50К

ПРОГРАММА КУРСА «КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА» для ЭТ-09 (2011г.)
Общий формализм квантовой теории. Квантовое состояние, стационарные и нестационарные состояния, вектор состояния. Принцип суперпозиции, суперпозиция
квантовых состояний, линейное пространство состояний. Дуальные векторы, скалярное произведение в пространстве состояний, норма вектора. Ортонормированный
базис в пространстве состояний.
Операторы в пространстве состояний. Операторы в пространстве состояний,
алгебра линейных операторов. Собственные значения и собственные векторы
операторов, эрмитовы операторы. Изображение наблюдаемых величин линейными
операторами, операторы в координатном представлении, операторы координаты и
импульса, основное коммутационное соотношение. Правило соответствия между
наблюдаемыми и операторами, условие совместности наблюдаемых. Эрмитовое
сопряжение операторов, самосопряженные операторы, средние значения
наблюдаемых.
Ортонормированный базис в пространстве состояний. Свойства ортонормированности и полноты системы собственных векторов эрмитового оператора. Представление
произвольного состояния в виде суперпозиции собственных состояний эрмитового
оператора, проекции вектора состояния на базисные направления, физический смысл
квадрата амплитуды проекций.
Изменение квантовых состояний во времени. Гамильтониан, уравнение Шредингера для вектора состояния. Стационарные состояния. Изменение во времени средних
значений наблюдаемых. Оператор временной производной наблюдаемой величины.
Теорема Эренфеста.
Представление Гейзенберга квантовой механики. Оператор эволюции, операторы
наблюдаемых величин в представлении Гейзенберга, картина Шредингера и картина
Гейзенберга квантовой механики.
Матричное представление операторов. Матричные элементы оператора, представление линейных операторов матрицами, соответствие матричной алгебры алгебре линейных операторов, эрмитовы и унитарные операторы. Изменение во времени матричных элементов эрмитовых операторов.
Гармонический осциллятор. Классический и квантовый осциллятор, гамильтониан.
Лестничные операторы, правило коммутации. Правило квантования энергии (вывод).
Матричные элементы операторов импульса и координаты. Координатное представление для осциллятора, волновая функция основного состояния, рекуррентное соотношение для волновых функций, выражение волновых функций через полиномы Эрмита.
Момент импульса в квантовой механике. Неопределенность вектора момента для
квантовой частицы. Операторы момента, соотношения коммутации для операторов
проекций. Правило квантования момента импульса (вывод). Орбитальный момент импульса, представление операторов момента в сферической системе координат, правило
квантования орбитального момента, волновые функции собственных состояний операторов момента. Спин элементарных частиц, квантование спина, частицы Ферми и частицы Бозе, принцип Паули. Спиноры, матричное представление операторов спина.
Сложение моментов, правило сложения моментов, векторная модель, полный момент
импульса электрона, правило его квантования. Пространственная четность, операция
пространственной инверсии, полярные и аксиальные векторы, оператор инверсии и его
собственные значения, четность состояния, четность электрона в атоме.
Атом водорода. Движение электрона в поле центральной силы, сохранение момента импульса в центральном поле, радиальная волновая функция, центробежная энергия, квантование энергии электрона в кулоновском поле. Спектр энергий атома водорода, квантовые числа и волновые функции стационарных состояний атома водорода,
вырождение энергетических уровней, кратность вырождения. Квантование энергии в
одновалентных атомах. Спин- орбитальное взаимодействие, тонкая (мультиплетная)
структура энергетических уровней в атомах, расщепление уровней в водородоподобных атомах, нумерация энергетических термов с учетом тонкой структуры.
Взаимодействие электрона с магнитным полем. Магнитный момент электрона,
магнетон Бора, правило квантования орбитального и спинового магнитного момента,
оператор взаимодействия магнитного момента электрона с магнитным полем. Простой
эффект Зеемана, квантование магнитного момента электрона в сильном магнитном поле, расщепление энергетических уровней одновалентных атомов (на примере s- и рсостояний), расщепление спектральных линий, образование спектрального триплета.
