Построение множества Парето в модели хеджирования актива

Построение множества Парето в модели хеджирования актива
опционами.
© 2005 г. И.И.Гасанов, Ф.И. Ерешко
(Москва)
Рассматривается многокритериальная задача, которая возникает при страховании
(хеджировании) посредством опционов будущих доходов в операциях продажи актива.
Для широкого класса функций, описывающих зависимость цены опциона от цены
исполнения, предложена эффективная процедура построения множества Парето для трёх
критериев, связанных с оценкой риска по методу VaR. Проводится анализ особенностей
данного множества и дается графическое представление его проекции на одну из
координатных плоскостей.
1. Введение.
Проблема управления рисками является одной из основных проблем в финансовой
инженерии. Важное место среди финансовых инструментов, используемых для ее
решения, занимают опционы. Опционы — это контракты, которые гарантируют своему
покупателю право, но не обязательство, что-либо предпринять. Чаще всего, это право
купить или продать определенное количество единиц некоторого базового актива по
оговоренной цене. Опционы имеют ограниченный срок действия. Если опцион не
исполняется к концу своей «жизни», он теряет свою силу. Опционы, которые могут быть
исполнены в любой момент в течение заданного интервала времени, называются
американскими, а те, которые можно исполнить лишь по прошествии заранее
фиксированного
периода
времени,
—
европейскими.
В
настоящей
статье
рассматриваются европейские опционы. Опционы делятся на два вида – call и put.
Опционы call гарантируют их держателям право покупки некоторого количества единиц
базового актива по цене исполнения (страйку) опциона. Напротив, опционы put
1
гарантируют их владельцам право продать некоторое количество единиц базового актива
по цене исполнения опциона. За такое право покупатель опциона платит определенную
сумму, зависящую от страйка и срока исполнения опциона и называемую ценой или
премией опциона.
Когда рынок опционов сформирован, то опционы могут быть привлекательны
как инструмент спекуляции, но, прежде всего, они привлекательны как элемент
страховочной стратегии (хеджирования). Опционы обеспечивают способ защиты от
неблагоприятных изменений цен и, в то же время, оставляют возможность получить
прибыль при их благоприятных изменениях. В данной статье исследуется один из
вариантов такой страховочной стратегии.
Графики выплат, соответствующие опционам, несколько сложнее по форме, чем
аналогичные графики для фьючерсных и форвардных контрактов. Опционы можно
комбинировать многими способами, создавая богатый ассортимент разнообразных
конструкций. Это является причиной значительного интереса к опционам со стороны
финансовых инженеров [1-3].
Модели оценивания (расчета цен) опционов достаточно сложны. Большинство
этих моделей разрабатывались как варианты известной модели Блэка-Шоулза. Даже те
из них, которые не анонсировались как модификации модели Блэка-Шоулза, очень ее
напоминают. Математический аппарат, использующийся для оценивания опционов,
изложен в работах, указанных в [1], стр. 396, и в работах [4-6].
На внутреннем рынке России в настоящее время имеются только единичные
попытки построить сегменты, связанные с торговлей опционами. Однако для
экспортеров сырьевых ресурсов выбор стратегии страхования поставок на внешний
рынок имеет жизненное значение. Этим и определяется актуальность предлагаемой
ниже постановки задачи.
2
Принципиальное значение при управлении рисками имеет способ их измерения.
Первоначально широкое распространение получил метод оценки, основанный на
дисперсии (или стандартном отклонении). Однако в последнее время обрел популярность
метод, основанный на оценке вероятности достижения участником рынка некоторой
заданной величины доходов – VaR [см. 7].
В работах [8,9] с использованием критерия VaR исследовались близкие по духу
задачи хеджирования актива посредством опционов. Если в статье [8] при фиксированных
затратах на хеджирование максимизируется уровень будущего дохода, гарантированный с
заданной обеспеченностью (вероятностью), то в статье [9], напротив, при заданных уровне
дохода и уровне его обеспеченности минимизируются затраты на хеджирование. Все
расчеты в обеих статьях опираются на формулу Блэка-Шоулза для цены опционов.
