изучение вынужденных колебаний и явления резонанса

Министерство образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
Методические указания к лабораторной работе № 22
ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ И
ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА НАПРЯЖЕНИЙ В
ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ
КОНТУРЕ
для студентов всех видов обучения
Минск 2007
УДК 537.862 (075.8)
ББК 22.336
И 39
В настоящей работе изложены основные сведения о свободных,
затухающих и вынужденных колебаниях в электрическом колебательном контуре, рассмотрено явление резонанса напряжений в
нем.
Методические указания предназначены для студентов инженерно-технических специальностей всех видов обучения.
Составители:
С.В. Попко
Рецензенты:
В.Н. Кудин, Д.А. Русакевич
© Белорусский национальный технический университет, 2007
2
ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ И
ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА НАПРЯЖЕНИЙ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ
КОНТУРЕ
Цель работы: изучить вынужденные колебания в электрическом колебательном контуре и определить добротность
контура.
Оборудование: звуковой генератор, миллиамперметр переменного тока, вольтметр, магазин сопротивлений, соединительные провода.
1. Колебательный контур
Рассмотрим колебательный
контур, представляющий собой
электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора С, катушки индуктивности L и активного (омического) сопротивления R (рис. 1). Обозначим
через q заряд на обкладках конденсатора в данный момент
времени, U – разность потенциРис. 1.
алов на его пластинах, U 
q
.
C
Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа (законом Ома для
3
неоднородного участка цепи), согласно которому сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна сумме имеющихся в контуре ЭДС. В рассматриваемом контуре действует
ЭДС самоиндукции  s  L
dI
, возникающая в катушке инdt
дуктивности при изменении силы тока. Следовательно, уравнение Кирхгофа для данного колебательного контура имеет
вид:
IR  U  L
dI
.
dt
(1)
Здесь IR – падение напряжение на активном сопротивлении R, I – сила тока в цепи. Так как ток I 
dq
, уравнение (1)
dt
может быть преобразовано к следующему виду:
d 2 q R dq
q
 

0 .
2
L dt LC
dt
С
0 

учетом
1
LC
обычно
применяемых
(2)
обозначений
(собственная частота колебательного контура) и
R
(коэффициент затухания), уравнение (2) можно пере2L
писать в виде:
d 2q
dq
 2
 02 q  0.
2
dt
dt
(3)
Это уравнение позволяет описать динамику изменения
заряда конденсатора в рассматриваемом контуре в отсутствие
внешней ЭДС.
4
2. Свободные колебания в контуре без активного
сопротивления.
Если активное сопротивление контура R равно нулю, то
коэффициент  также равен нулю и уравнение (3) превращается в уравнение свободных колебаний:
(4)
d 2q
2
dt 2
 0 q  0
Решением этого уравнения является гармоническая функция:
q  q m сos0 t   .
(5)
В этом легко убедиться путем подстановки (5) в (4), которая превращает (4) в тождество.
Основное свойство колебательных движений – повторяемость через равные промежутки времени. Математически это
означает:
q ( t )  q ( t  T) ,
(6)
где Т – период колебаний. Воспользовавшись явным видом
зависимости q(t ) (5) мы получим:
q сos t     q сos t  T    (7)
m
0
m
0
Учитывая, что период функции косинус равен 2 , соотношение будет выполняться, если аргументы косинусов в левой и правой частях соотношения (7) отличаются на 2 . После несложных преобразований получаем:
 о t    2   о t   о T  
T
2
 2 LC
о
T  2 LC
5
(8)
Соотношение (8) носит название формула Томсона.
Из (5) можно получить выражения для напряжения на конденсаторе U и силы тока в контуре I:
q
 U m сos0 t   ;
(9)
C
dq


(10)
I
 0 q m sin 0 t     I m cos 0 t     ,
dt
2

q
где U m  m и I m  0 q m – максимальные значения напряжеU
C
ния и силы тока,  – начальная фаза колебаний.
Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется со временем гармонически с частотой 0 . Сила тока
опережает по фазе напряжение и заряд на конденсаторе на

,
2
т.е. в момент времени, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение на конденсаторе обращаются в
ноль, и наоборот. Когда конденсатор заряжен до максимальной разности потенциалов U m 
qm
, в его электрическом поC
CU 2m
, а ток отсутствует. В
2
момент, когда разность потенциалов и энергия электрического поля между обкладками конденсатора равны нулю, ток в
контуре максимален и в магнитном поле катушки индуктивLI 2m
ности запасена энергия Wмаг 
. Колебания в контуре со2
провождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей, при этом в идеальном контуре
выполняется закон сохранения энергии:
ле сосредоточена энергия Wэл 
6
СU 2m LI 2m

2
2
(11)
и колебания в этом случае являются незатухающими, т.е. их
амплитуда не изменяется со временем.
3. Затухающие колебания в контуре с активным
сопротивлением.
Всякий реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением R . В отсутствие внешней ЭДС (   0 )
энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом
сопротивлении на его нагревание в соответствии с законом
Джоуля-Ленца ( Q  I 2 Rt ), вследствие чего колебания постепенно затухают. Уравнение, описывающее этот процесс, имеет вид (3). Это уравнение совпадает с дифференциальным
уравнением затухающих механических колебаний. При условии  2  02 , т.е.
R2
1

решение (3) имеет вид:
4L LC
(12)
q  q m e t cost    ,
2
2
где   0   – частота затухающих колебаний, которая
меньше собственной частоты колебательного контура  0 .
Для напряжения на конденсаторе U 
q
, соответственно,
C
имеем:
U  U m e t сost    .
Период затухающих колебаний теперь равен:
T
2


2
 
2
0
7
2

2
1
R2

LC 4L2
(13)
.
(14)
1 2L

( – время релаксации), амплитуда ко R
лебаний уменьшается в e  2,71... раз.
За время  
Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления также имеет место колебательный процесс, однако
частота колебаний отличается от частоты свободных колебаний и амплитуда колебаний экспоненциально убывает со
временем ( A(t )  A o e t ).
Следует отметить, что решение (12) уравнения (3) не является строго периодической функцией, т.к. qt   qt  T . Говорить о периоде этой функции можно лишь в том смысле,
что она принимает нулевые значения через равные промежутки времени.
Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется
1

коэффициентом затухания . Коэффициент   , т.е. он
обратен времени релаксации за которое амплитуда уменьшится в е раз.
Наряду с  для характеристики затухающих колебаний используют следующие физические величины: декремент затухания , логарифмический декремент затухания  и
добротность контура Q.
Декрементом затухания  называют отношение амплитуды колебаний в некоторый момент времени к амплитуде колебаний через период:
q m e βt
δ
 eβT .
β  t  T 
q me
(15)
Логарифмический декремент затухания  – натуральный логарифм от декремента затухания  :
8
(16)
  ln   ln e T  T.
Логарифмический декремент затухания связан с числом
полных колебаний N, совершаемых за время , зависимостью:
T 1 
1
  T  
 ,
(17)
 N N
т.е.  – обратен числу колебаний N, по истечении которых
амплитуда уменьшается в е раз.
Добротность контура определяется через логарифмический декремент затухания  следующим образом:


(18)

 N.
 T
Q прямо пропорциональна числу колебаний N по истечении которых амплитуда уменьшается в е раз. Следовательно,
добротность контура тем выше, чем слабее затухание колебаний в нем.
Q
4. Вынужденные колебания в электрическом
контуре.
Колебания, в процессе которых колебательная система
подвергается внешнему периодически изменяющемуся воздействию, называются вынужденными колебаниями. В
электрическом колебательном контуре внешнее воздействие
обычно обусловлено подключением к контуру внешней периодически изменяющейся со временем электродвижущей силы
(t), которая создает в контуре переменное электрическое
напряжение (рис.2). Уравнение Кирхгофа с учетом внешней
9
ЭДС (t) и ЭДС самоиндукции
 s  L
dI
, возникающей в катушке
dt
индуктивности L, имеет вид:
dI
 ( t ).
(19)
dt
Здесь I – сила тока в цепи, R –
электрическое сопротивление, U –
напряжение на конденсаторе, L –
индуктивность. С учетом того, что
IR  U  L
ток I 
q
dq
, а напряжение U  ,
C
dt
(t)
Рис.2
уравнение (19) может быть преобразовано к следующему виду:
d 2 q R dq
q
( t )
(20)
 


