диффузионный рост двумерной полости в монослое

ДИФФУЗИОННЫЙ РОСТ ДВУМЕРНОЙ ПОЛОСТИ В МОНОСЛОЕ АДАТОМОВ НА
ПОВЕРХНОСТИ КРИСТАЛЛА
А.В. Коропов, канд.физ. – мат.наук, доц., ст. научн. сотр.;
В.Г. Шаповал
Институт прикладной физики НАН Украины, г. Сумы
Диффузионные процессы на поверхности кристалла систематически изучаются, начиная с 50-х годов
прошлого века и традиционно вызывают интерес исследователей [1,2]. Интерес к этим процессам не ослабевает
в связи с исследованием двумерных кристаллов и субмонослойных пленок на подложке [3,4], различных
двумерных фаз [5-8], развитием современных технологий обработки поверхности, в том числе поверхности
полупроводников и др.
В настоящей работе рассматривается диффузионный рост двумерной полости (поры) в монослое
адсорбированных атомов (адатомов) на поверхности кристалла. Отметим, что в современных технологиях
монослои адатомов и различные полости в них искусственно создаются на поверхности полупроводников с
тем, чтобы обеспечить дальнейшую селективную обработку поверхности различными методами (например,
[9]). Это, в свою очередь, связано с созданием микро- и наноструктур на поверхности как элементов для нужд
современной электроники. Поэтому задачи о диффузионной эволюции (“размывании”) различных
поверхностных структур, связанные с исследованием стабильности последних, являются актуальными и
практически важными.
Рассматриваемую полость будем в дальнейшем считать круговой и называть пятном. Механизм диффузии,
приводящий к росту (или к уменьшению) пятна, будем считать вакансионным. Уравнение диффузии
”двумерных” вакансий в монослое адатомов вокруг пятна с учетом как испарения, так и конденсации адатомов
на поверхности кристалла имеет вид
дn
N n
n
 D n 
 I
,
дt

N
(1)
где n - плотность вакансий (см-2); D - коэффициент их диффузии (см2·с-1); N - плотность адатомов в
полностью заполненном монослое (см-2);  - среднее время жизни адатомов до испарения с поверхности (с); І –
внешний поток конденсации атомов на поверхность кристалла (см -2·с-1);  - вероятность конденсации атома из
потока І на свободной позиции; множитель n N при I - вероятность того, что падающий на поверхность
атом попадет в свободную позицию.
Граничные условия к уравнению (1) берем в виде [5,7]:
D
дn
  n R   n R  ; n r   n ,
дr r  R
(2)
где r - расстояние от центра пятна; R - его радиус ( R  Rt  ); n R - термодинамически равновесное значение
плотности вакансий вблизи границы пятна;  - кинетический коэффициент, характеризующий скорость
перехода вакансий через границу пятна (см·с-1). Для величины n R справедливо выражение
n R  n  e
где n  - значенне n R при R   ;  
R
,
(3)
S
;  - удельная линейная энергия границы пятна (эрг·см-1); S kT
площадь, приходящаяся на одну вакансию в монослое адатомов ( S  1 N ); k - постоянная Больцмана; T температура. Плотность n в (2) определяется условием стационарности при r   , т.е. равенством потоков
испарения и конденсации адатомов,
n 
N
N

 N ,
1  I  N
A
(4)
где A  1  I  N - большой параметр задачи. Далее будем считать, что двумерный газ вакансий пересыщен,
т.е. n  n  .
Предполагая n N 1 (именно в этом случае справедливо понятие “двумерной” вакансии), можно искать
распределение плотности вакансий в квазистационарном приближении (
(1), физически правильно ведущее себя при
r   , примет вид
дn
 0 ). Тогда решение уравнения
дt
 r    R 
K 0 r L 
.
K 0 R L 
(5)
Здесь  r   n r   n ; K m z - функция Макдональда m -го порядка [10]; L  D  n N  - характерная
диффузионная длина задачи. Величина  R  определяется первым из граничных условий (2):
12
 R   1   1 n R ,
(6)
где
 
D
L

K 1 R L 
;
K 0 R L 

(7)

nR  n  nR   n e  R  e  R ;
R 
*
(8)

- критический радиус пятна (пятно с радиусом R  R * растет, а с радиусом R  R *
ln n n  
уменьшается).
На временах, значительно меньших времени заполнения пятна адатомами за счет конденсации либо
диффузии из монослоя

t  min  A;


