Выражения и их преобразования

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ 9-Х КЛАССОВ К
ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ В ФОРМЕ ГИА.
Разработала: учитель математики МОУ СОШ № 41 г.Владимира Шепелева О.М.
Задания I части экзамена в форме ГИА.
Тема: Выражения и их преобразования.
Задания этого раздела направлены на проверку владения следующими знаниями и умениями:
- знать и понимать термины: тождество, тождественно равные выражения, распознавать тождественно
равные выражения, опираясь на правила преобразования выражений; понимать смысл требований
упростите выражение, разложите на множители;
- выполнять преобразование выражений, содержащих степени с натуральными и целыми показателями;
- преобразовывать целые выражения, используя правила сложения, вычитания и умножения
многочленов, в том числе, формулы сокращенного умножения;
- выполнять разложение многочленов на множители, используя вынесение общего множителя за
скобки, а также формулы сокращенного умножения; выполнять разложение на множители квадратного
трехчлена;
- сокращать дроби; выполнять сложение, вычитание, умножение, деление дробей, преобразовывать
несложные дробные выражения;
- выполнять преобразования числовых выражений, содержащих квадратные корни.
Урок 1. Преобразование одночленов и многочленов.
Одночленом называется произведение чисел, переменных и их степеней. Одночленами считаются
также числа, переменные и их степени.
Стандартный вид одночлена – это произведение числового множителя, который стоит на первом
2
месте, и степеней различных переменных. Например, 2 a 2b , 1, 3c , a 2b , -4, c 5 - одночлены
5
стандартного вида.
Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.
Если одночлен не содержит переменных, то его степень считается равной нулю.
Одночлены называются подобными, если они имеют одинаковую буквенную часть; подобными
называются и одночлены, не имеющие буквенной части.
Многочлен – это выражение, являющееся суммой одночленов (двучлен, трехчлен и т.д.).
Стандартный вид многочлена – это сумма одночленов стандартного вида без подобных слагаемых.
Степенью многочлена называется наибольшая из степеней одночленов, входящих в многочлен
стандартного вида. Например, 6 x3 y  xy2  1 - многочлен стандартного вида четвертой степени.
Приведите одночлен к стандартному виду:
1. 1) 4ab2abb4a(5)
А.  9a 3b 7
Б.  20a 3b 7 В. 20a 3b 7
Г.  20a 3b 6
Среди данных одночленов укажите все подобные:
2. 1) Даны одночлены:
1) a 3b ; 2) 3a 2 ; 3)  a 3b ; 4) ab 3 ; 5) 7 a 2ba
А.1),3) и 4) Б.1),3) и 5) В.2),3) и 4) Г.1) и 3)
Упростите выражения:
3. 1) (a 2c)5
А.  a 7 c 6
Б. a10c 5
В.  a10c 5
Г. a 7 c 6
1. 2) 3a 2bab 4 a 2 (4)
А. 12a 5b5
Б.  a 5b5
В.  12a 4b 4
Г.  12a 5b5
2. 2) Даны одночлены:
1) 3a 3b ; 2) b 2 ; 3) 6a 2ba ; 4)  a 3b ; 5) 4ab 3
А.1),3) и 4) Б.1),3) и 5) В.2),3) и 4) Г.1) и 5)
3. 2) (a 3c 2 ) 4
А.  a 7 c 6
Б. a12c 8
В.  a12c 8
Г. a 7 c 6
1
2
4. 1) 3ax 2  ( a 2cx 3 )
3
2
6
А.  2a cx
Б.  2a 3cx 5
В.  2a 3 x 5
Г.  2a 3cx 5
1
4. 1) 4ax 3  ( a 2cx 2 )
4
2
5
А.  a cx
Б. a 2 cx 5
