Изучение закона Ома 3.3 Цель работы:

3.3 Изучение закона Ома
Цель работы: изучение движения зарядов внутри проводника
и проверка закона Ома для проводников.
Элементарная теория закона Ома
Электропроводность проводника определяется наличием в
нем свободных носителей заряда (электроны в металле,
электроны и дырки в полупроводнике, ионы разного знака в
электролитах). Предположим здесь, что носители тока слабо
взаимодействуют друг с другом, а взаимодействие их с ионами
кристаллической решетки или с молекулами примеси сводится к
соударениям. Кроме того, будем считать, что движение этих
частиц подчиняется законам классической механики, что
справедливо для полупроводников или электролитов, но не
справедливо для металлов.
Рассмотрим сначала движение одной такой частицы. Пусть
заряженная частица с зарядом е и массой m движется в
однородном электрическом поле. Сила, действующая на частицу


со стороны поля, равна eE , где E – напряженность поля. Тогда
уравнение ее движения имеет вид


mdv dt  eE .
Пусть вектор напряженности направлен по оси Ох, тогда
проекции скорости частицы на другие координатные оси
остается постоянной во время движения, а проекция ее скорости
на ось Ох изменяется со временем по закону:
v x (t ) 
e
Et  v x 0 , где v x 0 – проекция скорости частицы на
m
ось Ох в начальный момент времени.
Вычислим среднее значение проекций скорости этой частицы

за некоторое время  i , то есть, например, v x ,ср
Тогда получим:
1
1 i
  v x (t )dt .
i 0
v x ,ср  v x 0 
e
E i , v y , ср  v y 0 .
2m
(1)
В отсутствие электрического поля частицы в проводнике
(которые приближенно можно считать свободными) совершают
хаотическое тепловое движение, сталкиваясь при этом с ионами
на узлах кристаллической решетки, с атомами примесей и т.д.
Все направления движения свободных частиц равноправны, и
какого-нибудь потока частиц, то есть тока, не возникает.
Поэтому усредненные по всему коллективу частиц проекции
скорости (обозначим их vx и vy ) равны нулю.
Если проводник находится в электрическом поле, то на
частицы действуют направленные силы. Если следить за какойнибудь частицей, то можно обнаружить, что на тепловое
хаотическое движение частицы накладывается направленное
движение ее под действием силы со стороны электрического
поля (так называемый дрейф). Если под  i в формуле (1)
понимать промежуток времени между двумя какими-нибудь
последовательными столкновениями частицы, то vx,cp и vy,cp –
есть средние значения проекции скорости этой частицы в
течение данного промежутка времени i . Чтобы найти проекции
скорости дрейфа частиц vх и vу, необходимо еще раз
усреднить выражение (1) по всем возможным промежуткам
времени между последовательными столкновениями i .
Под величинами vx0 и vy0 следует понимать значения
проекций скорости частицы сразу же после какого-то
столкновения. Ввиду хаотичности теплового движения можно
считать, что их средние значения равны нулю. Усредняя
уравнения (1) по всем временам столкновений (не забывая при
этом, что константы можно выносить из-под знака усреднения),
получаем:
v x  e 2m E  ; v y  0 .
2
(2)
где vx и vy – средние значения проекций скорости
направленного движения носителей тока,  – среднее время
между двумя последовательными столкновениями.

В данном случае вектор плотности тока j направлен вдоль
оси Ох. Величина j пропорциональна средней скорости
направленного движения, а именно j = е n vx, где n – число
носителей тока в единице объема. Подставляя сюда vх из
формулы (2), получим:
j
e2n 
2m
E  E .
(3)
Это выражение называют законом Ома в дифференциальной
форме. Величина

e2n 
(4)
2m
называется коэффициентом электропроводности или просто
электропроводностью данного проводника, а коэффициент
пропорциональности между средней скоростью направленного
движения зарядов vx и напряженностью приложенного
электрического поля Е называют подвижностью носителей тока.
Из формулы (2) видно, что подвижность выражается
следующим образом:

e
 .
2m
Электропроводность и подвижность связаны друг с другом
соотношением:  = e n .
Границы применимости закона Ома
Смысл закона Ома заключается в том, что средняя скорость
направленного движения носителей тока пропорциональна
напряженности электрического поля, т.е. пропорциональна
действующей на частицы силе.
3
Закон Ома выполняется для металлов, полупроводников,
электролитов, т.е. для тех веществ, в которых носители тока
испытывают большое число соударений. При этом данный
закон выполняется при не слишком сильных полях, когда роль
соударений велика.
Закон Ома не выполняется при токах в вакууме (например, в
кинескопах, радиолампах, ускорителях частиц), так как в этих
случаях носители тока практически не испытывают
столкновений. Закон Ома очень ограниченно выполняется в
плазме, так как в плазме обычно непостоянно число носителей
тока.
Отметим,
что
выражение
для
коэффициента
электропроводности (4) является гораздо более неточным, чем
сам закон Ома. Это соотношение более или менее применимо
для полупроводников или электролитов, но совершенно не
пригодно для металлов, в то время как сам закон Ома для
металлов выполняется достаточно хорошо.
Закон Ома в интегральной форме
Обычно в физике и особенно в электротехнике применяется
закон Ома в другом виде: в так называемой интегральной
форме. Получим вид этого закона.
1
2
Рассмотрим участок
dx
проводника, имеющего

