TK2

12
§5. Дифференцирование абстрактной функции.
Пусть
E1
и
- нормированные пространства отображение
E2
y  yx .
называется абстрактной функцией и обозначается
y : E1  E2
Определение сильного дифференциала (дифференциала Фреше). Говорят, что
функция y x дифференцируема в точке x0 , если найдется
такой линейный
 
ограниченный оператор
A  LE1  E2 , что
y  x   y  x0   A x0  x  x0   x  x0   x 
где функция
 x 
(5.1)
x  x0 .Линейный
бесконечно малая при
оператор
называется сильной производной (производной Фреше) абстрактной функции
обозначается
y x0  , элемент Ax0 x  x0 
(дифференциалом
Фреше)
функции
называется сильным дифференциалом
в
dyx0   dyx0 , dx  , dx  x  x0 .
A  x0 
y x  и
точке
x0
и
обозначается
Равенство (5.1) можно записать в виде
y  x   y  x0   y  x0 dx  dx   x 
(5.2)
Очевидно, что дифференцируемая функция непрерывна.
Свойства производной и дифференциала Фреше.
1.
yx   zx   yx   zx 
2. Если функция
y : E1  E2
дифференцируема
в
дифференцируема в точке
точке
дифференцируема в точке
x0 и
x0 , а функция z : E2  E3
y0  yx0  , то сложная
z y x0   z  y0  y x0  .
Доказательство.
z  y   z  y0   z  y0  y  y 0   y  y0 1  y 
y  x   y  x0   y  x0 dx  dx 2  x 
z  y  x   z  y  x0   z  y0  y  x0 dx  dx 2  x  
 y  x0 dx  dx 2  x  1  y  x 
или
12
функция
z yx 
13
z  y  x   z  y  x0   B  x0 dx  dx 3  x 
B x0   z  y0  y  x0 
3  x   z  y0 2  x  
1  y  x 
dx
y  x0 dx  dx 2  x 
3  x   z  y0   2  x   1  y  x    y  x0   2  x  
Так как
y x 
непрерывная функция, то при
 
x  x0
выполнено
откуда следует, что 3 x  0 при x  x0 .
Определение слабого дифференциала (дифференциала Гато)
Dy  x0 , h  
y  x   y0 ,
d
y  x  th   y  x 
y  x0  th   lim
t 0
dt
t
t 0
Легко показать, что дифференциал Гато есть однородная функция, но не
обязательно аддитивная и ограниченная. Если же дифференциал Гато есть ограниченный
линейный оператор, то D x0 , h  yc x0 h , и линейный оператор yc x0 называют
слабой производной функции y x в точке x0 . В вариационном исчислении
дифференциал Гато называют первой вариацией. Можно показать, что для существования
производной Гато в точке x0 достаточно, чтобы в некотором шаре с центром в этой точке


 
дифференциал Гато был непрерывен по
 
 
h и равномерно непрерывен по x .
§6. Формула конечных приращений для дифференцируемой функции.
3. Если слабая производная
yc x 
определена на выпуклом множестве
K  E,
то
y  x2   y  x1   y c  x1    x2  x1   x2  x1
0    1 ; x1 , x2  K
(6.1)
y  x2   y  x1   y c  x1  x2  x1  
 y c  x1    x2  x1   y c  x1  x2  x1   x2  x1
Доказательство. Соединим точки
0,1 функцию
x1 и x 2
zt   yx1  t x2  x1 
13
отрезком и рассмотрим на отрезке
14
Пусть
f y
произвольный ограниченный линейный функционал в пространстве
E2 . Рассмотрим скалярную функцию
 t   f zt 
t  дифференцируема на 0,1
f t  t   f t 

Функция 
 t   lim
t
f  y  x1  t  t  x2  x1   f  y  x1  t  x 2  x1 
 lim

t  0
t
y  x1  t  t  x 2  x1   y  x1  t  x 2  x1  

 f  lim

t
 t  0

 f  y c  x1  t  x 2  x1  x 2  x1 
t  0
Применяя к функции 
t  формулу конечных приращений, получаем
 1   0     , 0    1
f  y  x 2   f  y  x1   f  y c  x1    x 2  x1  x 2  x1 
(6.2)
f  y 2  x   y1  x   f  y c  x1    x 2  x1   x2  x1
В силу следствия из теоремы Банаха-Хана о продолжении линейного функционала
найдется линейный функционал с единичной нормой такой, что
f  y  x2   y  x1   y  x2   y  x1 
(6.3)
Из (6.2) и (6.3) следует первое неравенство (5.2). Чтобы получить второе
неравенство следует применить первое неравенство к функции y x  yc x1 x  x1 .
 
