Вычислительные эксперименты по расчету кредитных ставок в

Ерешко А.Ф., Сытов А.Н.
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО
РАСЧЕТУ КРЕДИТНЫХ СТАВОК В КОАЛИЦИЯХ
ЗАЕМЩИКОВ ПРИ ОПЕРАТИВНОМ УПРАВЛЕНИИ
И НЕОПРЕДЕЛЁННОЙ ДИНАМИКЕ ВХОДА И
ВЫХОДА УЧАСТНИКОВ
В прошлых работах авторов были поставлены задачи формирования
Коалиции заёмщиков в условиях неопределённости факторов (процентных
ставок на депозиты и кредиты, цен на жильё, динамики прихода новых членов и
нештатных выбытий ранее пришедших членов) и предложены некоторые
алгоритмы. Настоящая работа продолжает указанные исследования. В работе
представлены соотношения для расчета кредитных выплат участников
коалиции при её оперативном управлении и приводятся результаты
вычислительных экспериментов в условиях постепенного формирования
коалиции и пошагового поступления информации.
Введение
В работе предложено формальное описание пошаговой динамики формирования Коалиции,
позволяющее проводить необходимые вычислительные эксперименты.
С формальной точки зрения выбор внутренней ставки кредитования (и кредитных выплат)
представляет собой поиск оптимального синтеза управления в динамической системе при
пошаговом поступлении информации о неопределённых факторах (в данном случае, приходов и
выбытий участников Коалиции). Критерием задачи выступает качественный показатель
обеспечения самофинансирования Коалиции, т.е. обеспечение в последний момент равенства
нулю собственного капитала Коалиции. Поскольку решение сформулированной задачи крайне
затруднительно, принят к расчётам приближённый подход, при котором производится генерация
конечной серии рациональных стратегий выбора кредитных выплат и последующая
статистическая оценка устойчивости Коалиции при различных сценарных реализациях
неопределённых факторов.
Во всех формах ипотечного кредитования, ключевой идеей является принцип возможного
использования актива экономическим агентом до полной его оплаты при условии его залога и
последующей выплаты финансовых средств, полученных в кредит. Таким образом,
экономический агент сокращает время ожидания до потребления актива, но увеличивает
собственные расходы на его приобретение. Как отмечается в работах по ипотечному
кредитованию [1], многообразные факторы, сопутствующие процессу получения кредитов и его
возврату требуют соответствующего вычислительного арсенала. С точки зрения банков – это
обычный кредит с достаточной гарантией, для потребителя – возможность досрочного обладания
активом.
Для всех участников процесса весьма важно оценить соотнесение уровня потребления актива
для агента, прибыли от операции для кредитной организации и риска операции. Далее развивается
подход для решения этих проблем, учитывающий неопределённости, сопутствующие процессу
формирования Коалиции в оперативном режиме.
1. Задача оперативного управления
1.1. Основные расчетные соотношения в задаче оперативного управления
Переменными модели являются активы, обязательства и собственный капитал коалиции,
формируемые из активов и обязательств участников. Предусматривается возможность получения
коалицией внешних кредитов и размещения временно свободных средств коалиции на внешних
депозитах. Пусть Ct – цена жилья в момент времени t , а t k0 – момент вступления участника k в
коалицию. Обозначим через U k накопительные платежи участника, uk процентная ставка по
внутренним депозитам, d порог накопления. Накопления участника вместе с начисленными
процентами
GkD, t 1  1  uk   GkD, t  U k , t  tk0 , tk0  1,... , GkD tk0  U k .
 


Момент времени, когда участник получает кредит t1k  min t : GkD,t  d  Ct .
Кредитный платеж участника k в момент времени t обозначается как Vk,t v  , где v
соответствующая процентная ставка, по которой участник получает кредит. Задолженность
участника по кредиту:
GkC,t 1 v   1  v   GkC,t v   Vk ,t 1 v  , t  t1k , t1k  1,... , . GkC v, t1k  C t1k  GkD t1k .
  



