Лекция № 6. Магнитное поле

Лекция № 6. Магнитное поле
1. Магнитная индукция и напряженность магнитного поля.
2. Закон Био-Савара-Лапласа для элемента тока. Расчет магнитных полей.
3. Сила Ампера. Сила Лоренца.
4. Контур с током в магнитном поле. Работа по перемещению проводника и
контура с током в магнитном поле.
5. Намагниченность. Магнитное поле в веществе.
6. Магнитные свойства вещества. Диа- и парамагнетизм. Ферромагнетики.
1
Магнитная индукция и напряженность магнитного поля.
Термин магнитное поле ввел в 1845 году английский физик М.Фарадей,
считавший, что как электрическое, так и магнитное взаимодействия осуществляются
посредством единого материального поля.
Источниками макроскопического магнитного поля являются намагниченные
тела, проводники с током и движущиеся электрически заряженные тела. Природа
этих источников едина: магнитное поле возникает в результате движения
заряженных микрочастиц.
Магнитное поле – силовое поле, действующее на движущиеся электрические
заряды и на тела, обладающие магнитным моментом.  Магнитное поле
характеризуется вектором магнитной индукции В . Значение В определяет силу,
действующую в данной точке поля на движущийся электрический заряд и на тела,
имеющие магнитный
момент.

Вектор В можно ввести одним из трех эквивалентных способов:
а) исходя из силового действия магнитного поля на движущуюся в нем заряженную
частицу;
б) основываясь на силовом действии магнитного поля на малый элемент проводника
с током;
в) исходя из силового действия магнитного поля на небольшую рамку с током.
Например, магнитная индукция – векторная величина, модуль которой
определяется отношением максимальной силы Fmax , действующей со стороны
магнит-ного поля на участок проводника с током, к силе этого тока I и длине
участка l проводника
B
Fmax
,
I  l
[B] = Тл
(6.1)
Для графического изображения стационарного магнитного поля пользуются
методом линий индукции. Линиями магнитной индукции (силовыми линиями
магнитного поля) называются линии, проведенные в магнитном поле так, что в
каждой точке поля касательная
к линии магнитной индукции совпадает с

направлением вектора В магнитной индукции в этой точке поля. Линии магнитной
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
1
индукции нигде не обрываются, т. е. не начинаются и не кончаются. Они либо
замкнуты, либо идут из бесконечности на бесконечность.
Магнитное поле называется
однородным, если во всех его точках вектор

магнитной индукции В имеет одно и то же значение. В противном случае
магнитное поле называется неоднородным.
Для магнитного поля, как
 и для электрического, справедлив принцип
суперпозиции: магнитное
 поле В , создаваемое несколькими источниками, равно
векторной сумме полей Вi , порождаемых каждым источником в отдельности:
 n 
(6.2)
B   Bi .
i 1
Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии
магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца. Поэтому поток вектора В через
любую замкнутую
поверхность S равен нулю. Следовательно, теорема Гаусса для

вектора В формулируется следующим
образом:
 
 В   BdS  0.
[ФВ] = Вб
(6.3)

Наряду с индукцией В используется понятие напряжённости магнитного поля
H , как меры воздействия на проводники с током и магнитную стрелку (размерность
её - А/м). Напряженность H характеризует магнитное поле создаваемое
макроскопическими токами и поэтому определяется их величинами, конфигурацией
в пространстве и не зависит от свойств среды. Вектор индукции магнитного поля B
связан с напряженностью магнитного поля H соотношением
(6.4)
B  0H ,
7
где  0  4  10 Гн м – магнитная постоянная,  – магнитная проницаемость среды.
2
Закон Био – Савара - Лапласа для элемента тока.
Расчет магнитных полей
На основании анализа опытных данных для магнитных полей постоянных
токов бы установлен закон Био – Савара – Лапласа вида:
(6.5)
 0 I dl sin 
,
4
r2