 

Следствие 1. Если на выпуклом множестве K выполнено неравенство
y c  x   L , то на этом множестве функция y x удовлетворяет условию Липшица
 
y  x 2   y  x1   L x2  x1
(6.4)
Связь между слабой и сильной производными.
Легко показать, что сильная производная есть и слабая производная. Обратное
утверждение неверно. Справедлива теорема
Теорема. Если слабая производная существует в некоторой окрестности точки
непрерывна в точке
x0 , то yc x0   y x0 .
Доказательство. Пусть
14
x0 и
15
x  
1
 y x   y x0   yc x0 x  x0 
x  x0
Применяя формулу конечных приращений (6.1), получаем
  x   yc  x0    x  x0   yc  x0   0
в силу непрерывности
при
слабой производной в точке
x  x0
x0
Но тогда
y  x   y  x0   y c  x0  x  x0     x   x  x0
  x   0 при x  x0
Следовательно
yc x0  есть производная Фреше y x0  .
Формула конечных приращений в интегральной форме.
Теорема. Если производная Фреше
K  E1 , то при x1 , x2  K
y x 
непрерывна на выпуклом множестве
справедливы формулы
1
y  x2   y  x1    y  x1  t  x2  x1  x2  x1 dt
(6.5)
0
y  x 2   y  x1   y  x1  x2  x1  
1
(6.6)
   y  x1  t  x 2  x1   y  x1  x2  x1 dt
0
Доказательство. Рассмотрим на отрезке
0,1 функцию
 t   yx1  t x2  x1 
По правилу нахождения производной сложной функции
 t   y x1  t x2  x1 x2  x1 
Интегрируя это равенство, получаем
1
 1   0  y  x2   y  x1    y  x1  t  x2  x1  x2  x1 dt
0
15
16
Формула (6.5) доказана. Для доказательства формулы (2.8) то же самое
рассуждение нужно применить к функции
 t   yx1  t x2  x1   ty x1 x2  x1 
Заметим только, что
 t    y x1  t x2  x1   y x1 x2  x1 
Лемма 1. Если производная Фреше удовлетворяет на выпуклом множестве
условию Гельдера
y x2   y x1   L x2  x1

,   0, L  0
(6.7)
то
y  x2   y  x1   y  x1  x2  x1  
L
x2  x1
1
1
Доказательство. Применяя равенство (6.6), получаем
y  x 2   y  x1   y  x1  x 2  x1  
1

  y x1  t x2  x1   y x1 x2  x1 dt

0
1
   y  x1  t  x 2  x1   y  x1   x 2  x1 dt 
0
1
  L t  x 2  x1   x2  x1 dt  L  x 2  x1

1
0
1

 t dt 
0
L
x2  x1
1
1
Пример.
a, b  a, b функцию K t, s  и
полосе P  a,b   , функцию
1. Рассмотрим непрерывную на квадрате
непрерывно дифференцируемую в
g s , v  . Предположим,
полосе P . Оператор
что функция
b
y  x    K t , s g s, x s ds
a
16
g / x равномерно непрерывна в
17
C a , b в C a , b. Покажем, что этот оператор дифференцируем по Фреше
действует из
и
b
y  x h   K t , s 
a
g
s, xs hs ds
x
Имеем
b
y  x  h   y  x    K t , s g s, x s   h s   g s, x s ds 
a
b
  K t , s 
a
1
 h  
h
g s, x s 
h s ds  h  h 
s
         g s, x s   