Момент полного погашения задолженности по кредиту tk2 v   min t : GkC,t v   0 .
Потоки накопительных и кредитных платежей участника
PkD, t  U k , t  tk0 ,..., t1k ; PkC, t v   Vk , t v  , t  t1k  1,..., tk2 v  .
Потоки изъятий участником накопленных на депозите денежных средств и выданных кредитов
( RkD,t  GkD,t , RkC, t  Ct  GkD, t , t  t1k .
Процентные ставки по внешним вложения и заимствованиям коалиции обозначаются, как  и
 , соответственно. Баланс денежных средств коалиции
H t 1  , v   1  t  , v   H t  , v   Pt 1  , v   Rt 1   , t  0,...,T  , v   1 , H  , v, 0  P , v, 0  R , 0 ,
где T  , v   max tk2 v  , а t  , v    , если H t  , v   0 и t  , v    , если H t  , v   0 .
k K 
Первый блок расчетов носит апостериорный характер. Для каждого  ,   0,...,T 0
определяется множество участников K , которые к моменту времени  вступили в коалицию, и
рассчитываются ставки самофинансирования v   в системе, составленной из этих участников.
Здесь T 0 обозначает момент вступления последнего участника, т.е T 0  max tk0 . Основные
kK
формулы, по которым проводятся расчеты, имеют следующий вид
H t 1  , v   1  t  , v   H t  , v   Pt 1  , v   Rt 1   , t  0,...,T  , v   1 ,
T  , v   max tk2   .
k K
Pt  , v   Pt    Pt  , v  , Rt  , v   RtD    RtC   ,
D
Pt D   
 PkD,t ,
kK
Pt C  , v  
C
 PkC,t v  ,
kK
RtD   
 RkD,t ,
k K
RtC   
 RkC,t .
k K
v   min v : H  , v;T  , v   0 .
Во втором блоке расчетов рассматривается априорный метод управления процентными
ставками участников по внутренним кредитам, который мы будем называть адаптированный к
вступлению участников в Коалицию, когда текущий уровень процентных ставок участников по
внутренним кредитам самофинансирования принимается не для всех, а только для вновь
вступившего участника. Для каждого  ,   0,...,T 0 определяется множество участников K ,
которые к моменту времени  вступили в коалицию. Это множество составляют участники K ,
которые вступили в коалицию до момента времени  , и участники K , которые в этот момент
вступают в коалицию.
H t 1  , v   1  t  , v   H t  , v   Pt 1  , v   Rt 1   , t  0,...,T  , v   1 ,
 
Pt D   
T  , v   max max tk2 vk , max tk2 v  .
k K
 kK

D
C
D
Pt  , v   Pt    Pt  , v  , Rt  , v   Rt    RtC   ,
 PkD,t ,
kK
PtC  , v  
 PkC,t vk    PkC,t v  ,
kK
kK
RtD   
 RkD,t ,
k K
RtC   

 RkC,t .
k K
v   min v : H  , v;T  , v   0 , vk  v tk0 .
В третьем блоке расчетов рассматривается априорный метод управления процентными
ставками участников по внутренним кредитам, который мы будем называть гарантирующим. Для
каждого  ,   0,...,T 1 определяется множество участников K , которые к моменту времени 
вступили в коалицию. Это множество составляют участники K , которые получили кредит до
момента времени  , и участники K , которые получают кредит в момент времени  или позднее.
Здесь T 1 последний момент получения кредита участниками коалиции, т.е. T 1  max t1k .
kK
H t 1  , v   1  t  , v   H t  , v   Pt 1  , v   Rt 1   , t  0,...,T  , v   1 ,
 
Pt D   
T  , v   max max tk2 vk , max tk2 v  .
k K
 kK

D
C
D
Pt  , v   Pt    Pt  , v  , Rt  , v   Rt    RtC   ,
 PkD,t ,
kK
PtC  , v  
 PkC,t vk    PkC,t v  ,
kK
kK
RtD   
 RkD,t ,
k K
RtC   

v   min v : H  , v;T  , v   0 , vk  v t1k .
 RkC,t .
k K
1.2. Численные расчёты
Приведем пример расчетов, считая, что в каждый момент времени в коалицию вступает ровно
один участник, а цены на жилье остаются постоянными. Для основных параметров были выбраны
следующие значения: T 0  90 . Ct  80 000 . , U k  800 . , u  5.% ,   5.% .   10.% .
Предполагалось, что кредитные платежи участников во время погашения задолженности, за
исключением последнего платежа, не зависят от процентной ставки, Vk ,t v   800. ,
t  t1k  1,..., tk2 v   1 . Для каждого участника размер последнего платежа определялся из условия
равенства нулю задолженности в момент времени tk2 v  . На каждом шаге  процентная ставка по
внутренним кредитам рассчитывалась перебором по значениям v  0.%,0.5%,...,10.% . Процентные
 
