Тема урока : «Корень n

Тема урока : «Корень n-ой степени»
(Урок обобщения и систематизации знаний.)
Три пути ведут к знанию:
Путь размышления - самый благородный,
Путь подражания - самый лёгкий
И путь опыта - это путь самый горький…
Конфуций
Цели урока:
• Обобщить и систематизировать полученные знания по данной теме;
• сформировать навыки применения свойств степенной функции при решении математических
задач;
• Развить навыки преобразования выражений, содержащих арифметический корень;
• Развить навыки самоконтроля при выполнении тестовых заданий;;
• Воспитать волю и настойчивость для достижения конечных
результатов при выполнении заданий.
Этапы урока и их содержание
Время
(мин)
1
Деятельность
учителя
организационная
2.Постановка целей .
Сегодня на уроке мы систематизируем
знания по теме «Корень n-ой степени»,
повторим свойства корней, применим
нестандартные подходы к решению
нестандартных задач.
3
Сообщает тему
урока, дату
проведения урока,
цели урока
3. Повторение основных понятий
Фронтальная беседа:
-Дать определение корня n-й
степени
-Дать определение арифметического
корня n-й степени
-Какими свойствами обладает
корень
n-й степени?
7
Учитель задает
вопросы по теме,
следит за
верностью ответов
учащихся
(Приложение 1)
4. Воспроизведение и коррекция
опорных знаний
Устная работа:
а) Какие выражения имеют смысл?
б) при каких значениях переменной а
имеет смысл выражение?
в) вычислить
Письменная работа:
При каких значениях х имеет смысл
выражение
( показать два способа выполнения
этого задания: метод интервалов, с
помощью графика)
10
Учитель оценивает
ответы учащихся,.
Вызывает по
желанию 3 человек
к доске,
корректирует их
работу.
(Приложение 2)
1. Организационный этап
Деятельность
учащихся
Сообщают об
отсутствующих
Записывают в тетради
отвечают на
поставленные
вопросы,
- записывают свойства
на листе
- проверяют
правильность ответов
Учащиеся выполняют
устную работу,
поясняя, какими
свойствами они
пользовались.
3 человека работают у
доски, остальные
выполняют задание в
тетрадях
.
5. Обобщение и систематизация
знаний
Учитель напоминает способы
извлечения корней:
1. По таблице
2. Алгебраический – метод
приближенного вычисления.
3. Древневавилонский
4. Извлечение корней третьей степени
6. Усвоение ведущих идей и
основных теорий
Учитель вводит формулу
10
Учитель
показывает
применение
способов
извлечения
корней на
нескольких
примерах.
(Приложение 3)
Учащиеся вспоминают
способы извлечения
корней, записывают
примеры в тетради,
выполняют
вычисления
самостоятельно
12
Учитель предлагает
новую формулу
для нестандартных
заданий,
показывает на
примере её
применение
(Приложение 4)
Учащиеся записывают
формулу в тетрадь,
рассматривают
образец решения и
решают
предложенные
задания у доски и в
тетрадях
9
Проверяет
правильность
рассуждений
учащихся при
решении
упражнений
(Приложение 5)
а в =
а  а2  в
а  а2  в
.

2
2
И предлагает решить задание вместе по
образцу
7. Применение ЗУН-ов в
стандартных ситуациях
Предлагается устная работа :
Верно ли равенство?
(Если необходимо, можно обратиться
к словарю.)
2 2 = 2;
(2) 2 = 2;
( 2 )2 = 2;
(2) 2 = - 2;
а2
= а;
а
= - а;
2
а2 = а ;
а 2 = 0;
а -
а = 2а;
2
а 3
а2 = а - а ;
32 = 3;
5
2 5 = - 2;
4
2 2 = 2;
6
36 = 3;
9
29 = 2 .
-
Учащиеся работают
устно, повторяя
свойства
Вычислить (устно):
2
а 4 в 8 3)
1)
4а
4)
81а 2 в 6 с 4 ; 5)
6)
(2  5 ) 2 ;
7)
2)
8а 3 в 6 ; 8)
3
4
9а 2 в 4 ;
(2  3 ) 2 ;
625а 4 в 8 .
8. Оперирование ЗУН-ми в
нестандартных ситуациях.
Предлагается алгебраический
тренажер для наработки навыков
упрощения выражений с корнями
Алгебраический тренажер:
1. Вычислить (письменно):
а) 0,5 ·
б) 2 ·
3
96 ·
3
2 2 ·
1
1
3
3
5  3 625
3
5
15
Учитель
корректирует
работу групп.
Проверяет
правильность
ответов.
Класс разбивается на 3
группы и выполняют
задание поочередно:
(1группа выполняет 1
задание, 2группа- 2
задание, 3 группа- 3
задание.
Затем группы меняются заданиями )
После выполнения
работы происходит
взаимопроверка групп
5
Учитель вводит
понятие софизма и
предлагает
послушать
учащегося,
увлекающегося
математикой
Ученик представляет
доказательство
тождества 4=5 . Где
ошибка
;
2 2 2 ·
2 2 2 .
2. Определите знак выражения:
3
7,3  3 3,7
а)
;
4 1,001  1
б) ( 5 3,5  5 П )(6 0,999  1) ;
в)
 6,5  7  5,6 )( 4 0,3  4 0,2 ).
7
3.Упростить:а)
б)
(3 9  3 ) 2
3
3  26 3  1
( 4 24  4 6 ) 2
4 33 6
;
.
9. Переменка
Вводится понятие софизма .
Предлагается найти ошибку в
следующих рассуждениях:
Рассмотрим тождество:
4 – 10 = 9 -15
Добавим к обеим частям тождества 6
получим
4 – 10+6
1
1
= 9 – 15 + 6
4
4
1
.,
4
Преобразуем: 22 – 2 * 2 *
5
5
+( )2 = 32 +
2
2
5
5
+ ( )2
2
2
Свернув формулу, имеем
2*3*
(2 -
5 2
5
) = (3 - )2
2
2
Извлекаем квадратный корень из обеих
частей уравнения:
5
5
=32
2
Добавим к обеим частям равенства
5
+2
2
5
5
5
5
2- +
+2=3+ +2
2
2
2
2
2-
Получили абсурдный результат:
22 = 5.
Найти ошибку.
(Извлекать квадратные корни из
обеих частей равенства можно
только для положительных чисел, а
5
5
у нас 2 - < 0, 3 - > 0).
2
2
10. Тестирование
Предлагается учащимся
компьютерное тестирование
(Приложение 7)
11. Подведение итогов урока
Почему вам было легче (сложнее) в той
или иной роли?
13
3
Учитель проводит
Учащиеся слушают
инструктаж по ТБ
инструктаж,
при работе на
выполняют тест.
компьютере,
следит за
выполнением
заданий
Анализ оценки
-отвечают на вопрос
деятельности на
разных этапах
урока:
Учитель
отмечает,
в
какой
мере
достигнуты
цели
урока,
оценивает
работу каждого
ученика.
12. Рефлексия.
2
13.Домашнее задание
карточки «+» и «-»
.
Учащиеся выражают
свои впечатления об
уроке.
2
Сборник задач для подготовки к ЕГЭ
под редакцией Ф.Ф. Лысенко
№14, 18,20,21,22
выполнить задание
того уровня, с
которым не
справились
записывают домашнее
задание
Спасибо за урок
Приложение 1
. Повторить пройденный теоретический материал
1. Алгебраический словарь.
2
а = в, в == а, а ≥ 0, в ≥ 0
п
а = в, вп = а
1. п - четное
а ≥ 0, в ≥ 0
( а )2 = а, а ≥ 0
2. п - нечетное
а,в - любые
( п а )п = а
а2 = а
а, если а ≥ 0
- а, если а < 0
(а  в ) 2 = а  в
а - в. если а ≥ в
в - а, если а < в
ав  а в , а ≥ 0, в ≥ 0
. ав  п а п в , а ≥ 0, в ≥ 0
п
а

