Пусть, например, имеется объект, который приносит чистые

В.Б. Михайлец,
г. Москва
Еще раз о ставке дисконтирования в оценочной деятельности и методах доходного подхода
В работе [1] была предложена математическая модель типичных рассуждений участников
сделок купли-продажи доходных объектов, которая после принятия некоторых допущений и
соответствующих преобразований, хотя внешне и трансформировалась в общеизвестную модель
дисконтирования доходов, поставила ряд вопросов, касающихся сущности основополагающих для
оценочной деятельности понятий. Не претендуя на истину в последней инстанции, автор все же
решил продолжить исследования в этом направлении, пытаясь в первую очередь для себя ответить
на некоторые не дававшие покоя вопросы.
В основу предложенной модели формирования рыночной (но не инвестиционной)
стоимости доходного объекта были положены следующие рассуждения.
Пусть, например, имеется объект, который приносит чистые годовые доходы NOIi.
Владелец (продавец) при возникновении вопроса о продаже объекта хотел бы, естественно,
остаться не в проигрыше. Это значит, что он продаст объект при условии эквивалентности денег,
вырученных за объект, и денег, получаемых от владения объектом (в виде доходов и возможной
будущей его продажи) в течение n лет его "жизни". Аналогично рассуждает и покупатель, только
теперь речь идет об эквивалентности денег, получаемых от владения объектом (в виде доходов и
возможной будущей его продажи) в течение n лет его "жизни", и денег, отданных за объект.
Поэтому справедливым как с точки зрения продавца, так и покупателя представляется равенство
(1)
S nпр  S nпок ,
где
1
S пр
n — количество денег продавца на счете в банке через n лет от вложения суммы PV —
выручки за объект;
— количество денег от владения объектом покупателя (снятых со счета в банке, куда
S пок
n
ежегодно вносились доходы NOIi от использования объекта, и вырученных от его продажи по
остаточной стоимости через n лет).
Если сделка купли-продажи состоится, то разумный продавец может ожидать, что деньги
PV, вырученные за объект (цена объекта), он разместит так, что они будут "расти" по закону
сложных процентов:
n
S nпр  PV  [1  r пр (i )] ,
(2)
i 1
где r пр (i ) — ставки дохода на вложенный в банк капитал продавца в i-м году.
Разумный покупатель также имеет возможность размещать чистые годовые доходы NOIi
так, чтобы через n лет его капитал составлял вместе с остаточной стоимостью объекта Sост сумму
n
S nпок   NOI k 
k 1
 NOI1  [1  r
пок
 NOI 2  [1  r
пок
n
[1  r пок (i)]  S ост 
i  k 1
(2)]  [1  r пок (3)]  ... [1  r пок (n)] 
(3)]  [1  r
пок
(4)]  ... [1  r
пок
(3)
(n)]  ...
 NOI i  [1  r пок (i  2)]  [1  r пок (i  3)]  ... [1  r пок (n)]  ...  NOI n  S ост ,
где r пок (i) — ставки дохода на вложенный в банк капитал покупателя.
Объединяя (1), (2) и (3), получаем ожидаемую цену сделки купли-продажи объекта,
справедливую как с точки зрения продавца, так и с точки зрения покупателя:
1
Под понятием "банк" подразумевается наиболее выгодная и одинаково доступная для продавца и
покупателя возможность увеличения капитала (вклады денег в банки, ценные бумаги, ростовщичество,
инвестиции свободных денег в выгодное дело, в том числе в покупку аналогичных по уровню доходности
объектов, формирование портфелей инвестиций и т.п.).
1
PV 
n 1
n
k 1
i  k 1
n
 NOI k  [1  r пок (i)]  NOI n
[1  r
пр

S ост
n
[1  r
(i )]
k 1
пр
.
(4)
(i )]
k 1
Ставки дохода r пр (i ) и r пок (i) в каждой конкретной ситуации могут оказываться
разными, так как маловероятно, что конкретные покупатель и продавец будут инвестировать свои
деньги в одно и то же дело под одинаковые проценты после совершения сделки купли-продажи.
Но если продавцы и покупатели будут "…на открытом рынке в условиях конкуренции
действовать разумно, располагая всей необходимой информацией, а на величине цены сделки не
будут отражаться какие-либо чрезвычайные обстоятельства", то вполне можно допустить, что
чаще всего они будут выбирать ставки дохода, близкие к наиболее вероятным. Значит, рыночную
стоимость объекта формируют «наиболее вероятные покупатели и продавцы» и это
предположение вполне согласуется со смыслом, заложенным отечественным законодателем в
определение рыночной стоимости. А есть ли различия между наиболее вероятными покупателями
и продавцами, если сравнивать их типичные стратегии формирования инвестиционных портфелей
для получения желаемых ставок дохода r пр (i ) и r пок (i) ?
Здесь возможны две точки зрения.
Первая. Различия есть, поскольку продавцы располагают значительно большими суммами
вырученных за объект денег, чем покупатели, ежегодные чистые годовые доходы которых имеют
существенно меньшую инвестиционную мощность. Если придерживаться этой точки зрения, то
расчет рыночной стоимости следует проводить с помощью формулы (4), прогнозируя будущие
ставки доходности как продавца, так и покупателя.
Вторая. Различий нет. Предполагается, что обе стороны после совершения сделки куплипродажи будут разумно инвестировать деньги PV и NOIi в доходные проекты, поэтому и
покупатель, и продавец становятся покупателями. А значит, нет оснований утверждать, что ставки
дохода r пр (i ) и r пок (i) по каким-то причинам должны быть различны. Тогда эти ставки можно
заменить одной r пр (i)  r пок (i)  r (i) , а формула (4) после преобразований примет вид
n
PV  
k 1
NOI k
k