R2 Da 

( D a - коэффициент диффузии адатомов), можно найти скорость диффузионного роста пятна
dR D дn
D d r 
.
 
 
r R
dt
N дr r R N dr
Явное выражение для
(9)
dR
следует из формул (5)-(7), (9) и имеет вид
dt
dR
 1 
 1   
n R .
dt
N
(10)
Если рост пятна лимитируется диффузией вакансий (   1 ), то

dR
D K 1 R L 

n R 

n R .
dt
N
LN K 0 R L 
(11)
Если же рост пятна лимитируется граничной кинетикой пристраивания вакансий к пятну

dR

n R .
dt
N
Рассмотрим теперь другие предельные случаи общего выражения
радиуса ( R  L ) из формул (7), (10) получаем
где
dR D

nR ,
dt LN
D 
D L
D  L
 
S
k T , то
(12)
dR
. Для пятна достаточно большого
dt
(13)
(14)
- эффективный (с учетом граничной кинетики пристраивания) коэффициент диффузии вакансий. Для пятна
радиуса R  L в предположении   1 имеем
n R
dR
D


.
dt
NR K 0 R L 
(15)
Множитель в знаменателе K 0 R L   ln R 2L    , где  =0,5772…-постоянная Эйлера [10],
специфичен для двумерных систем. Он является геометрическим фактором, который при R  L ослабляет
диффузионый поток на пятно по сравнению со случаем трехмерной поры [11] и тем самым уменьшает скорость
диффузионного роста пятна. Далее будем считать, что радиус пятна превышает критический ( R  R * ), что
соответствует именно росту, а не уменьшению пятна.
В случае малых пересыщений двумерного газа вакансий (  R *  1 ) формулу (15) с учетом выражения (8)
для n R запишем в виде
Dn 
dR
 1
1

  .

dt
NRK 0 R L   R *
R
(16)
Считая, что K 0 R L  слабо (логарифмически) зависит от R , из формулы (16) можно найти время
t роста
пятна от радиуса R1 к радиусу R2 :
2
2

 u  1 
 u 2  u1

 ,
 u 2  u 1   ln  2
2

 u 1  1 


t  t 0 
(17)
где введены безразмерные радиусы пятна u 1  R1 R * ; u 2  R2 R * , а
t0 
NR * 3 K 0 R L 
Dn 
(18)
- характерное время диффузионного изменения размера пятна.
Перейдем к анализу устойчивости круговой формы пятна. Метод такого анализа применительно к задачам
устойчивости формы роста кристаллов изложен в обзоре Лангера [12]. Считая отклонение формы пятна от
круговой малым, запишем
R  , t   R t  

m
t eim 
,
(19)
m 1
где  - полярный угол и  m  R . В дальнейшем будем считать, что:
1 на границе пятна выполняются условия локального термодинамического квазиравновесия, т.е. для пятна
строго круговой формы n R   n R (формула 3);
2 рост пятна лимитируется диффузией вакансий (   1 );
3 радиус пятна достаточно мал ( R  L ).
Так как все уравнения задачи линейны, достаточно исследовать искривление формы пятна, описываемое
единственной круговой гармоникой eim  . Можно показать, что кривизна границы пятна для возмущения вида
 m eim  в линейном приближении по
K 
 
 
 Rt  V  
Rt V
Rt 1 1  1   Rt 1   1  OQ
 Rt  c 
c
1



такова:


1
 m 2  1 m2 eim  ,
R
R
(20)
где 1 R - значение кривизны для невозмущенного кругового пятна. Граничное условие (3) для пятна
искривленной формы примет вид
n
im 
K
2
m
B  n  e  n R 1  m  1 R  R e  .

