MS Word файл

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НАНОТРУБКИ В ПАРАЛЛЕЛЬНОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В.А. Гейлер, А.В. Попов
Мордовский госуниверситет им. Н.П. Огарева, ул. Большевистская, 68, Саранск, 430000,
Россия, geyler@mrsu.ru, popovav@mrsu.ru
Исследование углеродных нанотрубок во внешних
магнитных полях
позволяет
получить важную информацию об их физических свойствах [1]. Особенно интересны
эффекты типа Ааронова–Бома, возникающие в поле, параллельном оси нанотрубки [2]. Для
теоретического
изучения
некоторых
таких
явлений
можно
предложить
простую
явнорешаемую модель. Именно, предположив движение вдоль оси трубки свободным и
приняв ее за ось Oz, мы можем разделением переменных
редуцировать уравнение
Шредингера для такой системы к двумерному уравнению в плоскости xOy. В полярноцилиндрической системе координат (,  , z) потенциал конфайнмента V нанотрубки можно
выбрать в виде V()=a 2 2+b 2 – 2 [3], где a и b – параметры, определяемые внешним и
внутренним радиусами трубки соответственно. Заметим, что кроме статьи [3], где потенциал
вида V использовался для моделирования конфайнмента квантового кольца, можно указать
работы, в которых этот потенциал применялся для исследования ряда других вопросов
квантовой физики; см., например, библиографию в [4]. Кроме скалярного потенциала V,
гамильтониан H системы содержит векторный потенциал внешнего магнитного поля. Мы
ограничиваемся
наиболее
важным
случаем,
когда
это
поле
представляет
собой
суперпозицию однородного поля B1 и вихря Ааронова–Бома B2, проходящего по оси
нанотрубки (случаи B1=0 или B2=0 не исключаются).
Ввиду сингулярности потенциала V корректное определение гамильтониана системы
как самосопряженого оператора
требует привлечения математических средств, обычно
используемых в теории потенциалов нулевого радиуса (точечных потенциалов), см. [5], [6].
В зависимости от величины b выделяются три типа гамильтонианов H. (A) min{ 2, (–
1)2 }  1–2m*b 2/ (2h) 2, где  – число квантов потока Ааронова–Бома (без потери общности
мы предполагаем, что 0   < 1); в этом случае гамильтониан H однозначно определен, т.е.
для его задания не нужно налагать граничные условия на волновую функцию. (B) min{ 2,
(–1)2 }< 1–2m*b 2/ (2h) 2  max{ 2, (–1)2 }, (C) max{ 2, (–1)2 }< 1–2m*b 2/ (2h) 2 ; в
этих случаях для определения H нужны, соответственно, одно или два граничных условия в
нуле. Параметры этих граничных условий можно трактовать как потенциалы примесей,
распределенных по оси нанотрубки, либо как аномальные магнитные потоки [5]. Ввиду
симметрии задачи H разлагается по угловому моменту относительно оси Oz; при этом, в
отличие от обычных точечных потенциалов, в случаях (B) или (C) нетривиальные граничные
значения возникают, вообще говоря, в каналах с отличным от нуля значением углового
момента m, определяемого из условия 0  (m+) 2+ 2m*b 2/ (2h) 2 < 1.
Проведен исчерпывающий спектральный анализ оператора H при всех значениях
параметров потенциала V и параметров граничных значений: найдены собственные числа и
соответствующие нормированные собственные функции, а также явный вид функции Грина
парциальных (по угловому моменту) операторов. В случае тривиальных граничных условий,
соответствующих отсутствию аномального потока, наши результаты совпадают с [3].
Интересно отметить, что в предельном случае a=0 уровни Ландау, соответствующие
однородной компоненте магнитного поля, являются точками накопления собственных
значений гамильтониана H. При фиксированных a вырождение спектра возможно только
при исключительных значениях b.
В заключение отметим, что использование методов статьи [7] позволяет применить
полученные здесь результаты к спектральному анализу периодических структур, состоящих
из соосных нанотрубок.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, INTAS и DFG.
Литература
1. R. Saito, G. Dresselhaus and M.S. Dresselhaus. Physical properties of carbon nanotubes. –
London: Imperial College Press, 1998.
2. S. Roche, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus, and R. Saito. Phys. Rev. B. 62 (2001), 16092.
3. E.N. Bogachek, U. Landman. Phys. Rev. B. 52 (1995), 14067.
4. H.E. Camblong, C.R. Ordonez. Prepr. hep-th/0303166.
5. А.И. Базь, Я.Б. Зельдович, А.М. Переломов.
Рассеяние,
реакции
и
распады
в
нерелятивистской квантовой механке. М.: Наука, 1971.
6. Ю.Н. Демков, И.Н. Островский. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. –
Л.: ЛГУ, 1975.
7. С.А. Воропаев, М. Бордаг. ЖЭТФ. 105, № 2 (1994), 241.
8. V.A.Geyler, A.V. Popov. Reps. Math. Phys. 42 (1998), 347.