Сложный эффект Зеемана, квантование магнитного момента электрона с учетом тонкой структуры, фактор Ланде, расщепление энергетических уровней одновалентных
атомов (на примере s1/2- и р3/2- состояний) в слабом магнитном поле. Электронный парамагнитный резонанс. Векторный потенциал электромагнитного поля, гамильтониан
взаимодействия электрона с электромагнитным полем, уравнение Паули. Движение
электрона в однородном магнитном поле, частота вращения классического электрона в
однородном магнитном поле, векторный потенциал и гамильтониан электрона, волновая функция и квантование энергии поперечного движения.
Теория возмущений. Малые возмущения квантовой системы. Возмущения, не зависящие от времени, поправки к энергии невозмущенного состояния в первом и втором
порядках малости возмущения. Стационарное возмущение вырожденного уровня, секулярное уравнение, снятие вырождения. Эффект Штарка, гамильтониан взаимодействия оптического электрона с электростатическим полем, оператор дипольного момента
атома, расщепление первого возбужденного уровня энергии атома водорода в электрическом поле, квадратичный эффект Штарка в водородоподобных атомах. Периодические во времени возмущения, резонансные переходы под влиянием периодического
возмущения, вероятность перехода в единицу времени. Оптические переходы в атоме,
lдипольные, квадрупольные и магнитные переходы, дипольное приближение для
взаимодействия атома с электромагнитной волной, правила отбора для дипольных
переходов, вероятности резонансных переходов в атоме под действием классической
электромагнитной волны, механизмы уширения спектральных линий в газах, коэффициенты Эйнштейна.
Тождественность частиц. Принцип тождественности, гамильтониан системы
тождественных частиц, оператор перестановки, симметричные и антисимметричные
состояния, вектор состояния для системы двух тождественных бозонов и двух тождественных фермионов, принцип Паули. Система из произвольного числа тождественных частиц, представление состояния системы числами заполнения, построение симметричного и антисимметричного векторов состояния для произвольного числа
невзаимодействующих частиц. Атом гелия, гамильтониан взаимодействия и энергия
электронов, симметричные и антисимметричные по спину состояния электронов,
ортогелий и парагелий.
Статистическая физика. Классическая статистика, изображение состояния классической частицы точками фазового пространства, функция распределения, каноническое распределение Гиббса. Квантовая статистика, изображение квантового состояния ячейкой в фазовом пространстве, принцип тождественности в статистике, статистика Бозе- Эйнштейна и статистика Ферми- Дирака, распределение Гиббса для квантовой подсистемы. Условие классичности статистической системы. Плотность квантовых состояний в фазовом пространстве, квантовые состояния для частицы в трехмерной потенциальной яме и их изображение в импульсном пространстве, число состояний с энергией, не превышающей заданное значение, плотность состояний, объем фазовой ячейки. Газ квантовых частиц, вырожденный и невырожденный газ, температура
вырождения, критерий вырождения. Равновесное тепловое излучение, фотонный газ,
квантовые состояния фотона, вероятность нахождения определенного числа фотонов и
среднее число фотонов в заданном квантовом состоянии, распределение Планка, внутренняя энергия и давление фотонного газа. Гипотеза о столкновениях, распределение
Бозе- Эйнштейна и распределение Ферми- Дирака, химический потенциал. Электронный газ в металле, уровень Ферми, функция распределения электронов по энергиям,
электронный газ при абсолютном нуле температуры, уровень Ферми при нулевой
температуре, распределение электронов по энергиям при конечной температуре.
Энергетические зоны в кристалле, приближение сильной и слабой связи, образование
зон в приближении сильной связи, уровень Ферми электронов в кристалле, проводимость кристаллов (проводники, полупроводники и диэлектрики), собственная проводимость полупроводников, внутренний фотоэффект. Вырожденный Бозе- газ,
функция распределения Бозе-частиц газа по энергиям, Бозе-газ при малых
температурах, Бозе- конденсация.
