Романков П. Г., Курочкина М. И. Гидромеханические процессы

Романков П. Г., Курочкина М. И. Гидромеханические процессы химической
технологии. Изд. 2-е, пер. и доп. 1., «Химия». Ленинград. 1974., 286 стр., страница 122
ОСАЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ
Во всех случаях, когда твердая частица и окружающая ее среда движутся относительно
друг друга, между ними существует взаимосвязь, приведенному выше закону сопротивления.
Если не учитывать влияние турбулентности на характер движения, то не имеет значение, что
именно находится в состоянии движения – частица или среда.
Рассмотрим частицу с массой m, движущуюся в неподвижной среде под действием
внешней силы. Эта внешняя сила может быть силой тяжести или силой центробежного поля.
Частица, падающая под действием силы тяжести, будет увеличивать свою скорость до
тех пор, пока сила сопротивления среды не уравновесит силу тяжести. Затем частица будет
продолжать свою скорость равномерно, с постоянной скоростью. Эту постоянную скорость и
называют скоростью ободного осаждения ос. Таким образом, при падении частицы имеют
место три стадии движения:
1. начальный момент падения;
2. движение с увеличением скорости;
3. равномерное движение (с постоянной скоростью).
Возрастание скорости от =0 до =кон=ос происходит в течении очень короткого времени, поэтому для технических расчетов представляет интерес лишь третья стадия движения
тела.
В условиях динамического равновесия принцип Д’Аламбера для движущейся частицы
приводит к уравнению:
Fв  Fc  Fп  m 
d
d
(1)
Внешняя сила (сила тяжести) по закону Ньютона может быть выражена следующим образом:
Fв=ma
(2)
где а – ускорение силы тяжести.
Сила сопротивления среды:
Fc   
  2
2
f
(3)
где  - скорость осаждения частицы относительно среды;  - плотность среды ; f – площадь
поперечного сечения частицы;  - коэффициент сопротивления.
Подъемная, или архимедова, сила пропорциональна массе среды, вытесненной массой
частицы:
Fп 
m
 тв
 a
(4)
Из уравнений (1) - (4) получим :
d
  a     2
a

f
d
 тв
2m
(5)
Уравнение (5) характеризует взаимодействие сил, в поле которых находится твердая частица или тело. Для его решения необходимо знать природу внешней силы и закон сопротивления.
В случае падения частицы под действием силы тяжести a=g, где g – ускорение свободного падения. Тогда уравнение (5) примет вид:

d
      2

 
 g  1 
f
d

2m
тв 

(6)
Если частица осаждается в центробежном поле, то a=r2, где  - угловая скорость, а r –
радиус пути частицы. В этом случае уравнение (5) будет иметь вид

d
      2
 
 r   2  1 
f
d

2

m
тв 

(7)
Уравнения (6) и (7) одинаково важны при решении задач, связанных с разделением неоднородных систем.
Если частица имеет шарообразную форму и осаждается в поле силы тяжести, то для
определения скорости осаждения можно ввести дополнительные условия:
1. среда, в которой происходит осаждение неограниченна;
2. осаждению частицы не мешают другие частицы;
3. скорость осаждения постоянна.
В соответствии с третьим допущением d/d=0, и тогда при введении массы шарообразной частицы m=(d3/6) и площади поперечного сечения частицы f=d2ч/4 в уравнение
(6) получим:

  3    2
1 
 
0
  тв  4  d ч   тв
(8)
или
2

  3      ос
1 
 
4  d ч   тв
  тв 
Откуда
(9)
 ос 
4  тв     g  d ч

3
 
(10)
В приведенных выше уравнениях d ч - диаметр осаждающейся частицы, м;  тв и  плотность частицы и среды соответственно, кг/м3.
Уравнение (10) справедливо для ламинарного, переходного и турбулентного режимов
осаждения частиц с различной сферичностью, причем коэффициент сопротивления может
быть определен по рис 1.
Для ламинарного режима осаждения (Reос<0.1) сила сопротивления Fc, действующая на
частицу (рис 1), по Стоксу выражается зависимостью:
Fc=3dч
(11)
Тогда для равновесия действующих сил и силы инерции m 
m

d
 
 g  3d ч 
 m1 
d

тв 

d
можно записать:
d
(12)
Для шарообразных частиц, следовательно
d ч3
d d ч3
  тв 

  тв   g  3d ч 
6
d
6
(13)
или
d  тв   g 18

 2
d
 тв
d ч  тв
(14)
Скорость осаждения при d/d=0 :
d ч2  тв   g
ос 
18
(15)
Зависимость (15) носит название формулы Стокса и справедлива для области 10-4<Reос<2.
В соответствии с верхним и нижним пределами применимости этой зависимости можно
рассчитать максимальный диаметр частицы осаждающихся по этому закону, подставив в формулу (15) вместо скорости осаждения выражение Re=осdчч/=2. При этом в случае осаждения частиц в газовой фазе величиной плотности газа можно пренебречь.
При осаждении частиц в газовой фазе нижний предел применимости формулы Стокса
имеет особо важное значение. Когда размер частицы приближается к длине пути пробега молекулы, скорость осаждения, рассчитанная по уравнению (15), будет завышена.
Reос=dч/
Рис 1 Зависимость коэффициента сопротивления среды от Рейнольдса и фактора формы (сферичности)  частиц, осаждающихся под действием силы тяжести
Поправочный коэффициент k при осаждении частиц пыли с dч<10мкм в воздухе приближенно равен 1. В других случаях k рассчитывается по эмпирическому уравнению:
k  1 a

dч
(16)
где а зависит от свойств среды и меняется от 1,4 до 20 (для воздуха а=1,5). Для частиц
пыли размером менее 0,1мкм возникает броуновское движение, при котором частицы беспорядочно движутся во всех направлениях вследствие соударений, не осаждаясь.
Если осаждение происходит в аппарате, диаметр которого Dапп сопоставим с размерами
осаждающихся частиц. В этом случае следует учитывать так называемый пристеночный эффект( стенки аппарата будут замедлять осаждение ). Значение поправочного коэффициента b
(на который нужно умножить ос, рассчитанную по формуле Стокса) в зависимости от отношения dч/Dапп приведены в таблице 1
Таблица 1
Значение коэффициента b ,учитывающего замедляющее влияние стенки аппарата на осаждение твердых частиц (Re<2)
dч/Dапп
b
dч/Dапп
b
0,0
1,000
0,5
0,170
0,1
0,792
0,6
0,0945
0,2
0,596
0,7
0,0468
0,3
0,422
0,8
0,0205
0,4
0,279
В области действия закона Ньютона (при турбулентном режиме осаждения)
1, 5
 d 
b  1   ч 
 Dапп 
(17)
Для того чтобы определить режим осаждения и, следовательно, выбрать формулу расчета
необходимо знать величину критерия Рейнольдса, в который также входит величина значения
скорости осаждения. В этом случае используют метод последовательных приближений, т.е. на
первой ступени расчета приходится задаваться, например, ламинарным режимом осаждения, а
затем, определив скорость осаждения, проверять, лежит ли критерий Рейнольдса в области,
соответствующей выбранному условию. При несовпадении переходят ко второй ступени расчета до получения удовлетворительной сходимости данных.
Однако такой трудоемкой процедуры расчета скорости осаждения можно избежать, преобразовав уравнение (10) методом Лященко. Метод основан на подстановке в уравнение (10)
выражение  ос 
Re 
и возведении в квадрат обеих частей полученного уравнения, откуда
dч 
получается выражение
 Re 2 
4 d ч3  2 g  тв  