для простоты цилиндE
рическую форму (рис.
S
1).
Пусть
площадь
поперечного
сечения
Рис. 1
проводника S. К концам
проводника приложена разность потенциалов  = 1 – 2, то

есть внутри проводника действует электрическое поле E .
Поэтому в проводнике возникает электрический ток, плотность
тока j =  Е согласно закона Ома. Если ток распределен
равномерно по сечению проводника, то сила тока I = jS = ES.
4
Напряженность
поля
соотношением: E  

Е
связана
с
потенциалом
d
(поле в нашем случае однородно, и
dx
вектор E направлен вдоль оси Ох). Поэтому сила тока в
проводнике I  S
Idx
d
  d . Интегрируя это
, откуда
dx
S
равенство вдоль всего участка проводника, получаем
I
dx
 1   2 .
S
Интеграл, стоящий в левой части равенства, называется
сопротивлением данного участка проводника. Обозначив его
через R, получим закон Ома в интегральной форме:
IR = 1 – 2 = U,
(5)
где буква U – стандартное обозначение разности потенциалов
(напряжения).
Для однородного проводника (электропроводность  равна
константе), имеющего форму цилиндра (т. е. площадь сечения
S = const), сопротивление равно
R
L
L
 ,
S
S
где L – длина участка проводника, а   1  – удельное
сопротивление.
Описание работы
В данной работе на экране компьютера моделируется
тепловое хаотическое движение носителей тока в проводнике и
направленное их движение под действием приложенного
электрического поля. Сила тока пропорциональна количеству
частиц, пересекших за какое-то фиксированное время
выделенное сечение проводника. Кадр из работы изображен на
рис. 2.
5
Для проверки закона Ома необходимо при каждой заданной
разности потенциалов (или напряженности поля) несколько раз
измерить число частиц, пересекающих выделенное сечение
проводника, и построить график зависимости среднего числа
этих частиц от разности потенциалов. Эта зависимость должна
быть линейной.
6
Рис. 2
7
Ход работы
1. Выбрать вещество.
Для выбора вещества на окне с его названием нужно нажать левую кнопку мыши. Появится
список возможных вариантов. Из этого списка нужно выбрать необходимое для опыта вещество,
при этом его удельное сопротивление отобразится в окне "Начальные условия". Выбрав рабочее
вещество, нажмите кнопку "Условия заданы".
2. Измерить число частиц, проходящих через сечение проводника за 10 секунд.
Убедитесь, что в соответствующем текстовом окне установлено нулевое значение
напряженности поля. Затем нажмите кнопку «Пуск», запускающую секундомер и счетчик частиц,
которые автоматически выключаются через 10 секунд. После выключения в соответствующей
области экрана отображается количество частиц, которые пересекли за это время заданное сечение
проводника. Это число характеризует ток в проводнике. Опыт следует провести 10 раз.
3. Повторить опыт при 10 различных значениях напряженности поля.
Значения напряженности поля нужно взять в интервале от 0 до 100 В/м. При каждом значении
напряженности следует 10 раз измерить количество частиц. Вычислите среднее число частиц для
каждого значения напряженности поля.
4. Построить график зависимости среднего числа частиц от напряженности поля.
Эта зависимость должна быть прямо пропорциональной. Определить тангенс угла наклона этой
прямой, который характеризует проводимость данного проводника.
5. Проделать описанные выше опыты для другого вещества.
Для выбора нового вещества нажмите кнопку «Изменить условия». Выбрав вещество, нажмите
кнопку «Условия заданы». Затем выполните с этим веществом всю описанную выше
последовательность действий. Сравнить наклон графиков в первом и втором случае.
Контрольные вопросы
1. В чем причина протекания электрического тока?
2. Как выглядит движение носителей тока в проводниках?
3. Что больше: средняя скорость теплового движения или скорость направленного движения
(скорость дрейфа)?
4. В чем сущность закона Ома?
5. В каких случаях применим закон Ома?
6. Для каких проводников применим закон Ома?
7. Как изменится сопротивление проводника с увеличением средней длины свободного пробега
носителей тока?
8