K
t
,
s
h s ds
 g s, x s  h s  g s, x s 


s


a
b
h 
h  0 в пространстве
C a , b. Применяя формулу конечных приращений Лагранжа к функции g s, x  ,
Покажем, что
бесконечно малая функция при
получаем
g s, x 
g
 g

h  h s, x  h   s, x  
s
s
 s

g
s, x  h   g s, x  , 0    1
h
s
s
g s, x  h   g s, x  

В силу равномерной непрерывности частной производной для любого
 0 существует   0 такое, что при h   , a  s  b выполнено неравенство
g

s, x  h   g s, x  
b  a  max K s, t 
s
s
Если
 h  
h   , то
b  a  max K t, s  
h
h

b  a  max K t, s 
Следовательно,
 h    , h  
17

18
Функция
h   0
дифференцируема на
C a , b.
h  0.
при
§7. Функции двух переменных
Следовательно,
f : E1  E2  E3
Лемма 1. Общий вид линейного оператора
или
функция
w  f  x, y  .
A  LE1  E2  E3 
A  x, y   A1 x  A 2 y , A1  LE1  E3  , A 2  LE2  E3 
Доказательство. Так как при
выполнено неравенство
y x 
(7.1)
A1  LE1  E3  , A 2  LE2  E3 
A 1 x  A 2 y  A 1 x  A 2 y  A 1  x  A 2  y   A1  A 2
 x
 y 
 C  x , y  , C  A1  A 2
то
A x, y   A1 x  A 2 y есть линейный оператор на E1  E2 .
Пусть A  LE1  E 2  E3 . Положим A x,0  A1 x , A0, y   A 2 y .
Так как
A x,0  A  x , A0, y   A  y
то
A1 , A 2
линейные операторы и
A x, y   A x,0  0, y   A x,0  A0, y   A1 x  A 2 y
Лемма доказана.
Дифференцируемость. Функция
если найдутся линейные операторы
такие, что
f x, y  дифференцируема в точке x0 , y0  ,
A1  LE1  E3  , A 2  LE2  E3 
f  x, y   f  x0 , y0   Adx  Bdy   dx  dy  x, y 


где  x, y бесконечно малая функция при
определяются как
A
f  x0 , y0 
f  x0 , y0 
,B
x
y
18
x, y   x0 , y0 . Частные производные
19
df  x, y  
Если
f  x0 , y0 
f  x0 , y0 
dx 
dy
x
y
z  x, y , то функция f z   f x, y 
и
 f  x0 , y0  f  x0 , y0  
f zz0   
,


x

y


Правило дифференцирования сложной функции, примененное к
f z  дает
 f z u u  du  f zz u z u du   f x0 , y0  , f x0 , y0  xu du, yu du  
x