Однако, полученные в них результаты верны и в более общем случае, когда от функции
цены требуется, чтобы выполнялись лишь некоторые достаточно естественные свойства,
справедливые также и для функции Блэка-Шоулза. Настоящая работа объединяет и
обобщает результаты статей [8,9]. В ней исследуется взаимная зависимость критериев,
определяющих стратегию хеджирования, и строится множество Парето по этим
критериям. При этом не используется какая-то конкретная модель оценивания опциона, а
лишь некоторые общие для различных опционных моделей свойства функции цены
опциона.
1.
Постановка задачи.
Рассматривается следующая модель хеджирования. В начальный момент времени 0
имеется некоторый актив в количестве W с ценой S 0 . Цена актива ST в будущий момент
времени T , полагается случайной величиной с непрерывной функцией распределения
FST ( x ) . Будем предполагать, что функция FST ( x ) строго возрастает в промежутке [0,  ) .
3
Владелец актива страхуется от нежелательной конъюнктуры цен в момент T ,
приобретая в момент 0 опционы на продажу (put) данного актива со страйком (уровнем
исполнения) X , ценой P ( X ) и временем исполнения T . Если приобретены опционы со
страйком X на продажу актива объемом W , т.е. израсходована денежная сумма
P ( X ) * W , то это гарантирует, что в момент T весь актив будет продан по цене, не
меньшей чем X . Если на такие же опционы потрачена сумма Q * W  P ( X ) * W , то это
можно интерпретировать так, что хеджирована лишь доля h 
Q
от всего объема
P( X )
актива W . Мы будем предполагать, что h  1 . Если h  1 , это означает, что владелец
актива не ограничивается целями хеджирования, а идет на дополнительные расходы в
надежде заработать на опционах при цене ST , меньшей чем X .
Для упрощения выкладок все дальнейшие рассуждения будем проводить для
портфелей, состоящих из единицы базового актива и страхующих эту единицу опционов
put со страйком X в количестве h  1 . Обозначим такой портфель через R( X , h) .
Стоимость портфеля R( X , h) в момент времени T будет равна ST  h * max[ X  ST ;0] .
Определим функцию, которая выражает приведенную к моменту времени T сумму
финансовых потоков, связанных с хеджированием актива посредством портфеля R( X , h) :
 ( ST , X , Q)  ST  h * max[ X  ST ;0]  Q * e rT .
Здесь e rT – относительный доход за период T по безрисковым бумагам.
Для заданного значения   [0,1] параметры Q и X однозначно определяют такой
уровень V , значений случайной величины  , который обеспечен с вероятностью не
меньшей, чем 1   , т.е.
Вер { ( ST , X , Q)  V }  1  
Лицо,
страхующее
актив,
(1.1)
заинтересовано
4
в
максимизации
значения
V,
минимизации вероятности  и минимизации суммы Q . Варьируя  , Q и X , можно
получать различные точки в пространстве показателей  , V , Q . Обозначим множество так
достижимых точек через  . Из рациональных соображений владельцу актива необходимо
выбрать одну из недоминируемых (эффективных) точек из множества  . Для этого
полезно иметь представление обо всей совокупности таких точек, т.е. о границе Парето G
множества достижимости  .
Обозначим через S  -квантиль распределения F ST :
FST (S  )   . При h  1
функция  ( ST , X , Q) является неубывающей по ST . Поэтому, для значений  ,V , Q , X ,
таких что Q  P ( X ) , неравенство (1.1) выполняется в том и только в том случае, если
 ( S  , X , Q)  V . В пространстве показателей S  ,V , Q множеству  соответствует
множество достижимых точек  . Это точки ( S  ,V , Q ) , для которых при некотором
страйке X , таком что Q  P ( X ) , справедливо неравенство  ( S  , X , Q )  V .
Так как величины  и S  находятся во взаимно-однозначной монотонной
зависимости, точка ( ,V , Q ) из  будет недоминируемой тогда и только тогда, когда
недоминируема точка ( S  ,V , Q ) из  . Далее будет решаться задача исследования
границы Парето  множества  в пространстве критериев S  ,V , Q . Переход от критерия

к критерию
S
дает возможность абстрагироваться от конкретной формы
распределения FST . В то же время, знание множества  позволяет строить множество G
для различных распределений FST .
2.
Условия, налагаемые на функцию P ( X ) . Функция  ( X ) .
Далее везде рассматривается множество значений X  0 .
Обозначим через  ( X ) разность X  P ( X ) * e rT . Величина  ( X ) показывает
5
безусловный гарантированный (с вероятностью 1, т.е. при   0 ) уровень значений
случайной величины  ( ST , X , Q) для портфеля R( X ,1) , т.е. при полном хеджировании
актива опционом со страйком X .
Будем предполагать, что функция
P( X )
удовлетворяет двум следующим
требованиям.
Условие 1. P ( X ) – непрерывно дифференцируемая, строго возрастающая, строго
выпуклая функция, P (0)  0 .
Условие 2. lim  ( X )  S 0 * e rT .
X 
Заметим, что эти условия носят достаточно общий и естественный характер. Если
отказаться от одного из следующих условий: непрерывности, строгой монотонности и
выпуклости функции P ( X ) , – то легко строятся портфели опционов с неотрицательной
платежной функцией и отрицательной стоимостью, что неизбежно приводит к арбитражу.
Также к арбитражу приводит предположение, что P (0)  0 . Условие 1 лишь усилено
требованием строгости для выпуклости функции P ( X ) и требованием ее непрерывной
дифференцируемости.
Из предположения о невозможности арбитража вытекает условие паритета put/call:
C ( X )  P ( X )  S 0  X * e  rT , где C ( X ) – цена call-опциона. Так как платежная функция
call-опциона стремится к 0 при
X   , для модели цены опциона естественно
предполагать, что C ( X )  0 при X   . Тогда условие 2 оказывается непосредственным
следствием паритета put/call.
3.
Следствия, вытекающие из условий 1,2. Функции Z ( X ), X 0 (V ) .
Следствие 1.  ( X ) является строго вогнутой, строго возрастающей функцией.
Доказательство.  ( X )   P ( X ) * e rT  0 для любого X  0 , из чего следует, что
6
(X )
функция
строго
вогнута
в
промежутке
lim  ( X )  S0 * e rT  0 , то вогнутость функции
X 
[ 0,  ) .
(X )
Поскольку
 ( 0)  0 , а
обуславливает ее строгое
возрастание в промежутке [0,  ) .
Следствие 2. lim P ( X )  e  rT .
X 
Доказательство. Поскольку значение вогнутой функции  ( X ) стремится на
бесконечности к константе, то ее производная 1  P ( X ) * e rT стремится к нулю. Отсюда и
 e  rT .
следует, что P ( X ) 
X 
В дальнейшем важную роль будет играть функция Z ( X )  X 
P( X )
.
P ( X )
Следствие 3. Функция Z ( X ) монотонно возрастает по X , lim Z ( X )  0 и
X 0
lim Z ( X )  S0 * e rT .
X 
Доказательство. Дифференцируя функцию Z , получаем, что для любого X  0
Z ( X )  1 
P ( X )2  P ( X ) * P ( X ) P ( X ) * P ( X )

0
P ( X )2
P ( X )2
.
Следовательно, Z ( X ) строго возрастающая функция.
lim Z ( X )  lim X  0
X 0
X 0
Согласно условию 1 и следствию 2, P ( X )  e  rT
для любого X  0 , поэтому
Z ( X )  S 0 * e rT для любого X  0 . Докажем, что для любого b  S 0 * e rT найдется такой
X , что Z ( X )  b . В силу монотонности функции Z ( X ) этого будет достаточно для
доказательства того, что
( X ) 
lim Z ( X )  S0 * e rT . Пусть
X 
b  S 0 * e rT . Тогда функция
P( X )
  . Это означает, что существуют значения X , для которых
X  P ( X )  b X 
7
 ( X ) 
P ( X ) * ( X  b )  P ( X )
 0 . Но тогда для таких X : P ( X ) * ( X  b)  P ( X )  0
( X  P ( X )  b) 2
или X 
P( X )
 Z( X )  b .
P ( X )
Если
P ( 0 )  0 ,
то
при
X 0
значение
функции
оказывается
Z(X )
неопределенным. В этом случае положим Z (0)  lim Z ( X ) .
X 0
Обозначим через X 0 (V ) такой минимальный страйк, при котором полное ( h  1 )
хеджирование актива опционом с этим страйком обеспечивает безусловный уровень V
значений случайной величины  ( ST , X , Q) . Иначе говоря,  ( X 0 (V ))  V , и функция
X 0 (V ) является обратной к  ( X ) в промежутке значений 0   ( X )  S 0 * e rT .
