Зависимость траектории cпиновых частиц от поляризации Н.Р. САДЫКОВ Снежинский физико-технический институт НИЯУ МИФИ, Челябинская обл. ЗАВИСИМОСТЬ ТРАЕКТОРИИ CПИНОВЫХ ЧАСТИЦ ОТ ПОЛЯРИЗАЦИИ Задача определения параметров траектории спиновых частиц и пучка лучей сведена к вариационной задаче с высшими производными. Применительно к диссипативным солитонам оптический эффект Магнуса (ОЭМ) определяется спиральностью и топологическим индексом m. Установлена связь между ОЭМ и неголономностью поля касательных к траектории единичных векторов. Малые величины кручения и кривизны совместно с поляризацией определяют аналог 4-потенциала в электромагнитном поле. Рассмотрен классический аналог обратного ОЭМ. В оптике для большого класса задач (см., например, [1]) векторное поле касательных к траектории единичных векторов образует голономное векторное поле l rot l 0 [2] (нормальная конгруэнция [1], с. 154), где l касательный к траектории единичный вектор. Это приводит к тому, что можно провести к пучку лучей семейство ортогональных поверхностей, пересекающих каждую кривую под прямым углом. Такие ортогональные поверхности отождествляются с волновыми фронтами ([1], с. 812) или волновыми поверхностями ([1], с. 41). Выполнение условия голономности для поля касательных к траектории единичных векторов приводит к тому, что в оптике имеет место инвариант Лагранжа ([1], с. 155). Аналогичная ситуация возникает при движении заряженных частиц в стационарном электрическом поле. В этом случае существует обобщение инварианта Лагранжа ([1], с. 805) (один из инвариантов Пуанкаре). Для таких заряженных частиц электрический потенциал однозначно определяет значение “показателя преломления”, и существует довольно глубокая аналогия с обычной оптикой. Ситуация меняется для заряженной частицы в магнитном поля. При наличии магнитного поля обобщенный импульс содержит векторный потенциал, ротор от которого равен вектору магнитной индукции, что приводит к неголономности касательного к траектории векторного поля (к косой конгруэнции ([1], с. 154)). Но в [3] показано, что учет поляризации в случае электромагнитного излучения приводит к уравнению траектории пучка лучей, аналогичному уравнению движения заряженной частицы в магнитном поле. Полученное уравнение в приближении геометрической оптики описывает оптический эффект Магнуса [3]. Роль “заряда” выполняет топологический заряд (знак циркулярной поляризации излучения), а величина “магнитного поля” будет определяться величиной кривизны траектории. Аналогичная ситуация возникает в случае электрически нейтральной спиновой частицы [4]. Это, в свою очередь, означает, что исследованные в [3] эффекты влияния поляризации на параметры траектории охватывают класс неголономных касательных к траектории векторных полей. При этом выполнение условия неголономности приводит к очень сильных следствиям, а именно: условие неголономности приводит к тому, что нельзя провести к семейству траекторий семейство ортогональных поверхностей (волновых фронтов). В [3, 4] для спиновых частиц показано, что действие в случае оптического эффекта Магнуса запишется (1) S mc 2 d eAi dxi / c A1,i dxi , где i 0, 1, 2, 3 , A1,i (1 , A1 ) , 1 v(l n1 ) / c , l касательный к траектории единичный вектор, v скорость частицы, n1 1 / 2, n1 вектор поляризации частицы с полуцелым спином; крученние траектории, A1 n1 ln n , n – “показатель преломления”. В (1) несмотря на релятивистски инвариантную форму записи будем в дальнейшем подразумевать нерелятивистские скорости, поскольку рассматриваемые поляризационные эффекты в случае релятивистских скоростей малы (см. [4]). В дальнейшем по аналогии с выводом уравнения траектории заряженной частицы из (1) в четырехмерных обозначениях получим A j A dpi e dx j dx j