y

f  x, y  
 f  x, y  f  x, y  
 f  x, y 
,
xu 
yu du

 xu du, yu du   

x

y

x

y




 f  x u , y u    f  x u , y u   
f  x u , y u  
x u 
y u
x
y
§8. Теорема о неявной функции. Пусть
B1 , B2 , B3 -
банаховы пространства.
f : B1  B2  B3 . Будем обозначать
z  f x, y . Рассмотрим абстрактное уравнение f x, y   0 .
Задана абстрактная функция
эту функцию как
f  x, y   0
определяет на множестве U x0   U  y0  переменную y как неявную функцию x ,
если для любого x U   x0  существует единственный y U   y0  такой, что
f  x, y   0 .
Определение
неявной
функции.
Говорят,
что
уравнение
Теорема 1. (о неявной функции). Если
1)
2)
f x0 , y0   0
функции f x, y  и f y  x, y  непрерывны в окрестности точки  x0 , y0 
3) существует линейный ограниченный оператор
 f y x0 , y0 1
 ,  такие, что на множестве
U   x0   U   y 0  уравнение f x, y   0 определяет y как неявную функцию x .
Неявная функция непрерывна и y x0   y0 .
Доказательство. Запишем уравнение f  x, y   0 в эквивалентной форме
то
существуют
положительные
числа
y  y0  f y x0 , y0 1  f x, y   f x0 , y0   f y x0 , y0  y  y0   F x, y  (8.1)
19
20
Функция
F x, y  обладает следующими свойствами
1. Функции
F  x, y 
и
Fy  x, y 
непрерывны
в
окрестности
U 0 x0   U 0  y0  , Fy x, y    f y x0 , y0 1  f y x, y   f y x0 , y0 
F  x0 , y 0   y 0
2.
Пусть
,
Fy  x0 , y 0   0
x  x0   0 , y  y 0   0 .
Так как функция
найдется такое
f y  x, y  непрерывна и Fy  x0 , y0   0 , то для   0,1
 , что при x  x0   , y  y0  
выполнено неравенство
Fy x, y   
(8.2)
Из формулы конечных приращений следует, что при каждом
F x, y  является оператором сжатия в шаре U  y0  .
Оценим теперь F x, y0   y0 . Подберем число   0 так, чтобы
x U   x 0 
оператор
F  x, y0   y0  f y  x0 , y0 1 f  x, y0    1   
x U x0 . Это возможно, поскольку функция f x, y0  непрерывна и стремится
к нулю при x  x0 .
При каждом x U   x0  оператор F x, y  является оператором сжатия в шаре
U   y 0  и отображает этот шар в себя и поэтому у этого оператора есть единственная
неподвижная точка в этом шаре. Тем самым уравнение f  x, y   0 определяет в
U x0   U  y0  переменную y как неявную функцию x . Осталось доказать, что эта
функция непрерывна. Докажем сначала непрерывность в точке x0
если
y  x   y  x0   F  x, y  x   F  x0 , y0  
F  x, y  x   F  x, y  x0   F  x, y  x0   F  x0 , y  x0  
  y  x   y  x0   f y  x0 , y0 1 f  x, y0 
Следовательно,
y  x   y  x0  
1
f y  x0 , y 0 1 f  x, y 0   0 при x  x0
1
Аналогично доказывается непрерывность в любой точке U
Исследуем дифференцируемость неявной функции.
20
x0  .
21
Теорема 2. Если к условиям предыдущей теоремы добавить условие
непрерывности функции Fx x, y в некоторой окрестности точки x0 , y0 , то
найдется такая окрестность, в которой неявная функция будет дифференцируемой.



Доказательство. Известно, что ряд Неймана
I  A  A2    An  
2
A  LE  E 
A  1 и его сумма есть 1  A1 . Это сразу следует из равенства
сходится при
I  A  A
,

   An 1  A  I  An 1
Так как
yx   F x, yx  , yx  x   F x  x, yx   y 
то
y  y  x  x   y  x   F  x   x , y   y   F  x , y  
1
  Fx  x  tx, y  ty x  Fy  x  tx, y  ty y dt
0
Или
1


1

 I   Fy  x  tx, y  ty dt y    Fx  x  tx, y  ty dt  x





0

0

Fy  x, y   0 при x  x0 , y  y0 , то в достаточно малой
окрестности точки  x0 , y0 
Так как
1
1
0
0
 Fy x  tx, y  ty dt   Fy x  tx, y  ty  dt    1
и поэтому
1


y   I   Fy  x  tx, y  ty dt 



0

1 1


  Fx  x  tx, y  ty dt x


0

Воспользовавшись непрерывностью частных производных, получаем
21

22
y  I  Fy x, y 1 Fx x, y x  x, y, x, y x
где
x, y, x, y  бесконечно малая при x  0 .
Таким образом, неявная функция дифференцируема и
y x   I  Fy x, y 1 Fx x, y 
Вспоминая, что
F  x, y   y0  f y  x0 , y0 1  f  x, y   f  x0 , y0   f y  x0 , y0  y  y0 
Fx   f y  x0 , y0 1 f x  x, y 
Fy   f y  x0 , y0 1  f y  x, y   f y  x0 , y0   I  f y  x0 , y0 1 f y  x, y 
получаем


y  x    f y 1  x0 , y 0  f y  x, y 
1
f y  x0 , y 0 1 f x  x, y  
  f y  x, y 1 f y  x0 , y 0  f y  x0 , y 0 1 f x  x, y    f y  x, y 1 f x  x, y 
Эту формулу можно получить, дифференцируя формально тождество
f x, y x   0
В самом деле,
f x  x, y  x   f y  x, y  x  y  x   0
y  x    f y  x, y  x 1 f x  x, y  x 
22