Из следствия 1 и условия 1 очевидно вытекает
Следствие 4. X 0 (V ) – монотонно возрастающая, выпуклая функция, определенная
в
диапазоне
значений
[0, S0 * e rT ) ,
X 0 ( 0)  0 ,
X 0 (V )  V
для
всех
V 0,
lim X 0 (V )   .
V  S0 *e rT
Следствие 5. Функция Z ( X 0 (V )),
0  V  S 0 * e rT , монотонно возрастает по V ,
Z ( X 0 (V ))  V для любого V  0 , Z ( X 0 (0))  0 ,
lim rT Z ( X 0 (V ))  S 0 * e rT .
V  S0 *e
Доказательство этого утверждения непосредственно вытекает из следствий 2 – 4.
4.
Задача минимизации расходов.
Рассмотрим вспомогательную задачу. Зафиксируем некоторые значения S  и V и
минимизируем Q (Ср. с [9]). Формально задача запишется следующим образом.
Задача 1. Найти Q opt  min Q при ограничениях
 ( S  , X , Q)  V ,
(4.1)
8
h  1.
Ограничениям задачи 1 соответствует множество достижимости  , а искомая
граница Парето  принадлежит множеству таких троек ( S  ,V , Q ) , в которых значения Q
являются решениями этой задачи. Основные функции и константы, используемые в
дальнейших рассуждениях, отражены на рис. 1.

Решение задачи 1. Если V  S  , то Q opt ( S  ,V )  0 . Пусть V  S . Для таких
значений V при X  V ограничения задачи 1 заведомо не выполняются. Для X  V
 ( S  , X , Q)  S   Q *
X  P ( X ) * e r*T  S 
,
P( X )
и неравенство (4.1), можно переписать так:
S  Q *
X  P ( X ) * e r*T  S 
V .
P( X )
(4.2)
Так как Q  P ( X ) , то неравенство (4.2) может выполняться только при таких X и
V , для которых X  P ( X ) * e rT  V . Поскольку для любого X  0 , в силу условия 2 и
следствия 1, X  P ( X ) * e rT  S 0 * e rT , то задача 1 имеет решение только для V  S 0 * e rT ,
при этом пары ( X , Q ) , удовлетворяющие ограничениям задачи существуют только при
X  X 0 (V ) .
При
фиксированном
значении
X  X 0 (V )
минимальное
значение
Q,
удовлетворяющее неравенству (4.2), достигается тогда, когда неравенство
(4.2)
трансформируется в равенство, т.е. при
Q 0 ( X )  (V  S  ) *
P( X )
.
X  P ( X ) * e rT  S 
(4.3)
Заметим, что Q 0 ( X 0 (V ))  P ( X 0 (V )) . В то же время, так как S   V  S 0 * e rT , то, в
силу условия 2,
Q 0 ( X ) 
  . Поэтому, в силу непрерывности функции Q 0 ( X ) ,
X 
9
найдется точка X opt , в которой достигается
min
X [ X 0 (V ), )
Q 0 ( X ) . Выпишем производную
функции Q 0 ( X ) .
dQ 0 ( X )
(V  S  )

* ( P ( X ) * X  P ( X ) * S   P ( X ))
dX
( X  P ( X ) * e rT  S  )2
(4.4)
Из формулы (4.4) следует, что знак этой производной определяется знаком
многочлена P ( X ) * X  P ( X ) * S   P ( X ) или, что то же самое, знаком выражения
Z( X )  S .
Функция Z ( X ) монотонно возрастает внутри промежутка [ X 0 (V ),  ) от значения
Z ( X 0 (V )) до S 0 * e rT (следствие 3). Поэтому, если S   Z ( X 0 (V )) , то
любого
X  X 0 (V ) ,
Z ( X 0 (V ))  S  , то
и,
следовательно,
dQ 0 ( X )
0
dX X  X
X opt  X 0 (V ) ,
и значение
X opt
dQ 0 ( X )
 0 для
dX
Q opt  P ( X 0 ) .
Если
же
лежит внутри промежутка
0
[ X 0 (V ),  ) . В некоторой точке монотонная функция Z ( X ) достигает величины S  , и
решением задачи 1 является пара ( X 0 , Q 0 ( X 0 )) . Таким образом, в этом случае значение
X opt  X 0 находится из решения уравнения
def
Z( X )  X 
P( X )
 S .