ставки
v T 0 при двух значениях параметра d  0.3, 0.5 составили 9.% и 5.% годовых,
соответственно.
v
10
9
8
7
6
5
4
3
0
20
40
60
80
Рис. 1. Графики зависимостей v   ,   0,...,T 0 при d  0.3, 0.5
2. Неопределённая динамика входов и выходов
2.1. Характеристики стратегий формирования Коалиции.
Для иллюстрации постановок возможных стратегий выбора кредитных выплат приведём
пример формирования Коалиции на первых двух шагах. Положим, что все факторы модели, кроме
внутренней кредитной ставки и динамики прихода участников заданы.
Первый шаг. В момент времени t  0 в Коалицию вступает первый участник. Из условия
самофинансирования для системы, состоящей из одного участника, определяется ставка v1
(минимальная ставка по внутренним кредитам, при которой удается добиться
самофинансирования). Для одного участника эта ставка будет равна ставке по внешним кредитам
v1 =  .
Второй шаг. В момент времени t  1 в Коалицию вступает второй участник. Для Коалиции из
двух участников определяется ставка v 2 и соответствующие кредитные выплаты, при которой
Коалиция из двух участников достигает самофинансирования, произведя перерасчёты с самого
начала. Рассмотрим тот случай, когда v 2  v1   . Тогда для стратегии всей системы возможны, по
крайней мере, два варианта:
Вариант 1: Возможно в реальном расчёте траектории системы установить кредитные выплаты
для первого участника, рассчитанные по ставке v1 на все его кредитные шаги. А для второго
участника рассчитывать кредитные выплаты по ставке v 2 на всех его кредитных шагах.
Вариант 2. Возможно в реальном расчёте траектории изменить кредитную выплату для
первого члена и рассчитать её по ставке v 2 . И так поступать на каждом шаге, при последующем
увеличении числа участников Коалиции.
Исследования, которые проводились в предыдущих работах являлись «апостериорным
анализом» с точки зрения собственно организации коалиции, - при заданным числом участников и
заданным временем её существования и заданными договорными отношениями между коалицией,
как юридическим лицом, и её участниками. В реальных условиях при формировании коалиции в
динамике априори неизвестно количество участников и их набор финансовых показателей.
Поэтому принципиально важной становится проблема по выбору рациональной стратегии
поведения коалиции (которая является независимым юридическим лицом) по формированию
очереди заёмщиков и априорного выбора условий объединения, привлекательных для заёмщиков.
Назовём анализ формирования коалиции «априорным анализом» и отметим, что этот анализ
должен дать оценки гарантии успешного функционирования ссудно-сберегательных касс с
пониженной ставкой внутреннего кредита по сравнению с чисто банковской ипотекой.
2.2 Вычислительные эксперименты
Считается, что коалиция организуется по принципу очереди, т.е. в каждый момент времени
вступает ровно один участник. Задаются следующие основные параметры: количество участников
61, цена недвижимости 80 000 единиц, накопительные и кредитные платежи участников 1 600
единиц, процентная ставка по внутренним депозитам и внешним вложениям 4%, порог
накопления 0.5, процентная ставка по внешним заимствованиям 10%. Зависимость процентной
ставки по внутренним кредитам от времени рассчитывается в двух случаях. В первом, при
последовательном формирования очереди и пересчетам кредитной ставки для текущего состава
коалиции (апостериорная стратегия) на интервале от начального момента времени, когда в
коалицию вступает первый участник и до момента времени, когда в коалицию вступает последний
участник. Во втором априорном случае для гарантирующей стратегии, на интервале от начального
момента времени и до момента времени, когда в коалиции выдается последний кредит. Результаты
расчетов представим в графическом виде.
10
9
8
7
6
5
4
3
0
20
40
60
80
Рис. 1. Графики зависимостей процентной ставки по внутренним кредитам от времени в
апостериорном случае (штрихпунктирная линия) и в априорном случае для гарантирующей
стратегии (сплошная линия)
Литература
1 ГАСАНОВ И.И., ЕРЕШКО Ф.И. Моделирование ипотечных механизмов с
самофинансированием // Сообщения по прикладной математике ВЦ РАН. - М.: ВЦ
РАН, 2007. 60с.
2 ГАСАНОВ И.И. Организация ссудно-сберегательной кассы по принципу очереди. //
Сообщения по прикладной математике ВЦ РАН. - М.: ВЦ РАН, 2006. 45с.
СЫТОВ А.Н. Имитационные эксперименты с общей финансовой моделью жилищной
коалиции / Материалы Второй международной конференции “Управление развитием
крупномасштабных систем”. М.: ИПУ РАН, 2008.
1. ЕРЕШКО Арт.Ф. О проблеме генерации сценариев при выборе стратегий в задаче
организации коалиции заемщиков / Материалы Третьей международной конференции
“Управление развитием крупномасштабных систем”. М.: ИПУ РАН, 2009.
3