Физика элементарных частиц и атомного ядра. Взаимодействия частиц. Лептоны
и адроны. Поколения лептонов, лептонный заряд. Промежуточные частицы: фотон и
векторные бозоны. Стабильность лептонов и их распады. Адроны: барионы и мезоны.
Барионный заряд. Стабильность и распады адронов. Изотопический спин. Кварковая
модель, поколения кварков. Странные и очарованные частицы. Ядерные реакции,
деление и синтез атомных ядер. Распад атомных ядер, природа α и β распадов.
Основные вопросы
Гипотеза де-Бройля, волны де-Бройля, длина волны де-Бройля, статистическая интерпретация волн де- Бройля, плотность вероятности и амплитуда вероятности, волновая функция
электрона. Принцип неопределенности, соотношения неопределенностей для времени и энергии, координат и импульса.
Понятие квантового состояния, стационарные и нестационарные состояния, волновая
функция и вектор состояния, энергия и зависимость от времени волновой функции стационарного состояния. Волновая функция электрона с заданным импульсом.
Принцип суперпозиции, суперпозиция квантовых состояний, линейное пространство векторов состояний.
Изображение наблюдаемых величин линейными операторами, правило соответствия, эрмитовы операторы, средние значения наблюдаемых, операторы проекций координаты и импульса в координатном представлении, гамильтониан, коммутатор двух операторов, правила
коммутации для операторов проекций координаты и импульса, условие совместности наблюдаемых.
Гамильтониан, уравнение Шредингера для вектора состояния. Стационарные состояния.
Изменение во времени средних значений наблюдаемых. Условие сохранения наблюдаемой.
Гармонический осциллятор. Классический и квантовый осциллятор, гамильтониан.
Лестничные операторы, правило коммутации. Правило квантования энергии (без вывода).
Момент импульса в квантовой механике. Неопределенность вектора момента для
квантовой частицы. Операторы проекций и величины момента. Правило квантования момента
импульса. Орбитальный момент импульса, правило квантования орбитального момента. Спин
элементарных частиц, квантование спина, частицы Ферми и частицы Бозе.
Атом водорода. Движение электрона в поле центральной силы, сохранение момента
импульса в центральном поле, центробежная энергия, квантование энергии электрона в
кулоновском поле. Спектр энергий атома водорода, квантовые числа стационарных состояний
атома водорода, вы-рождение энергетических уровней, кратность вырождения.
Взаимодействие электрона с магнитным полем. Магнитный момент электрона, магнетон
Бора, правило квантования орбитального и спинового магнитного момента, оператор
взаимодействия магнитного момента электрона с магнитным полем. Простой эффект Зеемана,
квантование магнитного момента электрона в сильном магнитном поле, расщепление
энергетических уровней одновалентных атомов (на примере s- и р- состояний), расщепление
спектральных линий, образование спектрального триплета.
Принцип тождественности, гамильтониан системы тождественных частиц, оператор
перестановки, симметричные и антисимметричные состояния.
Классическая статистика, изображение состояния классической частицы точками
фазового пространства, функция распределения, каноническое распределение Гиббса.
Квантовая статистика, изображение квантового состояния ячейкой в фазовом пространстве,
объем фазовой ячейки, принцип тождественности в статистике, статистика Бозе- Эйнштейна и
статистика Ферми- Дирака. Условие классичности статистической системы. Газ квантовых
частиц, вырожденный и невырожденный газ, температура вырождения, критерий вырождения.
Равновесное тепловое излучение, фотонный газ, распределение Планка. Распределение БозеЭйнштейна и распределение Ферми- Дирака, химический потенциал. Электронный газ в
металле, уровень Ферми, электронный газ при абсолютном нуле температуры, уровень Ферми
при нулевой температуре, распределение электронов по энергиям при конечной температуре.