3 2

(18)
Правая часть уравнения представляет собой критерий Архимеда. Таким образом
 Re 2 
4
Ar
3
(19)
Зная величину критерия Архимеда (для осаждения частиц заданного размера), по графику Лященко (рис 2) легко рассчитывать значение Re, из которого определяется искомая
скорость осаждения. Поскольку величина коэффициента сопротивления зависит от режима
осаждения, то можно установить граничные значения критерия Архимеда, соответствующие
переходу одной области осаждения в другую.
Рис. 2 График Лященко.
В области ламинарного режима осаждения (при Re<2, т. е. в условиях, характеризующихся законом Стокса ) =24/Re и уравнения (19) и (15) примут вид
Re=Ar/18 или Re=0.056Ar
(20)
Критическое значение критерия Архимеда, соответствующее верхнему пределу числа
Re, будет Arкр=36, следовательно, существование ламинарного режима осаждения ограничивается условием Ar<=36.
В области действия закона Ньютона (в условиях автомодельности критерия Re) =0.44
и уравнение (19) можно записать так:
Re  1.74 Ar 0.5
(21)
В переходной области верхнее значение критерия Архимеда соответствует значению
Re=500 и рассчитывают по уравнению
Re  0.152 Ar 0.715
(22)
Таким образом, область осаждения в переходном режиме ограничивается изменением
критерия Архимеда в пределах 36<Ar<8.3104.
Общая интерполяционная полуэлементная зависимость, связывающая критерии Ar и Re
для приближенных расчетов скорости осаждения одиночной частицы во всех режимах обтекания (предложена Тодесом и другими) имеет вид:
Re 
Ar
18  0.61Ar 0.5
(23)
Для известного диаметра осаждающихся частиц сначала рассчитывают значение Ar –
см. уравнение (18) и (19):
Ar 
d ч3  2 g  тв  

2


(24)
Затем определяют значение Re по уравнению (23), и наконец, находят скорость осаждения:
 ос 
 Re
dч 
(25)
В тех случаях, когда скорость осаждения задана или известна, для расчета диаметра частиц, осаждающихся с данной скоростью, удобно использовать зависимость Ly=f(Ar), где Ly –
критерий Лященко:
Ly 
ос3  2
Re 3

 Fr  Re

Ar
 тв     тв   g
(26)
Расчет ведется в следующем порядке: по уравнению (26) находят величину критерия
Лященко, затем по графику (рис 2) определяют величину Архимеда, соответствующее данно-
му значению Лященко, и, наконец, рассчитывают минимальный диаметр частиц, осаждающихся при скорости ос , для которой был определен критерий Лященко:
dч  3
Ar 2
 тв   g
(27)
Зависимость Ly=f(Ar) (рис 2) может применяться и для расчета скорости осаждения по
заданному диаметру.
При осаждении одиночных частиц неправильной формы можно вместо учитывать отклонение формы от шарообразной, вводя в расчет вместо dч эквивалентный диаметр dэ:
dэ  3
6V

(28)
Рис. 3 Зависимость Ly=f(Ar)
1-шарообразные частицы; 2 – округленные частицы; 3 – угловатые частицы; 4 – продолговатые частицы
(игольчатые) частицы; 5 – чешуеобразные (пластинчатые) частицы
Где V – объем частицы. Затем по рассчитанному эквивалентному диаметру вычисляют
величину критерия Архимеда и по графику (рис 3) рассчитывают значение критерия Лященко.
Из критерия Лященко рассчитывают значение величины скорости осаждения с учетом опытного коэффициента формы :
ос   
Ly  тв   g
2
(29)
Зависимость коэффициента формы от критерия Архимеда приведена в справочной литературе. Для шарообразных частиц коэффициент формы равен единице.
Если необходимо знать размер частиц неправильной формы, осаждающихся при заданной скорости осаждения, то определяют значение критерия Лященко по формуле (26), затем
находят значение критерия Архимеда для шарообразной частицы и, наконец , рассчитывают
эквивалентный диаметр:
d э   3
Ar 2
 тв   g
(30)
Коэффициент   также находят по графику (рис 4). Для шарообразных частиц   =1.
Рис 4 Зависимость =f(Ly)
1 – пластинчатые частицы ; 2 – продолговатые частицы; 3 – угловатые частицы; 4 – округленные частицы;
Зависимость Ly=f(Ar) удобна тем, что позволяет вести приближенные расчеты для любого режима процесса осаждения.