S ост
n
[1  r (i)] [1  r (i)]
i 1
.
(5)
i 1
Это хорошо известная формула дисконтирования чистых доходов и реверсии остаточной
стоимости объекта.
Дальнейшие размышления основаны на второй точке зрения, хотя и первая имеет
право на существование и теоретическое развитие.
Ставка дохода r(i), которую называют также ставкой дисконтирования, — пожалуй,
самый «загадочный» объект в оценочной деятельности. Если следовать предложенной модели
рассуждений потенциальных участников сделки купли-продажи, получается, что ставка
дисконтирования определяется доходностью их инвестиционных портфелей. Каким должен
быть набор финансовых инструментов этих портфелей, чтобы его можно было применять
для расчета рыночной стоимости доходных объектов? Здесь также существуют различные
точки зрения, однако сначала нужно принципиально понять, что такое ставка
дисконтирования r(i) и как ее рассчитывать.
Итак, ставка дисконтирования r(i) — это ставка дохода или доходность
инвестиционного портфеля наиболее вероятного инвестора за i-й период 2.
Для одного периода прогноза особых проблем с определением ставки не возникает.
Действительно, за один период капитал PVs , являющийся частью капитала, вырученного за
оцениваемый объект (или частью чистых доходов от использования оцениваемого объекта),
вкладываемый наиболее вероятным инвестором в s-й доходный объект, изменяется за счет
изменения ΔPVs стоимости самого объекта и получения чистого дохода NOI s от
использования объекта:
2
Чаще употребляется словосочетание «ставка дохода по альтернативным инвестициям с сопоставимым уровнем риска», см.,
например, книгу [2].
2
PVs  PVs  NOI s  PVs  (1  rs ). (6)
Разделив правую и левую части этого уравнения на PV s, получаем ставку дисконтирования
или доходность одного s-го объекта:
NOI s PVs
rs 

 Rs  vs , (7)
PVs
PVs
где
R s — ставка капитализации, характеризующая прогнозируемую доходность s-го объекта в
первый период (год, квартал) его использования;
vs — прогнозируемый темп изменения стоимости s-го объекта за период в условиях
рассматриваемого рынка.
Поскольку наиболее вероятный инвестор может использовать различные финансовые
инструменты (инвестировать деньги в различные доходные объекты), то общий его капитал
за период станет следующим:
n
n
n
n
n
s 1
s 1
s 1
s 1
s 1
 PVs  PVs  NOI s   PVs  PVs  rs .
(8)
Инвестора интересует общая доходность его портфеля инвестиций или ставка
дисконтирования r, такая, при умножении на которую суммы всех инвестиций их увеличение
было бы в точности равно сумме увеличений от каждого из финансовых инстр ументов, т.е.
n
n
n
n
n
 PVs  NOI s   PVs  rs   PVs  r.
s 1
s 1
s 1
s 1
(9)
R
 NOI
s 1
n

s
.
Деля все части равенства (9) на суммарную стоимость инвестиций,
находим ставку
PVs
дисконтирования
или
доходность
портфеля
наиболее s 1 вероятного
инвестора,
распорядившегося либо вырученными за оцениваемый объект деньгами, либо доходами от
его использования:
n
r
 PVs  rs
s 1
n
 PV
s 1
s
n