P ( X )
(4.5)
Значение X 0 , в виду монотонности функции Z ( X ) , может быть найдено
посредством простой дихотомии.
Заметим, что в тех случаях, когда S   Z ( X 0 (V )) , оптимальное значение X не
зависит от S  , а только от V , в тех же случаях, когда оптимум находится согласно
уравнению (4.5), X opt , напротив, не зависит от V , а только от S  .
10
5.
Анализ зависимости Q opt от значений V и S  .
Вполне очевидно, что Q opt ( S  ,V ) – непрерывная по каждой из переменных
функция, не убывающая по V и не возрастающая по S  . Из этого следует непрерывность
функции Q opt ( S  ,V ) по совокупности своих переменных.
Зафиксируем S  и исследуем, как Q opt зависит от V . При V  S  , очевидно, что
Q opt  0
при любом значении S  . Если V  S  , то, как показано в предыдущем
разделе, задача 1 имеет решение тогда и только тогда, когда V  S 0 * e rT
Рассмотрим V в промежутке значений ( S  , S 0 * e rT ] . Функция Z ( X 0 (V )) монотонно
возрастает по V , принимая значения в промежутке от Z ( X 0 ( S  ))  S  до S 0 * e rT
(следствие 5). Следовательно, у уравнения Z ( X 0 (V )  S  существует единственный
корень, который обозначим через V  ( S  ) . При этом V  ( S  )  S  , и равенство возможно
только при S   0 .
Заметим, что, согласно уравнению 4.5, X 0 (V )  X 0 ( S  ) . В силу следствия 5, V 
является монотонно возрастающей функцией от S  .
Как следует из результатов предыдущего раздела, в промежутке значений V :
( S  ,V  ( S  )) – оптимальное значение X  S  определяется из уравнения (4.5), т.е. не
зависит от V и равно X 0 ( S  ) . Значение Q opt ( S  ,V ) , согласно формуле (4.3), возрастает в
этом промежутке пропорционально разности V  S  и изменяется от 0 до P ( X 0 ( S  )) .
В промежутке значений V : [V  ( S  ), S 0 * e rT ) – X opt  X 0 (V ) , а Q opt  P ( X 0 (V )) .
Так как X 0 (V ) является строго возрастающей выпуклой функцией (следствие 4), то цена
P ( X 0 (V )) , а с нею и Q opt ( S  ,V ) тоже являются выпуклыми строго возрастающими по V
функциями. Значения Q opt ( S  ,V ) изменяются от P ( X 0 ( S  )) до  .
11
Теперь зафиксируем значение V  S 0 * e rT и посмотрим, как Q opt зависит от S  .
Если S   V , то Q opt  0 . Рассмотрим S  в диапазоне от 0 до V . При V  S   0 ,
Q opt  0 .
Если
V  0,
то
Z ( X 0 (V ))  V
(следствие
5).
На
отрезке
значений
S  : [0, Z ( X 0 (V ))] : X opt  X 0 (V ) , а Q opt ( S  ,V )  P ( X 0 (V )) .
В диапазоне S  : ( Z ( X 0 (V )), V ) – оптимальное для любого фиксированного
X  X 0 (V ) значение
P( X )
X  P ( X ) * e rT  V
Q ( X )  (V  S ) *
 P ( X ) * (1 
).
X  P ( X ) * e rT  S 
X  P ( X ) * e rT  S 
0

Отсюда следует, что при возрастании S  в диапазоне значений ( Z ( X 0 (V )), V )
величина Q 0 ( X ) убывает, а значит, убывает и Q opt ( S  ,V )  min{ Q0 ( X ) | X  P ( X )  V } .
При этом значения Q opt ( S  ,V ) изменяются от P ( X 0 (V )) до 0.
Отметим, что функции V ( S  )  V  ( S  ) и S  (V )  Z ( X 0 (V )) являются взаимно
обратными, т.е. S  (V ( S  ))  Z ( X 0 (V  ( S  )))  S  и
Q opt ( S  (V ), V )  P ( X 0 ( S  (V )))  P ( X 0 (V  ( S  )))  Q opt ( S  ,V  ( S  )) .
6.
Структура множества Парето.
