4-1

ГЛАВА 4. ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССЦПАТИВНАЯ ТЕОРЕМА (ФДТ) И
ФОРМУЛА КУБО
В этой главе нам предстоит разобрать довольно сложный вопрос: как связаны
флуктуационные процессы в системах с динамическими характеристиками. Мы
убедимся, что наблюдение реакции системы на внешнее возмущение ("внешнюю
силу") содержит информацию не только о кинетических коэффициентах, но и о
спектре равновесных флуктуаций ее параметров. Напомним, что кинетические
коэффициенты определяют кинетику релаксационных процессов в системе и
скорость диссипации в ней энергии, подводимой от внешнего источника. В общем
случае скорость диссипации зависит от частот внешнего возмущения и , как мы
увидим, именно она дает спектр флуктуаций. Указанная связь устанавливается
флуктуационно-диссипативной теоремой (ФДТ), доказательство которой будет
проведено во втором параграфе этой главы. Это доказательство будет носить
достаточно общий и абстрактный характер, поэтому мы сочли целесообразным
(для понимания ФДТ ) в следующем параграфе проиллюстрировать содержание ФДТ
на примере самой простой системы.
§1 ФДТ для одной классической переменной и уравнение Ланжевена
а) Стохастическое уравнение Ланжевена. Линейный отклик
Рассмотрим поведение классической частицы, на которую могут действовать
сл
как случайные силы F со стороны
внешняя,
других легких частиц окружения,
ст
детерминированная сила
F
t .
так
и
Попытаемся исходить из самых
очевидных соображений. Бесспорно, что
M
dv
 F  t   Fсл  t   Fст  t 
dt
(1.1)
В случае, когда средняя случайная сила компенсирует внешнюю постоянную
сл
силу, т.е. F
t
 F  0 , частица движется с постоянной средней скоростью v.
ст
При малых по сравнению с тепловой скоростью легких частиц средней скорости
тяжелой частицы <V> связь между <V> и внешней силой линейна <v>=bF.
Величина подвижности b вычислялась в рамках различных моделей в §9 главы I
пособия [4]. Для тяжелой частицы в легком газе подвижность b непосредственно


связана с эффективной частотой столкновений: b  1 m эф. .
Если, кроме того, характерное время изменения сторонней силы велико по
сравнению с 1  эф. , для средней скорости можно написать уравнение
d v
dt
Fсл  t   Fст  t 
 v  Fст  t  M
(1.2)
В этой ситуации случайную силу удобно представлять, как
Fсл  t    v  f сл  t 
где
f сл  t 
- среднее значение отклонения случайных сил от
среднего значения силы
корреляция значений
(1.3)
практически равное нулю. Естественно, что
f  t  f   t  должна быть существенна только на
сл
сл
временах столкновения
 ст
 эф. ,
поскольку столкновения, фактически
независимы. Таким образом, для описания движения
использовать стохастическое уравнение Ланжевена:
dv
   v  f M    v  f сл M  f ст M
dt
мы
,
молем
(1.4)
где случайная сила такова:
f сл  0, Fсл    v  t  , f сл  t  f сл  t        t  t  
(1.5)
В дальнейшем будем полагать, что сторонняя сила
обладает нулевым средним значением.
f ст  Fcт и
f ст  t   0
Fст также
(1.6)
ст
сл
Тогда в уравнении (1.4) f и f
становятся равноправными.
Формально можно записать решение уравнения (1.4), не делая различия
между силами
f ст и f сл .
v  t   v  t0  e
  t  t 0 
t
 e t  e tf  t   dt  M
(1.7)
t0
Для t   вклад первого слагаемого исчезает, и получается
соотношение вида:
vt 
t

  t  t    f  t    dt  


     f  t     d
(1.8)
0
Это соотношение совпадает с формулой для линейной реакции на
внешнею силу, в которой
    e M .
То обстоятельство, что
t 0   , позволяет
использовать адиабатическое "включение" силы с t   , а это в свою
скорость v(t) "забывает" о своем значении при
очередь позволяет хотя бы формально записать соотношения для фурье компонент
v   и f   :
v         f   
f  
  i  f 

 
M  i    M  2   2 
(1.9)
Коэффициент перед силой с точностью до множителя совпадает с комплексной
подвижностью, если под f   понимать внешнюю стороннюю силу. Действительно, действуя
на систему периодической внешней силой f
ст
  и наблюдая за системой достаточно долго,
мы можем добиться полного усреднения случайной компоненты силы f  f  f . Само
уравнение (1.9) тогда будет выражать соотношение между средней величиной v  t  и силой
сл
ст
f ст  t  . С другой стороны, в отсутствие сторонней силы тот же коэффициент должен отражать
реакцию на случайную силу f
сл
t ,
поэтому, зная спектр случайной силы, можно будет
получить спектральную характеристику флуктуаций скорости.
б) Корреляторы и их спектры
Как известно, спектр случайной величины непосредственно связан с ее
коррелятором. По определению под коррелятором статистически однородных по
a  t  и b  t  можно понимать следующее:
времени случайных величин
a t   bt
t
Lt 2
1
 lim
Lt  L t
 a  t    b  t  dt  a   b  0 
(1.10)
 Lt 2
Угловые скобки в последнем равенстве можно понимать и как
усреднение по многим реализациям.
Естественно,
это означает
соблюдение эргодичности. Спектром коррелятора будет
его Фурьекомпонента по  :

a   b   
  ei a   b  0   d
Lt

a   b  0  
ei a   b   
 d
 2
Lt
(1.11)

.
(1.12)
Поясним несколько странное,
на
первый взгляд,
обозначение, введенное нами для коррелятора рассматриваемой здесь
системы. Когда на частицу действуют только случайные
флуктуационные силы v  t   0 . Коррелятор компонент скорости
для каждой реализации можно записать, как
1
v   v   0   lim
L t  L t
1
 lim
L t  L t
1
 lim
L t  L t
1
L t  L t
 lim
L t 2 
 
e
2
 L t 2 
L t 2 
 
 i  t  
e
 L t 2 
 i  t  
2
Lt 2

v   t  v   t  dt 
 Lt 2

e  i t
v   d 
v     d   dt 
2


e  i t
v   d 
v     d   dt 
2

(1.13)
  i t
v   v   
e  i t
e
v

v

d


d





 2 
 2
Lt

Сам временной коррелятор и его фурье - образ являются вполне
определенными величинами, в то время как v   заведомо не имеет
определенного
значения
и
является
величиной
случайной
v  , L t  ,
меняющейся от реализации к реализации1. Тем не менее связь v  , L t  и
f   существует и задается соотношением (1.9), поэтому:
1
L t  L t
v   v   0   lim

ei
сл
сл
 2       f  , Lt  f   , Lt  d 


ei
сл
сл
 2       f  , Lt  f   , Lt  Lt d
(1.14)
Промежуточные соотношения в (1.13) и (1.14)быть может не
совсем корректны, но имеют весьма прозрачный физический
смысл.
Сотношения для спектров корреляторов, следующие из (1.13) и
(1.14)вполне строгие
v   v    Lt    
f сл  , L t  f сл   , L t  L t
2
(1.15)
В этом можно убедиться, усреднив (1.13) и (1.14) еще и по
ансамблю
реализаций.
При. В рассматриваемой здесь модели спектр случайных сил не висит от
частоты  и , согласно (1.5), (1.11), задается константой  . Эту константу
можно выразить через температуру и параметры  и M уравнения (1.4). Исходим
из того, что в равновесной
v  0  v  0   3T M .
ситуации
Легко
проверить
интегрированием (1.15), что при
f  , L  f    , L  L  2  T  M    
сл
сл
t
t
t
(1.16)
коррелятор скоростей имеет вид:
v   v   0    


e

 i
2  T  M 
2 M
2

2

2

d    T 
e
 
M
(1.17)
Заметим, что компоненты коррелятор (1.17) только множителем T
отличается от
  
Запишем теперь коррелятор координаты частицы. Поскольку v=dr/dt,мы
можем написать:
Для того, чтобы
1
типа
a   
Lt 2

a   b    L t
exp  i t   a  t  dt
и
имел определенное значение, стохастические интегралы
b  
должены быть
Lt
. (Подробнее cм. [11])
 Lt 2
Фигурирующий в определении спектрального коррелятора интервал времени усреднения L,. символически
обеспечивает правильную размерность
r   
  
1  i  
f       f   
f  
i
 2   2  M
. (1.18)
Чтобы исключить неопределенность начальной координаты, рассмотрим
реально измеряемую величину, связанную с коррелятором координат:
r 2     r  t     r  t  
 2  r 2  0   r   r  0  
2
(1.19)
По смыслу эта величина совпадает со средним квадратом отклонения
частицы при условии, что при   0 частица находилась в r  0
r   
2


1  e 
 i
1


M
2

2
2

2
f сл  , L t  f сл   , L t 

d
Lt
(1.20)
В это выражение подставим спектр случайных сил (1.16). В результате
получим:
r   
2


1  e 
 i


2  T  M 
M
2
2

2

2

d 
2T  1  e



 i
 Im   d

(1.21)
Интегрируя это выражение по контуру,
полуплоскости, получим формулу.
r 2   
Это
6T  1  e 
1 

 
 
выражение
(1.22)

при
r    6D , а при
2

замкнутому в нижней
1 соответствует
обычной
диффузии
1 переходит в формулу для свободного
движения r 2    3vT2 2 . Подчеркнем еще одно очень важное обстоятельство.
Нам удалось выразить спектры скоростей и координат (см. формулы (1.17)
и(1.21)) через
Im  
 
2

 2  :
v   v   
 2T Im  ,
Lt
r   r   
 2T Im   (1.23)
Lt
Сама функция  , как и   i   ,характеризует реакцию или линейный отклик
системы (частицы) на внешнюю силу. Таким образом, мы в этом частном случае
получили одно из утверждений ФДТ о том, что мнимая часть восприимчивости
Im    полностью определяет флуктуации в системе. Теперь нам остаётся
проверить, что та же мнимая часть восприимчивости ответственна за диссипацию
энергии, получаемой системой от внешнего источника.
в) Скорость диссипации энергии
2
В рассматриваемом случае под энергией системы мы должны понимать Mv / 2 ,
поэтому из (1.4) легко получить, что
d M  v2
  M  v 2  v  f
dt 2
(1.24)
При отсутствии внешних сил ситуация в итоге стационарная, при этом
v  0 , и для
средних в уравнении (1.24) имеем:
 M v 2  v  f сл  0 .
(1.25)
Соотношение (1.25) означает полную компенсацию средней работы
v  f сл случайных
сил, действующих на тяжелую частицу, диссипативным членом Q   M v
2
, который
Пусть теперь на систему ( тяжелую частицу) действует внешняя, сторонняя сила
f ст , тогда
ответственен за энергию, передаваемою частицей легкому газу.
вместо (1.25) нужно записать:
2
d M v
  M  v 2  v  f сл  v  f ст
dt
2
(1.26)
Распишем подробнее правую часть (1.26), используя формулу для линейного отклика (1.8):
2
d M v
  M 
dt
2
 M 


0

  1   f сл  t   1   d 1    2   f сл  t   2   d 2 
0


     f  t     d      f  t     d
ст
1
ст
1
1
0



2
2
2

(1.27)
0
    f сл  t     d  f сл  t  
0

     f  t     d  f  t 
ст
ст
0
Напомним, что с самого начала мы предполагали отсутствие корреляции между сторонними
и случайными силами. Дельта коррелированность случайных сил и нашли коэффициент (1.16) в
их корреляторе:
f ст  t  f сл  t   0,
f сл  t  f сл  t   2  T  M    t  t   (1.28)
Слагаемые со случайными силами в (1.27) равны по модулю
что
просто означает
выполнение соотношения (1.25)
T
и взаимно сокращаются,
и при наличии сторонних сил.
В
результате (1.27) может быть записано, как
2
2
d M v
  M  v  t   v  t   f ст  t  (1.29)
dt
2
Последний член в правой части (1.29) равен средней работе внешней силы в единицу
времени
v  f ст  v  t   f ст  t  .
А первый следует снова интерпретировать, как тепло,
отдаваемое тяжелой частицей термостату.
В идеальном термостате (легкие частицы) энергия
получаемая термостатом от тяжелой частицы не должна изменять его температуру. Тяжелая
частица
при
этом
формально
3Tэф 2  M v2 2  3T 2  M v
2
обладает
более
высокой
температурой
2 . Поток тепла , таким образом направлен в термостат.
Естественно, термостат должен быть велик и обладать высокой теплопроводностью. Для тяжелой
частицы в легком газе это означает что длина свободного пробега легкой частицы значительно
больше размера тяжелой (см. задачу задания). Внешняя сила должна быть достаточно слабой,
чтобы не вызывать у тяжелой частицы средней скорости порядка тепловой и меняться с частотой
значительно меньшей эффективной частоты столкновений лёгких частиц с тяжёлой. При
постоянной , либо периодически меняющейся внешней силе среднее за достаточно большой
интервал времени значение производной квадрата скорости равно нулю. Поэтому:
1
Q  lim
L t  L t
Lt 2