A1, j A1,i Fij Fij(1) , Fij i ij , (2) Fij(1) i , ds c ds ds x x x j x где pi ( p0 , p) , p0 p0 , p mv / 1 2 , v vl , ds интервал трехмерной длины в лабораторной системе координат. Из (2) получим Зависимость траектории cпиновых частиц от поляризации d 1 dA1 dp 0 e v dA1 dp eE e c l E l B l rotA1 1 , , (3) ds c ds c ds ds v c ds v где B rotA, E A0 A / ct , l E dA0 / ds v dA / ds . Из (3) видно, что во втором уравнении два последних слагаемых в правой части выполняют роль “электрического поля” в случае заряженной частицы. Систему уравнений (3) можно записать в виде d v dA1 d v dA1 d (с p0 ) dp (4) el E с 1 v el E c 1 , . ds ds ds c ds ds c ds Из первого уравнения (4) с учетом соотношения l E dA0 / ds v dA / ds следует равенство dA dA1 d (5) (с p0 eA0 с 1 ) v e 1 , ds ds ds которое в случае нерелятивистских скоростей и при условии A 0 может быть записано в виде (6) P0 p0 eA0 / c 1 const . В этом случае 1 выполняет как бы роль дополнительной “потенциальной энергии” в стационарном электромагнитном поле. Для лагранжиана с высшими производными уравнение “движения” имеет вид ([5], с. 688) m 1 d L d L d 2 L L L . m 1 d (7) 2 (1) ( m) m 1 dt u dt u dt u dt u u В работе [11] была получена величина – аналог обобщенного импульса для спиновой частицы P p A1, A1 n1 rss , p nk1l , (8) где rss ln n кривизна траектории спиновой частицы. С учетом (8) лагранжиан будем искать в виде L L0 Ars . В результате из (7) получим ([5], с. 688) p1 L d L p 2 A1 , rs ds rss dA1 dp k1n l rotA1 . ds ds (9) Если в (8) выразить кривизну rss через параметры среды rss ln n , то из (2) можно получить уравнение движения, которое в отличие от (9) не будет содержать последнего слагаемого dA / ds . Для вывода уравнения траектории циркулярно поляризованного светового луча нельзя воспользоваться действием в виде (1). Воспользуемся тем, что имеет место теорема ([5], с. 311), в соответствии с которой свет движется по такой кривой, вдоль которой время движения имеет экстремум среди всех гладких кривых, а кривые являются геодезическими новой метрики. В этом случае уравнение движения (уравнение геодезической) запишется n 2 , , du u u , g u dx / ds , (10) ds 0, , 1/2 где греческие индексы у тензоров равны 1, 2, 3; ds g dx dx n dl . По аналогии с (2) обобщим уравнение на четырехмерное пространство Минковского с учетом дополнительной 4-силы Fik(2) dp j dx k d ln n dx k A2,k A2,i , Fik(2) k i , jk p j pi Fik(2) i dl dl dl dl x x 1 n2 ( m) l ). A2 n n2 ln n , 2 gij , (11) Зависимость траектории cпиновых частиц от поляризации где ~ 1 , k2 / c , g00 1 , pi k2nui , u i dxi / ds , A2,k (2 , A2 ) , pi ( p0 , p) , p0 k2 n , p k2 nl ; латинские индексы равны 0,1,2,3; 2 ( m) , кручение траектории пучка лучей; 1 знак циркулярной поляризации; m 1, 2,... ; m топологический индекс. Из покомпонентной записи (11) получим систему уравнений d (k2 n l ) A d ( k2 ) d 2 1 d (n A2 ) d p0 k2n l rot 2 2 2 , (12) , n n dl n dl dl n dl dl n где l dA2 / dl d (l A2 ) / dl A2 dl / dl 0 , lA2 0 . При 2 0 из первого уравнения (12) получим (13) ndk2 / dl d 2 / dl 0, k2 p0 / ( n) / с . Соотношение (13) для циркулярно поляризованного излучения перекликается с (6). Возникает вопрос, существует ли классический аналог рассмотренных в работе эффектов? Последняя постановка задачи позволяет лучше уяснить физическую суть поляризационных эффектов. Покажем, что аналогичный эффект существует. Пусть удлиненная частица с цилиндрической геометрией, радиус которого практически совпадает с радиусом цилиндра, движется без трения по желобу и вращается с угловой скоростью вокруг оси симметрии. Радиус R длина L тела удовлетворяют условию R ~ L 1 / , кручение желоба в рассматриваемой точке. Запишем лагранжиан в геликоидальной системе координат [6] (покоится относительно трехгранника Френе). Данная система координат вращается относительно абсолютно неподвижной системы координат с угловой скоростью V , где V скорость центра массы тела. Лагранжиан в тороидальной системе координат запишется m m 2 2 mV 2 I 2 (14) i ri vi U i ( ) ri V U L U , 2 2 i 1 2 i 1 2 где m mi масса тела, L I орбитальный момент тела, I момент инерции тела. i 1 С учетом соотношения V из (14) получим выражение для лагранжиана и обобщенного импульса в геликоидальной системе координат mV 2 I 2 P p L , (15) L VL U , 2 2 V где l касательный к “траектории” тела единичный вектор, p mV . Из (15) следует, что обобщенный импульс в геликоидальной системе координат пропорциональна орбитальному моменту и определяется величиной кручения. Поскольку имеет место , то при переходе от геликоидальной системы координат к абсолютно неподвижной системе координат не будет менять величину обобщенного импульса с точностью до . Нетрудно убедиться, что результат (15) не изменится, если в качестве тела рассмотреть тело в форме шара. В этом случае векторы p, L не параллельны друг другу. Из (15) следует выражение для нулевой компоненты 4-импульса в случае нерелятивистских скоростей P0 2 m2c 2 p 2 2 p L . (16) Из (16) получим выражение, аналогичное при A 0 0 выражению (6) для спиновой частицы (17) P0 p0 L p. mc Из (15) и (17) следует, что существует классический аналог рассмотренных заведомо квантовых поляризационных эффектов. Видно, что компоненты 4-импульса зависят от собственного орбитального момента (величины L ). Зависимость (15) автоматически означает, что в случае классической частицы будет существовать аналог обратного оптического эффекта Магнуса [6]. Таким образом, задача определения параметров траектории поляризованного пучка лучей сводится к вариационной задаче с высшими производными. Уравнение траектории можно полу- Зависимость траектории cпиновых частиц от поляризации чить из уравнения Эйлера–Лагранжа, либо с помощью аналога преобразований Лежандра привести систему к гамильтоновой форме. В оптическом эффекте Магнуса лагранжиан содержит в качестве переменных производные от обобщенных координат до второго порядка включительно. Оптический эффект Магнуса (векторная часть 4-потенциала) определяется не только спиральностью , но и топологическим индексом m (магнитным квантовым числом). Последнее может проявляться в случае диссипативных солитонов. В случае поляризационных эффектов векторное поле касательных к траекториям единичных векторов l не удовлетворяет условию голономности l rot l 0 ([2, стр. 11). Это соотношение реализуется в том случае, когда фаза волны (где u A exp(i) , A амплитуда волны) является полным дифференциалом (градиентной функцией), в результате чего при k2 const будет иметь место ([1], с. 154) rot(nl) 0 . Условие rot(nl) 0 является ни чем иным, как инвариантом Лагранжа ([1], с. 155): циркуляция вектора nl по замкнутому контуру равна нулю. Инвариант Лагранжа является одним из инвариантов Пуанкаре ([1, стр. 805). При выполнении условия голономности l rot l 0 в соответствии с теоремой Якоби ([2, с. 10) существует семейство поверхностей, ортогональных полю. Применительно к векторному полю nl такое семейство поверхностей представляет собой фазовые поверхности (семейство фазовых фронтов). В соответствии с (10) частота циркулярно поляризованного излучения зависит от величины кручения. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 2. Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990. 3. Садыков Н.Р. // Теорет. и матем. физика. 2006. Т. 149. № 1. С. 65. 4. Садыков Н.Р. // Теорет. и матем. физика. 2003. Т. 135. № 2. С. 280. 5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986. 6. Садыков Н.Р. // Теорет. и матем. физика. 2005. Т. 144. № 3. С. 555.