Марланд Логика-путеводитель ума

Логика – путеводитель ума
Марланд Татьяна,
БПОУ «Омский технологический колледж»,
Симонова Т.А., преподаватель
ВВЕДЕНИЕ
Гипотеза исследования: наибольшие затруднения у обучающихся вызовут
логические задачи.
Цель исследования – выявление и систематизация затруднений, возникающих
у студентов в ходе решения логических текстовых задач.
Задачи: 1. Изучение учебной литературы по данной теме, анализ
полученной информации;
2.Определение понятия логическая задача в математике;
3.Расширение собственного кругозора;
4.Обобщение и структуризация собственных навыков решения
логических задач;
5. Проведение исследования: подбор задач, их проверка и анализ.
Объект исследования: студенты группы 911 Ф
Методы исследования: анализ литературы; анализ результатов, полученных в
ходе исследования.
Место проведения: БПОУ «ОмТК»
Срок проведения исследования: 15.10.2015 – 16.11.2015
«…Информация заливает нас. Но как бороться с этим половодьем?
Единственный путь – не запоминать всё, что течёт в этом потоке, а
логически
упрощать…
Логика
–
это
необходимый
инструмент,
освобождающий от лишних, ненужных запоминаний, помогающий найти в
массе информации то ценное, что нужно человеку. Без логики – это слепая
работа». [2]
Наука логика – одна из древнейших наук. Ее следы просматриваются в
древнеиндийской и древнекитайской философии, а также в философии
античной Греции. Наиболее значительной фигурой здесь был Аристотель,
которого по праву считают основателем формальной логики. В его сочинениях
мы находим основы теоретического знания о формах и приемах мышления.
Навыки логического мышления отрабатываются на уроках математики
при решении текстовых задач, традиционно представляющих собой трудность
для учащихся, причем это касается не только начальной, но и средней и
старшей школы.
Сложности при выполнении этого вида учебной деятельности для
сегодняшних
студентов
становятся
еще
более
серьезными
и
распространенными в связи с возросшими проблемами, касающимися освоения
навыков чтения, понимания и смыслового анализа текста.
У значительного процента первокурсников не сформировано умение
читать и понимать текст одновременно. Понятно, что дефицит такого качества
чтения делает весьма затруднительным выбор структурированной информации
и поиск нужной стратегии при решении, сформулированной в виде сюжетного
смыслового текста учебной задачи.
Математику любят в основном те студенты, которые умеют решать
задачи.
Глава 1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
1.1 Основные понятия формальной логики
Слово логика означает совокупность правил, которым подчиняется
процесс мышления. Сам термин "логика" происходит от древнегреческого
«logos», означающего "слово, мысль, понятие, рассуждение, закон".
Формальная логика - наука о формах и законах мышления. Законы
логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов
окружающего мира. Основными формами мышления являются понятия,
суждения и умозаключения
Математическая логика изучает вопросы применения математических
методов для решения логических задач и построения логических схем, которые
лежат в основе работы любого компьютера. Суждения в математической логике
называют высказываниями или логическими выражениями. Подобно тому,
2
как для описания действий над переменными был разработан раздел
математики алгебра, так и для обработки логических выражений в
математической
логике
была
создана
алгебра
высказываний или алгебра логики.
1.2 Обозначения высказываний
A, B, C, D, E,… – высказывания,
A = 1 – A – истинное высказывание,
A = 0 – A – ложное высказывание,
– отрицание высказывания A.
1.3 Обозначения логических операций
Операция
Обозначение Другие
обозначения
Дизъюнкция ("или" неразделительное)
Конъюнкция ("и” одновременно)
Отрицание
Импликация ("влечет" или "если..., то...")
Эквиваленция ("равносильно")
1.4 Определения логических операций
A
A
0
1
1
0
B
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
Приведем примеры записи сложных высказываний с помощью
обозначения
логических
"Быть иль не быть - вот в чем вопрос".
3
связок:
.
(В. Шекспир)
"Если хочешь быть красивым, поступи в гусары".
.
(К. Прутков)
Глава 2. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня
математического развития, глубины освоения учебного материала.
Математическая задача – это связанный лаконический рассказ, в котором
введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие
неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними
определенными соотношениями, указанными в условии. Любая текстовая
задача состоит из двух частей: условия и требования.
Текстовые задачи бывают разные: на движение, на нахождение части
целого числа, на работу и производительность, на комбинаторику, статистику и
теорию вероятности, и, наконец, особый вид текстовых задач – логические
задачи.
В логических задачах нет «серьёзной» математики – нет ни сложных
числовых выражений, ни функций, ни соотношений в треугольнике, ни
векторов, но есть лжецы и мудрецы, фальшивые монеты и необычные
шахматные фигуры, разноцветные фишки и сказочные герои. В то же время дух
математики в таких задачах чувствуется весьма ярко. Половина решения
логической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит в том, чтобы
как следует разобраться в условии, распутать все связи между участвующими
объектами.
Глава 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.
3.1 Метод рассуждений
В методике рассуждений при решении помогают: схемы, чертежи,
краткие записи, умение выбирать информацию и пользоваться правилом
перебора.
