Задача 1.1. Электромагнитная волна распространяется в вакууме с фазовой скоростью vф = 3108 м/с. Частота поля f = 10 ГГц. Определить длину волны и коэффициент фазы . Решение. = с/f = 0,03 м; = 2/ = 6,28/0,03 = 209,3 м-1. Ответ: = 3 см; = 209,3 м-1. Задача 1.2. Плотность потока мощности плоской электромагнитной волны в вакууме составляет 1 Вт/м2. Найти амплитудное значение х-й проекции вектора Е и у-й проекции вектора Н. Решение. Из формулы (1.33): Еxm = (240 Пср z)1/2 = 27,5 В/м. Воспользовавшись понятием волнового сопротивления вакуума Z0, получаем: Нym = Exm/Z0 = 27,5/377 = 0,07 A/м. Ответ: Еxm = 27,5 В/м; Hym = 0,07 А/м. 13 Задача 1.3. Найти без потерь длину волны в среде, имеющей параметры = 3, = 6 на частоте f = 10 ГГц. Решение. Фазовая скорость vф = с/()1/2 = 3108/ 18 = 7,1107 м/с. Отсюда длина волны = vф/f = 0,007 м. Ответ: = 7 мм. Задача 1.4. Найти коэффициент фазы , длину волны , коэффициент затухания и погонное затухание Δпог плоской электромагнитной волны с частотой 35 ГГц, которая распространяется во фторопласте (тефлон). Этот широко применяемый диэлектрик имеет следующие параметры: = 2, tg = 310-4. Решение. 1. По условию задачи tg << 1. Определим коэффициент фазы, используя выражение (1.52): = ()1/2/с = 2f ()1/2/c = 6,2835109 2 / (3108) = 1037 м-1. 2. Длина волны в тефлоне: = 2/ = 6,28/1037 = 6,110-3 м = 6,1 мм. 3. Коэффициент затухания: = ( tg )/2 = 1037310-4/2 = 0,156 м-1. 4. Погонное затухание: пог = 8,686 = 8,6860,156 = 1,35 дБ/м. Ответ: = 1037 м-1; = 6,1 мм; = 0,156 м-1; пог = 1,35 дБ/м. Задача 1.5. Плоская электромагнитная волна распространяется в немагнитной среде без потерь с неизвестным значением диэлектрической проницаемости. Измерения показали, что на пути, равном 10 см, колебание с частотой 1 ГГц приобретает дополнительный по сравнению с вакуумом сдвиг по фазе в 40 0. Определить относительную диэлектрическую проницаемость и коэффициент преломления среды. Решение. 1. Определим коэффициент фазы плоской волны в вакууме: вак = (00)1/2 = 2f/c = 6,281109/(3108) = 21 м-1. 2. Коэффициент фазы в немагнитной среде без потерь с неизвестным значением : = (00)1/2()1/2 = 2f /c. 17 3. Произведение вак L показывает изменение фазы волны в вакууме при прохождении пути L. Точно так же, произведение L – изменение фазы волны при похождении ею расстояния L в среде с неизвестным значением диэлектрической проницаемости. По условию задачи L - вакL = , где дополнительный по сравнению с вакуумом сдвиг по фазе, равный 400 или 2/9 радиан. 4. Составим уравнение для нахождения : 2f L /c - 2f L/c = 2/9. = [2/9с/(2fL) + 1] 2 = [c/(9fL) + 1] 2 = [1/3 +1] 2 = 16/9 = 1,78. 5. Коэффициент преломления немагнитной среды ( = 1): n = = 16 / 9 = 4/3 = 1,33. Ответ: = 1,78, n = 1,33. Задача 1.6. Сравнить параметры плоских волн, распространяющихся в вакууме и в меди ( = 5,65107 Cим/м) на частоте 1 МГц. Решение Используя формулы (1.53) - (1.56) и выражения для расчета соответствующих характеристик волны в вакууме, получим: в вакууме: vф = 3108 м/с =300 м ZB =377 в металле: vф = 421 м/с =4,2110-4 м ZB =3,7410-4 Ом Коэффициент затухания волны, распространяющейся в меди при частоте 1 МГц: = (fa)1/2 = (4210-75,65107106)1/2 14800 неп/м. 19 Это означает, например, что при прохождении волной расстояния в один миллиметр ее амплитуда уменьшается в е 14,8 раз, т.