 


Здесь символ “ B ” обозначает границу.
Найдем далее решение квазистационарного уравнения диффузии вакансий:
(21)
д 2
д 2

1 д
1 д 2

 2 
  0
 д  д 2
(22)
(   r L ), сводящееся к выражению (21) на искаженной границе и удовлетворяющее условию   0 при
r   . Это решение имеет вид
 ,     0 K 0     m K m  eim  .
(23)
После нахождения констант  0 и  m окончательно получим
  ,     R
K 0  

K 0 a 

n R  K m     m
K 1 a 

a  m2  1
 R



K
a
R  K m a   R
0



 im 
e
, (24)

где  R  nR  n   nR ; a  R L .
Скорость перемещения границы пятна, как можно показать, в линейном приближении по  m R  1 имеет
вид
υr 
Подчеркнем, что υ r
D д

N дr
B.
(25)
согласно (25) следует находить не при r  Rt  , а на искаженной границе
R, t   Rt    m t eim  . С другой стороны, очевидно,
υr 
дR , t  dR t  d m t  im 


e .
дt
dt
dt
(26)
Приравнивая выражение (25) с найденной функцией  ,   (формула (24)) и выражение (26), получим
формулу (11) для
dR t 
и формулу для инкремента  m :
dt
m 
m
n R K m a  
D 
2


G m a   m  1
.
m
LN 
K m a  
R2


(27)
Здесь
G
n R K 1 a 
дn

r

R
дr
L K 0 a 
(28)
- величина градиента плотности вакансий на границе неискаженного пятна;
 Km
 (a)
K 1 (a) 
,

 K m a 



K
a
1


m a   
(29)
d m t 
а точка над  m означает дифференцирование по времени: m 
.
dt
Из формулы (27) видно, что инкремент  m содержит два члена, имеющих разную физическую природу.
Первый член, пропорциональный градиенту G , ведет к нарастанию амплитуды гармоники. Второй,
пропорциональный линейному натяжению границы   ~   , приводит к уменьшению амплитуды  m .
Вопрос же об устойчивости сводится к тому, какой из эффектов будет доминирующим.
Относительная деформация пятна определяется отношением  m R ; из формул (27) и (11) следует
выражение для инкремента  m R :
m 
D
LN
m 
 t  
d
R
ln  m   m  ;
dt  Rt    m
R
(30)
 
n R K m a  
1
2
G m a     m  1
.
a
R 2 K m a  
 


(31)
Запишем и проанализируем уравнения (27) и (31) для случая R  L :
m 
m 
m  1D G  m m  1 n R  ;


NR

(32)

n R 
D 
2
m  2 G  m m  1
;
NR 
R2 
G
Условие нарастания

R2 
n R
RK 0 R L 
(33)
.
(34)
m -ой гармоники  m  0 , следующее из формулы (32) запишем в виде
e R
R



m
m

1
K


0

R
 L  e R  e
R
R
 n
ln 
 n

 ,

(35)
и будем считать, что R  R  , а n  n  . Тогда при R  R   0 правая часть неравенства (35) неограниченно
возрастает. Это значит, что при R  R   0 пятно устойчиво, т.е. неустойчивость наступает на некотором
конечном удалении от R  . Найдем порог возникновения неустойчивости формы пятна, т.е. радиус пятна
RC1 m  , выше которого  m t  нарастает (  m  0 ). Для этого будем приближенно решать уравнение
e R
R



m
m

1
K


0

R
 L  e R  e
R
R
 n
ln 
 n

 .

(36)
В случае предельно больших пересыщений

R

 n 
  1
 ln 
 n 
(37)
решение уравнения (36) ищем в виде R  R   R , где R  R  . Поскольку малым параметром здесь
является величина R    1 , положим

R * 
,
RC1 m   R  1  

 

(38)
где  - численный коэффициент, зависящий от m . Вычисления A   0 дают

    R 
K 0   .
 R    L 
  ln m m  1

(39)
Мы видим, что в случае предельно больших пересыщений (37) RC1 m  близко к R  и слабо
(логарифмически) зависит от m .
В случае же малых пересыщений n  n   n   1 имеем

R


n  n

 1 .
 1 ;
R
n
(40)
Тогда из уравнения (36) легко получить
RC1 m   mm  1K 0 R L   1R  .
(41)
В этом предельном случае RC1 m  уже существенно превосходит R  и сильно зависит от m .
Будем рассматривать нарастающие гармоники с большими номерами m m  1 , что соответствует
развитой неустойчивости, и найдем наиболее быстро растущую гармонику. Номер m  такой гармоники в
случае R  L , как следует из формул (32), (34), приближенно равен
 R e R   e R 

m 
 3 e R K R L  
0


12

,
(42)
а соответствующая длина волны гармоники
 
2R
m
 3R  e R
 R 
 2 
K 0  

  R
 L  
 e R
e
12
.
(43)
В случае малых пересыщений (неравенства (40)) приближенно получим
 R R 

m 
 3K R L  
0


12
 R 
~   
R 



  2 3RR K 0 R L 
12
12

~ RR
;