где r – радиус-вектор, проведенный из элемента проводника в рассматриваемую

d
l
точку поля;  – угол между векторами
и
.
r

Направление вектора dВ можно найти по правилу Максвелла (правилу
буравчика): если ввинчивать буравчик с правой резьбой по направлению вектора
плотности тока в элементе проводника,
 то направление движения рукоятки
буравчика укажет направление вектора dВ магнитной индукции.
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
2
dB 
1. Магнитное поле прямого тока.
Найдем с помощью закона Био-Савара-Лапласа магнитное поле
прямолинейного проводника с током I (рисунок 6.1). Пусть r0 – расстояние от
точки, в которой определяется поле, до проводника с током. Тогда расстояние r от
участка проводника dl можно выразить так: r  r0 sin  , где  – угол между


векторами dl и r . Длина dl связана с углом , под которым виден этот участок
проводника из рассматриваемой точки:
r d
rd
(6.6)
dl 
 0 2 .
sin  sin 
Подставим эти значения в формулу (16.5)
 0 I  r0  d  sin   sin 2   0 I
(6.7)
dB 


  sin d .
4
r02  sin 2 
4 r0
В соответствии с принципом суперпозиции
 (6.2)
магнитная индукция для участка проводника B равна:
 I
 I
B   dB   0   sin d  0  cos1  cos 2 , (6.8)
4 r0
4 r0
где 1 и 2 – углы между вектором плотности тока в
проводнике и радиус-векторами, проведенными в
рассматриваемую точку из начала и конца участка
проводника.
Если проводник бесконечно длинный, то 1 = 0, 2 =  и индукция магнитного
поля, как следствие закона Био – Савара – Лапласа, в любой точке пространства
вычисляется по простой формуле вида:
 0 2I  0 I
(6.9)
B


.
4 r0 2 r0
Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему
охватывающих провод концентрических окружностей.
2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током.
Как следует из рисунка 6.2, все элементы кругового проводника с током
создают в его центре магнитное поле одинакового направления – вдоль нормали от
витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить
сложением их модулей. Так как все элементы проводника
перпендикулярны радиус-вектору (sin=1) и расстояния всех
элементов проводника до центра кругового тока одинаковы и
равны R , то согласно (6.5)
 I
dB  0  2 dl. (6.10)
4 R
Тогда интеграл, взятый по контуру проводника,
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
3
0 I
I
dl  0 2  dl,
2
4 R
4R
L
B0  
Так как  dl  2R. , то магнитная индукция в центре кругового проводника с током в
вакууме равна
(6.11)
I
B0   0
.
2R
3. Магнитное поле на оси кругового витка с током.
Индукция магнитного поля вдоль оси,
проведенной через центр кругового тока
перпендикулярно его плоскости, будет
уменьшаться по мере удаления от кругового
тока. Если на оси выбрать точку
 М (рис. 16.3), то
результирую-щая индукция B определяется как
сумма проекций dBx, выраженных формулой.
 IR
R
dB  0 3 dl.
r
4 r
Откуда несложно получить, интегрируя (6.12)
 IR
 IR
Bx  0 3  dl  0  3  2R.
4 r L
4 r
dBx  sin dB 
(6.12)
(6.13)
Сила Ампера. Сила Лоренца
3
Ампер (1820) на опыте установил, что на
проводник с током в магнитном поле действует сила


F  I [l B ] ,
(6.17)
модуль которой определяется по формуле:
F  I  B   sin  ,
а направление, по правилу правого винта или правилу
«левой руки» (рис. 6.4).
Возникновение этой силы связано с тем, что
магнитное поле действует на заряженные частицы,
движущиеся в проводнике с некоторой скоростью v .
Сила, действующая на заряд в этом случае, называется
силой Лоренца и определяется по формуле:


F  q[ B ] ,
(6.18)
а ее модуль F  q  v  B  sin  ,
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
4
где  – угол между направлениями скорости частицы и вектора магнитной
индукции.
Магнитное поле не действует на покоящийся заряд и в этом состоит
существенное отличие магнитного поля от электрического. Сила Лоренца всегда
перпендикулярна скорости частицы (ее перемещению) и поэтому работы не
совершает, а, следовательно, не изменяет кинетическую энергию частицы.
Выражение для силы Лоренца (6.18) позволяет определить характер движения
заряженной частицы в магнитном поле. При   90 частица движется по
mv
окружности радиуса R 
. Если угол  удовлетворяет условию 0    90 , то
qB
частица движется по спирали с радиусом R и шагом h. Если скорость частицы v
составляет угол  с вектором магнитной индукции B неоднородного магнитного
поля, индукция которого возрастает в направлении движения частицы, то R и h
уменьшаются. На этом основано явление фокусировки заряженных частиц в
магнитном поле.
4
Контур с током в магнитном поле. Работа по перемещению
проводника и контура с током в магнитном поле
Рассмотрим контур с током, находящийся в однородном магнитном поле.
Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости витка. Выделим элемент
контура d . На него в магнитном поле будет действовать сила, согласно (6.17),
равная dF  I d  B . Результирующая сила, действующая на контур, будет равна
геометрической сумме сил, действующих на
отдельные элементы контура, т.е.


 

 
F   I dl  B  I  B  dl  0 . (6.19)
L
L
Следовательно, в однородном магнитном поле
результирующая сила, действующая на контур с
током, будет равна нулю, и контур перемещаться не
будет.
Для простоты рассуждений возьмем прямоугольный контур со сторонами «а» и
«b» (рис. 6.5). В магнитном поле на него будет действовать вращающий момент
пары сил F и поэтому, контур будет вращаться. Вращающий момент пары сил
M  F  b  sin  , но F  I  B  a , и, следовательно, M  a  b  I  B  sin  . Так как a  b  S
– площадь контура, то M  I  B  S  sin  . Введем вектор p  I  S называемый
вектором магнитного момента контура. Его направление совпадает с
направлением положительной нормали к контуру, которая определяется с помощью
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
5
правила правого винта. Тогда для вращающего момента, действующего на контур с
током в магнитном поле, получим выражение:
M  pBsin    pB .
(6.20)
Очевидно, что M  0 при sin   0 , т.е. контур с током в магнитном поле
ориентируется так, чтобы его вектор магнитного момента был параллелен вектору
магнитной индукции.
Рассмотрим контур, находящийся в неоднородном поле. Работа, совершаемая
при повороте контура на угол d , определяется по формуле dA  M  d . С учетом
(6.20) получим:
dA  p  B  sin   d .
Полная механическая работа
A   dA   p  B  sin   d   pBcos  .
(6.21)
Механическая потенциальная энергия контура с током в магнитном поле будет
определяться этим же выражением.
dW
и,
dx
следовательно, на контур с током в неоднородном магнитном поле будет
действовать сила
dB
(6.22)
FX  p 
 cos  .
dx
При   90 , FX  0 контур втягивается в поле, при   90, FX  0 контур
выталкивается из поля.
В результате перемещения проводника с током
или контура произвольной формы в магнитном поле
совершается работа по преодолению сил поля. Не
сложно получить формулу, определяющую эту работу.
Рассмотрим проводник длиной , с током I,
способный свободно перемещаться в магнитном поле с
индукцией B , направленной перпендикулярно
проводнику (рис. 6.6). В этом случае на проводник
будет действовать сила Ампера F  B  I  и при перемещении проводника на
расстояние dx , будет совершена работа dA  I  B   dx , но l  dx  dS , а
элементарный магнитный поток B  dS  d и тогда элементарная работа dA  I  d .
Интегрируя данное выражение, получим, что работа по перемещению проводника с
током в магнитном поле будет определяться выражением
(6.23)
A  I   ,
где  – магнитный поток, пересеченный проводником.
Ранее мы показали, что связь между силой и энергией FX  
Намагниченность. Магнитное поле в веществе
5
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
6
Если проводники с токами находятся не в вакууме, а в другой среде, то
магнитное поле изменяется. Это объясняется тем, что всякое
вещество является магнетиком, т.е. способно под действием
магнитного поля приобретать магнитный момент
(намагничиваться). Каждый электрон, движущийся в атоме
вокруг ядра по замкнутой орбите радиуса R (рис. 6.7),
представляет собой элементарный (электронный) ток I  e  ,
где   частота обращения электрона е . Следовательно,
орбитальный магнитный момент


(6.24)
pm  I  S  n ,

где S  площадь орбиты электрона, n  единичный вектор нормали, задающий

направление вектора p m
Кроме
этого, электрон обладает орбитальным механическим моментом



импульса Lm  m    R и собственным магнитным моментом p ms , связанным с

собственным механическим моментом импульса Lms (спином). Так что, состояние
электрона можно характеризовать гиромагнитными отношениями вида
g
pm
e

Lm
2m
и
g
p ms
e
 .
Lms
m
Вектором орбитального магнитного момента атома называется векторная сум



ма орбитальных магнитных моментов всех его электронов: pmA  pm1  pm 2  ...  pmZ ,
где Z  порядковый номер атома в периодической системе элементов Менделеева,
равный общему числу электронов в атоме. Если вещество состоит из молекул, то
магнитный момент молекулы является векторной суммой орбитальных
магнитных моментов её атомов.
Результирующее магнитное поле в среде является суммой полей создаваемых
проводниками с током в вакууме B0  0H и намагничивающейся средой B
B  B0  B
(6.25)
Намагничивание магнетика характеризуется вектором намагничения или
намагниченностью J , равным магнитному
моменту единицы объема вещества

J
1
V

p
V
m
,
P
V
J  
A
,
м
(6.26)

где V – объем, взятый в окрестности рассматриваемой точки; pm – магнитный

момент отдельной молекулы, P  магнитный момент магнетика.
Ток, текущий по боковой поверхности цилиндра, из которого выполнен
магнетик, подобен току в соленоиде и создаёт внутри него поле, магнитную
индукцию которого, определяется B   0 1 l I мол , а учитывая, что J  P V  I мол l
можно выразить


(6.27)
B   0 J .
Как следует из опытов, в несильных полях намагниченность прямо 

пропорциональна напряжённости поля, вызывающего намагничение, т.е. J   m H ,
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
7
где  m  безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью
вещества.
Подставляя выражения B0 , B  и J последовательно в (6.25), получим

 


(6.28)
B  0 H  J   0 1   m H  0 H , где   1   m .
Здесь   магнитная проницаемость вещества (безразмерная величина).
Следует отметить,
что закон полного тока для магнетика в определении

циркуляции вектора В по замкнутому контуру L определяется более сложным
образом
 B dl  0  I k 0  I i ,
макро
L
k
микро
i

чем в определении циркуляции вектора Н по замкнутому контуру L
m
 
Н
d
l


I k макро ,

0

k 1
6
Магнитные свойства вещества. Диа- и парамагнетизм.
Ферромагнетики
Магнетики подразделяются на слабомагнитные и сильномагнитные вещества.
К слабомагнитным относятся парамагнетики и диамагнетики, к сильномагнитным –
ферромагнетики.
Диамагнитные свойства наблюдаются у веществ, атомы которых имеют
магнитный момент p i равный нулю, например, Bi,Ag,Cu, большинство
органических соединений, углекислый газ.
Электрон, движущийся
по орбите, подобен волчку. Под действием магнитного

поля, индукция B которого составляет угол  с осью орбиты электрона, возникает
прецессия электронной орбиты с Ларморовой частотой  
eB
, которая одинакова
2m
для всех электронов. Такие индуцированные (наведённые) круговые токи создают
собственное магнитное поле вещества, ослабляющее внешнее магнитное поле,
поэтому у диамагнетиков  m  0 и   1 .
Парамагнитные свойства наблюдаются у веществ атомы, которых имеют