 NOI s
s 1
n
 PV
s 1
s
n

 PV
s
s 1
n
 PV
s 1
.
(10)
s
Следовательно, с одной стороны, ставка дисконтирования для наиболее вероятного
инвестора — это средневзвешенное по размерам инвестиций значение ставок
дисконтирования выбранных им финансовых инструментов. С другой стороны, ставка
дисконтирования — это сумма общей ставки капитализации инвестируемых наиболее
вероятным инвестором средств и изменения стоимости инвестированных средств за период:
n
r   a s  rs  R  v, (11)
s 1
где
αs — удельный вес средств наиболее вероятного инвестора, вложенных s-й доходный объект;
R — ставка капитализации;
v — изменение стоимости инвестированных средств за период.
Из формулы (11) следует важный вывод: ставки дисконтирования и капитализации
будут равны, если за период цены на объекты инвестиций наиболее вероятного инвестора не
изменятся (т.е. при v = 0).
Для получения прогнозных значений ставки дисконтирования для нескольких
периодов вперед рассмотрим следующую схему изменения стоимости и доходов s-го объекта
инвестирования.
1-й период. Покупка объекта, изменение благосостояния инвестора за счет получения
чистого дохода за 1-й период его использования и повышения (снижения) стоимости самого
объекта:
PVs  [1  v s (1)]  NOI s  [1  u s (1)]  PVs  [1  rs (1)], (12)
где
vs(1) — прогнозируемый темп изменения стоимости s-го объекта за 1-й период в долях от цены
сделки купли-продажи объекта;
3
us(1) — прогнозируемый темп изменения чистого дохода s-го объекта за 1-й период в долях от
этого дохода (всегда равен нулю, так как за первый период инвестор получает первый доход, а
поэтому для него не существует предыдущего периода).
2-й период. Изменение благосостояния инвестора за счет получения чистого дохода
за 2-й период, изменившегося по сравнению с предыдущим периодом на величину
us(2)NOIs[1+us(1)] и повышения (снижения) стоимости самого объекта на величину
vs(2)PVs[1+vs(1)]:
PVs  [1  v s (1)]  [1  v s (2)]  NOI s  [1  u s (1)]  [1  u s (2)]  PVs  [1  v s (1)]  [1  rs (2)];
………………………………………………………………………………………
i-й период. Аналогично предыдущему:
i
i
i 1
j 1
j 1
j 1
PVs  [1  v s ( j )] NOI s  [1  u s ( j )]  PVs  [1  v s ( j )]  [1  rs (i)].
Общий инвестированный капитал за i-й период:
i
n
i
n
i 1
n
 PV  [1  v ( j )]  NOI [1  u ( j )]   PV [1  v ( j)]  [1  r (i)].
s
s 1
s
s
s 1
j 1
s
s 1
j 1
s
s
s
(13)
j 1
Заменим произведения в формуле (13) их средневзвешенными значениями:
n
i
n
i
n
i 1
s 1
j 1
s 1
j 1
s 1
j 1
 PVs  [1  v( j )]  NOI s [1  u( j )]   PVs [1  v( j )]  [1  r (i)],
n
где
i
 [1  v( j )] 
(14)
i
 PVs   [1  v s ( j )]
s 1
j 1
n
 PVs
j 1
 F1(i );
s 1
i
n
i
[1  u( j )] 
 PVs  [1  u s ( j )]
s 1
j 1
j 1
;
n
 PVs
s 1
i
[1  v( j )]  [1  r (i)] 
n
i
s 1
j 1
 PVs  [1  vs ( j )]  [1  rs (i)]
n
 PVs
j 1
.
s 1
Разделив правую и левую части равенства (14) на PVs и решив его относительно
искомой ставки дисконтирования, получим 3:
i
R   [1  u ( j )]
r (i ) 
j 1
i 1
 v(i ),
 [1  v( j )]
(15)
j 1
где
v(i) и u(i) — прогнозируемые рыночные темпы изменения стоимости и чистых доходов объектов
инвестирования за i-й период;
R — ставка капитализации, характеризующая общую прогнозируемую рыночную доходность
объектов инвестирования в первый период, вычисляемая по формуле
n
R
 NOI s
s 1
n
 PVs
. (16)
s 1
3
Уточненный вывод данной формулы (см. Приложение)
4
Таким образом, ставка дисконтирования зависит не только от темпов изменения стоимости
объектов рассматриваемого рынка, но и от темпов изменения доходности вложений капитала на
рынке.
Во избежание путаницы с номерами периодов преобразуем формулу (15) к следующему
виду (принимая во внимание, что u(1) = 0):
i 1
r (i ) 
[1  u (i )]  R   [1  u ( j )]
j 2
i 1
[1  v(1)]   [1  v( j )]
 v(i ).
(17)
j 2
Если принимается допущение, что рыночные темпы изменения стоимости объектов и
чистых доходов на рынке не зависят от номера периода и имеют одну и ту же величину, то
формула (17) упрощается:
R  (1  u ) i 1
(18)
r (i) 
 v.
(1  v) i 1
Если такое допущение невозможно, но возможно принятие допущения о том, что
стоимости и чистые доходы от объектов на рынке изменяются синхронно, то
[1  v(i )]  R
r (i ) 
 v(i ).
(19)
[1  v(1)]
Наконец, если можно допустить и то, и другое, то
r  R  v.
(19а)
Анализ полученных формул для прогнозирования значений ставки дисконтирования
позволяет сделать следующие выводы.
1. Ставка дисконтирования отражает ценность денег на рынке. Чем выше ставка, тем менее
ценны деньги (капиталы). И наоборот. Оцениваемый объект является лишь одним из возможных
вариантов инвестирования капиталов на рынке. Доходность объекта оценки оказывает влияние на
доходность рынка (ставку дисконтирования) пропорционально удельному весу стоимости объекта
в стоимости всех возможных объектов инвестирования для потенциальных инвесторов.
2. Ставка капитализации характеризует прогнозируемую доходность рынка, к которому
принадлежит оцениваемый объект, в первый период (отсчитываемый от даты оценки).
3. Ставка дисконтирования равна ставке капитализации, если прогнозируется абсолютная
стабильность рынка, т.е. цены и доходы в прогнозируемые периоды на рынке неизменны.
4. Утверждение «ставка капитализации равна или зависит от ставки дисконтирования» не
имеет смысла. Обратное утверждение верно.
5. Ставки капитализации и дисконтирования нельзя «выбирать». Их можно обосновывать
или рассчитывать.
6. Если прогнозируемые годовые темпы изменения доходов превышают прогнозируемые
темпы изменения цен, т.е. u > v, доходность рынка растет (ставки дисконтирования
увеличиваются). Наоборот, если темп изменения доходов меньше темпа изменения цен, т.е. u<v,
доходность рынка падает (ставки дисконтирования уменьшаются). При равенстве темпов
изменения цен и доходов, т.е. u = v, доходность рынка постоянна (ставки дисконтирования
неизменны).
Для наглядности на рис. 1 показано, как зависят ставки дисконтирования от рыночных
темпов роста цен и чистых доходов согласно формуле (18).
5
Ставка дисконтирования
0,280
0,270
0,260
0,250
u>v
0,240
u<v
0,230
u=v
0,220
0,210
0,200
0
1
2
3
4
5
6
Периоды
Рис. 1. Характер изменения ставок дисконтирования
в зависимости от рыночных темпов роста цен и чистых доходов
7. Рыночная стоимость оцениваемого объекта зависит от его прогнозируемого чистого
годового дохода в первый период и рыночной ставки капитализации, а также от того, насколько
прогнозируемые темпы изменения его доходов и стоимости отличаются от рыночных темпов.
Чтобы подтвердить это, преобразуем формулу (5) к виду
k
NOI   [1  u o (i )]
n
PV  
i 2
k
n

PV   [1  vo (i )]
i 1
n
[1  r (i)]
k 1
[1  r (i)]
i 1
,
(20)
i 1
или, принимая допущение о том, что прогнозируемые годовые (квартальные, месячные) темпы uо
и vо изменения чистого дохода и рыночной стоимости объекта оценки постоянны,
n
NOI  (1  u o ) k 1 PV  (1  vo ) n
PV  
 n
. (20а)
k
k 1
[1  r (i)]
[1  r (i)]
i 1
i 1
Решая уравнение (20а) относительно искомой рыночной стоимости PV объекта оценки,
получаем:
n
NOI  (1  u о ) k 1

k 1
k
[1  r (i)]
i 1
PV 
1
(1  vо ) n
.
(21)
n
[1  r (i)]
i 1
Расчеты по формуле (21), в которой ставки дисконтирования вычислялись по формуле
(18), показывают, что при совпадении тенденций (темпов) изменения доходов и цен рынка и
объекта, т.е. когда u = uо и v = vо, расчетное значение рыночной стоимости объекта постоянно и
равно частному от деления чистого годового дохода NOI на рыночную ставку капитализации R
(см. рис. 2, линия А).
6
Рыночная стоимость
6
5
4
Б) Sост = 0,1PV
3
2
А) Тенденции объекта
и рынка одинаковы
1
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Полный срок "жизни", лет
Рис. 2. Влияние различий в тенденциях изменения
цен и доходов рынка и оцениваемого объекта на его рыночную стоимость:
А — NOI = 1; R = 0,2; v = 0,05; u = 0,06; vо = 0,05; uо = 0,06 — тенденции одинаковы;
Б — vо = 0,1(1/n) – 1 — остаточная стоимость равна 10% от PV (остальные параметры те же)
Иными словами, если оценщик уверен, что тенденции изменения доходности и цены
оцениваемого объекта в будущем совпадают с рыночными тенденциями, то для расчета рыночной
стоимости нужно использовать формулу капитализации чистого дохода
NOI
PV 
, (22)
R
где
NOI — прогнозируемый чистый доход первого года объекта оценки;
R — ставка капитализации (см. формулу (16)).
Если же тенденции изменения доходности и цены оцениваемого объекта не совпадают с
рыночными тенденциями, картина существенно меняется, особенно при небольших полных
сроках «жизни» объекта (см. рис. 2, кривая Б). Использовать при таких условиях формулу
капитализации дохода нужно с большой осторожностью.
Вернемся к вопросу о наборе финансовых инструментов инвестиционного портфеля
наиболее вероятного инвестора, чтобы ставка дисконтирования (формула (15)) могла быть
применима для расчета рыночной стоимости доходных объектов.
Существуют следующие точки зрения:
Первая точка зрения. Наиболее вероятные инвесторы вкладывают деньги,
получаемые от оцениваемого объекта (за объект — продавцы, от использования объекта —
покупатели), только в объекты с точно такими же свойствами, что и оцениваемый объект.
Объясняется такая точка зрения убежденностью многих оценщиков в том, что «при
правильном расчете, результаты оценки методами всех трех подходов должны совпадать».
Если придерживаться первой точки зрения, то нужно сразу же согласиться с тем, что
в формулах (15), (18) или (19) для расчета прогнозных значений ставки дисконтирования
вместо рыночных темпов изменения цен и доходов (v и u) нужно поставить темпы
оцениваемого объекта (v о и u о), а расчет рыночной стоимости выполнять только с помощью
формулы капитализации (22), поскольку тенденции изменения доходности и цены
оцениваемого объекта совпадают с рыночными тенденциями (см. пример выше). Кроме того, если
ставка капитализации рассчитывается по рыночным данным (метод экстракции), то значение
рыночной стоимости по сравнительному подходу до копейки совпадет со значением рыночной
стоимости по доходному подходу (с чем наверняка сталкивались многие оценщики)4. Казалось бы,
цель достигнута. Результаты сравнительного и доходного подходов совпадают. Но чем тогда
4
Дело в том, что для определения ставки капитализации в доходном подходе используется в качестве делителя уже рассчитанная
рыночная стоимость в сравнительном подходе, а операционные расходы и издержки в процентном выражении у объекта оценки и
аналогов одинаковы (ведь выбираться должны аналоги с точно такими же свойствами, что и оцениваемый объект).
7
n
 PVs
отличается ставка капитализации от мультипликатора
s 1
n
 NOI s
— средства сравнительного
s 1
подхода? Обычно для устранения этого противоречия предпринимаются попытки «усложнить»
процесс расчета, например, путем дисконтирования денежных потоков или использования
методов капитализации по Инвуду, Рингу, Хоскольду, Гордону и т.п. Однако все они, если
придерживаться первой точки зрения, будут приводить к ошибкам. Результаты усложненных
расчетов заведомо не будут совпадать с результатом, полученным по формуле капитализации (22),
потому что использование указанных методов возможно при предпосылках, отличающихся от
предпосылок приверженцев первой точки зрения.
Таким образом, стремление получить сформировавшееся на дату оценки значение
стоимости объекта доходным подходом автоматически приводит к вырождению его методов.
Иного и не следовало ожидать. Ведь доходный подход нужен не для определения
сложившейся на данный момент, в силу различных обстоятельств, стоимости доходных
объектов, а для определения потенциально возможной стоимости исходя из их полезности в
будущем. Вполне может быть, что из-за неразвитости (закрытости) рынка существующая
цена окажется заниженной или завышенной. Вскрыть это как раз и должны методы
доходного подхода, так как затратный и сравнительный подходы этого сделать не могут по
определению.
Вторая точка зрения. Наиболее вероятные инвесторы могут вкладывать деньги,
получаемые от оцениваемого объекта, в любые объекты (в том числе и в оцениваемый
объект), причем не обязательно для владения ими до окончания их жизненного цикла, а с
возможностью продажи их в любой момент после покупки.
Теоретически такая точка зрения представляется рациональной, так как в
действительности так все и происходит. Однако какие масштабы территориальных и
экономических интересов инвесторов брать за основу для прогнозирования ставки
капитализации, а также темпов изменения стоимости и доходов? В масштабах всей страны,
региона, города, отрасли…? Применительно к рынку аналогичных объектов или всех
возможных объектов инвестирования? Очевидно, что однозначных ответов на подобные
вопросы быть не может. Все определяется целями и задачами оценки, а самое главное —
совершенством законодательной и нормативной базы и четкостью определений понятий,
используемых в оценочной деятельности.
Приведенные выше формулы для расчета рыночной стоимости доходных объектов
достаточно сложны как для осмысления, так и для выполнения вычислений. Естественно
стремление упростить их даже за счет принятия допущений и предположений, снижающих
точность конечных результатов. Так появились формулы Гордона, Инвуда и многие другие,
однако, к сожалению, в современных пособиях по оценке не показывается, как получена та или
иная формула и какие предположения положены в основу ее вывода. Это часто приводит к тому,
что оценщики используют расчетные соотношения, абсолютно не соответствующие ситуации
оценки. Кроме того, непонимание истоков ведет к потере ориентиров для определения масштабов
методических ошибок вычислений.
Например, формула Гордона получена после принятия следующих допущений:
1. Чистые доходы и цены на рассматриваемом рынке изменяются одинаковыми темпами, а
значит, не зависят от номера прогнозируемого периода (u = v). Тогда, как показано выше, ставка
дисконтирования постоянна, т.е. также не зависит от номера прогнозируемого периода (r = R + v).
2. Чистый доход и стоимость оцениваемого объекта изменяются синхронно с одинаковыми
темпами (uо = vо).
С учетом этих двух допущений формула (20а) принимает вид
n
NOI  (1  vо ) k 1 PV  (1  vо ) n
PV  

. (23)
(1  r ) k
(1  r ) n
k 1
Решение этого уравнения относительно PV дает формулу Гордона
NOI
PV 
. (24)
r  vо
8
Заметим, что темп изменения стоимости (доходов) объекта оценки в будущем vo может
быть как положительным (рост), так и отрицательным (падение), но самое важное, что при таких
допущениях рыночная стоимость не зависит от срока владения объектом, будь-то год или 100 лет.
Поскольку r = R + v, формула Гордона должна иметь вид
NOI
(25)
PV 
.
R  v  vo
Если, например, v > vo, то это означает, что темп роста доходов и цены оцениваемого
объекта ниже рыночного темпа, а значит, его ожидаемая рыночная стоимость будет ниже
среднерыночной. Наоборот, если v < vo, то предполагается, что объект оценки ожидают радужные
перспективы по сравнению с типичными объектами данного рынка. Ценность этого объекта,
поэтому, возрастает.
Стремление к упрощениям привело также к появлению метода прямой капитализации
дохода. Истоки метода капитализации основываются, вероятно, на следующей идее.
Поскольку чистый доход NOI в формулах (20) или (23) постоянный, то его можно вынести
за знак суммы, а формулы привести к виду
NOI
PV 
. (26)
(1  vо ) n
1 n
[1  r (i)]
i 1
n

k 1
(1  u о ) k 1
k
[1  r (i)]
i 1
Обозначив «неудобный» знаменатель коэффициентом5 капитализации Rо, получим
«удобную» расчетную формулу метода капитализации чистого дохода:
NOI
PV 
. (27)
Ro
В сущности, от общего метода дисконтирования доходов метод капитализации ни чем не
отличается. Вместе с тем, в теории и на практике считается, что это различные методы. Немалую
роль в этом сыграла теория кредитов, переводя задачу в термины «доход от инвестиций» и
«возврат вложенных инвестиций (капитала)». Коэффициент капитализации Rо, поэтому,
разделяют на две составляющие – ставку дохода на инвестиции r и ставку возврата инвестиций rv,
т.е. Rо= r + rv.
Так, в методе капитализации по Инвуду коэффициент капитализации для расчета
рыночной стоимости по формуле (27) принимается равным
(28)
Ro  r  F 3(n, r ),
где
F3(n,r) = r/[(1 + r)n – 1) — ставка возврата инвестиций, рассчитываемая с помощью третьей
функции денег (фактора фонда возмещения);
n — срок службы объекта.
В рамках каких же допущений справедлив метод Инвуда? Вот эти допущения:
1) чистые доходы и цены на рассматриваемом рынке изменяются одинаковыми темпами, а
значит, не зависят от номера прогнозируемого периода (u = v);
2) чистые доходы от объекта постоянны NOIk = NOI = const, следовательно, темп их
изменения равен нулю (uo = 0);
3) остаточная стоимость объекта через n периодов равна нулю, т.е. темп изменения его
стоимости vo = –1 (см. формулу (23)).
При принятии этих допущений формула (26) после преобразований приобретает вид
NOI
PV 
.
(29)
r  F 3(n, r )
Если в формуле (26) вместо (1 + vo)n поставить (1 – V), где V — износ объекта оценки через
n лет, а темп изменения доходов также принять равным нулю (uо = 0):
5
Именно коэффициентом, а не ставкой капитализации, т.к. многие не делают различий между этими понятиями.
9
n
NOI
PV  

