1.14 Е.Э. Сергеева, Э.П. Кондаков.

Е.Э. Сергеева, Э.П. Кондаков
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ОРОШЕНИЕМ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ КУЛЬТУР
Один из важнейших аспектов управления мелиорацией земель – это обоснование
эколого-экономической эффективности проводимых мероприятий на орошаемых пашнях.
Решение проблемы связано с широким кругом технико-экономических задач. Это задачи
проектирования производственных систем, выбор оптимального управления, разработка
методов получения оценок экономических показателей (таких как урожайность, затраты
на орошение и рекультивацию земель, себестоимость с/х продукции). В сфере
организации и управления производством на их основе базируется принятие
стратегических и тактических решений.
В конце ХХ века возможность создания математических моделей формирования
урожайности с/х культур привлекла внимание ученых.
В настоящее время существует большое число моделей оценки урожайности. В
Московском Гидромелиоративном институте Галяминым Е.П. были разработаны
математические модели роста растений, основанные на системе дифференциальных
уравнений, описывающих рост отдельных органов растения: корня, стебля, листьев и так
далее. Шабанов В.В. разработал математическую модель формирования урожайности
зерновых культур, достаточно точно учитывающую влияние орошения. Во ВНИИГиМе
Добрачевым Ю.П. были разработаны математические модели урожайности и комплекс
программ для ЭВМ, предназначенный для управления орошением севооборотов.
В последнее время широкое распространение получили также стохастические
модели.
Стохастическая модель некоторой реальной оросительной системы может быть
представлена как динамическая система, которая под воздействием внешних случайных
входных сигналов (таких входных переменных, как осадки, температура, водный режим,
влажность корнеобитаемого слоя почвы и т.д.) изменяет свое состояние (случайные
переменные состояния), что в свою очередь приводит к изменению выходных сигналов
(выходных переменных):
Si+1 = F (Si, Ii + 1),
Ui = R (Si),
где F,R - вектор – функции; Ii, Ui, Si – векторы, соответственно входных, выходных
переменных и переменных состояния системы в тактовый момент моделирования i.
Входные переменные изменяются непрерывно, поэтому для них на основании
статистического ряда наблюдений необходимо построить интервальный вариационный
ряд, состоящий из двух граф (варианты и частоты). При его построении в первой графе
отдельные значения переменных указываются в интервалах «от – до», во второй графе –
число единиц, входящих в интервал. Интервалы образуются, как правило, равные и
закрытые.
Величина интервала определяется по формуле
i = R / m,
где R – размах колебания (варьирования) переменной;
R = xmax - xmin; xmax; xmin - соответственно, максимальное и минимальное значение
переменной в совокупности; m – число групп.
Число групп приближенно определяется по формуле Стерджесса
m = 1 + 3.322 lg n,
где n – общее число единиц совокупности (объем выборки).
Полученную по формуле величину округляют до целого большего числа, поскольку
количество групп не может быть дробным числом.
Предлагается на основании статистической обработки натурных данных на
конкретной системе выделить градации типовых декад. В частности, это могут быть
градации по декадам увлажнения: сухая, среднесухая, средняя, средневлажная, влажная.
Для каждой градации может быть определена реализация доминирующего фактора как
случайной величины. Например, в качестве такого фактора можно рассмотреть
влагозапасы в корнеобитаемом слое в j-й декаде, где j = 1,2…m.
В математических моделях Галямина Е.П., Шабанова В.В., Добрачева Ю.П. в
качестве определяющего фактора выбирались влагозапасы в корнеобитаемом слое, что
являлось очень трудоемким процессом.
Применение адаптации позволяет упростить математическую модель и в качестве
определяющего фактора рассматривать сумму осадков в течение декады и поливных
норм.
В этом случае исключаются все балансовые уравнения, учет грунтовых вод, а
полученная модель становится более упрощенной и удобной в использовании. При этом,
однако, возможно снижение точности результатов. Поэтому приходится делать выбор
между двумя подходами:
математические модели урожайности Е.П.Галямина и
Ю.П.Добрачева оказались настолько сложными, что их применение возможно только в
условиях научно-исследовательских институтов, где есть возможность провести большой
объем экспериментов для определения входящих в модели функций и констант, а также
имеются мощные вычислительные центры.
Другой подход, основанный на упрощении математической модели до такого
состояния, чтобы все расчеты можно было провести на персональном компьютере,
представляется актуальным. Однако в этом случае обязательно надо оценить точность
получаемых результатов, проводя для этого специальные численные эксперименты.
Упрощенную адаптационную модель для оценки урожайности можно записать
m
Y  B *   *j X j ,
(1)
j 1
где m –число рассматриваемых интервалов; Y –оценка урожайности с/х культуры;
B – параметр для адаптации; j - коэффициент влияния периода j, подбирается при
адаптации; Xj – значение влияющего фактора на шаге-интервале j. В нашем случае это
сумма осадков и поливных норм.
В (1) звездочкой отмечены те параметры, которые изменяются для адаптации модели
к фактическим данным.
Для определения параметров модели B, j должна быть известна статистика: Уiзначения урожайности, i = 1,2…L (L - число лет наблюдений), Хij- значения
определяющего фактора i-го года наблюдений в j-й декаде.
Адаптация проводится следующим образом: коэффициенты B, j определяются
при помощи случайного поиска на основе метода наименьших квадратов. Для этого
задается начальный набор значений B0, j0 и для него задается значение Z0, равное очень
большому числу. Для очередного испытания рассчитываются
новые значения
коэффициентов:
B= B0+D;
j=j0+D,
где D - случайная добавка, рассчитываемая при помощи датчика случайных чисел.
После этого рассчитывается сумма квадратов отклонений значений урожайности,
рассчитанных по адаптационной модели, от фактически полученной урожайности. Если
эта сумма меньше чем Z0, то в качестве значений B0 и j0 берутся значения B и j, а
значение Z0 становится равным сумме квадратов отклонений. Если сумма квадратов
отклонений больше Z0, то проводится следующее испытание.
Таких расчетов проводится очень много (десятки тысяч), в результате чего
параметры адаптационной модели подгоняются так, чтобы модель все точнее и точнее
предсказывала фактические урожайности.
Несмотря на громоздкое описание, эти расчеты легко выполняются на персональном
компьютере по программе, составленной в среде программирования Delphi.
Для проверки точности модели были использованы данные по урожайности
хлопчатника при различных режимах орошения, полученные в Среднеазиатском научноисследовательском институте ирригации (СНИИРи). Эти данные были разбиты на две
равные части: по одной части определялись коэффициенты адаптационной модели, а по
второй оценивалась точность результатов. Результаты приведены в таблице.
Фактическая
урожайность
Оценка урожайности по
модели
3
2,3
2,8
2,4
2,4
2,5
2,1
2,8
2,1
2,5
2,44
2,6
2,6
2
Видно, что адаптационная модель позволяет рассчитывать урожайность хлопка
достаточно точно.
Адаптационная модель урожайности является очень простой
и поэтому не
учитывает многие факторы, от которых зависит урожайность, такие как солнечная
радиация, температура воздуха, скорость ветра и другие в явном виде. Но она учитывает
их неявно, так как адаптируется к фактически полученным урожайностям, на которые эти
факторы влияли.
Однако один фактор-влажность она учитывает достаточно точно. Это дает основание
предположить, что адаптационный подход возможен и для учета других факторов. Но эти
вопросы требуют дальнейших исследований.