отличный от нуля суммарный магнитный момент p mA , например, платина (Pt),
алюминий (Al), эбонит,
 воздух. Магнитное поле стремится установить магнитные

моменты р m вдоль B , тепловое движение – их разориентировать. В результате
устанавливается некоторая преимущественная
ориентация магнитных моментов

вдоль поля, тем большая, чем больше B и тем меньшая, чем выше температура.
Кюри экспериментально установил закон, согласно которому восприимчивость
парамагнитного вещества
m  С Т ,
(6.29)
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
8
где С – постоянная Кюри, зависящая от рода вещества; Т – абсолютная температура.
Классическая теория парамагнетизма разработанная Ланжевеном подтвердила
закон Кюри (6.29). В парамагнетиках наблюдается и диамагнитный эффект, но он
значительно слабее парамагнитного и им можно пренебречь.
Ферромагнетики – сильномагнитные вещества, обладающие спонтанной
намагниченностью, например, железо, никель, кобальт, гадолиний, их сплавы и
соединения.
Наряду с этим свойством, для ферромагнетиков характерно: 1)
кристаллическое строение; 2) большие положительные значения магнитной
проницаемости (до сотен тысяч: для железа – 5000, для сплава супермаллоя –
800000), а также нелинейная её зависимость от напряженности Н магнитного поля и
температуры; 3) способность намагничиваться до насыщения при обычных
температурах уже в слабых полях; 4) гистерезис – зависимость магнитных свойств
от предшествующего магнитного состояния ("магнитной истории"); 5) точка Кюри,
т. е. температура, выше которой материал теряет ферромагнитные свойства,
превращаясь в обычный парамагнетик.
На рисунке 6.8 показана зависимость индукции магнитного поля B от
напряженности Н, намагниченности J и магнитной проницаемости  от Н для
мягкого железа.
На рисунке видно, что В и J растут вначале быстро с увеличением
напряженности намагничивающего поля, затем их рост замедляется, а, начиная с
некоторого значения Н нас , намагниченность достигает практически предельного
значения J нас . Это состояние Столетов назвал магнитным насыщением. Индукция
B   0 H  J после достижения магнитного насыщения растет пропорционально Н.
В связи с неоднозначностью зависимости В от Н понятие магнитной
проницаемости применяется лишь к основной кривой намагничения. Для некоторой
точки кривой B  f H  (рис. 6.8) магнитная проницаемость  определяется как
тангенс угла наклона прямой, проведенной из начала координат к рассматриваемой
точке кривой, т. е.   B  0 H  . Как следует из рис. 6.8, при увеличении H угол
наклона (а значит и ) сначала растет, в точке С (прямая ОС является касательной к
кривой B  f (H ) ) достигает максимума, а затем убывает.
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
9
При циклическом перемагничении кривая
намагничения образует гистерезисную петлю (рисунок
6.9).
Если довести намагничение до насыщения (точка 1 на
рис. 6.9), а затем уменьшать магнитное поле, то
индукция В следует не по первоначальной кривой 0-1,
а изменяется в соответствии с кривой 1-2. В
результате, когда напряженность внешнего поля станет
равной нулю (точка 2), намагничение не исчезает и
характеризуется величиной Bocт которая называется остаточной индукцией. Её
можно изменить, создав внешнее поле Н, имеющее направление, противоположное
полю, вызвавшему намагничение. Поле напряженностью Hс, при которой
остаточная индукция исчезает, называется коэрцитивной силой. При дальнейшем
увеличении противоположно направленного поля ферромагнетик намагничивается
до насыщения (кривая 3-4). Затем ферромагнетик можно снова размагнитить
(кривая 4-5-6) и снова намагнитить до насыщения. Гистерезис приводит к тому, что
намагничение ферромагнетика не является однозначной функцией напряженности
и тому же значению H соответствуют различные значения
H , т.е. одному

намагничения J .
Ферромагнетики с малой (до 1-2 A см ) коэрцитивной силой (узкой петлей
гистерезиса) называются магнитомягкими, а с большой (до нескольких тысяч
А см ) – магнитотвердыми. Величины Н С , Вост ,  max определяют область
применения ферромагнетиков.
Процесс намагничения ферромагнетика приводит к изменению его линейных
размеров и объема. Это явление получило название магнитострикции. В настоящее
время большое значение приобрели полупроводниковые ферромагнетики –
ферриты, химические соединения типа Me  Fe 2O3 , где Me – ион двухвалентного
металла. Они отличаются заметными ферромагнитными свойствами и большим
удельным сопротивлением (в миллиарды раз больше, чем у металлов). Ферриты
применяются
для
изготовления
постоянных
магнитов,
сердечников
трансформаторов, катушек индуктивности, ферритовых антенн и т.д.
На основании опытов Эйнштейна – де-Хааса, Барнетта, Иоффе и Капицы, а
также по современным представлениям установлено, что ферромагнетизм
обусловлен спиновыми магнитными моментами атомов с незавершенными
электронными оболочками, например, 3d для железа, никеля, и кобальта и 4f в
случае редкоземельных металлов. Однако не все элементы с незавершенными
электронными оболочками являются ферромагнетиками. Для возникновения
ферромагнетизма необходимо наличие сильного обменного взаимодействия между
спинами соседних атомов. Это взаимодействие заставляет спиновые моменты
незавершенных электронных оболочек выстраиваться параллельно друг другу. В
результате этого атом намагничивается до насыщения. Природа обменных сил была
выяснена в квантовой механике.
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
10
Сильная ориентировка спинов электронов вызываемая силами обменного
взаимодействия, которая возникает в ферромагнетике независимо от наличия
внешнего магнитного поля, приводит к тому, что ферромагнетик намагничен до
насыщения. Наличие такого спонтанного (самопроизвольного) намагничения
является характерным свойством ферромагнетиков при температурах ниже точки
Кюри.
Наряду с этим было установлено (Вейс), что ферромагнетик разбивается на
большое число малых (но макроскопических) областей – доменов, намагниченными
по разным направлениям легкого намагничивания, так, что результирующее
намагничение такого кристалла в отсутствии внешнего магнитного поля равно
нулю.
Деление ферромагнитного кристалла на домены является следствием
стремления системы уменьшить свою свободную (магнитную) энергию. Однако это
деление не может происходить беспредельно, так как появление границ между
соседними доменами, у которых угол между спинами возрастает до 180°, должен
неизбежно привести к увеличению обменной энергии. Деление протекает до тех
пор, пока уменьшение магнитной энергии, вызванное делением кристалла на
домены, не компенсируется увеличением обменной энергии границ раздела между
доменами. Дальнейшее деление энергетически невыгодно, и этим определяется
нижний предел размера домена. Как показывает расчет и эксперимент, для железа
поперечный размер доменов составляет 0,01  0,1мкм.
Намагничение ферромагнетика состоит в переориентации векторов
намагничения доменов в направлении приложенного магнитного поля и включает
процессы смещения и вращения. В слабых магнитных полях происходит упругое
смещение границ доменов. При этом домены с энергетически выгодной
ориентацией вектора намагничения растут за счет доменов с энергетически
невыгодной ориентацией намагниченности (рис. 6.10.2). Процесс вращения
состоит в повороте векторов нама-


гничения доменов в направлении вектора Н  В0  0 (рис. 6.10.3). При полном

совпадении вектора намагничения J с направлением вектора H достигается так
называемое техническое насыщение ферромагнетика при заданной температуре.
Таким образом, наличие в атоме внутренних недостроенных оболочек и
положительный знак обменного интеграла, обусловливающий параллельную
ориентацию спинов, являются теми условиями, при которых возникает
ферромагнетизм.
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
11
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
12