PV  (1  V )
(30)
,
(1  r ) n
то после аналогичных преобразований получается расширенный метод капитализации по Инвуду:
NOI
PV 
. (31)
r  V  F 3(n, r )
Нет необходимости доказывать, что расчеты по формулам (31) и (26) с учетом принятых
допущений дают совершенно одинаковые результаты.
В методе Хоскольда в качестве аргумента третьей функции денег используется
безрисковая ставка дохода на инвестиции. Почему безрисковая? Обычные объяснения, как
правило, туманны, со ссылками на необходимость понимания некой экономической природы
явления. На самом деле метод Хоскольда — это тот же метод Инвуда, в формуле (31) которого
вместо составляющей VF3(n,r) используется третья функция денег с процентной ставкой rb,
обеспечивающей равенство
(32)
V  F 3(n, r )  F 3(n, rb).
Другими словами, расчет рыночной стоимости можно проводить и по формуле (29), но
ставка в третьей функции денег должна быть подобрана такой, чтобы выполнялось равенство (32).
Если износ объекта оценки через n лет прогнозируется меньшим 100%, т.е. V < 1, то ставка rb в
функции F3(n,rb) обычной (не расширенной) формулы капитализации по Инвуду должна быть
больше ставки дисконтирования r.
Необходимость же подстановки в F3(n,rb) ставки rb меньшей ставки дисконтирования r
возникает при V > 1, т.е. в том случае, когда предполагается, что в конце прогнозируемого периода
или срока использования рыночная стоимость оцениваемого объекта будет отрицательной.
Отрицательная стоимость — не абстракция. Вполне может оказаться, что после использования
объекта потребуются затраты на его ликвидацию. Например, после истощения запасов
месторождения необходим демонтаж всего технологического комплекса и восстановление
экологии района.
Необходимо заметить, что, как следует из (32), ставка rb зависит от ставки
дисконтирования r, износа объекта оценки V и срока n его использования (см. рис. 3)6.
k 1 (1  r )
k
0,25
0,2
n=5 лет
0,15
rb
n=10 лет
0,1
n=20 лет
0,05
0
1
1,1
1,2
1,3
1,4
V
Рис. 3. Зависимость ставки rb от износа V объекта при различных сроках n его «жизни» и ставке
дисконтирования r = 0,2 (износ больше единицы означает, что в конце срока «жизни» потребуются
затраты на ликвидацию или реализацию объекта больше остаточной его стоимости)
Как видим, ставка rb жестко связана как с рынком, так и с будущим состоянием объекта.
Использовать вместо нее безрисковую ставку в обычном ее понимании, как этого требует метод
Хоскольда, мягко говоря, необъяснимо никаким глубоким экономическим смыслом7. Нет и особой
необходимости решать задачу определения рыночной стоимости с помощью данного метода. Он
является лишь трансформацией метода дисконтирования чистых доходов, не только не вносящей
ясности, но и априори ориентированной на получение довольно грубого приближения к реальной
рыночной стоимости.
6
7
Расчет rb выполнялся по формуле (32) методом итераций. В среде Excel это обеспечивает опция «Подбор параметра».
Напомним, что речь идет о проблемах оценки рыночной стоимости, а не инвестиционной.
10
Но почему же все-таки для расчетов рекомендуется безрисковая ставка? В условиях
существенной неопределенности, когда об объекте оценки известно лишь то, что его остаточная
стоимость будет отрицательной, использование безрисковой ставки в данном методе дает
нижнюю границу стоимости объекта. Это вполне устраивает осторожного инвестора и, если у
продавца нет других вариантов, то сделка по найденной этим методом стоимости может
состояться. Признать такую ситуацию системой можно только на плохо сбалансированном рынке.
Но если такие сделки происходят систематически, то это отразится на ставке дисконтирования
данного рынка. Ставка учтет сложившиеся тенденции. Получается замкнутый круг и вывод: метод
Хоскольда применим для расчета не рыночной, а инвестиционной стоимости для осторожного
инвестора.
Еще один достаточно известный метод капитализации чистого дохода — метод Ринга.
Существенные отличия этого метода от двух предыдущих следующие:
1. Остаточная стоимость объекта оценки через n лет предполагается равной нулю.
2. Чистые доходы прогнозируются из периода в период линейно уменьшаемыми по
абсолютно четкой закономерности, обеспечивающей равенство текущей стоимости этих будущих
доходов частному от деления чистого дохода NOI первого периода (года, месяца и т.п.) на
коэффициент капитализации Ro  r  1/ n, т.е.
NOI
PV 
. (33)
r  1/ n
Таким образом, чтобы использовать метод капитализации Ринга оценщик должен быть
уверен, что остаточная стоимость объекта через n лет будет равна нулю, а чистые доходы от его
эксплуатации будут уменьшаться в соответствии с алгоритмом
r/n


(34)
NOIi  NOI  1 
(i  1)  .
 r  1/ n

Например, если ставка дисконтирования (дохода на инвестиции) равна r = 0,12, срок
«жизни» n = 4, чистый доход первого года NOI = NOI1 = 370, то чистые годовые доходы остальных
лет должны быть такими: NOI2 = 340, NOI3 = 310, NOI4 = 280. Дисконтирование этих доходов по
ставке 0,12, как и деление чистого дохода первого года на коэффициент капитализации 0,12 + 0,25
= 0,37, дает рыночную стоимость 1000.
Метод Ринга часто используется оценщиками из-за своей простоты. Однако маловероятно,
что реальные доходы оцениваемых объектов будут уменьшаться точно так или хотя бы почти так,
как предписывает им метод Ринга по формуле (34). Да и не доказывает практически никто, что
такой темп как раз и характерен для оцениваемого объекта. А между тем, прогнозируемые с
учетом других факторов темпы изменения доходов могут отличаться от темпа, ожидаемого
инвестором, полагающего, что объективная действительность будет возвращать ему капиталы по
схеме Ринга. Ощутимы при этом и отличия в результатах расчетов рыночной стоимости методами
Ринга и дисконтирования доходов.
Метод Ринга, подобно расширению метода Инвуда, также можно расширить с тем, чтобы
можно было подбирать адекватный коэффициент капитализации под любые темпы линейного
изменения прогнозируемых чистых доходов как уменьшающихся, так и увеличивающихся.
Расширение можно осуществить путем введения коэффициента пропорциональности р в
знаменатель ставки возмещения капитала. Тогда расширенный коэффициент капитализации Ринга
примет вид
(35)
Ro  r  1 /(n  p),
где р — коэффициент пропорциональности (р > 0).
Подбором значений коэффициента пропорциональности р можно смоделировать любой
линейный темп изменения доходов, соответствующий прогнозируемому темпу для данного
объекта оценки, по формуле