12
(44)
.
(45)
Предполагаемое условие m   1 хорошо выполняется при R R   10 3 .
В рассмотренных нами предельных случаях (37) и (40) можно также найти радиус пятна RC2 m  , выше
которого нарастает относительная деформация пятна  m R m  0 . Соответствующие формулы получаются
из формул (38), (39), (41) с помощью замены
m m  1 


m m2  1
, m  2 .
m 2
(46)
Из вышеизложенного следует, что неустойчивость формы пятна впервые наступает на второй гармонике
m  2 , соответствующий критический радиус в случае малых пересыщений равен
RC1 2  6 K 0 R L   1R  .
(47)
Нарастание же относительной деформации пятна  m R начинается на третьей гармонике m  3 ; в
случае малых пересыщений
RC2 3  24 K 0 R L   1R  .
(48)
После потери устойчивости дальнейший рост должен приводить к весьма сложной разветвленной форме
пятна. Подобные режимы роста хорошо известны в случае кристаллизации расплавов и приводят к
образованию дендритов [12].
В заключение приведем еще оценку времени роста пятна от радиуса RC1 2  6 K 0 R L   R  до радиуса
RC2 3  24 K 0 R L   R  :
t 


3
270 N
R  K 0 R L  .
Dn 
(49)
При получении этой оценки мы считали, что RC1 2  R  , RC2 3  R  . В качестве R в аргументе
функции K 0 R L  можно для оценок взять
R  (1 2) RC1 2  RC2 3  15 K 0 R L R  .
(50)
Авторы благодарны чл.-корр. НАНУ П.И. Фомину за поддержку данной работы.
SUMMARY
The paper discusses the diffusion-induced growth of a two-dimensional cavity (pore) in a monolayer of adsorbed atoms (adatoms) on the crystal
surface. The cavity growth stability is analyzed for relatively small distortions of the cavity shape.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Гегузин Я.Е., Кагановский Ю.С. Диффузионные процессы на поверхности кристалла. – M.: Энергоатомиздат, 1984. – 128 с.
Жданов В.П. Элементарные физико-химические процессы на поверхности. – Новосибирск: Наука, 1988. – 320 с.
Люксютов И.Ф., Наумовец А.Г., Покровский В.Л. Двумерные кристаллы. – Киев: Наук. думка, 1988. – 220 с.
Большов Л.А., Напартович А.П., Наумовец А.Г., Федорус А.Г. Субмонослойные пленки на поверхности металлов // Успехи физических
наук. – 1977. – Т.122. - Вып. 1(500). – С. 125-158.
5. Коропов А.В. Кинетическая теория процессов диффузионного распада и роста в островковых пленках: Дис… канд. физ.-мат. наук:
01.04.07. – Харьков: ХФТИ, 1989. – 131 с.
6. Коропов А.В., Сагалович В.В. Рост островковых структур и критерии образования сплошных пленок // Поверхность. Физика, химия,
механика. – 1990. - №2. – С. 17-26.
7. Коропов А.В., Остапчук П.Н., Слезов В.В. Диффузионный рост двумерных фаз в ансамблях // Физика твердого тела. – 1991. – Т.33. №10. – С. 2835-2844.
8. Перекрестов В.И., Коропов А.В., Кравченко С.Н. Образование островковых структур при осаждении слабопересыщенных паров
алюминия // Физика твердого тела. – 2002. – Т.44. - Вып. 6. – С. 1131-1136.
9. Fuhrmann H., Döbell M., Mühle R. Investigations on the mechanism of a novel focused ion beam based lithography technique,
http://www.ipp.phys.ethz.ch/research/experiments/tandem/Annual/1998/ b 14. pdf.
10. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям.- М.: Наука, 1979. – 832 с.
11. Гегузин Я.Е. Физика спекания. – М.: Наука, 1967. – 360 с.
12. Langer J.S. Instabilities and pattern formation in crystal growth // Reviews of Modern Physics. – 1980. - 52, No. 1, Рp.1-28.
1.
2.
3.
4.
Поступила в редакцию 3 марта 2003 г.