаточно: запретим четырём машинам
понедельник и вторник, четырём – среду и четверг, двум – пятницу и субботу, двум –
субботу и воскресенье, двум – пятницу и воскресенье.
б) 11 машин не хватит: в один из дней недели будут "отдыхать" не менее двух машин.
Покажем, что 12 машин хватит. При подаче "заявления" на очередную машину семья
будет указывать ту пару дней, в которые на данный момент есть запрет не более, чем
на одну машину. Так можно продолжать, пока не появятся 6 дней с двумя запретами,
то есть так можно поступить для каждой из 12 машин. В результате в каждый день
недели у семьи будет не более двух невыездных машин. Ответ: а) 14; б) 12 машин.
Задание 5.
Имеются два сосуда емкостью 1 л и 2 л. Из содержимого приготовили 0,5 л смеси,
содержащей 40% яблочного сока, и 2,5 л смеси, содержащей 88% яблочного сока.
Каково процентное содержание яблочного сока в сосудах?
Решение
Понятно, что хотя бы в одном из сосудов содержание сока не превышает 40%. При
этом условии наибольшее количество сока в 2,5 л будет, если мы смешаем 0,5л (40%)
сока с 2 л чистого сока. В этом случае в 2,5 л будет 0,5 × 0,4 + 2 = 2,2 л яблочного сока,
что составляет 88%. Таким образом, в сосуде емкостью 1л содержится 40% сока, а в
двухлитровом — чистый яблочный сок.
Задание 6.
Как-то Кролик торопился на встречу с осликом Иа-Иа, но к нему неожиданно пришли
Винни-Пух и Пятачок. Будучи хорошо воспитанным, Кролик предложил гостям
подкрепиться. Пух завязал салфеткой рот Пятачку и в одиночку съел 10 горшков меда
и 22 банки сгущенного молока, причем горшок меда он съедал за 2 минуты, а банку
молока – за минуту. Узнав, что больше ничего сладкого в доме нет, Пух попрощался и
увел Пятачка. Кролик с огорчением подумал, что он бы не опоздал на встречу с
осликом, если бы Пух поделился с Пятачком. Зная, что Пятачок съедает горшок меда
за 5 минут, а банку молока – за 3 минуты, Кролик вычислил наименьшее время, за
которое гости смогли бы уничтожить его запасы. Чему равно это время? (Банку
молока и горшок меда можно делить на любые части.)
Решение
Ясно, что Пух и Пятачок должны закончить есть одновременно, иначе один из них
сможет помочь другому, уменьшив тем самым общее время, затраченное на еду. Один
Пух затратил на еду 42 минуты. Съедая горшок меда Пятачок уменьшает время Пуха
на две минуты, но сам тратит на это 5 минут. Съедая две банки молока Пятачок
уменьшает время Пуха на те же две минуты, но сам тратит на это уже 6 минут.
Поэтому Пятачку выгоднее есть мед (пока он есть). Поедая горшок меда Пятачок
уменьшает разность между своим временем и временем Пуха на 7 минут. Значит, съев
42 : 7 = 6 горшков, он сравняет время: и ему и Пуху на еду потребуется по 30 минут.
Ответ:30 минут.
Задание 7.
У Алёны есть мобильный телефон, заряда аккумулятора которого хватает на 6 часов
разговора или 210 часов ожидания. Когда Алёна садилась в поезд, телефон был
полностью заряжен, а когда она выходила из поезда, телефон разрядился. Сколько
времени она ехала на поезде, если известно, что Алёна говорила по телефону ровно
половину времени поездки?
Решение
Первое решение. Во время разговора энергия аккумулятора расходуется в 210/6=35 раз
быстрее, чем в то время, когда разговор не ведётся. Пусть Алёна проговорила x часов.
Тогда энергии аккумулято-ра осталось на (6-x) часов разговора или на 35*(6-x) часов
ожидания. По условию это время также равно x часов ожидания, поэтому 35*(6-x)=x,
откуда x=35*6/36=35/6 часов, то есть 5 ч 50 мин. И, значит, вся поездка продолжалась
11 ч 40 мин.
Второе решение. Если бы Алёна говорила 210*6 часов и молчала 210*6 часов, то
телефон бы полностью разрядился 210+6=216 раз. Так как на на самом деле телефон
разрядился один раз, Алёна говорила 210*6/216 часов и молчала 210*6/216 часов, то
есть ехала она 2*(210*6/216) часов. После сокращения получаем 11 часов 40 минут.
Примечание. Ответ в этой задаче является средним гармоническим чисел 6 и 210
(средним гармоническим чисел a и b называется число 2/((1/a)+(1/b))=2ab/(a+b)).
Ответ: 11 часов 40 минут.