r  [r  n  p  1  (1  r ) n ]
 . (36)
NOI i  NOI  1 

(
i

1
)
n

 (r  n  p  1)  [n  r  1  (1  r ) ]

Интерпретация же нового второго слагаемого в формуле расширенного коэффициента
капитализации для рассуждений и требований инвесторов остается такой же. Это норма (ставка)
возврата инвестиций, «требуемых» от рынка потенциальным инвестором.
Для примера. Если ставка дисконтирования (дохода на инвестиции) равна r = 0,12, срок
«жизни» n = 4, чистый доход первого года NOI = NOI1 = 370, чистые годовые доходы остальных
11
лет NOI2 = 305, NOI3 = 240, NOI4 = 175, то коэффициент пропорциональности p должен равняться
0,8. Иначе деление чистого дохода первого года на коэффициент капитализации, рассчитанным
обычным методом Ринга, даст результат 370/(0,12 + 0,25) = 1000. Дисконтирование же этих
доходов по ставке 0,12 приводит к результату 855,5.
Другими словами, если прогнозируются чистые годовые доходы 370, 305, 240 и 175, то
при ставке дисконтирования (дохода на инвестиции) r = 0,12 норма возврата должна быть равной
1/(40,8) = 0,3125. Тогда результат 370/[0,12+1/(40,8)] = 855,5 будет равен результату,
полученному методом дисконтирования доходов.
Манипуляции с расширением метода Ринга (равно как и с расширением других методов
капитализации) можно продолжить. Например, можно подобрать такую норму возврата в методе
Ринга, чтобы это соответствовало и прогнозируемым доходам, и прогнозируемой стоимости
объекта оценки. Вот только проще ли станет оценка с помощью таких расширений?
Таким образом, методы капитализации по Инвуду, Хоскольду и Рингу, а также формула
Гордона, которую также можно отнести к методам капитализации, представляют лишь
упрощенные при определенных допущениях модификации метода дисконтирования денежных
потоков (см. таблицу).
Условия, при которых корректно использование методов капитализации
Остаточная стоимость
Метод
Чистые доходы
через n периодов
Гордона
Изменяются
NOI
PV  (1  vo ) n
PV 
NOI  (1  vo ) i 1
o
r v
Инвуда
NOI
Постоянны
=0
PV 
r  F 3(n, r )
Инвуда расширенный
NOI
Постоянны
PV(1 – V) > 0
PV 
r  V  F 3(n, r )
Хоскольда
 F 3(n, rb) 
NOI
0
PV  1 
Постоянны
PV 
F 3(n, r ) 

r  F 3(n, rb)
Уменьшаются
Ринга
r/n
NOI


=0
NOIi  NOI  1 
 (i  1) 
PV 
r

1
/
n
r  1/ n


р < F2(n,r)/n — уменьшаются;
р > F2(n,r)/n — увеличиваются
NOI i  NOI  ...
Ринга расширенный

NOI
r  (r  n  p  1  (1  r ) n )
=0
PV 
... 1 
 ...
n
r  1 /( n  p)
 (r  n  p  1)  [n  r  1  (1  r ) ]
... (i  1) 
Забыт в настоящее время метод капитализации Эллвуда, предназначенный для оценки
объектов, обремененных долговыми обязательствами. Как и все ранее упомянутые упрощенные
методы капитализации, метод Эллвуда также справедлив только при определенных допущениях
(формула Эллвуда выводится так же, как и формулы Гордона и Инвуда [3]). Кстати, метод
Эллвуда лежит в основе расчета коэффициента капитализации для метода «инвестиционной
группы» или «связанных инвестиций» в оценке собственности. В дальнейшем этот коэффициент
трансформировался в «метод средневзвешенной стоимости капитала» в оценке бизнеса, где его с
успехом используют в качестве… ставки дисконтирования для оценки не собственного, а
инвестированного капитала. Результат – невозможность баланса между найденным значением
стоимости инвестированного капитала и суммой стоимостей собственного капитала и долга [4].
12
Упрощенные методы расчета рыночной стоимости (методы капитализации) были
разработаны, чтобы облегчить расчеты в условиях практически полного отсутствия ЭВМ, и для
своего времени это было вполне оправдано. Имеется ли хоть какой-нибудь выигрыш от
использования упрощенных методов расчета рыночной стоимости в настоящее время?
С точки зрения сокращения количества вычислительных операций - выигрыша нет. В век
компьютеров об этом нет необходимости даже упоминать, а в ситуации с методом Эллвуда
оказывается значительно проще и быстрее дисконтировать денежные потоки, чем вычислять
необозримые формулы с использованием функций денег.
С гносеологической же точки зрения упрощенные методы вряд ли способствуют познанию
методологии доходного подхода. Скорее наоборот. Непонимание истоков простых, на первый
взгляд, формул капитализации раскрывает широкий простор для различного рода интуитивных
фантазий в теории и на практике. Критерием же истины для всех методов капитализации является
метод дисконтирования доходов.
Приложение:
Последовавшая после публикации статьи критика касалась, главным образом, усреднений
(см. формулы (13)). Выражая благодарность авторам критики за интерес к статье и
проницательность, автор данной работы счел необходимым выполнить процедуры усреднений
более ясным путем.
Итак, общий инвестированный капитал за i-й период:
i
n
i
n
i 1
n
 PV  [1  v ( j)]  NOI [1  u ( j )]   PV [1  v ( j)]  [1  r (i)].
s 1
s
s
s
s 1
j 1
s
s 1
j 1
s
s
s
(13)
j 1
n
Разделим правую и левую части уравнения (13) на одну и ту же величину:
 PV
s 1
s
.
Равенства при этом мы не нарушим:
i
n
 PVs  [1  vs ( j )]
s 1
j 1
n
 PV
s 1
i
n