В.  a 3cx5
Г.  a 3cx 6
5. 1) (ab2 )2  (4a)2
Ответ: ______________
6. 1) b  (3a)3  a 2
Ответ: ______________
7. 1) 24a15b6c : (8a5b2 )
Ответ: ______________
5. 2) 2ab  (3)( ab) 2
Ответ: ______________
6. 2) (2ab)2  (4)  b
Ответ: ______________
7. 2) 15a12b7c : (3a3b5 )
Ответ: ______________
Раскройте скобки:
8. 1)  ab(5a  8b2 )
А.  5a 2b  8ab3
В.  5ab  8ab3
Б. 5a 2b  8ab3
Г.  5a 2b  8ab3
9. 1)  6a  ab  (8ab  a)
А.  5a  9ab
В.  7a  7ab
Б.  5a  7ab
Г.  7a  9ab
10. 1) (3a  1)( a  1)
А. 3a 2  2a  1
В. 3a 2  2a  1
Б. 3a 2  2a  1
Г. 3a 2  2a  1
11. 1) (c 2  1)(1  c 2 )
А. (1  c 2 ) 2
В. c 4  1
Г. другой ответ
Б. 1  c 4
8. 2)  ab(4a 2  7b)
А.  4a 3b  7ab 2
Б. 4a 3b  7ab 2
9. 2) xy  5 x  ( x  3xy)
А.  4 x  2 xy
Б. 4 xy  4 x
10. 3) (2a  1)( a  2)
А. 2a 2  3a  2
Б. 2a 2  3a  2
11. 2) (2a3  3)( 2a3  3)
А. 2a 6  9
Б. 4a 6  9
12. 1) (2a  3) 2
А. 4a 2  6a  9
Б. 4a 2  12a  9
В. 2a 2  12a  9
Г. 4a 2  9
12. 1) ( x  2 y ) 2
А. x 2  4 xy  4 y 2
Б. x 2  4 xy  2 y 2
В. x 2  4 y 2
Г. x 2  2 xy  4 y 2
В. 9  25 y 2
Г. 9  25 y 2
13. 2) ( x  4 y 2 )( x  4 y 2 )
А. x 2  16y 2
Б. x 2  16y 4
В. x 2  16y 2
Г. x 2  16y 4
13. 1) (3  5 y )(3  5 y )
А. 9  25 y
Б. 9  25 y
В.  4a 3b  7 ab
Г.  4a 2b  7ab 2
В.  2 xy  6 x
Г.  6 x  4 xy
В. 2a 2  3a  2
Г. 2a 2  5a  2
В. a 9  9
Г. другой ответ
Примечание: в классе делаем все задания 1), дома – 2).
Урок 2. Преобразование многочленов.
Упростите выражения:
14. 1) 4c(c  2)  (c  4)2
Ответ: ______________
15. 1) 3a(a  2)  (a  3)2
Ответ: ______________
16. 1) 3( y  1) 2  6 y
Ответ: ______________
17. 1) ( x  2)( x  4)  2 x(1  x)
Ответ: ______________
18. 1) ( x  3)2  ( x  2)( x  2)
Ответ: ______________
Разложите многочлен на множители:
19. 1) a 2b3  a 3b 4
А. a 2b3 (1  ab)
В. a3 (b3  b 4 )
Б. ab3 (1  a 2b)
Г. b3 (a 2  a 3 )
14. 2) 3c(c  2)  (c  3) 2
Ответ: ______________
15. 2) a(a  2b)  (a  b)2
Ответ: ______________
16. 2) 8a  4(1  a)2
Ответ: ______________
17. 2) (3a  1)( 2a  3)  2a(3a  5)
Ответ: ______________
18. 2) ( x  1)2  ( x  1)( x  2)
Ответ: ______________
19. 2) a 3b 2  a 4b
А. a 4b(b  a)
Б. a3b2 (1  a)
В. a3b(b  a)
Г. a 3b(1  a)
2
20. 1) 5m 2 n  20mn2
Ответ: ______________
21. 1) 25c 2  a 2
В. (5c  a)(5c  a)
А. (25c  a) 2
2
Г. не разлагается на
Б. (5c  a)
множители
20. 2) 18ab 2  27a 2b
Ответ: ______________
21. 1) x 2  9a 2
А. ( x  3a) 2
В. ( x  3a) 2
Г. не разлагается на
Б. ( x  3a)( x  3a)
множители
22. 1) 1  64a 2
Ответ: ______________
23. 1) x  16x 3
Ответ: ______________
24. 1) 36 x 2  12 x  1
В. (6 x  1)(6 x  1)
А. (6 x  1)2
2
Г. не разлагается на
Б. (6 x  1)
множители
Разложите на множители квадратный трехчлен:
26. 1)  2 x 2  3x  2
А.  2( x  0,5)( x  2)
В. (1  2 x)( x  2)
Б. 2(0,5  x)( x  2)
Г. (1  2 x)( x  2)
2
26. 1) 2 x  5 x  3
Ответ: ______________
22. 2) 100a 2  9
Ответ: ______________
23. 2) 2a 3  2ab 2
Ответ: ______________
24. 1) 1  4 x  4 x 2
В. (1  2 x)(1  2 x)
А. (1  2 x)2
2
Г. не разлагается на
Б. (1  2 x)
множители
26. 2) 3x 2  9 x  12
А. 3( x  1)( x  4)
В. 3( x  1)( x  4)
Б. 3( x  1)( x  4)
Г. 3( x  1)( x  4)
2
26. 2) 2 x  7 x  6