Пример. Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на
2 с раньше Оли, Оля прибежала на 1 с позже Тани. Кто прибежал раньше: Таня
или Лена и на сколько секунд?
Решение. Составим схему:
4
Лена
Оля
1с 1с
Таня
1с
Ответ. Раньше на 1с пришла Лена.
3.2 Метод поиска родственных задач
Если задача трудна, то необходимо попытаться найти и решить более
простую «родственную» задачу. Это даёт ключ к решению исходной задачи.
При этом полезно:
а) рассмотреть частный случай, а затем обобщить идею решения;
б) разбить задачу на подзадачи;
в) обобщить задачу (например, заменить конкретное число переменной),
г) свести задачу к более простой.
Пример. В угловой клетке таблицы 5Х5 стоит плюс, а в остальных
клетках стоят минусы.
Разрешается
в любой
строке или любом
столбце поменять все знаки на противоположные.
Можно ли за
несколько таких операций сделать все знаки плюсами?
Решение. Возьмём квадрат 2Х2 (один плюс и три минуса). Можно
ли сделать все знаки плюсами? Нельзя! Воспользуемся этим результатом:
выделим в квадрате 5Х5 квадратик 2Х2, содержащий один плюс. Про
него уже известно, что сделать все знаки плюсами невозможно. Значит, в
квадрате 5Х5 и подавно этого сделать нельзя.
3.3 Метод «доказательство от «противного»
Рассуждают примерно так: «Допустим, исходное утверждение неверно.
Если из этого получим противоречие, то исходное утверждение верно».
Пример. Существует ли самое большое число?
Решение.
Допустим, что существует. Тогда прибавим к этому
числу единицу и получим ещё большее число. Противоречие. Значит,
сделанное предположение неверно, и такого числа не существует.
3.4 Метод «чётно-нечётно»
5
Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина
имеет определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых
данная величина имеет другую чётность, невозможны. Иногда эту величину
надо
«сконструировать»,
например,
рассмотреть
чётность
суммы
или
произведения, разбить объекты на пары. Заметить чередование состояния,
раскрасить объекты в два цвета и т.д.
Пример. Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку
(длина прыжка 1м). Докажите, что он сделал чётное число прыжков.
Решение. Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку. Количество
прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество
прыжков чётно.
3.5 Обратный ход
Если в задаче задана некоторая операция, и она обратима, то можно
сделать «обратный» ход от конечного результата к исходным данным.
(Например, надо вынести шкаф из комнаты. Пройдёт ли он через дверь?
Пройдёт, потому что через дверь его внесли). Анализ с конца используют при
поиске выигрышных и проигрышных ситуаций.
Пример. Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и
Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете
столько, сколько у них стало. И, наконец, Толя дал Пете и Ване столько,
сколько у них к этому времени имелось. В результате всем досталось поровну.
Сколько было фантиков у каждого вначале?
Решение. Мы знаем, что в конце у всех оказалось по 40 фантиков. А
перед этим у Пети и Вани было вдвое меньше. Значит, у Пети и Вани было
вдвое меньше – по 20, а у Толи – 80. А перед этим у Пети и Толи было вдвое
меньше, т.е. у Пети было 10, у Толи 40, у Вани – 70. И, наконец, возьмём
половину фантиков у Вани и Толи и вернём Пете.
Ответ: у Пети было 65 фантиков, у Вани – 20, а у Толи – 35.
3.6 Метод таблиц
6
Пример. Докажите, что любое число рублей можно уплатить, если
покупатель и кассир имеют лишь трёхрублёвые и пятирублёвые купюры.
Решение. Составим таблицу, приведя в пример числа от 1 до 10.
Число
Покупатель
Кассир
1
3+3=6
5
2
5
3
3
3
-
4
5 + 5 = 10
3+3=6
5
5
-
6
3+3=6
-
7
5 + 5 = 10
3
8
5+3=8
-
9
3+3+3=9
-
10
5 + 5 = 10
-
Ответ виден из таблицы.
3.7 Метод граф
Слово «граф» в математической литературе появилось совсем недавно.
Понятие графа используется не только в математике, но и в технике и даже в
повседневной жизни под разными названиями – схема, диаграмма.
Особенно большую помощь графы оказывают при решении логических
задач. Представляя изучаемые объекты в наглядной форме, «графы» помогают
держать в памяти многочисленные факты, содержащиеся в условии задачи,
устанавливать связь между ними.
Графом называется любое множество точек, некоторые из которых
соединены линиями или стрелками. Точки, изображающие элементы
множества, называют вершинами графа, соединяющие их отрезки –
7
рёбрами графа. Точки пересечения рёбер графа не являются его вершинами. Во
избежание путаницы вершины графа часто изображают не точками, а
маленькими
кружочками.
Рёбра
иногда
удобнее
изображать
не
прямолинейными отрезками, а дугами.
Пример. В
первенстве класса по теннису 6 участников: Андрей,
Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена.
круговой системе: каждый из участников
Первенство
играет
проводилось
с каждым
по
из остальных
один раз. Некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной
и Еленой; Борис с Галиной, Виктор с Галиной, Дмитрием и Еленой. Сколько
пар игр проведено и сколько ещё осталось?
Решение. Изобразим данные задачи в виде схемы. Участников будем
изображать точками, