Матем. анализ 1 сем. (Е.В. Сандракова)

Глава I. Действительные числа.
§1. Введение.
Математический анализ – это классическая часть современной геометрии. Развитие
именно современной геометрии началось с публикации Н.И.Лобачевского¹ работы «О
началах геометрии» 1829, в которой была решена проблема V постулата Евклида о
параллельных. Н.И.Лобачевский доказал, что V постулат Евклида не вытекает из
остальных постулатов и поэтому возможна другая геометрия. Он назвал её воображаемой,
а мы сейчас называем её неевклидовой или геометрией Лобачевского. Первое сообщение
было сделано 23.02.1826 г. В Казанском Университете.
Открытие Лобачевского:
(1)
Лишило всякого смысла мысль о врождённости геометрических (понятий)
объектов;
(2)
Заставило глубже вникнуть в смысл геометрических понятий;
(3)
Чрезвычайно важным оказалось осознание того факта, что логическая
структура геометрии не определяет природы геометрических объектов.
Это означает, что в качестве „точек”, „прямых”, „плоскостей” в разных случаях
можно подразумевать разные предметы (объекты).
Каждый конкретный выбор этих объектов даёт конкретную „модель” геометрии.
§2. Множества.
С конца 19 века наиболее универсальным языком математики стал язык теории
множеств. Основателем теорий множеств является немецкий математик Георг Кантор².
Кантор говорил: „… под множеством мы понимаем объединение в одно целое
определённых объектов, вполне различных, нашей интуиции или нашей мысли”. На
рубеже 19-го и 20-го веков на Конгрессе математиков в 1900 году отмечалось, какую
огромную пользу принёс теоретико-множественный язык для развития математики.
А в 1902 году Б. Рассел³ обнаружил парадокс, оказавшийся классическим парадоксом,
схожим с парадоксом Зенона (например, о брадобрее). Оказалось, что высказывание –
“множество всех множеств” – противоречиво.
Если в теории, где-то противоречие, то как же пользоваться её результатами? Опасно!
Значит, наивное представление о множестве не так уже просто и безобидно.
Высказывание Кантора трудно принять за определение. Поэтому логики подвергают
понятие множества тщательному анализу, в который мы углубляться не будем.
Заметим, что в существующих аксиоматических теориях множество определяется как
математический объект, обладающий определённым набором свойств. Описание этих
свойств составляет аксиоматику. Любая из существующих аксиоматик такова, что она с
одной стороны избавляет от известных противоречий наивной теории множеств, а с
другой стороны – обеспечивает свободу оперирования с конкретными множествами,
возникающими в различных отделах математики и в первую очередь в математическом
анализе (в широком смысле слова – как современной геометрии).
X – множество; x∈X – x элемент множества X.
Определение.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается
∅.
Определение.
Множество А называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов.
Определение.
Пусть даны два множества А и В. А≠ ∅, В≠ ∅ и пусть каждый элемент x∈А является
элементом множества В, т.е. x∈В. Тогда А называется подмножеством множества В,
обозначается А⊂В.
1
Замечание.
Для любого множества А, А≠∅, следует А⊂А (из определения).
Определение.
Пусть X – произвольное множество. X и ∅ называются несобственными
подмножествами множества X.
Определение.
Пусть X – непустое множество и А⊂X, А≠ ∅ и пусть существует x∈X такой, что x∉А.
Тогда А называется собственным подмножеством множества X.
Простейшие операции над множествами.
Пусть X – произвольное непустое множество и А⊂X.
Определение.
A
B
Разностью между множествами А и В
называется множество, обозначаемое А∖В либо
пустое, либо состоящее из тех элементов
множества А, которые не принадлежат
множеству В.
X
Определение.
Пусть А⊂X. Дополнением множества А в X называется X∖А. оно обозначается
СхА=СА= X∖А.
Пусть задана совокупность множества Аα, где {α}=y – совокупность индексов.
Определение.
Объединением ⋃𝛼∈𝑦 Аα множеств Аα, α∈y называется множество, каждый элемент
которого (если он существует) принадлежит хотя бы одному Аα, т.е. либо ⋃𝛼∈𝑦 Аα =∅,
либо условие x∈ ⋃𝛼∈𝑦
Аα равносильно условию – существует α∈y такое, что x∈Аα.
Определение.
Пересечением множеств Аα, α∈y, называется множество, каждый элемент которого
(если он существует) принадлежит каждому множеству Аα, α∈y. Обозначается
пересечение множеств Аα, α∈y через ⋂𝛼∈𝑦 А𝛼 .
Задача.
Доказать, что если X – непустое множество и для всех α∈y Аα∈X, то
(1) X∖ (⋃𝛼∈𝑦 Аα)= ⋂𝛼∈𝑦(X ∖ Аα) ⟺ (1) Сх(⋃𝛼∈𝑦 Аα )= ⋂𝛼∈𝑦 СхАα
(2) X∖(⋂𝛼∈𝑦 А𝛼)= ⋃𝛼∈𝑦( X ∖ Аα) ⟺ (2) Сх(⋂𝛼∈𝑦 А𝛼)= ⋃𝛼∈𝑦 СхАα
§3. Понятие множества действительных чисел.
Определение (аксиоматическое).
Непустое множество ℝ={x} элементов x произвольной природы называется
множеством действительных чисел, если выполняются следующие условия:
I На множестве ℝ введена операция сложения элементов, т.е. указан закон, согласно
которому каждой упорядоченной паре элементов x, y из ℝ поставлен в соответствие
2
элемент из ℝ, обозначаемый x+y и называемый суммой элементов x и y так, что
выполняются следующие (аксиомы сложения) условия:
(1)I В ℝ существует единственный нейтральный элемент (называемый нулём при
сложении) 𝜃 такой, что для любого x∈ ℝ выполнено:
x+ 𝜃= 𝜃+x=x
(2)I Для каждого x∈ ℝ существует единственный элемент из ℝ, называемый
противоположным элементу x, обозначаемый (-x) и такой, что
x+(-x)=(-x)+x= 𝜃
(3)I Для любых x, y, z∈ ℝ
x+(y+z)=(x+y)+z (ассоциативность)
(4)I Для любых x, y из ℝ
x+y=y+x (коммутативность)
II На множестве ℝ введена операция умножения элементов, т.е. указан закон,
согласовано которому каждой упорядоченной паре элементов x, y из ℝ поставлен в
соответствие элемент из ℝ называемый произведением x на y и обозначаемый xy так, что
выполнены следующие условия (аксиомы умножения):
(1)II В ℝ существует единственный нейтральный элемент (единица при умножении)
обозначаемый 1 такой, что для любого x∈ ℝ:
x·1=1·x=x
(2)II Для любого x∈ ℝ ∖{ 𝜃 } существует единственный элемент из ℝ, называемый
обратным к x и обозначаемый x-1 такой, что:
x· x-1= x-1·x=1
(3)II Для любых x, y, z из ℝ:
x·(y·z)=(x·y)·z (ассоциативность)
(4)II Для любых x, y, z из ℝ:
x·y=y·x (коммутативность)
(I, II) – Связь между сложением и умножением.
В ℝ для любых x, y, z:
(x+y)·z=x·z+y·z (дистрибутивность)
III На ℝ задано отношение порядка ≤, т.е. для любых двух элементов x, y∈ ℝ
установлено: выполняется или нет x≤ y (x меньше или равно y).
При этом отношение ≤ удовлетворяет следующим аксиомам порядка:
(1)III Для любого x из ℝ:
x≤ 𝑥 (рефлексивность)
(2)III Если для двух x и y: x≤y и y≤x, то x=y (x есть y)
(3)III Если для x, y, z∈ ℝ выполнено:
x≤y и y≤z, то x≤z (транзитивность)
(4)III Для любых x, y, z∈ ℝ, если x≤y, то
x+z≤y+z
(5)III Для любых x, y из ℝ, либо x≤y, либо y≤x (либо и то и другое)
(6)III Для x, y∈ ℝ, если 0≤x, 0≤y, то 0≤xy
Замечание.
1. По определению x≥ y означает, что y≤x.
2. Как следствие получаем, что для любых x, y∈ ℝ имеет место одно и только одно из
соотношений:
x<y, x=y, x>y.
IV Аксиома Архимеда.
3
Для любого элемента с∈ ℝ, удовлетворяющего условию 0<с; существует
натуральное число n>с.
V Аксиома полноты (непрерывности).
Для любых двух непустых множеств X={x} и Y={y}, X⊂ ℝ , Y⊂ ℝ,
удовлетворяющих условию: для любых x∈ X, y∈ Y x≤y, существует элемент с∈ ℝ такой,
что для любого x∈ X и любого y∈ Y: x≤ с, с≤y, т.е. x≤ с ≤y.
Определение.
Каждый элемент множества ℝ называется действительным числом.
Приведённая система аксиом непротиворечива, т.к. существуют множества,
удовлетворяющие I – V.
Например.
Десятичная форма числа, двоичная форма числа.
Замечание.
Единственность нейтральных элементов по сложению и умножению, а также
противоположного и обратного элемента может быть выведена из аксиом и их
единственность можно не требовать заранее.
Определение.
Непустое множество G, удовлетворяющее I: (1)I - (3)I называется аддитивной или
абелевой4 группой.
Определение.
Непустое множество Λ, удовлетворяющее условиям I(1-4), II(1-4), (I, II) называется
полем.
Определение.
Непустое множество Π, удовлетворяющее условиям называется линейно
упорядоченным полем.
Определение.
Непустое множество, удовлетворяющее условиям I, II, III,
архимедовым полем.
IV называется
Определение.
Действительные числа 1, 1+1=2, 2+1=3, … называются натуральными числами.
Множество ℕ всех натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым n∈ ℕ
содержит n+1.
Определение.
Все натуральные числа, все им противоположные и нуль образуют множество всех
целых чисел.
Определение.
1
𝑝
Число вида p·q-1= p·𝑞 = 𝑞 где q∈ ℕ, p∈ ℤ называется рациональным числом.
Множество всех рациональных чисел обозначается ℚ.
Определение.
4
Каждое действительное число, не являющееся рациональным, называется
иррациональным.
§4. Отображения множеств.
Определение.
Пусть X и Y два непустых множества. Говорят, что задано отображение f множества X
„в” множество Y, если указан закон, согласно которому элементу x∈ X поставлен в
соответствие элемент y∈ Y.
𝑓
Обозначение f: X⟶ Y; X→ Y.
Если y=f(x), x∈ X, y∈ Y, то y называется образом x при отображении f, а x при этом
называется прообразом y при отображении f.
Множество Yf = {y; y=f(x), x∈ X}⊂Y называется образом множества X при
отображении f.
Определение.
Говорят, что два непустых множества X и Y равны, если каждый элемент x∈ X
принадлежит Y (X⊂Y) и каждый элемент y∈ Y принадлежит X (Y⊂X), то есть
X=Y ⟺ X⊂Y и Y⊂X.
Определение.
Говорят, что задано отображение f множества X „на” множество Y, если Yf =Y.
Определение.
Отображение f: X⟶ Y называется взаимно-однозначным, если разным x из X ставятся
в соответствие разные y из Y.
Определение.
Говорят, что два непустых множества X и Y являются равномощными, если между
ними можно установить взаимно-однозначное отображение.
Определение.
Множество, равномощное множеству ℕ натуральных чисел называется счётным.
Определение.
Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчётным.
Утверждение 1. (Доказать самостоятельно).
Любое бесконечное множество содержит счётное подмножество.
Утверждение 2. (Доказать самостоятельно).
Любое бесконечное подмножество счётного множества счётно.
Теорема 1.
Множество ℚ всех рациональных чисел счётно.
Доказательство.
Рассмотрим множество ℚ всех рациональных чисел и расположим их следующим
образом:
0
1 -1
2 -2
3 -3 …
1
1
3
3
5
5
7
-2 2 -2
-2 2 …
2
2
1
1
2
2
4
4
-3 3 -3
-3 …
3
… … …
Отметим место каждого числа.
3
5
1
2
3
5
6
9
10
14
4
11
7
12
8
13
16
17
18
19
Теорема 2. (Кантора). (Без доказательства).
Множество ℝ действительных чисел несчётно.
Задача.
Где больше чисел?
§5. Точные грани (верхняя и нижняя) числовых множеств.
Примеры.
X=ℕ={1, 2, …, n, n+1, …}
X ={x; sin 𝑥 = 0}
X= (-∞, +∞)
X={r; r – рационально: r2<2}
Определение.
Числовое множество X называется ограниченным сверху (снизу), если существует
такое число В (соответственно А), что для любого x∈ X: x≤В (соответственно А≤x).
Определение.
Числовое множество X называется ограниченным, если оно ограниченно и сверху и
снизу.
Определение.
Пусть X – ограниченное сверху числовое множество. Точной верхней гранью
множества X называется наименьшее из всех чисел, ограничивающих множество X
сверху, и оно обозначается supX= sup{x}.
Определение.
Пусть X – ограниченное снизу числовое множество. Точной нижней гранью
множества X называется наибольшее из всех чисел, ограничивающих множество X снизу.
Оно обозначается infX=inf{x}.
Дадим рабочую форму этих понятий.
Определение.
Пусть X – ограниченное сверху числовое множество. Число M= supX называется
точной верхней гранью множества X, если:
(1) для любого x∈ X: x≤M.
(2) для каждого 𝜀>0 существует 𝑥̃ ∈ X такой, что M-𝜀<𝑥̃.
Определение.
6
Пусть X – ограниченное снизу числовое множество. Число m= infX называется точной
нижней гранью множества X, если:
(1) для любого x∈ X: m≤x.
(2) для каждого 𝜀>0 существует ⏟
𝑥 ∈ X такой, что ⏟
𝑥 <m+ 𝜀.
Иногда случается, что числовое множество X имеет наибольший (наименьший)
элемент, т.е. существует 𝑥 ∈ X (соответственно 𝑥) такой, что для любого x∈ X: x≤ 𝑥
(соответственно x≥ 𝑥).
Утверждение.
Пусть 𝑥 - наибольший элемент множества X. Тогда 𝑥 = supX .
Доказательство.
Воспользуемся рабочей формулой определения точной верхней грани множества X.
Проверим выполнение двух условий.
(1) По определению наибольшего элемента для любого x∈ X: x≤ 𝑥.
(2) Возьмём произвольное 𝜀>0, фиксируем его.
Тогда 𝑥 − 𝜀 < 𝑥, а 𝑥 ∈ X.
Утверждение для наименьшего элемента докажите самостоятельно.
Теорема 1. (О существовании точной верхней грани у ограниченного сверху
числового множества)
Любое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю
грань.
Доказательство.
Пусть X⊂ ℝ, X≠ ∅ и существует В такое, что для любого x∈ X: x≤В.
Рассмотрим множество E всех чисел, ограничивающих множество X сверху.
E≠ ∅, так как В∈E. Следовательно, мы имеем два множества X и E, обладающих
свойством:
X≠ ∅, E≠ ∅ и для каждого x∈ X и для каждого В∈E x≤В.
А тогда согласно аксиоме V (полноты и непрерывности) множества ℝ действительных
чисел существует Во∈ ℝ такое, что для любого x∈ X и для любого В∈E
x≤ Во≤В.
Из левой части неравенства x≤ Во следует, что для любого x∈ X: x≤ Во ⟹ Во
ограничивает множество X сверху ⟹ Во∈E.
Из правой части неравенства следует, что для любого В∈E: Во≤В, а так как Во∈E,
то Во – наименьшее из чисел, ограничивающих множество X сверху ⟹
Во= supX.
Доказательство, приведённое выше, принадлежит М.А.Крейнесу.
Теорема 2. (О существовании точной нижней грани у ограниченного снизу числового
множества).
Любое непустое ограниченное снизу числовое множество имеет точную нижнюю
грань.
Доказательство.
Пусть ̃
X ⊂ ℝ, ̃
X≠∅и̃
X – ограниченно снизу, то есть существует А такое, что для
̃: А≤x.
любого x∈ X
Рассмотрим множество X={-x; x∈ ̃
X}. Тогда для любого -x∈ X: - x≤-А, то есть
множество X ограничено сверху и согласно теореме 1 существует Во= supX ⟹ для любого
̃.
x∈ X: x≤ Во ⟹ -x≥- Во ⟹ - Во=infX
Глава 2. Числовые последовательности.
§1. Понятие числовой последовательности.
7
Рассмотрим произвольное число a∈ ℝ (а – фиксировано) и произвольное число r∈ ℝ,
r>0.
Определение.
r- окрестностью или окрестностью точки а радиуса r называется множество
(а- r, а+ r) ⊂ ℝ, где
(а- r, а+ r)={x; x∈ ℝ: |x − a|<r}={ x; x∈ ℝ: a-r<x<a+r}
Что такое последовательность?
(1) 1, 1, 1, …, 1, …
(2) 1, 2, 3, …, n, …
(3) -1, -2, -3, …, -n, …
(4) 0, 1, -1, 2, -2, …, k, -k, …
(5) 0, 1, 0, 1, …
1 1
1
(6) 1, 2, 3, …, 𝑛, …
1
1
1
1
1
(7) 2, 0, 3, 0, 4, 0, …, 2k, 0 , 2k+1, …
(8) 0, 1, 0, 2, …, 0, k, 0, …
1 2 1 4
1
1
(9) 2, 3, 4, 5, …, 2k, 2k+1, …
(10)
1 2 3
k
, , , …, 2k+1, …
2 3 4
Определение.
Говорят, что задана числовая последовательность, если указан закон, согласно
которому каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число xn.
Замечание.
Иногда полезно бывает допустить n=0, в других случаях целесообразно считать, что n
принимает все положительные целые значения, начиная с nо, то есть n=nо, nо+1, nо+2, …,
nо - целое, nо>0.
Будем обозначать последовательность
{x1, x2, …, xn, …}={ xn}
+∞
+∞
{ xn}n=0
или { xn}n=no
Определение.
Числовая последовательность (1) называется ограниченной сверху (снизу), если
существует число В такое, что для любого n (n=1, 2, …): xn≤В (соответственно
существует число А такое, что для любого n (n=1, 2, …): xn≥А).
Определение.
Последовательность (1) называется ограниченной, если она ограничена и сверху и
снизу.
Определение.
Числовая последовательность (1) называется возрастающей (убывающей), если для
любого n, n=1, 2, … : xn≤xn+1 (соответственно xn≥xn+1)
Определение.
Числовая последовательность (1) называется монотонной, если она либо
возрастающая, либо убывающая.
Определение.
Последовательность (1) называется строго возрастающей (строго убывающей), если
для любого n (n=1, 2, …): xn<xn+1 (соответственно xn>xn+1).
Общее название для строго возрастающей и строго убывающей последовательностей
– строго монотонные.
Определение.
8
Число а называется пределом последовательности (1), если для каждого
положительного числа 𝜀 (𝜀>0) существует натуральное число (номер) N такое, что для
любого номера n>N:
│xn-a│< 𝜀 или - 𝜀< xn-а< 𝜀 ⟹ а- 𝜀< xn< а + 𝜀 ⟹ xn∈(а-𝜀, а+𝜀)
a
a-ε
a+ ε
(а где расположены x1, x2, …, xN?)
Предел последовательности (1) обозначается: а= lim xn.
𝑛→+∞
Определение.
Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, то есть
если существует число а∈ ℝ такое, что а= lim xn ⟺ существует а∈ ℝ такое, что для
𝑛→+∞
каждого 𝜀>0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │xn-a│< 𝜀 .
Определение.
Последовательность (1) {xn } называется расходящейся, если она не имеет предела;
если какое бы число а не взять существует 𝜀 о (𝜀 о>0) такое, что для каждого номера N
существует номер nо>N такой, что │xno-a│≥ 𝜀 о.
§2. Бесконечно малые последовательности.
Среди всех сходящихся последовательностей особую роль играют
последовательности, сходящиеся к нулю, то есть такие, что 0= lim xn.
𝑛→∞
Определение.
0= lim xn ⇔ для каждого 𝜀>0 существует номер N такой, что для каждого номера
𝑛→+∞
n>N: │xn│<𝜀 ⟹ xn∈(-𝜀, 𝜀).
Определение.
Последовательность, сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой (б.м.).
Пример.
1 1
1
1 +∞
{1, 2 , 3 , …, n , …}={n }𝑛=1
Докажем, что lim
1
𝑛→+∞ 𝑛
= 0.
Возьмём произвольное 𝜀>0 и зафиксируем его. Ищем N такое, что для любого номера
1
n>N: n<𝜀.
1
Положим N=[𝜀 ]+1.
1
[ ]
𝜀
1
𝜀
1
1
[ ]+1
ε
1
1
Возьмём произвольный номер n>N=[𝜀 ]+1 ⟹ n>𝜀 ⟹ n<𝜀. Что и требовалось доказать.
Задача 1.
Пусть q – произвольной действительное число, │q│<1.
+∞
Рассмотрим последовательность {1, q, q2, …, qn, …}={qn}n=0
Доказать, что lim qn=0.
𝑛→+∞
9
Задача 2.
Доказать, что любая бесконечная десятичная дробь является пределом
последовательности своих десятичных приближений.
Теорема 1.
Для того, чтобы последовательность (1) { xn} сходилась к числу а необходимо и
достаточно, чтобы для любого номера n, n=1, 2, …: xn=а+𝛼 n, где последовательность {𝛼 n}
б.м.
Доказательство.
1. Необходимость.
Пусть а= lim xn. Рассмотрим последовательность {𝛼 n}={ xn-а}.
𝑛→∞
а≝ lim xn для каждого 𝜀>0 существует номер N такой, что для любого номера n>N:
𝑛→+∞
𝑑𝑒𝑓
│xn-а│<𝜀 ⟺ │𝛼 n│<𝜀 ⇔ 0= lim 𝛼n.
𝑛→+∞
2. Достаточность.
Пусть дана последовательность { xn} и для каждого n, n=1, 2, … : xn=а+𝛼 n, где {𝛼 n} –
б.м.
Докажем, что а= lim xn.
𝑛→∞
{𝛼n} – б.м. ⟺ для каждого 𝜀>0 существует номер N такой, что для каждого номера
𝑑𝑒𝑓
n>N: │𝛼 n│<𝜀 ⟹ │𝛼 n│=│xn-а│<𝜀 ⇔ а= lim xn.
𝑛→+∞
Свойства бесконечно малых последовательностей.
I Лемма 1.
Пусть {𝛼n} б.м. Тогда для любого числа А∈ ℝ: {А𝛼n} – б.м.
Доказательство.
1. А=0. Тогда для любого n, n=1, 2, …: А𝛼n=0𝛼 n=0 ⟹ {А𝛼 n} – б.м.
𝑑𝑒𝑓
2. {𝛼 n} - б.м. ⇔ для каждого 𝜀>0, а значит для
𝜀
│А│
>0 существует номер N такой, что
для любого номера n>N:
𝜀
│𝛼 n│<
⟹ │А│∙│𝛼 n│=│А𝛼 n│<𝜀 ⟺ 0= lim А𝛼 n ⟹ {А𝛼 n} б.м.
│А│
𝑛→+∞
II Лемма 2.
Сумма двух бесконечно малых последовательностей бесконечно мала.
Доказательство.
Пусть заданы две б.м. последовательности {𝛼 n} и {𝛽 n}. Рассмотрим
последовательность {𝛼 n+ 𝛽 n } и докажем, что она б.м.
𝑑𝑒𝑓
𝜀
{𝛼n} – б.м. ⇔ для каждого 𝜀>0, а значит и для 2>0 существует номер N1 такой, что для
𝜀
любого номера n>N1: │𝛼 n│<2
𝑑𝑒𝑓
𝜀
{𝛽 n} – б.м. ⇔ для каждого 𝜀>0, а значит и для 2>0 существует номер N2 такой, что для
𝜀
любого номера n>N2: │𝛽 n │< 2.
𝜀
𝜀
Тогда ∀ n>N=max{N1, N2}: │𝛼 n+ 𝛽 n│≤│𝛼 n │+│𝛽 n │< 2 + 2= 𝜀 ⟹ lim (𝛼n+ 𝛽 n)=0
𝑛→+∞
III Лемма 3.
Произведение б.м. последовательности на ограниченную последовательность – б.м.
10
Доказательство.
Пусть {𝛼n} – б.м., {𝑆n} ограничена. Докажем, что {S𝛼 n} – б.м.
Так как {𝑆n} ограничена ⟺ существует M>0 такое, что для любого n, n=1, 2, …:
│𝑆n│≤M.
Если положить А= -M, а В=M, то для любого n: А≤ 𝑆n≤В
𝜀
lim 𝛼n=0 ⟺ для каждого 𝜀>0, 𝑀>0 существует номер N такой, что для любого номера
𝑛→+∞
𝜀
n>N: │𝛼 n│<𝑀.
𝜀
Тогда для любого номера n>N: │𝛼 n∙𝑆n│=│𝛼 n│∙│𝑆n│<𝑀∙M=𝜀.
§3. Свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 1.
Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
Доказательство. (от противного)
Пусть существует {xn}, такая сходящаяся последовательность, для которой
существуют два числа а и b, а<b , такие что
а= lim xn, b= lim xn, b>a.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
так как a<b, то существуют непересекающиеся окрестности точек а и b.
X
b
a
1
Возьмём 𝜀=3(b-а)>0.
𝑑𝑒𝑓
1
а= lim xn ⇔ для каждого 𝜀>0, а значит и для 𝜀=3(b-а)>0 существует номер N1 такой,
𝑛→+∞
1
что для любого n> N1: │ xn-а│<3(b-а).
𝑑𝑒𝑓
1
b= lim xn ⇔ для каждого 𝜀>0, а значит и для 𝜀=3(b-а)>0 существует номер N2 такой,
𝑛→+∞
1
что для любого номера n>N2: │xn-b│<3(b-а).
Тогда для любого n>N=max{N1, N2} выполняются оба неравенства:
1
{
│ xn − а│ < 3 (b − а)
1
│xn − b│ < 3 (b − а)
1
⟹{
1
− 3 (b − а) < xn − a < 3 (b − а)
a − 𝜀 < xn < a + 𝜀
⟹{
b
− 𝜀 < xn < b + 𝜀
− 3 (b − а) < xn − b < 3 (b − а)
1
1
⟹
2
⟹ b-𝜀 < xn<a+ 𝜀 ⟹ b-𝜀 < a+ 𝜀 ⟹ b-a<2𝜀= 3(b-а), что невозможно.
Мы пришли к противоречию.
Теорема 2.
Любая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно.
Доказательство.
I. Пусть {xn} сходится. Докажем, что она ограничена.
11
𝑑𝑒𝑓
{xn} сходится ⇔ существует число а∈ ℝ такое, что для каждого 𝜀>0, а значит и для
𝜀=1>0 существует номер N=N(1) такой, что для любого номера n>N:
│ xn-а│< 𝜀=1 ⟹ а-1< xn<а+1 ⟹ xn∈(а-1, а+1)
a
a-1
X
a+1
Положим А=min{x1, x2, …, xN, a-1}
B=max{ x1, x2, …, xN, a+1}
Тогда для любого n, n=1, 2, …: А ≤ xn ≤В.
II. Обратное неверно.
Рассмотрим последовательность 0, 1, 0, 1, …
Она ограничена числами 0 и 1.
Докажем, что она расходится. Для этого заметим, что если {xn} сходится, то
lim (xn+1- xn)=0. Действительно, возьмём произвольное 𝜀>0 и зафиксируем его.
𝑛→∞
{xn} сходится ⟺ существует а такое, что для каждого 𝜀>0, а значит и для нашего
𝜀
фиксированного 2>0 существует номер N такой, что для любого номера
𝜀
𝜀
𝜀
n>N: │xn-а│< 2 ⟹ а- 2< xn<а+ 2
𝜀
𝜀
𝜀
n+1>N: │xn+1-а│< 2 ⟹ а- 2< xn+1<а+ 2
𝜀
𝜀
Тогда │xn+1- xn│=│xn+1-а- xn+а│< 2 + 2= 𝜀 ⟹ lim (xn+1- xn)=0.
𝑛→+∞
Вернёмся теперь к последовательности 0, 1, 0, 1, …
∀ n, n=1, 2, …: │xn+1- xn│=1 ↛ 0, следовательно {xn} расходится.
Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 3.
Пусть {xn} и {yn} две сходящиеся последовательности.
lim xn=а, lim yn=b.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
Тогда {xn+ yn } сходится и её предел равен а+b.
Доказательство.
lim xn=а ⇔
для любого n: xn=а+ 𝛼 n, где {𝛼 n} - б.м.
𝑛→+∞
по теореме §2
lim yn=b ⇔
𝑛→+∞
по теореме §2
для любого n: yn=b+𝛽 n, где {𝛽 n} – б.м.
Тогда {xn+yn } сходится, т.к. ∀ n, n=1, 2, …: xn+yn=(а+𝛼 n)+(b+𝛽 n)=а+b+(𝛼 n+𝛽 n),
{𝛼n+𝛽 n } – б.м., как сумма двух бесконечно малых последовательностей {𝛼 n} и{𝛽 n}.
Согласно лемме 2 §2 lim (xn+yn)=а+b
𝑛→+∞
Теорема 4.
Пусть {xn} и {yn} две сходящиеся последовательности, lim xn=а, lim yn=b.
𝑛→+∞
Тогда {xnyn} сходится и её предел равен а∙b.
Доказательство.
lim xn=а ⇔
для каждого n: xn=а+ 𝛼 n, где {𝛼 n} – б.м.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
теорема 1§2
12
для любого n: yn=b+ 𝛽 n, где {𝛽 n} – б.м.
lim yn=b ⇔
теорема 1§2
𝑛→+∞
Тогда для любого n:
xn yn=(а+ 𝛼n)∙(b+ 𝛽 n)=аb+а 𝛽 n+b 𝛼 n+ 𝛼 n 𝛽 n
Последовательности {а𝛽n} и {b𝛼 n} бесконечно малые по лемме 1 §2, {𝛼n 𝛽 n} – б.м.,
как произведение ограниченной на бесконечно малую ⟹ по теореме 1§2 lim xnyn=а∙b.
𝑛→+∞
Теорема 5.
Пусть {xn} и {yn} две сходящиеся последовательности, lim xn=а, lim yn=b, b≠0.
xn
𝑛→+∞
a
𝑛→+∞
Тогда {yn} сходится и её предел равен b.
Доказательство.
I. Пусть lim yn=b, b≠ 0.
𝑛→+∞
1
Тогда последовательность { }: 1) имеет смысл
yn
2) сходится
1
3) её предел равен b
1
1) {yn} имеет смысл, то есть существует номер nо такой, что для любого n≥ 𝑛о: yn≠ 0,
1
+∞
то есть {yn}𝑛=𝑛о
определена.
𝑑𝑒𝑓
В самом деле, т.к. lim yn=b≠ 0 ⇔ для каждого 𝜀 >0, а значит и для 𝜀 =
𝑛→+∞
существует номер N такой, что для любого номера n>N
│b│
│b│
│b│
2
>0,
│b│
│yn-b│< 2 ⟹ b- 2 <yn<b+
Пусть b>0. ⟹ │b│=b.
1
b
3
Тогда 0<b- ∙b= <yn< ∙b (*)
2
2
2
Пусть b<0. ⟹ │b│= - b.
3
1
Тогда 2 ∙b< yn< 2 ∙b<0 (**).
2
1
+∞
Тогда для любого n≥N+1: yn≠ 0 и {yn}𝑛=𝑛о
опеределена.
1
2) Покажем, что {yn} ограничена.
b
1
Для любого n>N: либо 0<2<yn ⟹ │yn│<
2
│b│
b
1
либо yn< 2<0 ⟹ │yn│<
2
,
1
│b│
+∞
⟹ {yn}𝑛=𝑛о
ограничена.
1
1
3) Докажем, что {yn} сходится и её предел равен b .
Так как lim yn=b ⇔
𝑛→+∞
1
Пусть n≥ 𝑛о: yn −
для любого n: yn=b+ 𝛽 n, где {𝛽 n} – б.м.
теорема 1§2
1
b−yn 1
b
=
yn∙b
= b (b - yn) = 𝛿 n .
{𝛿 n } по лемме 3 §2 б.м., ибо {b- yn }={- 𝛽 n } – б.м.
1
1
1 1
1
А тогда yn = b + yn - b = b + 𝛿 n , {𝛿 n } б.м. и согласно теореме 1§2, lim
1
𝑛→+∞ yn
1
1
=b.
xn
II. Докажем теперь, что{xn∙ yn}= {yn} сходится.
lim xn=а, lim
𝑛→+∞
𝑛→+∞
1
1
= .
yn b
xn
Тогда по теореме 3 {yn} сходится и её предел равен
а
b
.
13
Теорема 6.
Пусть {xn} сходится и lim xn=а.
𝑛→+∞
Тогда {│xn│} сходится и lim │xn│=│а│.
𝑛→+∞
Доказательство.
lim xn=а ⟺ для каждого 𝜀>0 существует номер N такой, что для любого номера n>N:
𝑛→∞
│xn - а│< 𝜀.
Возьмём произвольное 𝜀>0, фиксируем его. Тогда
𝑑𝑒𝑓
∀ n>N: ││xn│ - │а││≤ │xn - а│<𝜀 ⇔
lim │xn│=│а│.
𝑛→+∞
Глава 3. Некоторые сведения из математической логики.
§1. Предложение.
(1) Волга впадает в Балтийское море.
(2) 117<121
(3) x отец y
(4) √−1=i<3
(5) z исполнилось 17 лет
(6) √2 - рациональное число
(7) sin 𝑥 красного цвета
Определение.
Предложением называется высказывание, которое может быть истинным или
ложным.
(1), (2), (3), (5), (6) – предложения. (часть из них истинны – (2), (3), (5);
(1), (6) – ложны)
(4) и (7) не являются предложениями, так как они оба полностью бессмысленны,
что не могут быть ни истинными, ни ложными, то есть лишены содержания.
Условимся обозначать предложения большими латинскими буквами А, В, С, … .
Вместе с каждым предложением А возникает предложение Ā - „не А”.
По определению считается, что Ā ложно (истинно) тогда, когда А истинно
(ложно).
(1). Закон противоречия.
Ни при каком предложении А не могут быть А и Ā. Либо оба истинны, либо
ложны.
(3) Закон исключения третьего.
Для всякого предложения А оно само или его отрицание Ā истинно.
С точки зрения математической логики каждый закон физики и всякая теорема
математики являются предложениями.
Над предложениями могут производится некоторые действия (операции).
Пусть задана упорядоченная пара предложений А и В.
14
Сложение.
Суммой или дизъюнкцией предложений А и В называется такое новое
предложение, обозначаемое А∨В, которое читается „А или В”, причём А∨В истинно,
если истинно хотя бы одно из предложений А или В.
Умножение.
Определение.
Произведение или конъюнкцией двух предложений называется такое новое
предложение, которое обозначается А∧В и читается „А и В”, причём А∧В истинно,
когда каждое из предложений и А и В истинны.
Импликация.
Определение.
Импликацией предложений А и В называется такое новое предложение,
обозначаемое А⇒В, которое читается следующим образом „из А следует В”, или „если
А то В”.
Причём предложение А⇒В истинно во всех случаях, кроме одного, когда А –
истинно, а В – ложно
Пример.
А: n – кратно 4
В: n – чётно
Тогда А⇒В.
Эти введённые символы позволяют записать законы логики в простом виде:
(1) А∧ Ā – ложно при любом А.
(2) А∨Ā – истинно при любом А.
Импликация в обе стороны, т.е. символ ⇔ означает - равносильно.
Для любых А, В, С:
(3) А∧ (В ∨ С) ⇔ (А∧В) ∨(А∧С)
(4) А∨(В∧С) ⇔ (А∨В) ∧(А∨С)
(4) И (4) – распределительные законы.
Закон двойственности.
А∨В⇔А∧В
А∧В ⇔А∨В
При определении отрицания предложениями и операций над предложениями
важнейшим является согласование об истинности исходного предложения.
Таблица истинности.
А
ист
ист
л
л
В
ист
л
ист
л
Ā
л
л
ист
ист
АVВ
АЛВ
А⟹В
ист
ист
ист
л
ист
л
л
л
ист
л
ист
ист
15
Недоумение может вызвать „ист” в нижнем правом углу таблицы. Дело в том, что
предложение А⇒В равносильно предложению А ∧ В ⇔ А ∨ В ⇔ А ∨В.
Тогда если А – ложно, то А - истинно и дизъюнкция А ∨В истинно.
Таким образом, импликация беззащитна против ввода неверных данных.
§2. Предикаты.
Рассмотрим следующие высказывания.
1) … больше 7⁄9.
2) ∘∘∘∘≥‒ ‒ ‒ ‒
3) *** есть отец ~~~~
4) ∙∙∙∙∙∙∙ + ‒‒‒‒‒<*****
Это предикаты, своего рода заготовки для предложений.
Определение.
Предикатом называется высказывание, содержащее одно или несколько пустых
мест и обращающиеся в предложение всякий раз, когда пустые места (переменные)
замещены конкретными предметами, принадлежащими некоторым определённым
классам объектов.
Пустые места будем обозначать буквами x, y, z, …, а сами предикаты буквами P, Q,
R, … .
P(x) – предикат, содержащий одно переменное.
Q(x, y) – предикат, содержащий две переменные (два пустых места).
Примеры предикатов.
7
1. x>9
2. x≥ 𝑦
3. z отец υ
4. x+y<ω
Над предикатами можно производить такие же действия, как и над
предложениями.
В то же время в отличи от предложений предикаты не могут быть ни
истинными, ни ложными.
§3. Кванторы.
Замещение пустых мест в предикате не единственный способ получения
предложений.
Пусть P(x) ⟺ x – певец мужского хора МИФИ.
Условимся замещать x – всеми мальчиками, присутствующими в аудитории на
лекции.
Символ ∀ условимся читать как „каждый” или „любой”, или „все”, а символ ∃ - как
„существует”, „найдётся” или „есть хоть один”.
Тогда ∀𝑥: P(x) – все присутствующие поют в хоре МИФИ.
∃x: P(x) – среди присутствующих есть хоть один, поющий в хоре МИФИ.
Определение.
16
Символы ∀ и ∃ называются квантором общности и квантором существования
соответственно.
Q(x, y) ⟺ x прочитал y.
{y} – произведения де Сент-Экзюпери.
x – присутствующие в аудитории.
∃x ∀𝑦: Q(x, y) (v)
∀𝑥 ∃𝑦: Q(x, y) (vv)
В математике в тех случаях, когда А ⟺ В истинно, то говорят, что В является
необходимым условием для А, а А – достаточным условием для В.
При построении отрицания предложения, полученного воздействием кванторов
на предикат все объекты остаются на своих местах, каждый квантор общности
∀ заменяется на квантор существования ∃, а каждый квантор существования ∃
заменяется на квантор общности ∀ и над предикатом ставится черта.
Примеры.
1. (А) ⟺ ({xn} ограничена) ⟺ ({xn} ограничена сверху)∧( {xn} ограничена снизу)
⟺ (∃В ∀n: xn≤В)∧(∃А ∀n: А≤xn)
(А) ⟺ ({xn} неограниченна) ⟺ ({xn} неограниченна сверху)∨({xn}
неограниченно снизу) ⟺ (∀В ∃n: xn>В)∨( ∀А ∃n: А>xn)
2. (В) ⟺ ({xn} монотонна) ⟺ ({xn} убывает)∨({xn} возрастает) ⟺ (∀𝑛:
xn≥xn+1)∨(∀𝑛: xn≤xn+1)
(В) ⟺ ({xn} не является монотонной) ⟺ ({xn} неубывающая)∧({xn}
невозрастающая) ⟺ (∃ń: xń<xń+1)∧(∃ň: xň>xň+1)
3. (С) ⟺ ({xn} сходится) ⟺ (∃а: а= lim xn) ⟺ (∃а ∀𝜀>0 ∃N ∀n>N: │xn - а│<𝜀)
𝑛→∞
(С) ⟺ ({xn} расходится) ⟺ (∀а ∃𝜀>0 ∀N ∃n: │xn - а│≥ 𝜀)++++++++
4. (D) ⟺ ({xn} б.м.) ⟺ (0= lim xn) ⟺ (∀𝜀>0 ∃N ∀n > N: │xn│<𝜀)
𝑛→∞
(D) ⟺ ({xn} не является б.м.) ⟺ (∃𝜀>0 ∀N ∃n > 𝑁: │xn│≥ 𝜀)
§4. Предельный переход в неравенствах. (Глава 2)
Теорема 1. (Для одной последовательности).
Пусть {xn} сходится и lim xn=а, и пусть ∃В такое, что ∀n, n=1, 2, … : xn≤В (∃А ∀𝑛:
𝑛→∞
xn≥А).
Тогда а≤В (соответственно, А≤а).
Доказательство.
I. Рассмотрим произвольную последовательность {xn}, а= lim xn и пусть
𝑛→+∞
∃В ∀n, n=1, 2, … : xn≤В.
Предположим противное: а>В.
Так как lim xn=а ⟺ ∀𝜀>0, а значит и для 𝜀=а-В>0, ∃N ∀n>N: │xn - а│<а-В ⟹ 𝑛→∞
а+В+а<xn<а-В+а ⟹ В<xn<2а-В
Мы пришли к противоречию с тем, что ∀𝑛: xn≤В.
II. Рассмотрим произвольную последовательность {xn}, а= lim xn, для которой
существует А такое, что ∀𝑛: xn≥А ⟹ -xn≤-А
𝑛→+∞
17
Тогда для последовательности {-xn} выполняется lim (-xn)= -а и для каждого n, n=1,
𝑛→+∞
2, … : -xn≤-А. Согласно п. I -а≤-А ⟹ а ≥ А.
Замечание.
Если в условиях теоремы 1 неравенство строгое, то в утверждении теоремы 1
следует сохранить нестрогие неравенства а≤В (соответственно, а≥А).
Пример.
1
1
{xn}={n}. ∀n: n>0
Но lim
1
𝑛→+∞ n
=0.
Следствие 1.
Пусть {xn} такова, что ∀n: А≤xn≤В и lim xn=а.
𝑛→+∞
Тогда А≤а≤В.
Указанное свойство отрезка [А, В] называется свойством замкнутости, то есть если на
отрезке располагается сходящаяся последовательность, то отрезок не выпустит за свои
границы предел этой последовательности.
Интервал (А, В) таким свойством не обладает.
Следствие 2.
Если последовательности {xn} и {yn} сходятся, причём lim xn=а, lim yn=b и
𝑛→+∞
𝑛→+∞
∀n, n=1, 2, …: xn≤yn, то а≤b.
Доказательство.
Рассмотрим {yn-xn}. ∀n: yn-xn≥0. Согласно теореме 3 §2 lim (yn-xn)=b-а, а согласно
𝑛→+∞
теореме 1 §4 b-а≥0 ⟹ а≤b.
Теорема 2. (о трёх последовательностях)
Пусть {xn}, {yn} и {zn} таковы, что: 1) ∀n: xn≤ zn ≤ yn
2) lim xn= lim yn=а
Тогда {zn} сходится и lim zn=а.
Доказательство.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
𝑛→+∞
𝑑𝑒𝑓
lim xn=а ⇔ ∀𝜀 >0 ∃N1 ∀n>N1: │xn - а│<𝜀 ⇔ а-𝜀<xn<а+𝜀
𝑛→+∞
𝑑𝑒𝑓
lim yn=а ⇔ ∀𝜀>0 ∃N2 ∀n>N2: │yn - а│<𝜀 ⇔ а-𝜀 <yn<а+𝜀
𝑛→+∞
Возьмём произвольной 𝜀 >0 и положим N=max{N1, N2}.
а − 𝜀 < xn < а + 𝜀
Тогда ∀n>N: {а − 𝜀 < yn < а + 𝜀 ⟹ ∀n>N: а-𝜀<xn ≤ zn ≤ yn<а+𝜀 ⟹ а-𝜀< zn<а+𝜀
Следовательно, ∀𝜀 > 0 ∃𝑁 ∀n>N: │zn - а│< 𝜀 ⇔ lim zn =а.
𝑛→+∞
§5. Бесконечно большие последовательности.
(последовательности, стремящиеся к -∞, к +∞, к ∞)
Определение.
18
Говорят, что числовая последовательность {xn} стремится к +∞ (к -∞), если
∀E>0 ∃N ∀n>N: xn>E (соответственно, xn<-E) и пишут lim xn=+∞ (соответственно,
𝑛→+∞
lim xn=-∞).
𝑛→∞
Определение.
Говорят, что последовательность {xn} стремится к ∞, если
∀𝐸>0 ∃N ∀n>N: │xn│>E и пишут lim xn= ∞.
𝑛→+∞
Замечание.
Общее название таких последовательностей – бесконечно большие.
Примеры.
1. {1, 2, …, n, …} стремится к +∞
2. {-1, -4, -9, …, -n2, …} стремится к -∞
3. {2, 1, 4, 3, …, 2k, 2k-1, …} стремится к +∞
4. {1, -2, 3, -4, …, 2k-1, -2k, …} стремится к ∞, но не стремится ни к +∞, ни к -∞.
Замечание.
Неограниченные последовательности, вообще говоря, не стремятся ни к +∞, ни
к -∞, ни к ∞…
Но тем не менее справедлива следующая теорема.
Теорема.
Любая неограниченная сверху (неограниченная снизу) возрастающая
(соответственно, убывающая) последовательность стремится к +∞
(соответственно, к -∞).
Доказательство.
Докажем основной случай.
Пусть {xn} неограниченна сверху и возрастает.
𝑑𝑒𝑓
{xn} неограниченна сверху ⇔ ∀E>0 ∃𝑁: xN>E.
А так как {xn} возрастает, то∀n: xn≤xn+1 ⟹ x1≤x2≤…≤xN≤xN+1≤…≤xn≤… при n>N
⟹ ∀E>0∃N ∀n>N: xn>E ⟹ {xn} стремится к +∞.
Задача.
Доказать самостоятельно, что любая неограниченная снизу убывающая
последовательность стремится к -∞.
§6. Частичные последовательности (подпоследовательности).
+∞
Пусть задана числовая последовательность { xn}n=1
={x1, x2, …, xn, …} (1)
Тогда можно образовать следующие последовательности:
{x1, x3, x5, …, x2k-1, …} nk=2k-1, k=1, 2, …
{x2, x4, …, x2k, …}
nk=2k, k=1, 2, …
{x1, x4, x9, …, xk·k , …}
nk= k2, k=1, 2, …
{x2, x3, x5, x6, …, xpk, …} nk=pk, k=1, 2, …
Определение.
Частичной последовательностью или подпоследовательностью
последовательности (1)называется любая последовательность вида
{xn1, xn2, …, xnk, …}, в которой номера n1<n2<…<nk<… образуют строго
возрастающую последовательность, при этом nk ≥k, k=1, 2, …
Теорема 1.
19
Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится и имеет тот
же предел.
Доказательство.
+∞
Пусть {xn} сходится ⇔ ∃а ∀𝜀 >0 ∃N ∀n>N: │xn-а│< 𝜀 и пусть { xn}k=1
- произвольная
подпоследовательность последовательности {xn}.
Докажем, что lim xn=а.
𝑛→+∞
Так как {nk} строго возрастает и ∀𝑘: nk ≥k, то по теореме §5 {nk} стремится к + ∞ ⇔
∀𝐸 >0, а значит и для E=N>0 ∃ номер K такой, что ∀k>K: nk>N ⟹
∀𝜀>0 ∃𝐾 ∀𝑘>K: │xn-а│< 𝜀 ⟹ а= lim xnk.
𝑘→+∞
Теорема 2.
Любая подпоследовательность последовательности стремящейся к +∞ (∞) также стремится к + ∞ (соответственно, к -∞).
Доказательство.
𝑑𝑒𝑓
Пусть {xn} стремится к +∞ ⇔ ∀E >0 ∃N ∀n>N: xn>E.
Пусть {xnk} – произвольная подпоследовательность последовательности {xn}.
Тогда по определению
lim nk=+∞ ⇔ ∀N>0 ∃K ∀k>K: nk>N ⟹ ∀E>0 ∃K ∀k>K: xnk>E ⟹ lim xnk=+∞.
𝑘→∞
𝑘→+∞
Задача.
Доказать самостоятельно теорему 2 в случае стремления последовательности к ∞.
Замечание.
Из сходимости некоторой подпоследовательности сходимость исходной
последовательности, вообще говоря, не вытекает.
Пример 1.
Последовательность {0, 0, …, 0, …} является подпоследовательностью
последовательности {0, 1, 0, 2, …}. Она неограниченна.
Пример 2.
Последовательность {1, 0, 1, 0, …} (*) расходится, т.к. она имеет две
подпоследовательности {0, 0, …, 0, …} nk=2k, k=1, 2, …, lim x2k=0
𝑘→+∞
и {1, 1, …, 1, …} nk=2k-1, k=1, 2, …, lim x2k-1=1
𝑘→+∞
и предположение о том, что (*) имеет предел приводит к противоречию с
теоремой 1.
Возникает вопрос:
Сколько подпоследовательностей (произвольных, но фиксированных) имеет
последовательность исходной?
Пусть Ω - множество всех подпоследовательностей последовательности.
Ω имеет мощность континуума.
Определение.
Число 𝜉 называется частичным пределом {xn}, если ∃{xnk} – её
подпоследовательность такая, что lim xnk=𝜉
𝑘→+∞
Рассмотрим множество M всех частичных пределов данной последовательности
{xn}.
Возможны следующие варианты:
I. М≠ ∅.
1. М – ограничено ⟹ ∃ inf M и sup M
20
Определение.
Нижним пределом {xn} называется lim xn=inf М.
𝑛→+∞
Верхним пределом {xn} называется lim xn=sup М.
𝑛→+∞
2. М –ограниченно снизу и неограниченно сверху.
Тогда по определению lim xn=inf М, а lim xn=+∞.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
3. М – ограниченно сверху и неограниченно снизу.
Тогда по определению lim xn=sup М, а lim xn=−∞.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
II. M=∅.
В этом случае у {xn} нет ни одной сходящейся подпоследовательности.
Например, {1, 2, 3, …, n, …}.
Тогда 1) если у последовательности {xn} существует подпоследовательность,
стремящаяся к +∞, то lim xn=+∞.
𝑛→+∞
2) если у последовательности {xn}, существует подпоследовательность,
стремящаяся к -∞, то lim xn=−∞.
𝑛→+∞
§7. Монотонные последовательности.
Теорема.
Любая монотонная ограниченная последовательность сходится.
Доказательство.
1. Пусть {xn} возрастает и ограничена сверху, то есть x1≤x2≤…≤ xn ≤… и ∃В ∀n:
xn ≤В.
Так как множество {xn} всех элементов последовательности ограниченно сверху,
то ∃ sup {xn}=а.
Докажем, что lim xn=а.
𝑑𝑒𝑓
𝑛→+∞
sup {xn}=a ⇔ 1) ∀n: xn≤а
2) ∀𝜀 >0 ∃N: xn>а-𝜀, а в силу возрастания {xn} ∀n>N:
а-𝜀<xN≤xn≤а<а+𝜀 ⟹ а-𝜀<xn<а+𝜀 ⟹ │xn-а│< 𝜀 ⟹ lim xn=а.
𝑛→+∞
2)
1)
2. Пусть {xn} убывает и ограничена снизу.
Тогда {-xn} возрастает и ограничена сверху. В самом деле
x1≥x2≥…≥xn≥… ⟹ - x1≤- x2≤…≤- xn≤…
{xn} ограничена снизу ⟺ ∃А ∀n: А≤xn ⟹ - xn≤ -А ⟹ {-xn} ограничена сверху и
возрастает. Тогда по доказанному в п.1 ∃ lim (-xn)=-а=sup {-xn}. А тогда
а= lim xn= inf {xn}.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
Следствие.
Любая возрастающая (убывающая) последовательность либо сходится к своей
точной верхней грани (соответственно, к своей точной нижней грани), либо
стремится к + ∞ (соответственно, к - ∞)
21
§8. Теорема о вложенных отрезках.
Теорема.
Пусть последовательность отрезков (1) { [an, bn] } удовлетворяет следующим
условиям:
1). ∀n: [an+1, bn+1]⊂ [an, bn]
2). lim дл.[an, bn]= lim (bn- an)=0
𝑛→∞
𝑛→∞
Тогда последовательность концов отрезков {an} и {bn} сходится и
lim an= lim bn=с.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
При этом с является единственной точкой, принадлежащей всем отрезкам
последовательности (1).
Доказательство.
Рассмотрим последовательность {an} левых концов отрезков .
Из условия 1) следует, что ∀n, n=1, 2, …: аn+1≥an ⟺ {an} возрастает. А так как ∀n:
an≤b1 (an≤bn≤b1), то {an} ограничена сверху. ⟹ {an} возрастает и ограничена сверху, а
тогда по теореме §7 она сходится ⟺ ∃с: с= lim an.
𝑛→+∞
Рассмотрим теперь последовательность {bn} правых концов отрезков [an, bn],
n=1, 2, …
Так как для любого n: bn=an+(bn-an), то по теореме о пределе суммы двух
сходящихся последовательностей {an} и {bn-an} lim bn=с+0=с.
𝑛→+∞
Согласно следствию §7 lim an=с=sup {an}, а так как {bn} убывает и ограничена
𝑛→∞
снизу, то lim bn=с=inf {bn}.
𝑛→+∞
По определению sup {an} и inf {bn}:
∀n: an ≤с ≤ bn ⟹ ∀n: с∈[an, bn].
Докажем теперь, что точка с - единственная точка, принадлежащая всем
отрезкам последовательности (1).
Предположим, что ∃с′, с′≠с и такое, что ∀n: с′∈[an, bn].
an ≤ с ≤ bn
an ≤ с ≤ bn
Значит, ∀n: {
⟹{
⟹ -( bn- an) ≤с- с′≤ bn- an, а так
an ≤ с′ ≤ bn
−bn ≤ −с′ ≤ −an
как с′≠с, то |с- с′|>0 ⟹ 0<|с- с′|≤(bn- an).
Но это противоречит тому, что lim (bn- an)=0.
𝑛→+∞
Замечание 1.
О последовательности (1) { [an, bn] } говорят, что { [an, bn] } – последовательность
стягивающихся отрезков.
Замечание 2.
Если в условии теоремы отрезки заменить на промежутки другого типа, то
сходимость последовательностей концов промежутков будет иметь место.
Второе утверждение теоремы может оказаться ложным.
Пример.
1
1
{(0, 1); (0, 2); …; (0, n); …} имеет пустое пересечение.
§9. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Теорема.
Любая ограниченная числовая последовательность содержит сходящуюся
подпоследовательность.
22
Доказательство.
Пусть {xn} – ограниченная последовательность ⟺ ∃а1 ∃b1 ∀n: a1 ≤ xn ≤ b1 ⟹
∀n: xn∈ [a1, b1].
Разделим отрезок [a1, b1] пополам и выберем ту половину, которая содержит
бесконечно много элементов последовательности {xn}. Получим отрезок
[a2, b2]⊂ [a1, b1].
Делим отрезок [a2, b2] пополам и выбираем ту половину, которая содержит
бесконечно много элементов последовательности {xn}. Получаем отрезок [a3, b3] и
т.д.
Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим последовательность
+∞
вложенных отрезков { [an, bn] } k=1
такую, что ∀k: [ak+1, bk+1]⊂ [ak, bk] и
lim дл.[ak, bk]= lim
b1−а1
=0.
𝑘→+∞ 2^(𝑘−1)
𝑘→+∞
Начнём теперь выбирать подпоследовательность последовательности {xn}.
В отрезке [a1, b1] возьмём xn1.
В отрезке [a2, b2] возьмём xn2 такое, что n2>n1
…
В отрезке [ak, bk] возьмём xnk, nk>nk-1
…
Продолжая процесс выбора неограниченно, мы получим последовательность
+∞
{xnk}k=1
- подпоследовательность последовательности {xn} такую, что ∀k: ak ≤ xnk ≤ bk
По теореме о вложенных отрезках последовательности концов {ak} и {bk}
сходятся и lim ak= lim bk=с.
𝑘→+∞
𝑘→+∞
Но тогда по теореме 2 §4 (предельный переход в неравенствах для трёх
последовательностей) lim xnk=с.
𝑘→+∞
§10. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
Теорема.
Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она
удовлетворяет следующему условию Коши:
∀𝜀 >0 ∃N=N(𝜀) ∀n>N ∀m>N: │xn - хm│<𝜀
или
∀𝜀 >0 ∃N=N(𝜀) ∀n>N и ∀p – натурального: │xn+p - хn│<𝜀.
Доказательство.
1.Необходимость.
𝑑𝑒𝑓
{xn} сходится ⇔ ∃а ∀𝜀 >0 ∃N ∀n>N: │xn - а│<𝜀.
Возьмём произвольное 𝜀 >0, зафиксируем его и проверим выполнение условия
Коши.
𝜀
{xn} сходится ⟺ ∃а ∀𝜀 >0, а значит и для нашего фиксированного >0,
𝜀
2
∃N ∀n>N: │xn - а│<2.
Возьмём произвольные n>N и m>N и рассмотрим
𝜀 𝜀
│xn - хm│=│xn -а+а - хm│≤│xn - а│+│xm - а│<2+2=𝜀 , т.е. условие Коши выполнено.
2.Достаточность.
Пусть {xn} удовлетворяет условию Коши ⟺ ∀𝜀 >0 ∀n>N, ∀m > 𝑁: │xn - хm│<𝜀.
Докажем, что {xn} сходится.
{xn} удовлетворяет условию Коши ⟺ ∀𝜀 >0, а значит и для
𝜀=1>0 ∃N=N(1) ∀n>N и ∀m>N: │xn - хm│<1.
Пусть m=N+1>N: │xn - хN+1│<1 ⟹ ∀n>N: xN+1 -1<xn<xN+1+1 ⟹
∀n>N+1: xn∈( xN+1 -1, xN+1+1).
23
Вне этого интервала могут находится х1, х2, …, хN.
Пусть А=min{х1, х2, …, хN, xN+1 -1}
B=max{х1, х2, …, хN, xN+1+1}
Тогда ∀n, n=1, 2, …: xn∈[А, В] ⟹ {xn} – ограничена, а тогда по теореме БольцаноВейерштрасса (§9) из {xn} можно выделить сходящуюся подпоследовательность
{xnk}.
{xnk} сходится ⟺ ∃а: а= lim xnk.
𝑘→+∞
Докажем, что а= lim xn.
𝑛→+∞
𝜀
𝜀
По условию Коши, ∀𝜀 >0, 2>0, ∃N ∀n>N ∀ m>N: │xn - хm│< 2.
𝜀
𝜀
Положим m=nk≥k>N. Тогда xnk - 2< xn< xnk+ 2.
Устремим k→+∞. Тогда по теореме 1 §4 (предельный переход в неравенствах для
𝜀
𝜀
𝜀
одной последовательности) получаем а- 2 ≤ xn≤а+ 2 ⟹ │xn - а│≤ 2 < 𝜀 ⟹
𝑑𝑒𝑓
│xn - а│< 𝜀 ⇔ а= lim xn.
𝑛→+∞
Определение.
Последовательность {xn}, удовлетворяющая условию Коши, называется
фундаментальной.
Из критерия Коши следует, что числовая последовательность сходится тогда и
только тогда, когда она фундаментальна.
§11. Число ℯ.
1
Рассмотрим последовательность {(1+ )n}.
n
1
Обозначим элемент этой последовательности yn=(1+n)n.
Докажем, что {yn} сходится. Для этого покажем, что она возрастает и ограничена
сверху.
Используем формулу Бинома-Ньютона:
1
1 n(n−1) 1
n(n−1)…(n−k+1) 1
n(n−1)…(n−n+1) 1
yn= (1+n)n=1+n·n+ 2! ·n2+…+
·
+…+
· n^n=
k!
nk
n!
1
1
1
1
2
=1+1+2!(1- n)+…+k!(1- n)(1- n)…(11
1
1
k−1
1
n
1
1
2
)+…+ n!(1- n)(1- n)…(1k−1
1
1
n−1
n
)
n−1
yn+1=1+1+ 2!(1- n+1)+…+ k! (1- n+1)…(1- n+1)+…+ n! (1- n+1)…( 1- n+1)+
1
1
n
+ (n+1)!(1- n+1)… (1- n+1)
1. {yn} строго возрастает.
1
1
∀n, n=1, 2, …: yn<yn+1, так как каждое слагаемое увеличивалось, ибо n>n+1 и,
кроме того, прибавилось ещё одно положительное слагаемое (последнее).
2. {yn} ограничено сверху.
k−1
Для доказательства заменим каждый множитель (1- n ) единицей, ибо k≤n
(k-1<n).
Используя неравенство k!=1·2·3·…·k≥1·2·2·…·2=2k-1, k=1, 2, …, получим
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1
yn<1+1+2!+3!+…+n!<1+1+2+2·2+…+2^(𝑛−1)<1+1+2+2·2+…+2^(𝑛−1)+…=1+ 1=1+
1−
2
2=3
Итак, ∀n: yn<3.
24
Тогда по теореме о сходимости ограниченной монотонной последовательности
1
(§7) ⟹ ∃ lim yn= ℯ=sup {(1+ )n}.
n
𝑛→+∞
ℯ ≈2,7182848…
Глава 3. Функции.
§1. Понятие числовой функции числового аргумента.
Определение.
Пусть Х – непустое множество. Х⊂ ℝ.
Говорят, что на множестве Х задана функция, если указан закон, согласно
которому каждому элементу х∈Х поставлено в соответствие число y.
Обозначается функция: y=f(х); х∈Х.
При этом множество Х называется областью определения функции, а множество
Y={y; y=f(х), х∈Х } называется множеством значений функции y=f(х), х∈Х.
Примеры.
1. Х= {1, 2, …, n, …}
yn=f(n), n=1, 2, … - числовая последовательность. – Это функция, областью
определения которой является множество ℕ всех натуральных чисел.
2. Х= {1, 2, …, n, …}
f(n)=[an, bn]
3. Х= {𝓊
⃗ }, а⃗ - фиксированный вектор в ℝ3, 𝓊
⃗ ∈ ℝ3.
f(𝓊
⃗ )=[𝓊
⃗ , а⃗] – векторная функция векторного аргумента.
g(𝓊
⃗ )=(𝓊
⃗ , а⃗) – числовая функция векторного аргумента.
Действия над функциями.
Пусть f1(х) – функция, определённая на Х1.
f2(х) – функция, определённая на Х2.
Тогда на Х=Х1∩Х2≠ ∅ определены функции:
f1(х)
f1(х)± f2(х), f1(х)· f2(х) и f2(х) определена на Х∖{х; х∈Х: f2(х)=0}.
Простейшими множествами числовой оси 0х являются промежутки.
Определение.
Промежутком числовой оси называется любое множество вида:
1. [а, b]≝ {х; х∈Х: а≤х≤b}.
отрезок
a
b
X
2. (а, b)≝ {х; х∈Х: а<х<b}.
интервал
a
b
X
25
a
b
X
3. [а, b)≝ {х; х∈Х: а≤х<b},
(а, b]≝ {х; х∈Х: а<х≤b}.
полуинтервалы
a
b
a
b
X
X
Неограниченные множества:
4. [а, +∞]≝{х; х∈Х: х≥а},
(−∞, b] ≝{х; х∈Х: х≤b}.
a
X
b
X
5. (а, +∞)≝{х; х∈Х: х>а},
(−∞, b) ≝{х; х∈Х: х<b}.
a
X
b
X
6. (−∞, +∞) – вся числовая ось.
X
Определение.
Говорят, что функция y=f(х) имеет стандартную область определения Х, если Х
является промежутком ненулевой длины или объединением непересекающихся
промежутков ненулевой длины.
§2. Предел функции в точке.
Определение.
26
Пусть f(х) – функция, имеющая стандартную область определения Х, хо –
фиксированная точка, лежащая внутри или являющаяся концом одного из
промежутков, образующих Х.
Говорят, что f(х) имеет предел в т. хо, равный L и пишут lim f(х)=L, если:
х→хо
(Г) (в смысле Гейне)
∀{хn}: 1. ∀n: хn∈Х
2. ∀n: хn≠ хо
: lim f(хn)=L
𝑛→+∞
(К) (в смысле Коши)
∀𝜀 >0 ∃𝛿>0 ∀х
х∈Х
3. lim хn= хо
: │f(х)- L│< 𝜀
х≠ хо
𝑛→+∞
⟺ ∀𝜀 >0 ∃N ∀𝑛 > 𝑁: │f(хn)-L│< 𝜀
│x - хо│< 𝛿
Теорема.
Определения (Г) и (К) эквивалентны ( (Г) ⟺ (К) ).
Доказательство.
1). (К) ⟹ (Г).
Дано: L является пределом функции f(х) в точке хо в смысле Коши.
Докажем, что число L является пределом функции f(х) в точке хо и в смысле
Гейне.
Возьмём произвольную последовательность {хn}, удовлетворяющую условиям:
1. ∀n: хn∈Х
2. ∀n: хn≠ хо (последовательность типа Гейне)
3. lim хn= хо
𝑛→+∞
И рассмотрим последовательность соответствующих значений функции f(х):
{f(хn)}.
х∈Х
𝑑𝑒𝑓
Так как L=(К) lim f(х) ⇔ ∀𝜀 >0 ∃𝛿>0 ∀х
х≠ хо
𝑛→+∞
: │f(х)- L│< 𝜀.
│x - хо│< 𝛿
Возьмём произвольное 𝜀 >0 и возьмём 𝛿 = 𝛿(𝜀)>0, которое для 𝜀>0 существует по
определению Коши.
𝑑𝑒𝑓
Так как lim хn= хо ⇔ ∀𝛿>0, а значит и для 𝛿(𝜀)>0 ∃N=N(𝛿(𝜀)) ∀n>N: │x - хо│< 𝛿.
𝑛→+∞
Тогда │f(хn)- L│< 𝜀 ⟺ ∀𝜀 >0 ∃N ∀n>N: │f(хn)- L│< 𝜀 ⟺ lim f(хn)=L ⟺ так как {хn}
𝑛→+∞
была выбрана произвольно: lim f(х)=(Г)L.
х→хо
2). (Г) ⟹ (К).
Дано: L=(Г) lim f(х).
х→хо
Докажем, что L=(К) lim f(х) ⟺ ∀𝜀 >0 ∃𝛿>0 ∀х (х∈Х, х≠ хо, │x - хо│< 𝛿) : │f(х)- L│< 𝜀
х→хо
Пусть L(К)≠ lim f(х) ⟺ ∃𝜀о>0 ∀𝛿>0 ∃х′ (х′∈Х, х′≠ хо, │x′ - хо│< 𝛿): │f(х′)- L│≥ 𝜀 о
х→хо
Тогда для 𝛿 1=1>0 ∃х1′ (х1′∈Х, х1′≠ хо, │x1′ - хо│< 𝛿 1=1): │f(х1′)- L│≥ 𝜀 о
1
1
для 𝛿 2=2>0 ∃х2′ (х2′∈Х, х2′≠ хо, │x2′ - хо│< 𝛿 2= 2): │f(х2′)- L│≥ 𝜀 о
..........................................................................................................................................
1
1
для 𝛿 n=n>0 ∃хn′ (хn′∈Х, хn′≠ хо, │xn′ - хо│< 𝛿 n=n): │f(хn′)- L│≥ 𝜀о
…………………………………………………………………………………………………...
Мы построили последовательность {х′n} такую, что:
1
1) ∀n: х′∈Х, 2) ∀n: х′≠ хо, 3) ∀n: │x′n - хо│< n
1
1
Покажем, что lim (хо− n )= lim (хn+n)= хо.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
27
А тогда по теореме о предельном переходе в неравенствах для трёх
последовательностей: lim x′n= хо.
𝑛→+∞
И для {f(х′n)} ⟹ │f(хn′)- L│≥ 𝜀о⟺ lim f(хn′)≠L.
𝑛→+∞
∀n: х′n ∈Х
′
Мы получили (К) ⟹ (Г) ⟺ ∃{х′n} ( ∀n: хn′ ≠ х0
Lim хn =
𝑛→+∞
х0
) : │f(хn′)- L│≥ 𝜀о
Следовательно, (Г) ⟹ (К).
§3. Арифметические свойства пределов функций.
Теорема 1.
Пусть f1(х) и f2(х) имеют общую стандартную область определения Х, точка хо лежит
внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и L1= lim f1(х),
х→хо
L2= lim f2(х).
х→хо
Тогда в точке хо имеет предел и функция f1(х)+ f2(х) и он равен L1+ L2.
Теорема 2.
Пусть f1(х) и f2(х) имеют общую стандартную область определения Х, точка хо лежит
внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть
L1= lim f1(х), L2= lim f2(х).
х→хо
х→хо
Тогда функция f1(х)· f2(х) имеет в точке хо предел lim f1(х)· f2(х) и он равен L1· L2.
х→хо
Теорема 3.
Пусть f1(х) и f2(х) имеют общую стандартную область определения Х, точка хо лежит
внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть
L1= lim f1(х), L2= lim f2(х), L2 ≠0.
х→хо
х→хо
f1(х)
L1
Тогда частное двух функций f2(х) в точке хо имеет предел, он равен L2.
Доказательство всех трёх теорем проводится с использованием определения
предела функции в точке хо в смысле Гейне и арифметических свойств сходящихся
последовательностей.
Докажем теорему 2.
Доказательство теоремы 2.
Рассмотрим функцию f1(х)· f2(х) на Х и возьмём произвольную
последовательность {хn} типа Гейне (∀n: хn∈Х, ∀n: хn≠ хо, lim хn= хо) и
𝑛→+∞
соответствующую последовательность значений функций f1(хn)· f2(хn).
(Г)
А так как по условию теоремы lim f1(х)= L1 ⇔ ∀{хn}, а значит и для нашей {хn} (∀n:
х→хо
хn∈Х, ∀n: хn≠ хо, lim хn= хо): lim f1(хn)= L1,
𝑛→+∞
(Г)
𝑛→+∞
lim f2(х)= L2 ⇔ ∀{хn}, а значит и для нашей {хn}: lim f2(хn)= L2.
х→хо
𝑛→+∞
А тогда по теореме о произведении двух сходящихся последовательностей:
28
lim f1(хn)· f2(хn)= lim f1(хn)· lim f2(хn)= L1·L2 ⟺ так как {хn} была вфбрана
𝑛→+∞
𝑛→+∞
𝑛→+∞
произвольно, то lim f1(х)· f2(х)= L1·L2.
х→хо
Теорема 4.
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, хо лежит внутри или
является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х) в точке хо имеет
предел L. Тогда он единственен.
Доказательство.
Пусть L=(Г) lim f(х). Утверждение теоремы непосредственно следует из
х→хо
определения предела функции в точке в смысле Гейне и единственности предела
сходящейся последовательности.
Теорема 5.
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, хо лежит внутри или
является концом одного из промежутков, образующих Х. f(х) в точке хо имеет
предел L ⟺ когда f(х) представима в виде ∀х∈Х: f(х)=L+φ(х), где lim φ(х)=0.
х→хо
Доказательство.
1. Необходимость.
Пусть lim f(х)= L. Обозначим f(х)- L = φ(х) ⟹ ∀х∈Х: f(х)= L+φ(х).
х→хо
Докажем, что lim φ(х)=0.
х→хо
𝑑𝑒𝑓
Действительно, lim f(х)=(К) L ⇔ ∀𝜀 >0 ∃𝛿>0 ∀х (∀х∈Х, х≠ хо, │x - хо│< 𝛿):
х→хо
𝑑𝑒𝑓
│φ(х)│=│f(х)- L│< 𝜀 ⇔ lim φ(х)=0.
х→хо
2. Достаточность.
Дано: ∀х∈Х: f(х)= L+ φ(х), где lim φ(х)=0.
х→хо
Докажем, что lim f(х)= L.
х→хо
По условию, ∀х∈Х: f(х)= L+ φ(х), то φ(х)= f(х)- L
𝑑𝑒𝑓
и т.к. lim φ(х)=0 ⇔ ∀𝜀 >0 ∃𝛿>0 ∀х (∀х∈Х, х≠ хо, │x - хо│< 𝛿):
х→хо
𝑑𝑒𝑓
│φ(х)│= │f(х)- L│<𝜀 ⇔ lim f(х)= L.
х→хо
Теорема 6. (об устойчивости знака функции, имеющей в точке предел)
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, хо лежит внутри или
является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х) имеет предел в
точке хо равный L≠0.
Тогда ∃-окрестность точки хо такая, что на множестве {(хо- 𝛿, хо)}∪{( хо, хо+ 𝛿)}∩Х
функция f(х) имеет тот же знак, что и L.
Доказательство.
Пусть lim f(х)= L, L≠0. Возьмём 𝜀=
х→хо
Тогда ∀𝜀 >0, а значит и для 𝜀=
│L│
│L│
│L│
2
│L│
2
>0.
>0, ∃𝛿>0 ∀х (∀х∈Х, х≠ хо, │x - хо│< 𝛿):│ f(х)-
│L│
L│< 𝜀= 2 ⟹ L− 2 <f(х)< L+ 2
1) Пусть L>0 ⟹ │L│=L.
L L
L
L
Тогда х∈{(хо- 𝛿, хо)}∪{( хо, хо+ 𝛿)}∩Х: 0<L- 2 = 2 <f(х)< L+ 2 ⟹ 0< 2 <f(х) ⟹
f(х)>0.
29
2) Пусть L<0. ⟹ │L│= - L.
L
L
3
∀х∈{(хо- 𝛿, хо)}∪{( хо, хо+ 𝛿)}∩Х: L+ <f(х)<L- ⟹ L<f(х) <
2
2
2
L
2
<0 ⟹
f(х)<0
Определение.
Функция f(х) называется ограниченной на множестве Х, если f(х) ограничена на
Х и снизу, и сверху.
Теорема 7. (о локальной ограниченности функции, имеющей в точке предел).
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, точка хо лежит внутри или
является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х) имеет в точке хо
предел, равный L. Тогда на множестве (хо – 𝛿, хо+ 𝛿)∩Х f(х) ограничена.
Доказательство.
(К)
lim f(х)= L ⇔ ∀𝜀 >0, а значит и для 𝜀=1>0 ∃𝛿>0 ∀х (∀х∈Х, х≠ хо, │x - хо│< 𝛿):
х→хо
│f(х)- L│<𝜀=1 ⟹ L-1<f(х)<L+1
а) Пусть хо∈Х.
Положим A=min{L-1, f(хo)},
B=max{L+1, f(хo)}.
Тогда ∀х∈(хо – 𝛿, хо+ 𝛿)∩Х: А≤f(х)≤В.
б) хо∉Х.
А=L −1
Положим
}Тогда ∀х∈(хо – 𝛿, хо+ 𝛿)∩Х: А≤f(х)≤В ⟹ f(х) ограничена.
В=L+1
§4. Предельный переход в неравенствах.
Теорема 1.
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, точка хо лежит внутри или
является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть lim f(х)= L.
х→хо
Если ∃ число В (число А) и если ∃ окрестность (хо – 𝛽, хо+ 𝛽) точки хо такая, что
∀х∈{(хо−𝛽, хо)}∪{( хо, хо+ 𝛽)}∩Х: f(х)≤В (соответственно, f(х)≥А), то и L≤В
(соответственно, L≥А).
Следствие.
Если ∀х∈Х: А≤f(х) ≤В и L= lim f(х), то А≤L≤В.
х→хо
Теорема 2.
Пусть функции f(х), g(х), h(х) имеют стандартную область определения Х, хо
лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х.
Если ∃ 𝛽- окрестность (хо – 𝛽, хо+ 𝛽) точки хо (𝛽>0) такая, что ∀х∈{(хо−𝛽, хо)}∪{(
хо, хо+ 𝛽)}∩Х: f(х)≤ h(х)≤ g(х) и lim f(х)= lim g(х)=L, то ∃ lim h(х)=L.
х→хо
х→хо
х→хо
Теорема 3.
Пусть f1(х) и f2(х) имеют стандартную область определения Х, хо лежит внутри
или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть L1= lim f1(х),
х→хо
L2= lim f2(х), и ∃ 𝛽- окрестность точки хо (хо – 𝛽, хо+ 𝛽) такая, что∀х∈{(хо−𝛽, хо)}∪{( хо,
х→хо
хо+ 𝛽)}∩Х: f1(х)≤f2(х), то L1≤ L2.
Теоремы 1, 2, 3 доказываются применением теорем главы 2 о предельном
переходе в неравенствах для последовательностей значений заданных функций.
30
Докажем теорему 2.
lim f(х)= lim g(х)=L.
х→хо
х→хо
Возьмём произвольную последовательность {хn} типа Гейне ⟺ ∀n: хn∈Х, ∀n: хn≠
хо, lim хn= хо.
𝑛→+∞
Так как lim хn= хо ⟺ ∀𝛽>0 ∃𝑛о ∀n>nо: │хn - хо│< 𝛽 ⟹ ∀n>nо: хn∈(хо – 𝛽, хо+ 𝛽) и,
𝑛→+∞
следовательно, по условию f(хn)≤ h(хn)≤ g(хn).
А так как lim f(хn)= lim g(хn)=L ⟹ lim h(хn)=L (по теореме о „жулике”).
𝑛→+∞
𝑛→+∞
𝑛→+∞
Последовательность {хn} типа Гейне была выбрана произвольной, то по
определению предела функции в точке в смысле Гейне lim h(х)=L.
х→хо
§5. Односторонние пределы функции в точке. (пределы слева и справа)
Определение.
Пусть функция f(х) имеет стандартную область определения Х, точка хо лежит
внутри или является правым (левым) концом одного из промежутков, образующих
Х.
Говорят, что f(х) имеет в точке хо предел слева (справа) равный L и пишут
lim f(х)=L (соответственно, lim f(х)=L), если
х→хо−
х→хо+
∀n: хn ∈Х
∀n: хn ≠ х0
(Г)1
∀{хn}((соотв. хn > х0 )) :
Lim хn = х0
𝑛→+∞
(К)1
∀𝜀 >0 ∃𝛿>0 ∀х
(х∈Х, хn<хо (соотв. хn>хо), │x - хо│< 𝛿):
│f(х)- L│< 𝜀
Lim f(хn)=L
𝑛→+∞
Так же, как и для обычных пределов (Г)1 и (К)1 эквивалентны.
Односторонние пределы обладают такими же простейшими арифметическими
свойствами - свойствами, связанными с неравенствами, что и обычные пределы (во всех
случаях в доказательстве надо заменит хn≠ хо неравенствами хn< хо (хn>хо) или х< хо
(соответственно х>хо)
Теорема.
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х и точка хо лежит внутри
или является концом одновременно двух смежных промежутков из Х, и пусть в
точке хо f(х) имеет равные односторонние пределы: lim f(х)= lim f(х)=L (1).
х→хо−
х→хо+
Тогда в точке хо f(х) имеет предел, и он равен L.
Доказательство.
Докажем, что lim f(х)=L.
х→хо
Из (1) следует, что ∀𝜀 >0 ∃𝛿 1>0 ∀х (х∈Х, х< хо, │x - хо│< 𝛿 1): │f(х)- L│< 𝜀 (2).
Из (1) следует, что ∀𝜀 >0 ∃𝛿 2>0 ∀х (х∈Х, х>хо, │x - хо│< 𝛿 2): │f(х)- L│< 𝜀 (3).
Возьмём произвольное ∀𝜀 >0 и зафиксируем его.
31
Положим 𝛿=min{ 𝛿 1, 𝛿 2}>0.
Тогда ∀х (х∈Х, х≠ хо, │x - хо│< 𝛿): │f(х)- L│< 𝜀, так как х≠ хо, то либо х< хо и тогда
справедливо (2), либо х>хо и тогда справедливо (3).
§6. Пределы функций на бесконечности.
Примеры.
1. y= f(х)=arctg(x), Х=(−∞, +∞).
𝜋
𝜋
При х→ −∞ y→ − 2 , при х→+∞ y→ 2 .
1
2. y= f(х)= 2 , Х=(−∞, +∞). y→0 при х→ ±∞.
1+х
О таких функциях в этом параграфе и пойдёт разговор.
Определение.
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, и пусть множество Х
неограниченно сверху (Х неограниченно снизу).
Говорят, что число L является пределом функции f(х) при х→+∞
(соответственно, при х→ −∞) и пишут lim f(х)=L (соответственно, lim f(х)=L),
х→+∞
если
(Г)2
х→−∞
(К)2
∀n: хn ∈Х
Lim хn = +∝
𝑛→+∞
∀{хn} (
(соотв. Lim хn = −∝)
𝑛→+∞
):
lim f(хn)=L
𝑛→+∞
∀𝜀 >0 ∃D>0 ∀х (х∈Х, х>D):
│f(х)- L│< 𝜀
(соотв. х<D): │f(х)- L│< 𝜀
Определения (Г)2 и (К)2 эквивалентны.
(Г)2 и (К)2 обладают всеми свойствами пределов функций, арифметическими и
другими.
Замечание.
Неограниченная сверху область определения Х функции f(х) может содержать
промежуток [a, +∞) или (a, +∞), но необязательно, а неограниченная снизу область
определения Х функции f(х) - промежутки (−∞, b] или (−∞, b), и тоже
необязательно.
Например.
1
1. f(х)=х , Х=(−∞, 0)∪(0, +∞).
1
2. f(х)=sin х, Х=⋃𝑛∈ℤ( 𝜋𝑛, 𝜋(n+1))
§7. Функции, стремящиеся к бесконечности. (Бесконечно большие функции.)
1
1. f(х)= , Х=(−∞, 0)∪(0, +∞). При х→0 f(х)→ +∞
│x │
2. f(х)=х3, Х=( −∞, +∞). При х→ −∞ f(х)→ −∞, при х→+∞ f(х)→+∞.
Определение.
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, точка хо лежит внутри или
является концом одного из промежутков, образующих Х.
32
Говорят, что f(х) стремится к +∞ (к −∞) при х→ хо и пишут lim f(х)= +∞
х→хо
(соответственно, lim f(х)= −∞), если
х→хо
(Г)3
(К)3
∀{хn}
(
∀n: хn ∈Х
∀n: хn ≠ х0
)∶
∀Е>0 ∃𝛿>0 ∀х (х∈Х, х≠ хо, │x - хо│< 𝛿):
Limхn = +∝
f(х)>Е
(соотв. f(х)< −Е)
lim f(хn)= +∞
𝑛→+∞
(соотв. lim f(хn)= −∞)
𝑛→+∞
Определения (Г)3 и (К)3 эквивалентны. (Г)3 и (К)3 обладают всеми свойствами
пределов функций.
Аналогично определяются:
lim f(х)= +∞
lim f(х)= +∞
х→хо−
х→хо+
lim f(х)= −∞
lim f(х)= −∞
х→хо−
х→хо+
Замечание.
Иногда рассматривают функцию f(х), стремящуюся к ∞ при х→+∞, при х→ −∞, и
стремящуюся к +∞ и к −∞ на бесконечности.
Например.
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, Х –неограниченно снизу,
тогда lim f(х)= +∞ определяется так:
х→−∞
(Г)4
(К)4
∀n: х ∈Х
∀{хn} ( Lim х n= −∞) :
n
𝑛→+∞
∀Е>0 ∃D>0 ∀х (х∈Х, х<−D):
𝑑𝑒𝑓
lim f(хn)= +∞ ⇔
f(х)>Е
𝑛→+∞
∀Е>0 ∃𝑁 ∀n>N: f(хn)>Е
§8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
I. Определение.
Пусть 𝓊(х) имеет стандартную область определения Х и точка хо лежит внутри
или является концом одного из промежутков, образующих Х.
Функция 𝓊(х) называется бесконечно малой при х→ хо, если lim 𝓊(х)=0.
х→хо
Определение.
Пусть 𝓊(х) и 𝓋(х) имеют общую стандартную область определения Х, и обе
являются бесконечно малыми при х→ хо.
Говорят, что б.м. 𝓊(х) и 𝓋(х) при х→ хо имеют один и тот же порядок малости и
𝓊(х)
пишут 𝓊(х)=Оx→xo[𝓋(х)], если lim 𝓋(х)=L≠0.
х→хо
Замечание.
𝓊(х)
Мы в данном случае предполагаем, что отношение 𝓋(х) определено на Х∩(хо-h,
хо+h), h>0, то есть 𝓋(х) ≠0 несмотря на то, что lim 𝓋(х)=0.
х→хо
Определение.
Говорят, что две б.м. 𝓊(х) и 𝓋(х) при х→ хо эквивалентны, если lim
𝓊(х)
х→хо 𝓋(х)
=1.
33
Определение.
Говорят, что б.м. 𝓊(х) при х→ хо имеет более высокий порядок малости
𝓊(х)
̿ х→хо[𝓋(х)].
относительно б.м. 𝓋(х) при х→ хо, если lim 𝓋(х)=0 и пишут 𝓊(х)=О
х→хо
Определение.
Говорят, что б.м. 𝓊(х) при х→ хо имеет порядок малости равный р относительно
𝓊(х)
б.м. 𝓋(х) при х→ хо, если lim 𝓋^p(х)=L≠0 и пишут 𝓊(х)= Оx→xo[𝓋 р(х)].
х→хо
Определение.
Если не существует lim
𝓊(х)
𝓊(х)
, и функция 𝓋(х) ↛ ∞ при х→ хо, то говорят, что б.м.
х→хо 𝓋(х)
𝓊(х) и 𝓋(х) при х→ хо несоизмеримы.
Примеры.
1. 𝓊(х)=х и 𝓋(х)=│x│ при х→0 несоизмеримы.
2. 𝓊(х) и │𝓊(х)│ - б.м., при х→ хо несоизмеримы.
4
3
3. f(х)=х и g(х)=х· √х - б.м. при х→0 ⟹ g(х)= Оx→0[х3 ] ⟹ р=4⁄3 – порядок
малости при х→0 относительно х.
II. Бесконечно большие –б.б.
Пусть 𝒰(х) и 𝒱(х) – бесконечно большие функции при х→ хо.
Определение.
Говорят, что б.б. 𝒰(х) и 𝒱(х) имеют один и тот же порядок роста при х→ хо и
𝒰(х)
пишут 𝒱(х)= Оx→xo[𝒰(х)], если lim 𝒱(х) =L ≠0.
х→хо
Определение.
Говорят, что б.б. 𝒰(х) имеет порядок роста равный р относительно 𝒱(х) при х→
𝒰(х)
хо, если lim 𝒱^𝑝(х)=L≠0 и пишут 𝒰(х)= Оx→xo[𝒱р(х)].
х→хо
Определение.
Говорят, что б.б. 𝒰(х) более высокого порядка роста относительно б.б. 𝒱(х) при
𝒰(х)
х→ хо, если lim 𝒱(х) =∞.
х→хо
§9. Специальные пределы функций.
I.
lim
𝓊→0
sin 𝓊
𝓊
=1
sin 𝓊
Функция f(𝓊)= 𝓊 определена на Х=(−∞, 0)∪(0, +∞), точка 𝓊о=0 является
концом одновременно двух смежных промежутков из Х. так как рассматриваем
sin 𝓊
lim 𝓊 , то достаточно рассмотреть этот предел для сужения нашей функции f(𝓊), то
𝓊→0
sin 𝓊
𝜋
𝜋
есть для функции 𝓊 , 𝓊 ∈(− 2 , 0)∪(0, 2 ).
Рассмотрим каждый интервал отдельно.
𝜋
1. 𝓊 ∈ (0, 2 ) ⟹ sin 𝓊>0, tg 𝓊>0.
34
y
D
B
u
0
C
1
u
̂ и △А0D.
Вычислим площадь треугольника △А0В, сектора А0В
̂ ⊂△А0D.
△А0В⊂ А0В
̂ <пл. △А0D.
пл. △А0В<пл. А0В
1
1
1
Из элементарной геометрии: 2·1·sin 𝓊<2·1·𝓊<2·1· tg 𝓊
𝓊
1
sin 𝓊< 𝓊< tg 𝓊 и т.к. sin 𝓊>0, то 1<sin 𝓊<cos 𝓊 ⟹ cos 𝓊<
lim cos 𝓊= cos 0=1
sin 𝓊
𝓊
<1.
𝒰→0
Тогда по теореме о предельном переходе в неравенствах для трёх функций
sin 𝓊
lim 𝓊 =1
𝒰→0+
2.
𝜋
𝜋
𝜋
𝓊 ∈ (− 2 , 0) ⟹ − 2 < 𝓊<0 ⟹ 0<(−𝓊)< 2 ⟹ cos(−𝓊)<
Согласно чётности cos 𝓊 и нечётности sin 𝓊: cos 𝓊<
lim
sin 𝓊
𝒰→0−
lim
𝒰→0
=1 ⟹ lim
𝓊
sin 𝓊
𝓊
sin 𝓊
𝒰→0−
𝓊
= lim
𝒰→0+
sin 𝓊
𝓊
sin 𝓊
𝓊
sin(−𝓊)
−𝓊
<1.
<1.
=1 ⟹ согласно теореме §5 получаем
=1.
lim(1 + 𝑧)1/z = 𝑒
II.
𝑧→0
1
Рассмотрим g(х)=(1 + )х ; Х=(−∞, −1)∪(0, +∞) – стандарстная область
х
определения функции g(х).
1
1
Докажем, что lim (1 + х )х= lim (1 + х )х=e.
х→−∞
х→+∞
1
Для этого сначала докажем, что lim (1 + х )х = 𝑒 ⟺ ∀𝜀>0 ∃D>0 ∀х (х∈Х, х>D):
х→+∞
1
│(1 + х )х+1 − 𝑒│< 𝜀.
1
(1+ )х+1
А так как g(х)=
х
1
1+
х
e
, то lim g(х)=1=e
х→+∞
1. Возьмём произвольное 𝜀>0 и зафиксируем его. Ищем D>0.
35
1 𝑛
𝑑𝑒𝑓
lim (1 + 𝑛) =e ⇔ ∀𝜀>0, а значит и для нашего фиксированного 𝜀>0 ∃N1
𝑛→∞
1 𝑛
∀n> N1: │(1 + 𝑛) −e│<𝜀.
1 𝑛
1 𝑛
e−𝜀<(1 + 𝑛) ≤e=sup{(1 + 𝑛) } (*)
1 2
𝑑𝑒𝑓
1 2
𝜀
𝜀
А так как lim (1 + 𝑛) =1 ⇔ ∀𝜀>0, e>0, ∃N2 ∀n>N2: │(1 + 𝑛) − 1│<e ⟹
𝑛→+∞
1 2
𝜀
1 2
𝜀
𝜀
1− e<(1 + 𝑛) < 1 + e ⟹ (1 + 𝑛) <1+e (**)
Положим N=max{N1, N2}, D=N+1>0.
Тогда ∀х>D и [х]=n получаем n≤х<n+1 ⟹ n>N≥N1 и n>N≥N2
1
e − 𝜀< (1 + 𝑛+1)
𝑛+1
1 х+1
< (1 + х )
1 𝑛+2
< (1 + 𝑛)
1 𝑛
1 2
𝜀
= (1 + 𝑛) (1 + 𝑛) <(∗),(∗∗) e(1+ e)=e+ 𝜀
⟹
1
2. Докажем, что │(1 + х )х+1 − 𝑒│<𝜀
1
lim (1 + х )х =e.
х→−∞
Используем определение (Г)2.
Возьмём произвольную последовательность {xn} типа Гейне (∀n:
хn∈Х lim хn=−∞) и проверим, что lim g(х)=e.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
Так как Х=(−∞, −1)∪(0, +∞), то не ограничивая общности можно считать, что
∀n: xn<−1<0, то есть xn∈(−∞, −1). Рассмотрим последовательность {xn’}, где ∀n:
xn’= − xn>1>0 lim xn’=+∞.
𝑛→+∞
1
1
xn’−1
xn’
xn’−1+1
∀n: g(xn)= (1 + xn)xn=(1 − xn’)−xn’ =( xn’ )−xn’ =(xn’−1)xn’ =( xn’−1 )xn’ =(1
1
1
1
1
)xn’ =(1 + xn’−1)xn’−1 (1 + xn’−1)=g(xn’−1) (1 + xn’−1)
xn’−1
+
В силу выбора последовательности {xn}, последовательность {xn−1} обладает
свойствами:
1. ∀n: xn’−1=−xn−1∈(0, +∞)⊂Х
2. lim (xn’−1)=+ ∞ (ибо lim хn=−∞)
𝑛→+∞
𝑛→+∞
1
А тогда по доказанному в п.1 lim g(хn)= lim g(xn’−1) (1 + xn’−1)=e.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
А так как последовательность была выбрана произвольно, то lim g(хn)
𝑛→−∞
III.
(Г)
=𝑒 .
h(z)= (1 + 𝑧)1/z , Z==(−1, 0)∪(0, +∞).
Докажем, что lim h(z)= lim(1 + 𝑧)1/z =e.
𝑧→0
𝑧→0
Для этого докажем, что lim h(z)= lim h(z)=e.
𝑧→0−
𝑧→0+
Замечание.
Справедливы следующие утверждения.
Докажите их самостоятельно.
Утверждение 1.
Если последовательность {yn} такова, что lim yn=+∞, то последовательность
𝑛→+∞
1
{yn}имеет смысл, и она бесконечно малая, то есть lim
1
=0.
𝑛→+∞ yn
Утверждение 2.
1
Если последовательность{yn} такова, что ∀n: yn>0 (∀n: yn<0) и lim yn=0, то {yn}
бесконечно большая, то есть lim
1
𝑛→+∞ yn
= +∞ (соответственно, lim
𝑛→+∞
1
𝑛→+∞ yn
= −∞)
36
Вернёмся к функции h(z).
Надо доказать, что lim h(z)=e, lim h(z)=e.
𝑧→0−
𝑧→0+
1
Возьмём произвольную последовательность {zn} такую, что ∀n: zn>0 и ∀n: хn=zn и
lim zn=0 ⇒
𝑛→+∞
lim
1
утв.2 𝑛→+∞ zn
= lim хn=+∞.
𝑛→+∞
Рассмотрим последовательность соответствующих значений функции h(z):
1
{h(z)}= {(1 + zn)1/zn }={(1 + хn )1/хn }={g(хn)}.
(Г)
Но, следовательно, lim h(zn)= lim g(хn)=e ⇔ lim h(z)=e.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
Аналогично доказывается, что lim h(z)=e.
𝑧→0+
𝑧→0−
А тогда из равенства lim h(z)= lim h(z)=e по теореме §5 следует, что lim(1 + 𝑧)1/z=e.
𝑧→0+
𝑧→0−
𝑧→0
Глава 4. Непрерывность функции.
§1. Определение непрерывной функции.
Примеры.
1. f(x)=x2+1,
X=(−∞, +∞)
y
1
0
x
37
x 2 + 1, x ≠ 0
2. f(x) ={
0, 𝑥 = 0
X=( −∞, +∞)
y
1
0
x
3. f(x)=x2+1,
X=( −∞, 0) ∪ (0, +∞)
38
y
1
0
4.
1
,x
|x|
f(x)={
x
≠0
0, x = 0
X=( −∞, +∞)
y
0
x
1
sin , x > 0
5. f(x)={ x
0, x ≤ 0
X=( −∞, +∞)
39
y
-1
0
-1
x
Определение.
Говорят, что функция f(x) со стандартной областью определения X непрерывна в
точке xо, если
(1) xо∈ X
(2) ∃ lim f(x)
х→xо
(3) lim f(x)= f(xо)
х→xо
Расшифровка определения непрерывности функции в точке.
I (1). xо∈ X, (2) - (3) в смысле Гейне
∀{хn} ∀n: хn∈Х
lim хn= хо
: lim f(xn) = f(xо)
𝑛→+∞
𝑛→+∞
II (1). xо∈ X, (2) – (3) в смысле Коши
∀𝜀 >0 ∃𝛿>0 ∀х (х∈Х, │x - хо│< 𝛿): │f(х)- f(xо)│< 𝜀
III Зафиксируем точку xо∈ X и возьмём приращение (смещение) △x такое, чтобы
xо+△x∈ X. Пусть xо+h= xо+△x=x ⟹ h=△x=x- xо ⟹ f(x)= f(xо+h)= f(xо+△x)
(1) xо∈ X, (2) – (3) означает, что
∀𝜀 >0 ∃𝛿>0 ∀h (xо+h∈Х, |h|< 𝛿): │f(xо+h) – f(xо) │< 𝜀 ⟺ lim f(xо+△x)= f(xо)
ℎ→0
IV Зафиксируем xо∈ X и сместимся из точки xо в точку x= xо+ △x ∈X, не покидая X.
Обозначим через △f=△f(xо; △x)= f(xо+△x) –f(xо) – приращение функции, вызванное
смещением △x из точки xо.
(1) xо∈ X, (2) – (3): lim △f (xо; △x)= lim △f(xо; h)=0.
△x →0
ℎ→0
Определение.
40
Функция f(x) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой
точке X.
Определение.
Точка xо называется точкой разрыва функции f(x), если
либо xо∉ X, но является концом одновременно двух смежных промежутков из X;
либо xо∈ X, но ∄ lim f(x);
х→xо
либо xо∈ X, ∃ lim f(x), но lim f(x)≠ f(xо).
х→xо
х→xо
Определение.
Функция f(x) называется непрерывной, если она не имеет точек разрыва как
принадлежащих X, так и не принадлежащих X.
Примеры.
1
1. f(x)=x, X=(–∞, 0)∪(0, +∞).
f(x) непрерывна на X, но xо=0 – точка разрыва функции f(x).
2. f(x)=ln x, X=(0, +∞)
f(x) непрерывна на X и f(x) непрерывная функция.
1) Докажем сначала, что f(x) непрерывна на X.
Возьмём произвольное x∈X и дадим ему приращение △x такое, чтобы xо+△x∈X
x+△x
△x
△x
△x
⟹ △f(x; △x)=ln(x +△ x)–ln x=ln x =ln(1 + x ). Но ln(1 + x )~ x при △x→0
lim △f(x; △x)= lim
△x →0
△x
△x →0 x
=0 ⟹ По расшифровке IV ln x непрерывен в точке x ⟹
ln x непрерывен на (0, +∞)=X.
2) Но точек разрыва у ln x нет, следовательно, f(x)=ln x – непрерывная функция.
§2. Классификация точек разрыва функции.
Определение.
Точка разрыва xо функции f(x) называется точкой разрыва I-го рода, если
(А). xо∈ X и xо лежит внутри одного из промежутков, образующих X, и в точке xо
существуют односторонние пределы функции f(x), то есть ∃ lim f(x) и ∃ lim f(x).
х→xо−
х→xо+
41
y
0
x
y
0
x
(В). xо∈ X и является концом только одного промежутка из X, и в точке xо существует
соответствующий единственные односторонний предел функции и он не равен значению
f(xо).
(С). xо∉ X, но является концом одновременно двух смежных промежутков из X и в
точке xо ∃ lim f(x) и ∃ lim f(x).
х→xо−
х→xо+
42
y
x
0
y
0
x
Определение.
Точка разрыва I-го рода называется точкой устранимого разрыва, если ∃ lim f(x).
х→xо
Слово устранимый означает, что можно взять такую функцию g(x), которая всюду
совпадает с f(x), кроме точки xо, и g(x) непрерывна в точке xо.
Определение.
Любая точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва I-го рода, называется точкой
разрыва II-го рода.
Примеры.
1
1. f(x)=|x|, (–∞, 0)∪(0, +∞)
lim f(x)=+∞, lim f(x)=+∞
х→xо−
х→xо+
43
y
0
2. f(x)={
x
0, x ≤ 0
1
X=(−∞, +∞)
sin x , x > 0
y
-1
0
-1
x
Точка xо=0 является точкой разрыва II-го рода.
Определение.
Говорят, что функция f(x) со стандартной областью определения X непрерывна справа
(слева) в точке xо, если
44
(1) xо∈ X
(2) ∃ lim f(x)
х→xо+
(соотв. ∃ lim f(x) )
х→xо−
(3) lim f(x)= f(xо) (соотв. lim f(x)= f(xо) )
х→xо+
х→xо−
§3. Простейшие свойства непрерывных функций.
Теорема 1. (Об арифметических свойствах непрерывных функций.)
Пусть функции f1(x) и f2(x) имеют общую стандартную область определения X, и обе
эти функции непрерывны в точке xо.
Тогда в точке xо непрерывны и функции:
1. f1(x)± f2(x)
2. f1(x)· f2(x)
f1(x)
3. Если f2(xо)≠0, то в точке xо непрерывна и функция f2(x)
Доказательство.
Докажем теорему 1 для функции f1(x)−f2(x).
Функция f1(x) определена на X1, f2(x) определена на X2 и X=X1∩X2.
Для функции f1(x)−f2(x) проверим выполнение всех трёх условий непрерывности
функции в точке xо.
(1). xо∈ X.
f1(x), f2(x) непрерывны в точке xо ⟹ xо∈ X1, xо∈ X2 ⟹ xо∈ X.
∃ lim f1(x)
f1(x)непрерывна в т. xо
(2).
⟹ х→xо
⟹ ∃ lim [f1(x) − f2(x)]
∃ lim f2(x)
х→xо
f2(x)непрерывна в т. xо
х→xо
согласно арифметическим свойствам предела функции.
lim f1(x) = f1(xо)
(3). х→xо
⟹ lim (f1(x) − f2(x))= f1(xо) −f2(xо)
lim f2(x) = f2(xо)
х→xо
х→xо
Все три условия выполнены, следовательно, функция f1(x)−f2(x) непрерывна в точке
xо.
Определение.
Пусть f(z) имеет стандартную область определения Z, функция φ(x) имеет
стандартную область определения X, и пусть ∀x∈ ̃
X ⊂X: φ(x)∈Z.
̃
Тогда функция F(x)=f(φ(x)), определённая на X, называется сложной функцией или
суперпозицией функций z=φ(x) и y=f(z).
Теорема 2. (О непрерывности сложной функции.)
Пусть функции f(z), φ(x) и F(x) имеют стандартные области определения Z, X и ̃
X ⊂X
соответственно, и пусть f(z) непрерывна в точке zо∈Z, zо= φ(xо), φ(x) непрерывна в точке
xо. Тогда F(x) непрерывна в точке xо.
Доказательство.
Воспользуемся I-ой расшифровкой определения непрерывности.
̃
F(x) непрерывна в точке xо ⟺ (1) xо∈ X
̃, lim хn= хо : lim F(xn)= F(xо) .
(2)-(3) ∀{хn} ∀n: хn∈ X
𝑛→+∞
𝑛→+∞
Возьмём произвольную последовательность {хn} такую, что ∀n: хn∈ ̃
X, lim хn= хо.
𝑛→+∞
Тогда ∀n: φ(xn)=zn∈Z и lim zn=zо, так как в силу непрерывности φ(x) в точке xо
𝑛→+∞
lim zn= lim φ(xn)= φ(xо)= zо.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
45
А так как f(z) непрерывна в точке zо, то lim f(zn)= f(zо) ⟹
𝑛→+∞
lim f(zn)= lim f(φ(xn))=f(φ(xо)) или lim F(xn)= F(xо).
𝑛→+∞
𝑛→+∞
𝑛→+∞
Теорема 3. (О сохранении знака непрерывной функции.)
Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, f(x) непрерывна в точке xо и
пусть f(xо)≠0.
Тогда ∃ -окрестность (xо – 𝛿, xо+ 𝛿) точки xо такая, что на множестве X∩(xо – 𝛿, xо+ 𝛿)
f(x) отлична от нуля и имеет тот же знак, что и f(xо).
Доказательство.
|f(xо)|
f(x) непрерывна в точке xо ⟺ xо∈ X ∀𝜀>0, а значит и для 𝜀 = 2 >0 ∃𝛿 >0 ∀x (x∈ X,
|f(xо)|
|f(xо)|
|f(xо)|
│x - хо│< 𝛿): │f(x) –f(xо)│< 𝜀= 2 ⟹ f(xо) – 2 <f(x)< f(xо)+ 2 .
1. Пусть f(xо)>0 ⟹ │f(xо)│= f(xо).
f(xо)
f(xо)
f(xо)
3
Тогда ∀x∈(xо – 𝛿, xо+ 𝛿)∩X: f(xо) –
<f(x)< f(xо)+
⟹0<
< f(x)< f(xо)
2
2
2
2
⟹ ∀x∈(xо – 𝛿, xо+ 𝛿)∩X: f(x)>0.
2. Пусть f(xо)<0 ⟹ │f(xо)│= –f(xо).
f(xо)
f(xо)
f(xо)
3
f(xо)
∀x∈(xо – 𝛿, xо+ 𝛿)∩X: f(xо)+ 2 <f(x)< f(xо) – 2 = 2 <0 ⟹ 2f(xо)< f(x)< 2 <0.
Теорема 4. (О локальной ограниченности непрерывной функции.)
Пусть f(x) имеет стандартную область определения X и непрерывна в точке xо.
Тогда существует такая окрестность точки xо, в которой f(x) ограничена.
Доказательство.
(К)
f(x) непрерывна в точке xо ⇔ xо∈ X, ∀𝜀>0, а значит и для 𝜀=1>0, ∃𝛿= 𝛿(1)>0 ∀x (x∈ X,
│x - хо│< 𝛿): │f(x) –f(xо)│< 𝜀=1 ⟹ f(xо) –1<f(x)< f(xо)+1.
Положим А=f(xо) –1, В=f(xо)+1.
Тогда ∀x∈(xо – 𝛿, xо+ 𝛿)∩X: А≤f(x)≤В ⟹ f(x) ограничена на множестве (xо – 𝛿,
xо+ 𝛿)∩X.
Множество (xо – 𝛿, xо+ 𝛿)∩X является окрестностью точки xо, может быть и
односторонней, так как X – стандартная область определения.
§4. Некоторые свойства непрерывных функций на промежутке.
Теорема 1. (О промежуточных значениях непрерывной функции.)
Пусть f(x) определена на промежутке X ненулевой длины, и f(x) непрерывна на X.
Пусть a∈X, b∈X и a<b; f(a)=А, f(b)=В и А≠В.
Тогда каково бы не было действительное число С, заключённое между А и В, на
отрезке [a, b] существует точка с такая, что f(с)=С.
Доказательство.
I случай. Пусть А<0, В>0, С=0.
Докажем, что ∃с∈[a, b]: f(с)=0.
Положим a1=a, b1=b.
f(a1)=А<0, f(b1)=В>0.
Разделим отрезок [a1, b1] пополам. Тогда возможны два случая:
a1+b1
a1+b1
либо f( 2 )=0 и с= 2 , f(с)=0;
a1+b1
a+b
2
2
либо f(
)≠0 (f(
)≠0).
46
Если f(
a1+b1
a1+b1
a1+b1
2
2
2
)>0, то рассмотрим [a2, b2]= [a1,
a1+b1
отрезок [a2, b2]= [
2
a2+b2
2
)<0, то рассмотрим
, a1] ⟹ f(a2)<0, f(b2)>0.
Разделим отрезок [a2, b2] пополам. Тогда либо f(
f(
], если f(
a2+b2
2
)=0 и теорема доказана; либо
)≠0 и мы возьмём так же, как и на первом шаге отрезок [a3, b3]⊂[a2, b2]⊂[a1, b1],
1
1
дл.[a3, b3]=2(b2–a2)= 2дл.[a2, b2], f(a3)<0, f(b3)>0.
Продолжим этот процесс. Тогда либо на конечном шаге мы найдём нужную точку
с∈[a1, b1]= [a, b]: f(с)=0, либо мы построим последовательность вложенных отрезков
1
b1−a1
[an, bn] таких, что ∀n: дл.[an, bn]=2n−1 дл.[a1, b1]= 2n−1 и f(an)<0, f(bn)>0.
Тогда по теореме о вложенных отрезках
∃ lim an= lim bn=с ⟹ ∀n: с∈[an, bn] ⟹ с∈[a1, b1]= [a, b].
𝑛→+∞
𝑛→+∞
А так как f(x) непрерывна на промежутке X, [a, b]⊂X, то f(x) непрерывна на [a, b], а,
следовательно, и в точке с ⟹ lim f(an)= lim f(bn)= f(с).
𝑛→+∞
𝑛→+∞
Но согласно теореме о предельном переходе в неравенствах для одной
последовательности f(an)<0 ⟹ f(с)≤0 и f(bn)>0 ⟹ f(с)≥0 ⟹ f(с)=0.
II случай. Пусть А<В.
Докажем, что ∀С: А<С<В ∃с∈[a, b]: f(с)=С.
Рассмотрим функцию f1(x)= f(x) –С. Она непрерывна на X по теореме об
арифметических свойствах непрерывных функций.
А–С= f(a) –С= f1(a)<0, f1(b)=В –С= f(b) –С>0.
Тогда выполняются условия I-го случая ⟹ ∃с∈[a, b]: f1(с)=0 ⟹ f1(с)= f(с) –С=0 ⟹
f(с)=С.
III случай. Пусть А>В.
Тогда ∀С: В<С<А ∃с∈[a, b]: f(с)=С.
Рассмотрим функцию f2(x)= – f(x).
Из условия –В> –С> –А следует f2(a)= – f(a)= –А< –С< –В= f2(b)= – f(b).
f2(x) непрерывна на X, следовательно, и на [a, b]. Для неё выполняются условия случая
II.
f2(a)= –А, f2(b)= –В ⟹ ∃с∈[a, b]: f2(с)= –С=–f(с) ⟹ f(с)=С.
Замечание 1.
Теорема 1, в частности, верна и когда X=[a, b] и f(x) непрерывна на [a, b].
Замечание 2.
Для функции, заданной на стандартной области определения X, состоящей из
нескольких промежутков, и непрерывной на X, теорема 1 применима к каждому
промежутку отдельно.
Замечание 3.
Содержание теоремы 1 кратко состоит в том, что если X – промежуток и f(x)
непрерывна на нём, то область значения f(x) Y={y; y= f(x), х∈Х} так же промежуток ( то
есть непрерывная функция отображает промежуток на промежуток).
Теорема 2. (Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности функции непрерывной
на отрезке.)
Любая функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нём.
Доказательство.
Пусть f(x) определена на [a, b], a<b. f(x) непрерывна на [a, b].
1. Докажем, что f(x) ограничена на [a, b] сверху ⟺ ∃М ∀x∈ [a, b]: f(x)≤М.
Предположим, что это не так, то есть ∀М ∃x´∈[a, b]: f(x´)>М.
Тогда для М=1 ∃x1´∈[a, b]: f(x1´)>1
для М=2 ∃x2´∈[a, b]: f(x2´)>2
47
……………………………….
для М=n ∃xn´∈[a, b]: f(xn´)>n
……………………………….
Мы построили последовательность {xn´} такую, что ∀n: xn´∈[a, b], и {f(xn´)} такова,
что lim f(xn´)=+∞.
𝑛→+∞
Проверим, что {f(xn´)} стремится к +∞.
𝑑𝑒𝑓
lim f(xn´)=+∞ ⇔ ∀E>0 ∃N ∀n>N: f(xn´)>E.
𝑛→+∞
Возьмём произвольное E>0 и зафиксируем его. Тогда по аксиоме Архимеда ∃N –
натуральное число такое, что N>E.
Тогда ∀n>N: f(xn´)>n>N>E ⟹ ∀n>N: f(xn´)>E.
А так как ∀n: xn´∈[a, b], то {xn´} ограничена, а тогда по теореме БольцаноВейерштрасса у неё существует сходящаяся подпоследовательность {xnk´}.
Пусть lim xnk´=с, а так как ∀k: a≤ xnk´≤b, то по теореме о предельном переходе в
𝑛→+∞
неравенствах для одной последовательности получаем a≤с≤b ⟹ с∈[a, b].
(Г)
Но по условию теоремы f(x) непрерывна на [a, b], следовательно, и в точке с ⇔
lim f(xn´)= f(с) и мы пришли к противоречию, так как любая подпоследовательность
𝑛→+∞
последовательности, стремящейся к +∞, стремится к +∞.
2. Пусть f(x) непрерывна на [a, b].
𝑑𝑒𝑓
Докажем, что f(x) ограничена на [a, b] снизу ⇔ ∃m ∀x∈ [a, b]: m≤f(x).
Рассмотрим функцию g(x)= –f(x). По арифметическим свойствам непрерывной
функции, g(x) непрерывна на [a, b] и по доказанному в п.1, g(x) ограничена сверху на
[a, b], то есть ∃М ∀x∈ [a, b]: g(x)≤M, ибо g(x)= –f(x)≤M ⟹ f(x)≥–M=m ⟹ ∀x∈ [a, b]:
f(x)≥m.
Следовательно, f(x) ограничена на [a, b] и сверху и снизу ⟹ f(x) ограничена на [a, b].
Замечание 1.
Теорема 2 не распространяется на функции, непрерывные на промежутках другого
вида.
Примеры.
1
1. f(x)=x, X=(0, 1). f(x) непрерывна на (0, 1), но не ограничена на интервале (0, 1)
сверху.
2. f(x)=x2, X=(–∞, +∞). f(x) непрерывна на (–∞, +∞), но не ограничена на (–∞, +∞)
сверху.
Замечание 2.
Если f(x) имеет стандартную область определения X и непрерывна на X, то теорема 2
применяется к сужению непрерывной функции f(x) на любом отрезке [a, b]⊂X, и эта
функция сужения на [a, b] ограничена на [a, b].
Теорема 3.(Вторая теорема Вейерштрасса о достижении функцией, непрерывной на
отрезке, своих точных граней.)
Любая функция, непрерывная на отрезке, достигает на нём своих точных, верхней и
нижней, граней.
Доказательство.
Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a, b], a<b. Тогда, согласно первой теореме
Вейерштрасса, f(x) ограничена на [a, b].
А тогда ∃sup[a, b] f(x)=Mo и ∃inf[a, b] f(x)=mо.
48
а) предположим, что ∀x∈ [a, b]: 𝑓(𝑥) ≠ 𝑀𝑜.
Тогда функция 𝜑(x)=
1
>0 и непрерывна на [a, b] как частное двух непрерывных
Mo−f(x)
функций. Согласно теореме 2, 𝜑(x) ограничена на [a, b] ⟺ ∃𝜇>0 ∀x∈ [a, b]: │𝜑(x)│≤ 𝜇 ⟹
1
1
1
0<Mo−f(x) ≤ 𝜇 ⟹ Mo–f(x)≥ M ⟹ ∀x∈ [a, b]: f(x)≤ Mo–M.
Это противоречит тому, что Mo= sup[a, b] f(x).(Вспомним, что sup[a, b] f(x) – наименьшее
из чисел, ограничивающих множество значений функции на [a, b] сверху.) ⟹ ∃x ∈[a, b]:
f(x)= Mo= sup[a, b] f(x).
б) Докажем, что ∃x ∈[a, b] такой, что f(x)= mо= inf[a, b] f(x).
Для этого рассмотрим функцию – f(x), x∈ [a, b]. Она непрерывна на [a, b], и к ней
применимо доказанное в п.а) ⟹ ∃x ∈[a, b] ∀x∈ [a, b]: – f(x)≥f(x) ⟹ ∀x∈ [a, b]: f(x)≤f(x),
то есть f(x)= inf[a, b] f(x)= mо.
Замечание.
Теорема 3 неприменима к функциям, непрерывным на промежутках другого типа. Она
применяется к сужению непрерывной функции на отрезке произвольном, целиком
лежащем в области определения функции.
§5. Условия непрерывности монотонной функции. Обратная функция. Непрерывность
обратной функции.
Пусть f(x) задана на промежутке X ненулевой длины и монотонна на X.
Теорема 1.(О существовании односторонних пределов функции во внутренних точках
промежутка.)
Пусть функция f(x) монотонна на промежутке X ненулевой длины. Тогда в любой
внутренней точке промежутка X функция f(x) имеет односторонние пределы.
Доказательство.
𝑑𝑒𝑓
а) Пусть f(x) возрастает на X ⇔ ∀x´, x´´∈X (x´< x´´): f(x´)≤f(x´´) и пусть xо –
внутренняя точка промежутка X.
Рассмотрим множества
X1={x; x∈X: x< xо}; Y1={f(x), x∈X1}
X2={x; x∈X: x> xо}; Y2={f(x), x∈X2}
Множество Y1 ограничено сверху, так как ∀ x∈X1: f(x)≤f(xо) и, следовательно, Y1
имеет точную верхнюю грань L1= supX1 f(x)= sup Y1.
А множество Y2 ограничено снизу, так как ∀ x∈X2: f(xо)≤f(x) и L2= infX2 f(x)= inf Y2.
Так как f(xо) является одной из верхних границ множества Y1 и одной из нижних
границ множества Y2, то L1≤ f(xо)≤L2.
Докажем, что
1. L1= lim f(x)
𝑥→xо−
2. L2= lim f(x)
𝑥→xо+
Возьмём произвольное 𝜀>0 и зафиксируем его.
𝑑𝑒𝑓
1. Так как L1= supX1 f(x) ⇔ 1) ∀ x∈X1: f(x)≤ L1
2) ∀ 𝜀>0, а значит и для нашего фиксированного 𝜀>0
∃X1: f(x̃)> L1–𝜀. ⟹ L1 – 𝜀<2)f(x̃)≤1) L1< L1+ 𝜀.
Тогда ∀x∈X1, x̃<x< xо (x∈(x̃, xо)) в силу возрастания функции f(x) на X: f(x̃)≤ f(x)≤
L1≤f(xо) ⟹ ∀x∈X∩(x̃, xо): L1–𝜀<f(x̃)≤f(x)≤L1< L1+ 𝜀.
Положим 𝛿 1=𝛿 1(𝜀)= xо – x̃>0 (ибо x̃= x̃(𝜀)).
𝑑𝑒𝑓
Тогда ∀𝜀>0 ∃ 𝛿 1>0 ∀x (x∈X1, x< xо, │x - хо│< 𝛿 1): │f(x) –L1│<𝜀 ⇔
lim f(x)=L1.
𝑥→xо−
49
2. Так как L2= infX2 f(x) ⟺ 1) ∀x∈X2: L2≤ f(x)
2)∀ 𝜀>0, а значит и для нашего фиксированного 𝜀>0
∃x ∈X2:
f(x)< L2+𝜀 ⟹ L2– 𝜀 ≤1) L2<f(x)<2) L2+𝜀 ⟹ А тогда в силу возрастания функции f(x)
на X ∀x∈X2, xо<x<x (x∈(xо, x (𝜀))
L2–𝜀<L2≤1) f(x) ≤f(x)<2) L2+𝜀.
Положим 𝛿 2=𝛿 2(𝜀)= x(𝜀) –xо>0.
𝑑𝑒𝑓
Тогда ∀𝜀>0 ∃𝛿 2>0 ∀x (x∈X2, x>xо, │x - хо│< 𝛿 2): L2–𝜀<f(x)< L2+𝜀 ⟺ │f(x) –L2│<𝜀 ⇔
L2= lim f(x).
𝑥→xо+
б) Пусть f(x) убывает на X. Рассмотрим функцию –f(x). Она возрастает на X. Тогда по
доказанному в п.а) у неё есть односторонние пределы в любой внутренней точке
промежутка X, а функция f(x) отличается от –f(x) только постоянным множителем (–1) ⟹
f(x) имеет односторонние пределы в каждой внутренней точке промежутка.
Теорема 2. (Достаточные условия непрерывности строго монотонной функции.)
Пусть f(x) определена на промежутке X. Строго монотонна на X и Y={y; y=f(x), x∈X}
- промежуток.
Тогда f(x) непрерывна на X.
Доказательство.
Для определённости будем считать, чтоf(x) строго возрастает на X, то есть ∀x1, x2∈X,
x1<x2: f(x1)< f(x2).
Докажем, что f(x) непрерывна на X.
Предположим противное, то есть что ∃xо∈X такое, что f(x) терпит разрыв в точке xо.
По теореме 1, точка разрыва xо является точкой разрыва 1-го рода.
xо∈X ∃ lim f(x)=L1= supX1f(x)
𝑥→xо−
∃ lim f(x)=L2= infX2 f(x) и L1≠L2.
𝑥→xо+
Но так как L1≤f(xо)≤ L2, то предполагается, что
1) L1< f(xо).
Возьмём точку x1∈X1. Тогда y1= f(x1)≤ L1< f(xо). y1= f(x1)<yо= f(xо) ⟹ (y1, yо)⊂Y={y;
y=f(x), x∈X}.
Возьмём произвольную точку y∈(y1, yо) и L1<y<f(xо)= yо.
В самом деле, f(x) строго возрастает ⟹ ∀x∈X1: f(x)≤ L1<y
∀x∈X2: f(x)> f(xо)= yо>y.
Но это невозможно, так как Y={f(x), x∈X} – промежуток ⟹ L1=f(xо).
2) Пусть f(xо)< L2= lim f(x)= infX2 f(x).
𝑥→xо+
Возьмём некоторое x2∈X2={x; x>хо}
y2=f(x2)∈Y ⟹ весь интервал (yо, y2)⊂Y.
Рассмотрим точку y∈(yо, y2) и f(xо)<y<L2.
Проверим, что ∀x∈X: f(x)≠y. В самом деле, ∀x∈X1: f(x)< f(xо)<y.
∀x∈X2: f(xо)<y<L2≤f(x) .
Но это невозможно, так как Y промежуток.
А тогда f(xо)= L2.
И мы получаем L1= f(xо)=L2 ⟹ lim f(x)= f(xо)= lim f(x) ⟹ ∃ lim f(x)= f(xо).
хо∈X и lim f(x)= f(xо).
𝑥→xо−
𝑥→xо+
𝑥→xо
𝑥→xо
Следствие (теоремы 1).
50
Если функция монотонна на промежутке, и она имеет точки разрыва, то все они точки
разрыва 1-го рода.
Следствие (теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции и теоремы 2.)
(Критерий непрерывности строго монотонной функции.)
Строго монотонная функция на промежутке X ненулевой длины (в частности, на
отрезке [a, b], a<b) является непрерывной на X тогда и только тогда, когда её область
значений Y={f(x), x∈X} является промежутком.
Определение.
Пусть f(x) определена на промежутке X ненулевой длины. Y={f(x), x∈X} – её область
значений.
Функция f(x) называется однозначно обратной на X, если ∀y∈Y ∃ единственное x∈X
такое, что y=f(x).
Определение.
Пусть y=f(x) однозначно обратима на X, Y={f(x), x∈X} – её область значений.
Функция x=g(y) называется обратной к функции y=f(x), если она определена на Y, и
каждому y∈Y она ставит в соответствие именно то единственной x∈X, для которого
y=f(x).
Обозначение обратной функции: g(y)= f-1(y), y∈Y.
Теорема 3.
Любая строго монотонная функция на промежутке X ненулевой длины однозначно
обратима на нём.
Доказательство.
Пусть f(x) строго возрастает на промежутке X, Y={f(x), x∈X}.
f(x) строго возрастает на X ⟺ ∀x1, x2∈X, x1<x2: f(x1)< f(x2).
Возьмём произвольное y∈Y, зафиксируем его и покажем, что ∃ единственное x∈X
такое, что y=f(x).
Предположим, что это не так, то есть ∃x1, x2∈X, x1≠x2 и такие, что y=f(x1) и y=f(x2). И
мы сразу пришли к противоречию, поскольку x1≠x2, то
либо x1<x2 ⟹ f(x1)< f(x2),
либо x1>x2 ⟹ f(x1)> f(x2).
⟹ ∀y∈Y ∃ единственный x∈X: y=f(x).
Аналогичное доказательство приводится для строго-убывающей функции.
А значит, любая строго-монотонная функция на промежутке ненулевой длины имеет
обратную функцию.
Теорема 4. (О непрерывности обратной функции.)
Пусть функция f(x) определена на промежутке X ненулевой длины, строго монотонна
и непрерывна на X.
Тогда обратная функция g(y), определённая на Y={f(x), x∈X} имеет тот же характер
монотонности на Y, что и f(x) на X, и g(y) непрерывна на Y
Доказательство.
f: X⟶Y, g= f-1: Y⟶X.
I Пусть f(x) строго возрастает на X.
Докажем, что g(y)= f-1(y) строго возрастает на Y.
Возьмём произвольный y1∈Y и y2∈Y, y1<y2.
51
Докажем, что g(y1)< g(y2). Предположим, что это не так, то есть ∃y1, y2∈Y, y1<y2, а
g(y1)≥g(y2). Но по определению обратной функции g(y) ставится в соответствие y1∈Y
единственный x1∈X: f(x1)=y1; y2∈Y ставит в соответствие единственный x2∈X: f(x2)=y2.
По нашему предположению y1<y2 ⟹ f(x1)< f(x2).
Но g(y1)=x1≥x2= g(y2). А тогда в силу строгого возрастания x1>x2 ⟹ f(x1)> f(x2), что
противоречит условию f(x1)< f(x2). x1=x2 ⟹ f(x1)=f(x2), что так же противоречит условию
f(x1)< f(x2).
II Докажем теперь, что g(y) непрерывна на Y.
Так как f(x) оперделена на промежутке X и непрерывна на нём, то по теореме о
промежуточных значениях непрерывной функции Y – промежуток.
А так как g(y) оперделена на промежетке Y и строго монотонна на нём, и g: Y⟶X и X
– промежуток, то по теореме 2, g(y)= f-1(y) непрерывна на Y.
Глава 5. Производная функции.
§1. Понятие производной функции.
Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, xо – внутренняя точка одного из
промежутков X.Сместимся из точки xо в точку x= xо+∆x так, чтобы не покинуть X
x= xо+∆x∈X.
Тогда f(x) получает приращение ∆f(xо, ∆x) в точке xо, вызванное смещением ∆x.
∆f=∆f(xо, ∆x)= f(xо +∆x) –f(xо)= f(x) – f(xо).
∆f ∆f(xо,∆x)
Пусть ∆x≠0. Рассмотрим ∆x= ∆x
Определение.
∆f
Предел lim ∆x, если он существует, называется производной функции f(x) в точке xо и
∆x→0
обозначается:
f`(xо)= lim
∆x→0
∆f(xо,∆x)
∆x
= lim
f(xо+ ∆x)−f(xо)
∆x→0
∆x
= lim (x→xо)
∆x→0
f(x) – f(xо)
∆x
.
Теорема 1.
Пусть f(x) имеет в точке x∈X производную.
Тогда f(x) непрерывна в точке x.
Доказательство.
f(x+ ∆x)−f(x)
f(x+ ∆x)−f(x)
1. x∈X: 2.-3. Так как ∃ lim
= f`(x) ⟺
= f`(x)+φ(∆x), где
∆x
∆x
∆x→0
lim φ(∆x)=0. ⟹ f(x+∆x) – f(x)= f`(x)·∆x+φ(∆x)· ∆x ⟹ lim (f(x+∆x) – f(x))=0 ⟹
∆x→0
lim f(x+∆x)= f(x) ⟹ f(x) непрерывна в точке x∈X.
∆x→0
∆x→0
§2. Свойства производной функции.
Пусть функции f(x) и g(x) имеют общую стандартную область определения X, и во
внутренней точке x одного из промежутков X, x∈X ∃f`(x) и ∃g`(x).
Тогда
(1). (f + g)` = f` + g`
x∈X, ∃ f`(x), g`(x) по условию, ∆x≠0, x+∆x∈X
∆(f(x)+ g(x))=(f(x+∆x)+g(x+∆x)) – (f(x)+g(x))=(f(x+∆x) – f(x))+(g(x+∆x) –
g(x))=∆f(x; ∆x)+∆g(x; ∆x)
∆(f+g)
∆f ∆g
(f(x)+ g(x))`= lim ∆x = lim (∆x+∆x)= f`(x)+ g`(x).
∆x→0
∆x→0
(2). (f · g)´ = f´ · g + f · g´
52
∆(f·g)=f(x+∆x)·g(x+∆x) – f(x)·g(x)=f(x+∆x)·g(x+∆x) – f(x)·g(x+∆x)+f(x)·g(x+∆x) –
f(x)·g(x)=(f(x+∆x) –f(x))g(x+∆x)+f(x)(g(x+∆x) –g(x)).
Так как ∃ g´(x)= lim
g(x+∆x) –g(x)
∆x
∆x→0
⟹
g(x+∆x) –g(x)
= g´(x)+φ(∆x) ⟹ g(x+∆x)
∆x
=g(x)+ g´(x)·∆x+ φ(∆x)·∆x ⟹ lim g(x+∆x)=g(x) ⟹ g(x) непрерывна в точке x.
∆(f·g)
А значит, lim
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆f
∆g
= lim (∆x·g(x+∆x)+f(x)·∆x)= f`(x)· g(x)+ f(x)·g`(x).
∆x→0
(3). Пусть g(x)≠0, и по теореме о сохранении знака непрерывной функции ∃𝛿>0 ∀∆x:
x+∆x∈(x – 𝛿, x+ 𝛿)⊂X: g(x+∆x)≠0.
Тогда ∀∆x, x+∆x∈(x – 𝛿, x+ 𝛿)⊂X:
f
f(x+∆x)
f(x) f(x+∆x)g(x)−f(x)g(x+∆x)
∆(g)=g(x+∆x) – g(x)=
.
g(x+∆x)g(x)
Возьмём ∆x≠0 и рассмотрим
lim
f
g
∆( )
∆x→0 ∆x
= lim
1
∆x→0
∆f
[
g(x)g(x+∆x)
∃f`(x)= lim
[=
g(x)g(x+∆x)
(
] =]
∆x
⟹ f(x+∆x)= f(x)+ f`(x)·∆x+ψ(∆x)·∆x, где lim ψ(∆x)=0
∆x→0 ∆x
f(x)g(x)
1
f(x+∆x)g(x)−f(x)g(x+∆x)
∆x
+
f`(x)∆xg(x)
∆x
ψ(∆x)∆xg(x)
+
∆x
–
f(x)g(x)
∆x
–
∆x→0
f(x)g`(x)∆x
f(x)φ(∆x)∆x
–
∆x
∆x
1
)=g2 (x)(f`(x)g(x)
– f(x)g`(x)).
f
(3). (g) ´ =
f´g−fg´
g2
(4). F(x)=f(φ(x)). x∈X, x+∆x∈X.
∆F=F(x+∆x) –F(x)=f(φ(x+∆x)) –f(φ(x)).
f: Z⟶Y, Y⊂R, f(z) имеет производную во внутренней точке z∈Z.
φ: X⟶ Z̃, Z̃ ⊂Z, φ(x) имеет производную во внутренней точке x∈X.
Тогда F´(x) = f´(z) · φ´(x)
Доказательство.
Возьмём произвольную внутреннюю точку x∈X и сместимся из неё в точку x+∆x∈X,
∆x≠0 ⟹ ∆φ=∆φ(x; ∆x)=φ(x+∆x) – φ(x)=∆z ⟹ f(z)получит приращение ∆f(z;
∆z)=f(z+∆z) –f(z)=f´(z)·∆z+ψ(∆z)·∆z=] lim ψ(∆z)=0, ибо ∃f´(z)
∆z→0
[=f´(z)(φ(x+∆x) – φ(x))+ ψ(∆z)·∆z.
Делим на ∆x≠0.
∆F f(φ(x+∆x)) –f(φ(x)) f(z+∆z) –f(z)
∆x
=
ψ(∆z)
∆x
∆z
=
∆x
∆z
∆z
=f´(z)∆x+ ψ(∆z) ∆x ⟹ ∃ lim
∆F
∆x→0 ∆x
∆z
= lim (f´(z) ∆x +
∆x→0
)= f´(z) φ´(x)+0= f´(z) φ´(x) ⟹ F´(x) = f´(φ(x)) · φ´(x) .
∆x
§3. Производная обратной функции.
Теорема.
Пусть функции f: X⟶Y и g=f-1: Y⟶X взаимно обратны и непрерывны в точках xо∈X
и yо∈Y соответственно; yо=f(xо). Если f(x) имеет в точке xо производную и f´(xо)≠0, то g(x)
1
так же имеет производную в точке yо= f(xо) и g´(yо) = f´(xо) .
Доказательство.
Так как f(x) и g(x) взаимно обратны, то f(x) –f(xо) и g(y) – g(yо) при y=f(x) не
обращаются в нуль, если x≠xо, yо= f(xо).
Из непрерывности f(x) в точке xо и g(y) в точке yо следует, что (x→ xо)⟺(y→ yо).
53
Используя теорему о пределе сложной функции и арифметические свойства пределов
функции, при ∆x≠0, ∆y≠0 получаем
lim
g(yо+∆y)
y→yо
y−yо
= lim
g(y)−g(yо)
x−xо
y−yо
x→xо f(x)−f(xо) x→xо
y→yо
= lim
= lim
1
f(x)−f(xо)
x−xо
1
=f´(xо).
Пример.
𝜋 𝜋
f(x)=sin 𝑥, X=[− 2 , 2 ].
X=g(y)=arcsin y, y∈ [−1, 1]
𝜋 𝜋
∀x∈ (− 2 , 2 ) ⟹ y=sin x∈(−1, 1).
Применяя теорему о производной обратной функции, получаем
1
1
1
1
(arcsin y)´=(sin 𝑥)´=cos 𝑥=
=
.
2
2
√1−(sin 𝑥)
√1−y
§4. Таблица производных.
1. f(x)=x 𝛼 , X
Возьмём внутреннюю точку X, сместимся из неё в точку x+∆x, не покидая X, x+∆x∈X
и пусть ∆x≠0.
f(x+∆x)−f(x)
По определению f´(x)= lim
.
∆x
∆x→0
Пусть x≠0.
∆x
∆x
f(x+∆x) –f(x)=(x + ∆x)𝛼 − x 𝛼 =x 𝛼 ((1 + x )𝛼 − 1) ∼ x 𝛼 · x ·𝛼= 𝛼· x 𝛼−1 ·∆x ⟹
f´(x)= lim
(x+∆x)𝛼 −x𝛼
∆x
𝛼−1
∆x→0
𝛼· x𝛼−1 ·∆x
= lim
∆x
∆x→0
= 𝛼· x 𝛼−1.
(x 𝛼 )´ = α · x
.
Пусть x=0, 𝛼>1 ⟹ x + ∆x=∆x.
lim
∆x→0
(0+∆x)𝛼 −0
= lim (∆x)𝛼−1=0
∆x
𝛼 = 1 ⟹ lim
∆x→0
∆x
=1.
∆x→0 ∆x
(∆x)𝛼
𝛼<0 ⟹ ∄ lim
∆x→0 ∆x
(либо точка x=0 не является внутренней, либо нет производной).
2. f(x)=ax , a>0, a≠1, X=(−∞, +∞)
x∈X, ∆x≠0, x+∆x∈X.
а) f(x)=𝑒 x
lim
∆x→0
𝑒 x+∆x −𝑒 x
∆x
x
= lim
𝑒 x (𝑒 ∆x −1)
∆x→0
x ln a
𝑒 x ∆x
= lim
∆x
∆x→0 ∆x
=𝑒 x .
б) f(x)=a =𝑒
.
Применяя теорему о производной сложной функции, получаем (ax )´=( 𝑒 x ln a )´= ax ln a.
(ax )´ = ax ln a
3. f(x)=ln x, X=(0, +∞), x∈X, ∆x≠0, x+∆x∈X.
lim
ln x(+∆x)−ln x
∆x
∆x→0
= lim
∆x→0
∆x
x
ln(1+ )
∆x
= lim
∆x
x
1
= .
∆x→0 ∆x x
1
x
f(x)=log a x, a>0, a≠1, X=(0, +∞).
(ln x)´ =
ln x
1
log a x=ln a ⟹ (log a x)´ = x ln a
54
4. f(x)=sin 𝑥, X=(−∞, +∞), ∆x≠0, x+∆x∈X.
lim
∆x→0
∆f
sin(𝑥+∆𝑥)−sin 𝑥
= lim
∆x
∆x
∆x→0
= lim
2 cos(𝑥+
∆𝑥
∆𝑥
) sin
2
2
∆x
∆x→0
= lim
2 cos(𝑥+
∆𝑥 ∆𝑥
)
2 2
∆x
∆x→0
= lim cos(𝑥 +
∆x→0
∆𝑥
2
)=cos 𝑥.
(sin 𝑥)´ = cos 𝑥
5. f(x)= cos 𝑥, X=(−∞, +∞)
lim
∆f
= lim
cos(𝑥+∆𝑥)−cos 𝑥
∆x→0 ∆x ∆x→0
∆𝑥
∆x
= lim
∆𝑥
∆𝑥
sin(𝑥+ )
2
2
−2 sin
= lim
∆x
∆x→0
∆x→0
∆𝑥
∆𝑥
sin(𝑥+ )
2
2
−2·
∆x
=− lim sin(𝑥 +
∆x→0
)=− sin 𝑥
2
(cos 𝑥)´ = − sin 𝑥
sin 𝑥
6. f(x)=tg x=cos 𝑥
(tg x)´=
cos 𝑥·cos 𝑥+sin 𝑥·sin 𝑥 cos2 𝑥+sin2 𝑥
(tg 𝑥)´ =
=
cos2 𝑥
cos2 𝑥
=
1
cos2 𝑥
1
cos 2 𝑥
1
cos 𝑥
7. f(x) =ctg x=tg 𝑥= sin 𝑥
(ctg 𝑥)´ = −
1
sin2 𝑥
𝜋 𝜋
8. y= f(x)= sin 𝑥, X=[− 2 , 2 ], Y=[ −1, 1]
x = g(y) = arcsin 𝑦 , y ∈ [−1, 1]
{
y = sin 𝑥
Применяя теорему о производной обратной функции, получаем
1
1
1
1
𝜋 𝜋
(arcsin 𝑦)´=(sin 𝑥)´=cos 𝑥=√1−sin2 =
, x∈(− 2 , 2 ) ⟹ y∈(−1, 1)
2
𝑥 √1−𝑦
(arcsin 𝑦)´ =
1
√1 − 𝑦 2
𝜋
9. x=arcos y= 2 − arcsin 𝑦, y∈(−1, 1)
(arcos 𝑦)´ = −
1
√1 − 𝑦 2
10. x=arctg y, Y=( −∞, +∞)
1
1
1
tg x=y ⟹ (arctg y)´=(tg 𝑥)´=cos2 𝑥=1+tg2 𝑥=1+y2
(arctg 𝑦)´ =
1
1 + y2
11. x=arcctg y, Y=( −∞, +∞)
1
1
(arcctg y)´=(ctg 𝑥)´= −sin2 𝑥= − 1+ctg2𝑥= −
(arcctg 𝑦)´ = −
1
1+y2
1
1 + y2
55
Глава 6. Дифференцируемая функция. Дифференциал.
§1. Понятие дифференцируемой функции в точке и дифференциала.
Определение.
Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, xо – внутренняя точка одного из
промежутков, образующих X.
Функция f(x) называется дифференцируемой в точке xо, если её приращение в точке xо
∆f(xо; ∆x), вызванное смещением ∆x, может быть представлено в виде ∆f(xо;
̿ [∆x]∆x→0 .
∆x)=A·∆x+ω(∆x), где A –число, а ω(∆x)=О
Определение.
Пусть f(x) дифференцируема в точке xо. Главная линейная часть приращения функции
называется дифференциалом функции f(x) в точке xо.
Обозначение: df = A · ∆x ⟹
̿ [∆x]∆x→0 , то есть lim ω(∆x)=0
∆f(xо; ∆x)=A·∆x+ω(∆x)=df+О
∆x
∆x→0
Примеры.
1. f(x)=x 2 , X=(−∞, +∞)
xо=2
∆f(2; ∆x)=(2 + ∆x)2 − 22 =4+4∆x+(∆x)2 − 4=4∆x+(∆x)2
̿ [∆x]∆x→0
A=4, ω(∆x)= (∆x)2=О
df=4∆x
3
2. f(x)=√x − 7, X=(−∞, +∞)
1
3
3
3
а) xо=8 ⟹ ∆f=∆f(8; ∆x)=f(8+∆x) –f(8)= √8 + ∆x − 7 − √8 − 7= √1 + ∆x −1∼∆x→0 3∆x
1
Главная линейная часть df = 3 ∆x в точке xо =8.
1
̿ [∆x]∆x→0
∆f(8; ∆x)= 3∆x+О
3
3
3
б) xо =7. ∆f(7; ∆x)= ∆f(7; ∆x) –f(7)= √7 + ∆x − 7 − √7 − 7=√∆x.
1
3
Главной частью приращения функции ∆f является √∆x = (∆x) ⁄3, A=0, ω ≡0.
3
Функция f(x)=√x − 7 не является дифференцируемой в точке xо=7, так как
приращение функции не является линейной от ∆x при ∆x → 0.
1
1
(∆f(7; ∆x)= (∆x) ⁄3 имеет порядок 3 при ∆x → 0)
Теорема 1. (Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.)
Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, и во внутренней точке xо
одного из промежутков X f(x) дифференцируема.
Тогда f(x) непрерывна в точке xо.
Доказательство.
f(x) дифференцируема в точке xо∈X. Сместимся из точки xо в точку xо+∆x∈X.
̿ [∆x]∆x→0 ⟹ lim ∆f(xо;
Тогда ∆f(xо; ∆x)=f(xо+∆x) –f(xо)= A·∆x+ О
∆x→0
̿
∆x)= lim (A·∆x+ О[∆x]∆x→0 )=0.
∆x→0
f(x) непрерывна в точке xо.
Теорема 2. (Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в
точке).
Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, xо – внутренняя точка одного из
промежутков из X.
56
f(x) дифференцируема в точке xо тогда и только тогда, когда ∃f´(xо).
Доказательство.
1. Необходимость.
xо∈X, xо+∆x∈X, ∆x≠0.
𝑑𝑒𝑓
f(x) дифференцируема в точке xо ⇔ ∆f(xо; ∆x)= A·∆x+ ω(∆x), A-число,
̿ [∆x]∆x→0 .
ω(∆x)= О
∆f
A·∆x+ω(∆x)
ω(∆x)
Тогда ∃f´(xо)= lim ∆x= lim
=
lim
(A
+
)=A.
∆x
∆x
∆x→0
∆x→0
∆x→0
∃f´(xо) = A
2. Достаточность.
Пусть во внутренней точке xо∈X ∃f´(xо).
Докажем, что f(x) дифференцируема в точке xо.
f(xо+∆x)−f(xо)
f(xо+∆x)−f(xо)
Так как ∃f´(xо)= lim
⟹
=f´(xо)+φ(∆x), где lim φ(∆x)=0 ⟹
∆x
∆x
∆x→0
∆x→0
∆f(xо; ∆x)= f´(xо)∆x+ φ(∆x)·∆x. Положим A= f´(xо), ω(∆x)= φ(∆x)·∆x.
ω(∆x)
φ(∆x)·∆x
̿ [∆x]∆x→0 ⟹
Тогда lim ∆x = lim ∆x = lim φ(∆x)=0 ⟹ ω(∆x)= О
∆x→0
∆x→0
∆x→0
f(x) дифференцируема в точке xо и df= f´(xо)∆x ⟹ ∆f(xо; ∆x)= f´(xо) ∆x+ ω(∆x),
̿ [∆x]∆x→0 .
ω(∆x)= О
Следствие 1.
Рассмотрим функцию ψ(x)=x ⟹ ∆ψ=∆x, ω(∆x)=0 ⟹ dψ=dx= ∆x ⟹ Дифференциал
независимой переменной есть её приращение ⟹ то есть dx не зависит от x!!!
А тогда df= f´(x)·dx.
Следствие 2.
Если в точке существует дифференциал, то он единственен, так как ∃ единственное
значение производной функции в точке, ибо предел функции единственен.
Следствие 3.
Пусть в точке x∈X ∃f´(x).
1. f´(x)≠0.
̿ [∆x]∆x→0 ⟹ ∆f~∆x→0 df
Тогда ∆f= ∆f(x; ∆x)=f´(x)·dx+ ω(∆x)=df+ О
̿ [∆x]∆x→0
2. f´(x)=0 ⟹ df= f´(x)·dx=0 ⟹ ∆f(x; ∆x) = О
§2. Некоторые свойства дифференциала функции в точке.
Из свойств производных следует:
(1) dv=dC=0.
Дифференциал постоянной равен 0.
v(x)≡C на (−∞, +∞).
(2) d(C·u(x))=C·du(x)/
Константа выносится за знак дифференциала.
(3) d(u + v)=du+dv
(4) d(u· v)=du· v+u·dv
𝑢 d𝑢·𝑣−𝑢·d𝑣
(5) d(𝑣 )= 𝑣2
57
58