Ответ: ______________
Примечание: в классе делаем все задания 1), дома – 2).
Урок 3. Преобразование дробных выражений.
b2  9
не имеет смысла?
b2
А. -3
Б. -2
В. 3
Г. Другой ответ
(a  1)( a  1)
1. 2) При каких значениях a выражение
не имеет смысла?
a5
А. 5
Б. -1
В. 1
Г. Другой ответ
2. 1) Какое из данных выражений имеет смысл при любых значениях х?
4x
x 1
5
x2  7
А.
Б. 2
В. 2
Г. 2
x 1
x 4
x
x 7
2. 2) Какое из данных выражений имеет смысл при любых значениях х?
5 x
x
x5
6  x2
А.
Б.
В.
Г.
x6
5  x2
25  x 2
x2
3. 1) Какие из данных выражений определены для любого p?
p
p 1
p  p2
1) 2
; 2)
; 3)
p 1
p
15
А. Только 1)
Б. 1) и 3)
В. 2) и 3)
Г. Только 3)
3. 2) Какие из данных выражений определены для любого х?
x2
x2  x
x2  5
1)
; 2)
; 3)
x2
10
x 1
А. Только 1)
Б. 1) и 2)
В. 2) и 3)
Г. Только 2)
4. 1) Какие из следующих выражений определены для любого положительного х?
x2
2x
x2
1) 2
; 2)
; 3)
x4
x 1
x 4
А. 1) и 2)
Б. 2) и 3)
В. Только 2)
Г. Только 1)
1. 1) При каких значениях b выражение
3
4. 2) Какие из следующих выражений определены для любого положительного b?
b
b4
b2  1
1)
; 2)
;
3)
b7
b2
b5
А. 1) и 2)
Б. 2) и 3)
В. 1) и 3)
Г. Только 1)
5. 1) Какие из следующих выражений определены для любого отрицательного а?
a5
a2
a2
1)
; 2)
; 3)
a5
a
a3
А. Только 1)
Б. Только 2)
В. 2) и 3)
Г. Только 3)
5. 2) Какие из следующих выражений определены для любого отрицательного y?
y
10
y2
1)
; 2) 2
; 3)
1 y
y 4
y7
А. 1) и 2)
Б. Только 3)
В. 1) и 3)
Г. Только 1)
ab
6. 1) Какое из следующих выражений тождественно равно дроби
?
3b  a
ab
ba
ba
ab
А.
Б.
В.
Г. 
a  3b
3b  a
a  3b
3b  a
x  3y
6. 2) Какое из следующих выражений тождественно равно дроби
?
2y  x
1 3
x3
3y  x
3y  x
А.
Б.
В. 
Г.
2 1
2 x
x  2y
x  2y
( x  2 y)2
7. 1) Какое из следующих выражений тождественно равно дроби
?
3y  x
( x  2 y)
(2 y  x) 2
(2 y  x) 2
(2 y  x) 2
Г.
А. 
Б.
В.
3y  x
3y  x
3y  x
x  3y
(2a  5b)3
7. 2) Какое из следующих выражений тождественно равно дроби
?
a  7b
(5b  2a)3
(5b  2a)3
(5b  2a)3
(2a  5b)3
А.
Б. 
В.
Г. 
a  7b
7b  a
7b  a
a  7b
(7 m  4 n) 2
8. 1) Какое из следующих выражений тождественно равно дроби
?
(5n  9m)3
(4n  7m) 2
(7 m  4 n) 2
Б.
(9m  5n)3
(9m  5n)3
Сократите дробь:
ab
9. 1)
ab  ab 2
Ответ: ______________
А.
10. 1)
4  n2
8n  4n 2
Ответ: ______________
a 2  3a
9  a2
Ответ: ______________
a 2  2a
12. 1) 2
a  4a  4
Ответ: ______________
11. 1)
В.
(4n  7m) 2
(5n  9m)3
Г. 
( 4 n  7 m) 2
(5n  9m)3
mn  n 2
9. 2)
mn  n
Ответ: ______________
x 2  xy
10. 2) 2
x  y2
Ответ: ______________
4  a2
11. 2) 2
a  2a
Ответ: ______________
b 2  2b
12. 2) 2
b  4b  4
Ответ: ______________
4
9a 2  12a  4
4  9a 2
Ответ: ______________
81a 6  36b 4
14. 1)
9a 3  6b 2
Ответ: ______________
13. 1)
25a 2  10a  1
10ab  2b
Ответ: ______________
25 x 2  16 y 4
14. 2)
4 y 2  5x
Ответ: ______________
13. 2)
6a  14b 2
3a 2  15b
15. 1)
15. 2)
25b 2  a 4
9a 2  49b 4
Ответ: ______________
Ответ: ______________
Примечание: в классе делаем все задания 1), дома – 2).
Урок 4-5. Преобразование дробных выражений.
Упростите выражения:
a2
b2
1.