в
п
а

в
а
п
п
в
а
в
, а ≥ 0, в > 0
, а ≥ 0, в > 0
mn
a km  n a k
n k
a  nk a
а ≥0
m, n, k - натуральные числа
Приложение 2
1)Устная работа
а) Какие выражения имеют смысл?
4 ; 3 8 ; 3  27 ;
1;
3
1 ; 4 5 ; 8 ; 4 16 ;
3
 1 ; 3 27 ; 9 ; 4  16 ;
8
 1 ;  4 ; 3 9 ; 5  32 .
б) при каких значениях переменной а имеет смысл выражение?
а
а2
а
а3
 а2
3
а
 а5
4
а
5
100 ;
а2
а3
в) Вычислите:
125
5
100000 ;
;
6,25 ; 4 81 ; 3 0,001 ; 3
0,16 ;
27
2) Письменно:
При каких значениях х имеет смысл выражение:
6
4
81
.
16
1. 4 9  х 2 - решить у доски (показать два способа выполнения этого задания: метод
интервалов; с помощью графика)
х
2. 5
- решить самостоятельно
3 х
3.
8
 5а 2  7а  2 - комментированное письмо
Приложение 3
Вспомним некоторые способы извлечения квадратных корней:
1.По таблице.
2.Алгебраический - метод приближенного вычисления, используя таблицу квадратов или
используя следующее правило:
 Разобьем данное число на грани (справа налево, начиная с последней цифры), включив
в каждую грань по две рядом стоящие цифры.
 Подбираем наибольшую цифру, такую, что ее квадрат не превосходит числа,
находящегося в первой грани; эта цифра - первая цифра результата.
 Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число из первой
грани, припишем к найденной разности справа вторую грань. Получится некоторое число
А. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число а. Теперь подберем такую
наибольшую цифру х, чтобы произведение числа ах на х не превосходило числа А.
Цифра х - вторая цифра результата.
 Произведение числа ах на х вычтем из числа А, припишем к найденной разности
справа третью грань, получится некоторое число В. Удвоив имеющуюся часть результата,
получится число в. Теперь подберем такую наибольшую цифру у, чтобы произведение
числа ву на у не превосходило число В. Цифра у - третья цифра результата.
 Следующий шаг правила повторяет предыдущий.
Пример.
Вычислить
138384 .
Разобьем число на грани: 13183184 - их три.
Первая цифра результата 3, так как 32 < 13,
тогда как 42 > 13. Вычтя 9 из 13, получим 4.
13183184 = 372
- 9
Приписав к 4 следующую грань, получим
67 483
А = 483.Удвоив имеющуюся часть результата,
7 469
т.е. число 3, получим а = 6. Подберем
742
1484
теперь такую наибольшую цифру х, чтобы
2
1484
произведение двузначного числа ах на х
0
было меньше 483. Такой цифрой будет 7,
так как 67 · 7 = 469 - это меньше 483, тогда как 68 · 8 = 544 - это больше 483. Итак,
вторая цифра результата 7. Вычтя 469 из 483, получим 14. Приписав к этому числу
справа последнюю грань, получим в = 1484. Удвоив имеющуюся часть результата, т.е.
число 37, получим В = 74. подберем теперь такую наибольшую цифру у, чтобы
произведение трехзначного числа ву на у не превосходило 1484. такой цифрой будет 2,
так как 74·2 2 = 1484 . Цифра 2 - последняя цифра результата. В ответе получили 372 (
если учащиеся знакомы с этим методом, то на уроке можно только напомнить его, если
нет, то показать его применение на нескольких примерах ).
в
3.Древневавилонский: с = а 2  в = а +
.
2а
Пример:
Найти 1700 . Для решения задачи данное число разлагается на сумму двух слагаемых:
1700 = 1600 + 100 = 402 + 100, первое из которых является полным квадратом. Затем
применяем формулу.
100
1700 = 1600  100 = 40 +
= 41,25.
80
Проверим правильность вычисления. Найдем 1700 по таблице и сравним полученные
результаты.
3821 .
Выполни по образцу:
Попробуем научиться извлекать корень третьей степени.
Подсказка.
13 = 1;
23 = 8;
33 = 27;
43 = 64;
53 = 125;
63 = 216;
73 = 343;
83 = 512;
93 = 729.
Образец.
571787 = 83
(Чтобы найти число десятков искомого числа, надо определить сколько тысяч в
подкоренном выражении (571) и найти по таблице число, близкое к данному, 571 ближе
к 512, значит, число десятков равно 8; число единиц определяем по последней цифре
данного числа, т.к. в данном числе 571787 последняя цифра 7, то по таблице определяем,
что цифра 7 последняя в числе 27, значит, число единиц равно 3.)
Реши сам:
3
274625 ; 3 6859 .
3
Приложение 4
А как вычислить 7  24 ? (Способы различные, рассмотреть все варианты, выслушать
все рассуждения учащихся и предложить им выполнить задание по предложенной
формуле, сравнить полученные результаты и сделать вывод.)
Ввести формулу:
а  а2  в

2
Образец.
а в =
а  а2  в
.
2
7  49  24
7  49  24
75
75
+
=
+
=
2
2
2
2
Попробуем вместе: (работаем у доски)
7  24 =
6 + 1.
17  16(9  4 5) .
94 5 = 4
(Решение: 1) 16(9  4 5 = 4
9  81  80
9 1
9 1
) = 4(

) = 4( 5 + 2);
2
2
2
9  81  80
+
2
4(
17  4 5  8 =
2) 17  4( 5  2) =
9  81  80
2
9  80 =
9  81  80
=
2
94 5 =
9  80 =
5 - 2.
Приложение5
Верно ли равенство (устно):
Если необходимо, можно обратиться к словарю.
2 2 = 2;
(2) 2 = - 2;
а2
а2 = а ;
а -
а 4
7)
а2 = а - а ;
3
3
2 2 = 2;
8а 3 в 6 ; 8)
( 2 )2 = 2;
а 2 = - а;
= а;
а 2 = 0;
а -
32 = 3;
2 5 = - 2;
9
29 = 2 .
36 = 3;
Вычислить (устно):
4
9а 2 в 4 ;
4)
81а 2 в 6 с 4 ; 5)
а 2 = 2а;
5
6
а 4 в 8 3)
4а 2 2)
1)
(2) 2 = 2;
(2  3 ) 2 ; 6)
(2  5 ) 2 ;
625а 4 в 8 .
Алгебраический тренажер:
3. Вычислить (письменно):
3
1
5  3 625
;
3
3
5
4. Определите знак выражения:
а) 0,5 ·
3
96 ·
а)
3
3
1
7,3  3 3,7
4
1,001  1
;
б) 2 ·
2 2 ·
2 2 2 ·
2 2 2 .
б) ( 5 3,5  5 П )(6 0,999  1) ;
в) ( 7  6,5  7  5,6 )( 4 0,3  4 0,2 ).
3.Упростить:
а)
( 4 24  4 6 ) 2
4 33 6
;
б)
(3 9  3 ) 2
3
3  26 3  1
.
(Задания можно выполнять комментированием, у доски, самостоятельно, учитывая
уровень подготовки учащихся.)