Полученные результаты позволяют построить для задачи хеджирования множество
точек Парето в пространстве критериев S  ,V , Q . Определим
1  {( S  ,V , Q ) | S   (0, S 0 * e rT ), V  ( S  ,V  ( S  )), Q  Q opt ( S  ,V )} ,
2  {( 0,V , Q ) | 0  V  S0 * e rT , Q  P ( X 0 (V ))} ,
3  {( S  , S  ,0) | S   0}
и покажем, что искомым множеством Парето является   1  2  3 .
12
Исследуем множество 1 . В предыдущем разделе мы установили, что для любого
S   S0 * e rT : V  ( S  )  S  . Поэтому, при любом S   (0, S 0 * e rT ) множество точек
( S  ,V , Q opt ( S  ,V ))  1 не пусто. Как мы убедились выше, для любых двух точек
( S1 ,V1 , Q opt ( S1 ,V1 )) и ( S1 ,V2 , Q opt ( S1 ,V2 )) из 1 таких, что V1  V2 , выполнятся
неравенство:
Q opt ( S1 ,V1 )  Q opt ( S1 ,V2 ) . В то же время, для любых двух точек
( S1 ,V1 , Q opt ( S1 ,V1 )) и ( S 2 ,V1 , Q opt ( S1 ,V2 )) из 1 таких, что S1  S 2 , выполняется
неравенство: Q opt ( S1 ,V1 )  Q opt ( S2 ,V1 ) . Отсюда вытекает, что все точки из 1 взаимно
недоминируемы.
Обратимся к множеству 2 . Выше мы установили, что функция Q  Q opt ( S  ,V )
является монотонно возрастающей по V в промежутке [ S  , S 0 * e rT ] , в данном случае в
промежутке [0, S0 * e rT ] . Поэтому любые две точки из 2 взаимно недоминируемы.
Для множества 3 взаимная недоминируемость его точек, очевидно, определяется
равенством V  S  .
Теперь рассмотрим все множество

целиком и убедимся в попарной
недоминируемости точек из разных составляющих его множеств.
Точки из 2 не доминируются точками из 1 и 3 , поскольку только для этих точек
S  0 .
Точки из 3 не доминируются точками из 1 и 2 , поскольку только для этих точек
Q  0 . Исключение составляет только точка (0,0,0)  2 , однако в этой точке значение
V  0 меньше, чем для всех точек из 3 .
Никакая точка ( S1 ,V1 , Q1 ) из 1 не доминируются точками из 3 , поскольку для
любой точки ( S 2 ,V2 , Q2 )  3 либо V2  V1 , либо S 2  S1 . Наконец, для любых точек
13
( S1 ,V1 , Q(V1 , S1 ))  1
и
(0,V2 , P ( X 0 (V2 )))  2
таких,
что
V1  V2 ,
выполняются
соотношения P ( X 0 (V2 ))  Q(V2 ,0)  Q(V1 ,0)  P ( X 0 (V1 ))  Q(V1 , S1 ) . Следовательно, точка
(0,V2 , P ( X 0 (V2 ))) не доминирует точку ( S1 ,V1 , Q(V1 , S1 )) .
Теперь обратимся к множеству, дополнительному к  . Если V  S  и при этом
V  S 0 * e rT , то для таких V , S  задача 1 не имеет решения, и, следовательно, точек
Парето ( S  ,V , Q ) с такими значениями критериев V , S  не существует.
В
том
случае,
когда
S  0
и
V  ( S  )  V  S 0 * e rT ,
точка
( S  ,V , Q opt ( S  ,V ))  ( S  ,V , P ( X 0 (V ))) доминируется точкой (0,V , P ( X 0 (V ))  2 ..
Наконец, любая допустимая точка
( S  ,V , Q opt ( S  ,V ))
такая, что V  S  ,
доминируется точкой ( S  , S  ,0)  3 .
Таким образом, мы установили, что недоминируемыми являются те и только те
точки допустимого множества, которые принадлежат  .
Обозначим через D1 , D2 , D3 проекции множеств 1 , 2 , 3 , соответственно, на
плоскость критериев S  и V . Множество D1 представляет собой область, ограниченную
кривой L  {( S  ,V  ( S  )) | 0  S   S 0 * e rT } и двумя лучами, на которых расположены
множества D2 и D3 (см. рис.2). При стремлении точек ( S  ,V )  D1 к какой-либо точке
( S 0 ,V0 ) на границе области D1 значения Q opt стремятся к значению Q opt ( S 0 , V0 ) .