 NOI s  [1  us ( j )]
s 1
j 1
n
 PV
s

n
i 1
s 1
j 1
 PVs [1  vs ( j )]  [1  rs (i)]
n
 PV
s
s 1
s 1
(13-1)
s
Рассматривая первое слагаемое в левой части уравнения (13-1) можно заметить, что это не
i
что иное, как средневзвешенное значение величины
[1  v( j )] .
j 1
Умножим теперь числитель и знаменатель второго слагаемого уравнения (13-1) на одну и
n
ту же величину
 NOI
s 1
n
i
s 1
j 1
s
:
 NOI s  [1  us ( j)]
n
 PV
n

s
s 1
 NOI
s 1
n
 NOI
s 1
s
.
s
Несколько видоизменим последнее выражение, не нарушая эквивалентности:
n
i
s 1
j 1
 NOI s  [1  us ( j )]
n
 NOI
s 1
s
n

 NOI
s 1
n
 PV
s 1
s
.
s
Видим, что первый множитель – это просто средневзвешенное значение величины
i
[1  u ( j )] , а второй – ставка капитализации – R (см. формулу (10)).
j 1
13
Рассмотрим, наконец, правую часть уравнения (13-1). Утверждать, что эта часть
i 1
также представляет собой средневзвешенное значение произведений
[1  v ( j )]  [1  r (i)] ,
s
s
j 1
по аналогии с предыдущим, строго говоря, нельзя. Дело в том, что неизвестны соотношения
i 1
[1  v ( j )]
множителей
и [1  rs (i )] .
s
j 1
Представим правую часть уравнения (13-1) в следующем виде:
n
 PV А  В
s
s 1
s
s
.
n
 PV
s
s 1
Умножим числитель и знаменатель этого выражения на
n
 PV
s 1
n
s
:
n
 PV А  В   PV
s
s 1
s
s
n
s 1
s
.
n
 PV   PV
s
s 1
s
s 1
Если бы его числитель имел вид
n
n
s 1
s 1
 PVs Аs   PVs  Вs , можно было бы с полной
уверенностью утверждать, что имеем произведение средневзвешенных значений А и В.
Но, на самом деле,
n
n
n
n
 PV А  В   PV   PV А   PV  В .
s
s 1
s
s
s 1
s
s 1
s
s
s 1
s
s
На сколько же мы ошибемся, если все же предположим, что числитель
n
s 1
n
n
 PV А  В   PV
s
s
s
s 1
s
можно
представить
в
виде
n
 PV А   PV  В .
s 1
s
s
s 1
s
s
Непосредственной проверкой убеждаемся, что погрешности такого допущения крайне
незначительны (n – число объектов-аналогов; runif(N,a,b) – генератор случайных чисел):
14
Более того, при большом числе объектов-аналогов относительная погрешность
принятого допущения стремится к нулю:
А раз так, то формула (13-1) может быть записана в следующем виде:
i
i
i 1
j 1
j 1
j 1
[1  v( j)]  R  [1  u( j)]  [1  v( j)]  [1  r (i)],
(14)
15
n
где
i
 [1  v( j )] 
i
 PVs   [1  v s ( j )]
s 1
j 1
n
 PVs
j 1
 F1(i );
s 1
i
n
i
[1  u( j )] 
 NOI s  [1  us ( j )]
s 1
j 1
j 1
 NOI
s 1
i
;
n
[1  v( j )]  [1  r (i)] 
s
n
i
s 1
j 1
 PVs  [1  vs ( j )]  [1  rs (i)]
j 1
n
 PV
s 1
.
s
Разрешив равенство (14) относительно искомой ставки дисконтирования, получим:
i
r (i ) 
R   [1  u ( j )]
j 1
i 1
[1  v( j )]
 v(i ),
(15)
j 1
Автор признателен всем, кто заинтересовался идеями статьи. Особую признательность
автор выражает А.И. Артеменкову, чья дотошность (в самом хорошем смысле этого слова)
позволила многое еще и еще раз переосмыслить, а в данном случае и найти ошибки в процедурах
усреднения.
Литература
1. Михайлец В.Б. Ставка дисконтирования в оценочной деятельности // Вопросы оценки. 2002.
№ 3. С. 35–39.
2. Оценка стоимости предприятия (бизнеса) / А.Г. Грязнова, М.А. Федотова, М.А. Ескиндаров и
др. М.: Интерреклама, 2003. 544 с.
3. Михайлец В.Б. Доходный подход и метод фиксированного финансового левереджа (в порядке
обсуждения) // Вопросы оценки. 2001. №1.
4. Дамодаран А. Инвестиционная оценка. Инструменты и техника оценки любых активов./Пер. с
англ.-М.: Альпина Бизнес Букс, 2004.-1342 с. (см. стр. 18).
16