Пропорциональное деление

Пропорциональное деление
1. Сережа собрал 2,4 кг клубники. Четыре части он отдал сестре Наташе, три части –
брату Коле, а одну часть оставил себе. Сколько килограммов клубники получил
каждый?
Решение: х кг – масса одной части
Сережа – х кг, Наташа – 4х кг, Коля – 3х кг
х + 4х + 3х = 2,4
х = 0,3
Сережа – 0,3 кг, Наташа – 1,2 кг, Коля – 0,9 кг
2. Для приготовления компота требуется вода, ягоды и сахар, массы которых
должны быть пропорциональны числам 4, 3 и 2 соответственно. Сколько надо
взять воды, ягод и сахара (по массе) для приготовления 13,5 кг компота?
Решение: пусть х – коэффициент пропорциональности.
Тогда масса воды – 4х кг, масса ягод – 3х кг, сахара – 2х кг.
4х + 3х + 2х = 13,5
9х = 13,5
х = 1,5
Масса воды – 6 кг, масса ягод – 4,5 кг, сахара – 3 кг.
3. Отрезок длиной 1 м разделили на две части, длины которых пропорциональны
числам 2 и 3. Найдите длины этих отрезков.
Решение: 1 способ. Пусть х – коэффициент пропорциональности. Тогда длина
первого отрезка 2х м, длина второго - 3х м.
2х + 3х = 1
х = 0,2
длины отрезков 0,4 м и 0,6 м
2 способ. Найдем длину одной части 2+3=5 частей
1:5=0,2 м – длина одной части
4. Число 88 разделите на три части пропорционально числам
Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.
1
3
1
х  х  1 х  88
2
4
2
3
2 х  88
4
88  4
х
11
х  32
88=16+24+48
1 3 1
; ;1 .
2 4 2
5. Три числа относятся, как 3:5:8, третье число равно 112. Вычислите два первых
числа.
Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.
8х = 112
х = 14 – коэффициент пропорциональности
первое число – 42, второе – 70
6. Отношение двух чисел равно отношению 9
3 4
: . Одно число больше другого на
10 5
34. Найдите эти числа.
Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.
3
4
х  х  34
10
5
13
8
8 х  х  34
10
10
1
8 х  34
2
34  2
х
17
х4
9
1
5
1
5
Первое число - 37 , второе - 3 .
7. Найдите три числа, если известно, что первое из них относится к третьему, как
2 1
4
: , а третье число относится ко второму, как 1: , и что второе число в сумме с
3 2
7
третьим составляет 60.
Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.
х
4
х  60
7
11
х  60
7
60  7
х
11
420
х
11
Третье число - 38
2
240
9
 21 .
, второе число 11
11
11
Пусть у – коэффициент пропорциональности.
1
2
у  38
2
11
4
у  76
11
Первое число - 76
4 2 840  2 280  2 560
10
 


 50 .
11 3 11  3
11
11
11
8. Собственная скорость парохода относится к скорости течения реки, как 36:5.
Пароход двигался вниз по течению реки 5 ч 10 мин. Сколько времени потребуется
ему, чтобы вернуться обратно?
Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности.
Тогда собственная скорость парохода – 36х км/ч, скорость течения - 5х км/ч, скорость
против течения - 31х км/ч, скорость по течению - 41х км/ч.
Скорость по течению относится к скорости против течения, как 41:31.
Скорость
Время
1
41
5 ч 10 мин = 5 ч
6
31
Обратная пропорциональность
хч
41 х

31 5 1
6
1
5  41
х 6
31
41
х
6
5
х6
6
5
6 ч  6ч50 мин - время на обратный путь
6
9. Разделите число 144 на три части х, у, z так, чтобы х:у=3:4, у:z=4:5.
Решение: х:у:z=3:4:5
Всего 3+4+5=12 частей
144:12=12 – одна часть
х=36, у=48, z=60.
10.Разделите число 310 на три части х, у, z так, чтобы х:у=3:2, у:z=5:3.
Решение:
х 3 15
 
у 2 10
у 5 10
 
z 3 6
x : y : z  15 :10 : 6
Всего 15+10+6=31 часть
310:31=10 – одна часть
х=150, у=100, z=60.
11.Сумма трех чисел равна 90. Произведения первого числа на 10, второго числа на
15 и третьего числа на 5 равны между собой. Найдите эти числа.
Решение: пусть х, у, z – данные числа.
10x=15y, 15y=5z
x 15 3
 
y 10 2
y 5 1 2
  
z 15 3 6
x : y : z  3: 2 : 6
Всего 3+2+6=11 частей
90 :11 
90
11
Первое число -
270
6
180
4
540
1
 24 , второе  16 , третье  49 .
11
11
11
11
11
11
12.От станции до поселка 4 км. Турист решил это расстояние разделить на три части,
пропорциональные числам т, 2т, т-3. Найдите, сколько километров составляет
каждая часть пути. При любом ли значении т можно решить эту задачу?
Решение: всего т + 2т + т-3 = 4т – 3 частей
Найдем длину одной части: 4 : (4т  3) 
4
4т  3
4
4т
4
8т
т 
 2т 
км, длина второй части км,
4т  3
4т  3
4т  3
4т  3
4
4(т  3)
 (т  3) 
длина третьей части км.
4т  3
4т  3
Задача имеет решение при т  3.
Длина первой части -
Пропорциональное деление
1. Сережа собрал 2,4 кг клубники. Четыре части он отдал сестре Наташе, три части –
брату Коле, а одну часть оставил себе. Сколько килограммов клубники получил
каждый?
2. Для приготовления компота требуется вода, ягоды и сахар, массы которых
должны быть пропорциональны числам 4, 3 и 2 соответственно. Сколько надо
взять воды, ягод и сахара (по массе) для приготовления 13,5 кг компота?
3. Отрезок длиной 1 м разделили на две части, длины которых пропорциональны
числам 2 и 3. Найдите длины этих отрезков.
4. Число 88 разделите на три части пропорционально числам
1 3 1
; ;1 .
2 4 2
5. Три числа относятся, как 3:5:8, третье число равно 112. Вычислите два первых
числа.
6. Отношение двух чисел равно отношению 9
3 4
: . Одно число больше другого на
10 5
34. Найдите эти числа.
7. Найдите три числа, если известно, что первое из них относится к третьему, как
2 1
4
: , а третье число относится ко второму, как 1: , и что второе число в сумме с
3 2
7
третьим составляет 60.
8. Собственная скорость парохода относится к скорости течения реки, как 36:5.
Пароход двигался вниз по течению реки 5 ч 10 мин. Сколько времени потребуется
ему, чтобы вернуться обратно?
9. Разделите число 144 на три части х, у, z так, чтобы х:у=3:4, у:z=4:5.
10.Разделите число 310 на три части х, у, z так, чтобы х:у=3:2, у:z=5:3.
11.Сумма трех чисел равна 90. Произведения первого числа на 10, второго числа на
15 и третьего числа на 5 равны между собой. Найдите эти числа.
12.От станции до поселка 4 км. Турист решил это расстояние разделить на три части,
пропорциональные числам т, 2т, т-3. Найдите, сколько километров составляет
каждая часть пути. При любом ли значении т можно решить эту задачу?