Точные решения уравнений максвелла в виде фокусированного

УДК 530.1(06) Теоретические проблемы физики
К.Ю. КОРОЛЕВ, М.В. ЛЕГКОВ, А.М. ФЕДОТОВ
Московский инженерно-физический институт (государственный университет),
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ВИДЕ
ФОКУСИРОВАННОГО ЛАЗЕРНОГО ИМПУЛЬСА
Критически проанализирован метод получения решений уравнений Максвелла
в вакууме исходя из запаздывающих потенциалов с помощью сдвига положения
источников в комплексную область. Показано, что несингулярные решения получаются таким способом только как разность запаздывающего и опережающего
потенциалов.
Фокусированные лазерные пучки в большинстве задач принято описывать с помощью модели гауссовых пучков, которые можно найти решая
уравнения Максвелла в параксиальном приближении. Для описания
180
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 5
УДК 530.1(06) Теоретические проблемы физики
длинных импульсов достаточно умножить такое решение на временную
огибающую. Реалистичные трехмерные модели фокусированного импульса такого типа описаны, например, в [1, 2]. Однако, в связи с активным проведением в последние годы экспериментов с использованием
сверхкоротких фокусированных лазерных импульсов, представляется
важным получение описывающих их точных решений уравнений Максвелла.
Одним из предлагавшихся путей построения точных решений в виде
фокусированного импульса является так называемый метод комплексных
источников [3-8]. В рамках этого метода, исходят из запаздывающего решения уравнений Максвелла с точечным источником,
 2

(1)
A   2    A(r, t )  4 q(t ) (r)
 t

(для простоты эта и последующие формулы приведены для скалярной
модели), а затем, осуществляя комплексный сдвиг аргументов
( x, y, z )  ( x, y, z  ib) , приходят к решению вида
 q(t  R) 
(2)
A(r, t )  Re 
, R  x 2  y 2  ( z  ib) 2 ,

R


где у квадратного корня выбирается ветвь с Im( R)  0 . Выбирая в качестве q(t) произведение осциллирующей функции на колоколообразную
огибающую, получают решения, которые ведут себя подобно фокусированному импульсу, а в пределе b   воспроизводят модель гауссова импульса с релеевской длиной 2b. Согласно [3-8], формула (2) дает решение
однородного волнового уравнения, поскольку неоднородность пропорциональна  (r  ibzˆ ) и обращается в нуль при всех вещественных r . Однако
этот аргумент неверен, что можно увидеть из наличия у решения (2) особенности на окружности x 2  y 2  b2 , z  0 . Если перейти к представлению
Фурье, то становится очевидным, что поле (2) не находится на массовой
поверхности  2  k 2  0 , а значит, порождается источниками, расположенными на этой окружности. Поэтому, по нашему мнению, решения
вида (2) хотя и могут отвечать какой либо физической задаче (например,
описывать дифракцию на экране с отверстием), но не описывают фокусировку лазерного импульса в вакууме.
Ситуация меняется, если рассмотреть разность запаздывающего и опережающего решений, которая заведомо удовлетворяет однородному уравнению A  0 ,
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 5
181
УДК 530.1(06) Теоретические проблемы физики
 q (t  R )  q (t  R) 
A(r, t )  Re 

R

(3)
и не имеет сингулярностей. Визуализация решения (3) показывает, что
оно описывает столкновение двух фокусированных импульсов, причем их
интенсивность сравнима при b~λ, так что решение (3) описывает симметричный коллапс и последующее расширение световой оболочки, а при
|b|>> λ интенсивность одного из импульсов существенно превышает интенсивность другого (фактически, в этом случае второй импульс нужен
только для сокращения сингулярности первого). С помощью описанного
подхода, нами были найдены точные решения, описывающие трехмерную
модель фокусированного пучка и импульса и в параксиальном приближении сводящиеся к модели, описанной в [1].
Работа была частично поддержана РФФИ (грант 06-02-17370-a), Министерством науки и образования РФ (грант РНП 2.11.1972), и фондом
президента Российской Федерации (гранты MK-2279.2005.2 и НШ320.2006.2.).
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Narozhny, N.B., Fofanov, M.S., JETP 90. 2000. 753.
Salamin, Yo.I., Mocken, G.R., Keitel, C.H., Phys. Rev. ST AB. 5. 2002. 101301.
Deschamps, G.A., Electron. Lett., 7. 1971. 684-685.
Einziger, P.D., Raz, S., J. Opt. Soc. Am. A 4. 1987. 3-10.
Heyman, E. , Steinberg, B.Z., J. Opt. Soc. Am. A 4. 1987. 473-480.
Heyman, E., Felson, L.B., J. Opt. Soc. Am. A 6. 1989. 806-817.
Ziolkowski, R.W., Phys. Rev. A 39. 1989. 2005-2033.
Wang, Zh., Lin, Q., Wang, Zh., Phys. Rev. E 67. 2003. 016503.
182
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 5