е. примерно в 2,67 миллиона раз. Таким образом, приведенный расчет показывает, что переменное электромагнитное поле на частотах радиотехнического диапазона практически не проникает в глубь проводника. Задача 1.7. Амплитудное значение напряженности электрического поля нормально падающей волны Епад = 200 В/м. Относительная диэлектрическая проницаемость материала = 1,8. Найти модули усредненных значений векторов Пойтинга падающей, отраженной и прошедшей волн. Решение. 1. Определим коэффициенты отражения R и преломления Т, воспользовавшись формулами (1.84) и (1.85): R = (1 - 1,8 ) /(1 + 1,8 ) = - 0,145, Т =2/(1 + 1,8 ) = 0,855. 2. Определим волновое сопротивление диэлектрика (второй среды), оно должно быть в раз меньше волнового сопротивления вакуума (первой среды): ZB2 = ZB0/ = 377/1,34 = 281 Ом. 3. Модуль усредненного значения вектора Пойтинга падающей волны: Ппад = Е2пад /(2ZB0) = 4104/2377 = 53 Вт/м2. 4. Модуль усредненного значения вектора Пойтинга отраженной волны: Потр = RПпад = 0,14553 = 7,7 В/м2. 5. Модуль усредненного значения вектора Пойтинга прошедшей волны: Ппр = ТПпад = 0,85553 = 45,3 Вт/м2. Ответ: Ппад = 53 Вт/м2; Потр = 7,7 Вт/м2; Ппр= 45,3 Вт/м2. Задача 1.8. Плоская электромагнитная волна с перпендикулярной поляризацией падает из воздуха под углом 400 на границу раздела с диэлектриком, имеющим параметры = 3, = 1. Амплитуда вектора напряженности электрического поля падающей волны Ем пад = 0,5 В/м. Найти амплитуды векторов напряженности магнитного поля отраженной и преломленной волн. Для данных условий задачи найти коэффициенты отражения и преломления для волны параллельной поляризации. Решение 1. По формулам (1.101) и (1.102) находим RE и TE: RE = [cos 400 - (3 - sin2 400)1/2] / [cos 400 + (3 – sin2 400)1/2] = 0,353, TE = 2 cos 400 / [cos 400 + (3 – sin2 400)1/2] = 0,647. 2. Волновое сопротивление диэлектрика: ZB2 = 377/ = 377/ 3 = 218 Ом. 3. Тогда амплитуда вектора напряженности магнитного поля отраженной волны: Нм отр = RE Eм пад /Z0 = 0,3530,5/377 = 4,710-4 А/м. 4. Амплитуда вектора напряженности магнитного поля прошедшей волны: Нм пр = ТЕЕм пад / ZB2 = 0,6470,5/218 = 14,810-4 А/м. 5. Коэффициент отражения при параллельной поляризации (1.95): RE = [(3-sin2 400)1/2 – 3 cos 400] / [(3-sin2 400)1/2 + 3 cos 400] = 0,179. 6. Коэффициент прохождения при параллельной поляризации (1.95): ТЕ = 2 3 cos 400/ [(3 – sin2 400)1/2 + 3cos 400] = 0,680. Ответ: Нм отр = 4,710-4 А/м; Нм пр = 14,8 10-4 А/м; RE = - 0,179; TE =0,680; RE = - 0,353; TE = 0,647. Задача 1.9. Плоская электромагнитная волна, вектор напряженности электрического поля которой лежит в плоскости падения, падает из диэлектрика с параметрами 1 = 9, 1 =1, 1 = 0 на поверхность диэлектрика с параметрами 2 = 1, 2 = 1, 2 = 0. При каких углах падения: а) вся энергия падающей волны переходит во вторую среду; б) вся энергия падающей волны отражается от границы раздела. Решение. 1. Вся энергия падающей волны переходит во вторую среду при падении на границу под углом Брюстера, т.е. при выполнении условия (1.104): Бр = arctg (2/1)1/2 = arctg 19 = arctg 0,333 = 180 25’. 2. Полное отражение падающей волны от границы раздела двух диэлектрических сред имеет место при падении под критическим углом, т.е. при выполнении условия (1.106): > кр = arcsin (2/1)1/2 = arcsin 0,333 = 19 030’. Ответ: 180 25’; > 19030’.