экзаменационные вопросы 1 семестр

Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа
для студентов групп АО–81, АИ–82, АТ–83 факультета АВТ
1 семестр 2008-2009 учебного года
1.
Ограниченное множество. Свойства точных граней множества.
2.
Определение функции, способы задания функций.
3.
Последовательность. Бесконечно малая последовательность.
Теорема об арифметике бесконечно малых последовательностей.
29. Производные элементарных функций.
30. Теоремы Ферма и Ролля.
4.
Бесконечно большая последовательность. Теорема о связи
бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей.
5.
Предел последовательности. Теорема об ограниченности
сходящейся последовательности. Выражение предела
последовательности через бесконечно малую последовательность.
31. Теоремы Лагранжа и Коши.
32. Теорема Лопиталя.
33. Производные и дифференциалы высших порядков.
6.
Теорема о единственности предела последовательности. Теорема об
арифметике предела последовательностей.
7.
Теоремы о предельном переходе в неравенствах для
последовательностей.
8.
Критерий Коши сходимости последовательности.
9.
Монотонные последовательности. Критерий сходимости
монотонной последовательности.
34. Формула Тейлора. Формулы Коши, Лагранжа и Пеано остаточного
члена в формуле Тейлора.
35. Формулы Маклорена для элементарных функций.
36. Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции.
Необходимый и достаточный признаки локального экстремума
дифференцируемой функции.
37. Достаточный признак направления выпуклости графика функции.
Необходимое и достаточное условия точки перегиба.
38. Достаточное условие локального экстремума n-раз
дифференцируемой функции.
10. Теорема о вложенных отрезках.
11. Второй замечательный предел для последовательностей.
12. Предел функции. Эквивалентность определений по Коши и по
Гейне. Необходимое условие существования предела функции.
13. Теоремы о единственности предела функции и об арифметике
пределов функций. Теоремы о предельном переходе в неравенствах
для пределов функций.
39. Неопределенный интеграл. Теорема об общем виде первообразной.
Свойства неопределенного интеграла.
40. Замена переменной в неопределенном интеграле.
41. Интегрирование рациональных дробей (рассмотреть методы
отыскания первообразных простых дробей).
42. Интегрирование иррациональных функций. Универсальная
тригонометрическая подстановка.
14. Первый замечательный предел.
15. Второй замечательный предел для функции действительного
переменного.
43. Интеграл Римана функции на отрезке. Необходимое условие
интегрируемости функции.
44. Суммы Дарбу, их свойства.
16. Бесконечно малые функции, их свойства. Сравнение бесконечно
малых. Критерий эквивалентности функций. Теорема о вычислении
пределов с помощью эквивалентностей.
45. Критерий интегрируемости функции.
46. Достаточное условие интегрируемости функции на отрезке.
17. Непрерывная в точке функция. Классификация точек разрыва.
Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Теорема о
локальной ограниченности непрерывной в точке функции.
18. Непрерывная на множестве функция. Теоремы Больцано-Коши.
19. Непрерывная на множестве функция. Первая теорема Вейерштрасса.
47. Свойства интеграла Римана. Оценки интегралов.
48. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула НьютонаЛейбница.
49. Замена переменной в интеграле Римана. Интегрирование по частям в
определенном интеграле.
20. Непрерывная на множестве функция. Вторая теорема Вейерштрасса.
21. Непрерывная на множестве функция. Равномерно непрерывная
функция.
22. Теорема об арифметике непрерывных на множестве функций.
Теорема о непрерывности сложной функции.
23. Теорема о непрерывности обратной функции.
24. Производная функции в точке. Правая и левая производные.
Условие существования производной в точке.
25. Дифференцируемая в точке функция. Критерий
дифференцируемости функции. Теорема о связи
дифференцируемости и непрерывности.
50. Несобственные интегралы первого и второго рода. Признаки
сравнения сходимости несобственных интегралов (2 вопроса).
51. Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла Римана
(площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком
функции, заданной в декартовых координатах; площадь петли
кривой, заданной параметрически; площадь криволинейного сектора
– 3 вопроса).
52. Вычисление длин дуг кривых. Дифференциал длины дуги кривой.
53. Вычисление объемов тел вращения с помощью интеграла Римана
(объем тел, образованных вращением криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции заданной в декартовых
координатах и параметрически вокруг оси Ox и вокруг оси Oy – 2
вопроса).
26. Теорема об арифметике дифференцируемых функций.
27. Производная сложной функции. Производная функции, заданной
параметрически. Производная обратной функции.
28. Дифференциал функции в точке. Геометрический смысл
производной и дифференциала функции в точке. Инвариантность
формы дифференциала.
54. Вычисление площадей поверхностей тел вращения с помощью
интеграла Римана.
55. Приближенное вычисление определенных интегралов (формулы
прямоугольников, трапеций и парабол – 3 вопроса).
Приложение (вопросы, для ответа на которые можно использовать собственные тетради).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Критерий Коши сходимости последовательности.
Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне.
Теорема о непрерывности обратной функции.
Формула Тейлора.
Суммы Дарбу, их свойства.
Критерий интегрируемости функции.
Достаточное условие интегрируемости функции на отрезке.
Площадь петли кривой, заданной параметрически.
Объем тела, образованного вращением замкнутой петли кривой вокруг координатных осей.