ab ab
А. a  b
a 2b 2
Б.
ab
y2
x2

3.
x y yx
А. x  y
Б.  x  y
В. 2(a  b)
Г. a  b
4.
x2 y 2
x y
Г. y  x
В.
2
1
 3
5
x
x
Ответ: ______________
3a
2a

7.
14m 35m
Ответ: ______________
ab ab

9.
ab ab
Ответ: ______________
ac ac

11.
c
ac
Ответ: ______________
20
5

13. 2
c  4c c
Ответ: ______________
a 2  b2
b

15.
2
2a  2ab a  b
Ответ: ______________
5.
a  b a 2  b2

a  b a 2  b2
Ответ: ______________
b2  4
b

19. 2
b 4 b2
Ответ: ______________
17.
a3
b3

ab a b
А. a 2  ab  b 2
Б. a 2  b 2
2.
a
2

2
( a  2)
(2  a) 2
1
2a
1
Б.
a2
А.
В. a  b
Г. a 2  ab  b 2
a2
(a  2) 2
1
Г.
2a
В.
1 1  x2
 18
x16
x
Ответ: ______________
2a  3b 1

8.
5ab
a
Ответ: ______________
mn mn

10.
mn mn
Ответ: ______________
ab ab

12.
ab
a
Ответ: ______________
9
3

14. 2
a  3a a
Ответ: ______________
a2  y 2
20

16.
2
ay  y
a y
Ответ: ______________
1
x
 2
18.
x  y x  y2
Ответ: ______________
3a 2  6a
2a

20.
2
a 9
a3
Ответ: ______________
6.
5
15b 2
 5b
3b  2
Ответ: ______________
1  3x 2
23. 3x 
x 1
Ответ: ______________
x 2  2 x 10 x 2
25.
 2
5
x 4
Ответ: ______________
a 2  b2
27. 2
 ( a  b)
a  2ab  b 2
Ответ: ______________
12a 2  12b 2 a 2  b 2
29.
: 2
(a  6) 2
a  36
Ответ: ______________
a 2  6a  9
31. (a  3) :
a2  9
Ответ: ______________
21.
a 2  4b 2
: (2a  4b)
33.
a2
Ответ: ______________
 3
3
xy
35.  2  2  
y  3 y  3x
x
Ответ: ______________
x y
 x
37.    2  
y x
 x y
Ответ: ______________
x  2 x2  4 1


39.
x
x
x2
Ответ: ______________
b2  c2 b  c
 2
41. bc :
3c
c
Ответ: ______________
a
2ac
c
 2

43.
2
ac a c
ac
Ответ: ______________
3
 3a 2 
45.  4 
 5b 
Ответ: ______________
2
 2a 5   b 
47.  3    2 
 b   6a 
Ответ: ______________
4
3
 c2   c 
49.  3  :  
 4b   2b 
Ответ: ______________
2
6a 2
 3c
3  2a
Ответ: ______________
4a 2  36
24. 4a 
3 a
Ответ: ______________
x2  9 2x2
26.

2 x x 2  3x
Ответ: ______________
3a
28. (ab  b 2 )  2
a  b2
Ответ: ______________
22.
15mc
(m  5c) 2
30. 2
:
m  25c 2 (m  5c) 2
Ответ: ______________
x2  y 2
32. ( x 2  xy) :
2y
Ответ: ______________
25a 2  b 2
: (35a  7b)
34.
b
Ответ: ______________
 1 1  y 2  x2
36.    :
2
x y x y
Ответ: ______________
a b
 1
38.    2  
b a
 ab
Ответ: ______________
2a a 2  b 2

ab
4a
Ответ: ______________
a
ac
1

:
42. 2
2
a  c 2ac a  c
Ответ: ______________
40. b 
b b2  c2 c  b
44. 

c
bc
b
Ответ: ______________
4
 4a 3 
46.  2 
 3b 
Ответ: ______________
3
4
 ac 3   b 2 
   2 
48. 
 b   ca 
Ответ: ______________
5
3
 c   c 
50.   :  2 
 5b   3b 
Ответ: ______________
3
Примечание: в классе делаем все задания нечетные, дома – четные.
6