2
L dt LC
L
dt
1
с учетом обычно применяемых обозначений 0 
(собLC
ственная частота колебательного контура) и  
ние (20) можно переписать в виде:
R
, уравне2L
d 2q
dq
( t )
(21)
 2
 02 q 
.
2
dt
L
dt
Рассмотрим случай, когда к контуру подключается ЭДС
(t), изменяющаяся гармонически:
(22)
(t )   m сos t.
10
Тогда в цепи возникает переменный ток I  I m cost   ,
который вызовет на всех элементах цепи соответствующее
падение напряжения UR, UL и UC.
Напряжение на сопротивлении:
(23)
U R  I m R cos(t  ).
U R max  I m R , где Im – амплитудное значение тока ( I m   o q m ),
 – сдвиг фаз между ЭДС (напряжением) и силой тока в цепи.
Напряжение на конденсаторе:
U C max

U C  U C max cos(t    )
(24)
2
1
1
, где
 Im
 R C – реактивное емкостное сопроC
C
тивление.
Для постоянного тока ( = 0) RC = , т.е. постоянный ток
через конденсатор течь не может.
Напряжение на катушке индуктивности:

(25)
U L  U L max cos(t    )
2
U L max  I m L , где L = RL – реактивное индуктивное со-
противление.
Для постоянного тока ( = 0) катушка индуктивности не
имеет сопротивления.
Сопоставление формул (23), (24), (25) показывает, что
напряжение на конденсаторе UC отстает по фазе от силы тока

, а напряжение на катушке индуктивности UL опережает
2

ток, текущий через катушку на . Напряжение на активном
2
на
сопротивлении изменяется в фазе с током.
11
Эти соотношения можно наглядно представить с помощью
векторной диаграммы. Для построения ее на горизонтальной

прямой отложим вектор U R . Его направление совпадает с

вектором I , т.к. напряжение на активном сопротивлении сов
падает по фазе с током в цепи. Вектор U L проводят так, что
бы он опережал вектор U R на угол

(положительный фазо2
вый угол откладывают против часовой стрелки). Так условно
графически отмечают то, что напряжение на индуктивном сопротивлении опеUL
режает по фазе силу тока в цепи.

Вектор
провоU
С
LIm
m

1
/
C
)
дят так, чтобы он
Up=Im(L
отставал от вектора

1 Im
С
RIm=UR


(отU R на угол
2
Im
рицательный фазовый угол откладывают по часовой
Рис. 3
стрелке). Это указывает на то, что на емкостном сопротивлении напряжение
отстает по фазе от силы тока в цепи.



Вектор U р – это векторная разность U L и U С .

Суммарное напряжение  m на всех сопротивлениях можно
определить по теореме Пифагора из треугольника напряжений (рис. 3).
UС
RI m 
2
2

1  
2
  L 
I m    m

C
 

12
(26)
Im 
m
1 

R 2   L 

С 

2
.
(27)
Из рис. 3 угол , определяющий сдвиг фаз между m и силой тока в цепи можно определить как:
tg 
L 
R
1
C .
(28)
Уравнение (9) называется законом Ома для переменного
тока.
2
1 

Z  R   L 
 – полное электрическое сопроC 

2
тивление контура или его импеданс. L 
1
– реактивное
C
сопротивление контура.
Допустим, что мы изменяем частоту колебания . Как показывают формулы (27), (28) это означает изменение амплитуды тока Im и сдвига фазы .
Анализируя выражения (27) и (28), можно увидеть, что когда индуктивное и емкостное сопротивления равны
L 
1
,
C
(29)
то угол сдвига фаз между током и напряжением обращается в
ноль ( = 0), т.е. колебания силы тока совершаются в фазе с
колебаниями внешней ЭДС.
Условию (29) удовлетворяет частота
 рез 
13
1
LC
 o .
В данном случае полное сопротивления цепи Z становится
минимальным, равным активному сопротивлению R цепи, и
ток в цепи определяется этим сопротивлением, принимая
максимальное
значение
LIm
( Im 
m
). При этом падение
R
напряжения на активном сопротивлении равно внешнему
m
1 Im
напряжению, приложенному к
L
цепи (UR = ), а падение напряжения на конденсаторе UC и
катушке
индуктивности
Рис. 4
UL одинаковы по амплитуде и
противоположны по фазе. Это явление резкого возрастания
амплитуды силы тока в контуре при совпадении частоты
внешнего воздействия  к собственной частоте колебательной системы о называется резонансом напряжений, а частота рез – резонансной частотой. Векторная диаграмма
для резонанса напряжений приведена на рис. 4
Зависимость Im от 
графически
изображена
Im
на рис. 5, где показаны
m
R1
три кривые, соответR2
ствующие трем разR3> R2>R1
R3
личным значениям активного сопротивления
0