 Lt 2
1
v  t   f  t  dt lim
Lt  L t
Lt 2

ст
  M  v  t  dt
(1.30)
 Lt 2
Для гармонической внешней силы имеем:
f ст  t   f   ei t  f *   e i t  2,
v  t      f   ei t      f *   e  i t  2
.
(1.31)
Подставляя (1.31) в (1.30), получаем для работы внешней силы:
Q 
1
1
        f   f *    Re     f   f *   

4
2
1

        f   f *   
4
2M  2   2 
(1.32)
или в наиболее привычном виде:
Q    Im     f   f *   2
(1.33)
Таким образом, диссипация энергии системой определяется мнимой
частью восприимчивости, которая давала спектр равновесных флуктуаций.
г) Общая формулировка ФДТ для одной классической координаты
В формулах
   .
(1.33) и (1.23) мы умышленно не конкретизировали вид
Эти формулы справедливы для любых систем с одной обобщенной
координатой. Этот факт здесь нами не доказан, но мы и не ставили такую
задачу. Здесь мы стремились донести само содержание утверждения ФДТ.
Целесообразно поэтому повторить утверждение в терминах обобщенной силы и
координаты.
Пусть q - обобщенная координата, а f - сопряженная ей сила. Критерием
сопряженности может служить выражение для диссипации энергии
Q  q  t  f ст  t 
(1.34)
Если фурье - образы обобщённого потока q=dq/dl и координаты q
связаны с внешней силой через восприимчивость 2
q       f    Re     i Im    f  
q    i      f       f  
2
(1.35)
Напомним, что Im  с помощью Крамерса - Кронига выражается через Re  , при этом
Re     Re     и Im      Im     .
то
спектральная
плотность
их
корреляторов
равновесном состоянии непосредственно выражается через
в
термодинамически
Im    :
q   q    Lt  2T  Im     ;
q   q    Lt  2T    Im     2T  Re   
(1.36)
Эти соотношения и составляют утверждение ФДТ для классических
координат и токов. Мы увидим, что ФДТ является прямым следствием
знаменитой формулы Кубо для классических переменных
B t 
t
1
  B  t  q  t   T f  t   dt  , (1.37)
T 
которую в квантовом случае мы подучим в §2:
B  q, q  , фигурирующая в (1.37), должна
Произвольная переменная
иметь усредненное по времени значение равное нулю.
При периодической
f  t  это требование выполняется автоматически.
Для компонент скорости броуновской частицы можно взять B  v, и q = v ,
возмущающей сторонней силе
тогда
vt 
t
 v  t  v  t

T
f  t   dt  T (1.38)
Сравнивая (1.38) с (1.8), убеждаемся, что действительно при
любой из декартовых координат
v   v   0 
T
 T      T  e    M
 0
для
(1.39)
На этом этапе читателю полезно самостоятельно убедиться, что для фурьеобраза коррелятора скорости выполнены утверждения (1.36).
д) Формула Найквиста
Продемонстрируем, как из ФДТ сразу следует известная формула
Найквиста. Если по цепи течет ток, то диссипируемая в ней энергия (полученная
от внешнего источника) равна Q  I  U . Примем
I за поток. тогда U сопряженная этому потоку сила. Это эквивалентно закону Ома I  U R . Но
тогда сразу же следует, что   1
R . Для тех частот, при которых R   есть
просто омическое сопротивление R, мы получаем, согласно ФДТ, что
I   I     2  T R, а
U   U     2  T  R .
(1.40)
Роль координаты q выполняет заряд, скапливающийся на концах
сопротивления или на обкладках конденсатора (если такой в цепи имеется).
Поскольку цепь имеет некоторую аффективную полосу пропускания частот  ,
то флуктуационная ЭДС U
2
T
2  T  R   .
Единственно о чем следует побеспокоиться - это о применимости формул
классической статистики для описания равновесного флуктуационного поля.
 max такие, что max T , то
Если максимальные частоты в полосе
квантовые эффекты у луктуационных полей не проявляются, и наши рассуждения
могут претендовать на определенную строгость.
Как уже говорилось в этом параграфе , мы хотели только
проиллюстрировать связь между динамическим откликом систем и
равновесными флуктуациями. Все результаты будут получены в следующих
параграфах более последовательно, исходя из уравнений для матрицы плотности
квантовых систем.