Непрерывность нарушается только в точке ( S 0 * e rT , S 0 * e rT ) . Из следствий 4 и 5 вытекает,
  S 0 * e rT . Как показано
что V  ( S  ) монотонно возрастает с ростом S  и V  ( S  ) 
S   S *e rT
0
в разделе 5, Q opt (V  ( S  ), S  )  P ( X 0 (V  ( S  ))) . Эта величина монотонно возрастает с ростом
S
и
при
V  ( S  )  S 0 * e rT
значение
P ( X 0 (V  ( S  )))   .
В
то
же
время,
Q opt ( S 0 * e rT , S 0 * e rT )  0 . Отсюда следует, что в любой окрестности точки ( S 0 * e rT , S 0 * e rT )
14
величина Q opt принимает значения от 0 до  .
Изученная в разделе 5 зависимость значений Q opt от S  и V , в частности, их
непрерывность и монотонность, позволяет строить все множество Парето или его
часть, интересующую исследователя, с любой заданной точностью по значениям Q opt на
узлах сетки, наложенной на множества D1 и D2 .
7. Случай модели Блэка-Шоулза. Задачи максимизации V и минимизации S  .
В разделе 4 мы рассмотрели задачу определения оптимального значения критерия
Q при фиксированных значениях критериев V и S  . Данная задача, исследованная также
в работе [9], может представлять самостоятельный интерес. Как и две другие, в которых
оптимизируются критерии V и S  при фиксированных значениях остальных критериев.
Эти задачи мы рассмотрим в настоящем разделе. Кроме того, посмотрим, как
интерпретируются полученные результаты для цены опциона, рассчитываемой по БлэкуШоулзу.
Формула Блэка-Шоулза для цены опциона put может быть записана в следующем
виде.
P ( X )  X * e  rT * N (  d 2 )  S 0 * N (  d 1 ) ,
(7.1)
где
d1 
1
 T
* (ln S 0  ln X  ( r 
2
) * T ) , d 2  d1   T ,
2
(7.2)
 - волатильность цены актива, N () - функция стандартного нормального
распределения.
Для X  0 значение P ( X ) в формуле 7.1 не определено, однако при X  0 это
значение стремится к нулю. Положим по непрерывности P (0)  0 . Из формулы 7.1
15
непосредственно вытекает справедливость для функции Блэка-Шоулза условия 1 из
раздела 2. Как известно, в модели Блэка-Шоулза цена call-опциона C ( X )  0 при
X   , и выполняется свойство паритета put/call. Отсюда для функции Блэка-Шоулза
следует справедливость условия 2 , раздела 2. Следовательно, к модели Блэка-Шоулза
применимы все результаты, полученные выше.
Из формулы (7.1) следует, что
PX  N ( d 2 ) * e  rT ,
(7.3)
PX * X  P  S0 * N ( d1 ) , .
(7.4)
Подставляя формулы (7.3), (7.4) в формулу 4.5 получаем:
Z ( X )  S0 * e rT *
N  d1 ( X )
.
N  d 2 ( X )
(7.5)
Из равенств (4.5) и (7.5) вытекает следующее уравнение для X 0 ( S  ) :
S   S0 * e rT *




N  d1 ( X 0 )
.
N  d2 ( X 0 )
(7.6)
Задача 2. Поставим задачу максимизировать уровень платежей
V
при
фиксированных значениях S  и Q (ср. с [8]). Задача запишется следующим образом.
Найти V opt  max  ( S  , X , Q) при условии h  1 .
X
Решение задачи, по существу, содержится в разделах 4, 5. Поскольку Q opt (V , S  )
является строго монотонной функцией по V , то искомое V opt находится как корень
уравнения Q opt (V , S  )  Q .
Если Q opt (V  ( S  ), S  )  Q , то V opt  V  ( S  ) , и X opt  X 0 ( S  ) находится из
уравнения (4.5) (или из уравнения (7.6) в случае формулы Блэка-Шоулза). Формула для
значения V opt получается преобразованием равенства (4.3):
16
V opt  S  
Q
* ( X 0 ( S  )  P ( X 0 ( S  )) * e rT  S  )
0

P ( X ( S ))
Если Q opt ( S  ,V  ( S  ))  Q , то V opt  V  ( S  ) , и значение V opt определяется из
уравнения P ( X 0 (V ))  Q .
Задача 3. Зафиксируем теперь V и Q и поставим задачу минимизировать
величину S  . Задача запишется следующим образом.
Найти S opt  min S  при ограничениях
X
 ( S  , X , Q)  V ,
h  1.
Решение задачи 3, как и задачи 2, опирается на результаты разделов 4, 5.
Непрерывная функция Q opt ( S  ,V ) равна P ( X 0 (V )) для S   [0, Z ( X 0 (V ))] и монотонно
убывает по S  в промежутке значений S  : ( Z ( X 0 (V )), V ] от величины P ( X 0 (V )) до 0.
Если Q  P ( X 0 (V )) , то, в силу условия 2, для такого значения X Q , что P ( X Q )  Q ,
выполняется
неравенство
 (0, X Q , P( X Q ))  X Q  Q * e rT  X 0 (V )  P( X 0 (V )) * e rT  V .
Поэтому значение S opt в этом случае равно 0.
Если
Q opt ( S  ,V )  Q .
Q  P ( X 0 (V )) ,
Этот
то
корень
величина
находится
S opt
находится
посредством
как
корень
дихотомического
уравнения
поиска
с
использованием уравнений (4.5) (для формулы Блэка-Шоулза (7.6)) и (4.3).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Маршалл М. Дж., Бансал В.К. Финансовая инженерия. Пер. с английского. - М.:
Инфра, 1998. - 784 с.
2. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. -
17
М.: НТО им. акад. С.И. Вавилова, 2002. - 348 с.
3. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. - М.: Научно-
техническое общество имени академика С.И. Вавилова, 2002.
4. Marshall, J.F. Futures and Option Contracting: Theory and Practice, Cincinnati, OH: SouthWestern, 1989.
5. Меньшиков И.С. Финансовый анализ ценных бумаг. Курс лекций. – М.: Финансы
и статистика, 1998. – 360 с.: ил.
6. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчёт и риск. – М.:
Инфра-М, 1994 г. – 192 с.
7. Агасандян Г.А. Финансовая инженерия и критерий допустимых потерь VaR. – М.:
ВЦ РАН, 2001 г. – 34 с.
8. Щукин Д. Минимизация риска портфеля при хеджировании опционами. //Рынок
ценных бумаг, № 17 (152), 1999.
9. Мелокумов Е.В., Карпов А.Е. Принятие решений при хеджировании опционами.
//Валютный спекулянт, №3 (17), 2001.
The multiple-criteria problem, which arises at the insuring (hedging) future incomes in
the sale operations of some asset by means of options, is considered. The effective procedure of
the Pareto set finding for three criteria concerning with the risk estimation by the VaR-method is
offered for a wide class of functions. The analysis of Pareto set features is fulfilled. The graphic
representation of the Pareto-set projection on one of a coordinate plane is given.
Автор: Гасанов Игорь Искендерович, Ст. научный сотрудник Вычислительного
центра им. А.А. Дородницына РАН, кандидат физико-математических наук.
Адрес: 119991, г. Москва, ул. Вавилова 40, ВЦ РАН;
Телефоны: 930-36-03(д), 135-51-09, 135-13-98 (сл.);
E-mail: gasanov@ccas.ru
Автор: Ерешко Феликс Иванович, зав. отделом Вычислительного центра им. А.А.
Дородницына РАН, доктор технических наук, профессор.
18
Адрес: 119991, г. Москва, ул. Вавилова 40, ВЦ РАН;
Телефоны: 125-81-69 (д), 135-51-09, 135-13-98 (сл.);
E-mail: ereshko@ccas.ru
19
V
V  ST
(ST, Xopt(S,V1),Qopt(S,V1))
X 0 (V2 )
(ST, X0(S),Q0(X0(S),V1))
(ST, Xopt(S,V2),Qopt(S,V2) 
(ST, X0(V2),P(X0(V2)))
X 0(S )
V2
 ( X0 (V2 ))
V  ( S )
 (X )
( X 0 (S ))
V1
ST
0
Z(X0(V1))
S
Z(X0(V2))
Рис. 1
20
V
D3
S0 * e rT
V  ( S )
D2
D1
S
0
Рис 2
21