R.
рез
Чем меньше R (т.е.
чем меньше декремент
затухания  или чем
Рис. 5
больше
добротность
RIm
I
14
контура Q), тем больше при прочих равных условиях Im и тем
острее максимумы кривых.
Итак, в случае резонанса напряжений
U L max  U C max .
( U L max  I m R L , U C max  I m R C , а R L  R C )
Эти напряжения равны по величине, но противоположны
по фазе, и поэтому взаимно компенсируют друг друга. Тогда
имеем:

U L max  U C max  I m R L  m рез L 
R


1
1 L
1
 m
L  m
  m Q, (рез 
, I m  m ),
R LC
R C
R
LC
где величина Q 
1
R
L
называется добротностью контура.
C
Таким образом, добротность контура показывает во
сколько раз напряжение на конденсаторе или емкости может
превышать приложенное напряжение. ( U L max  U C max   m Q )
С энергетической точки зрения добротность контура определяется отношением энергии запасенной в системе в данный
момент, к убыли энергии за один период колебаний.
В радиотехнических устройствах при передаче и приеме
модулируемых сигналов колебательный контур при настройке в резонанс с частотой внешнего сигнала должен не только
осуществлять выделение основной частоты рез, но и некоторой полосы частот Δ   2  1 .
На явлении "избирательного отбора" колебательным контуром наиболее близкого к резонансной частоте спектра частот вынуждающей внешней ЭДС основана работа всех ра-
15
диоприемных устройств. Поэтому колебательный контур является неотъемлемой частью таких приспособлений, причем
резонансная частота приемных контуров регулируется путем
изменения его индуктивности или емкости ( рез 
1
LC
).
Чем уже резонансная кривая, тем выше "избирательность"
колебательного контура, т.е. способность контура выделить
определенную частоту из многих сигналов различной частоты. Избирательность контура принято характеризовать полосой
пропускания.
I
Под полосой пропусIm
кания контура понимают ширину реIm
зонансной
кривой,
2
выраженную в герцах
и определенную по
уровню 0,7 от максимальной амплитуды
0
1 рез 2

I
колебаний ( m )(см.
2
Рис. 6
рис. 6)
Добротность контура может быть определена по виду резонансной кривой по
формуле:
Q
 рез
Δ
,
где  = 2 – 1 – полоса пропускания контура.
Добротность Q тем больше, чем меньше полоса пропускания контура. Отсюда следует, что Q является характеристи-
16
кой "избирательного" воздействия внешней вынуждающей
периодической ЭДС с частотой  на колебательный контур.
Из формулы (18) видно, что добротность Q характеризует
также затухание электрических колебаний, а значит и быстроту уменьшения энергии контура.
Контрольные вопросы.
1. Что называется колебательным контуром? Как зависит
собственная частота контура от его параметров?
2. В чем физическая причина затухания колебаний в контуре
с активным сопротивлением?
3. Какие физические величины характеризуют затухающие
колебания? Поясните их физический смысл.
4. Какие электромагнитные колебания называются вынужденными?
5. Запишите закон Ома для переменного тока.
6. Что такое резонанс? Проанализируйте явление резонанса
напряжений в колебательном контуре.
7. Что такое полоса пропускания контура и как можно определить ее экспериментально?
8. Что называют добротностью контура?
9. Где и для чего может применяться колебательный контур?
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. § 70, 71. – М.:
Наука, 1989.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 3. – Электричество.
– М.: Наука, 1978.
17
3. Практикум по физике. Электричество и магнетизм/Под
ред. Ф.А. Николаева.– М.: Высшая школа, 1991.
4. Лабораторные занятия по физике/Под ред. Л.Л. Гольдина.
– М.: Наука, 1983.
18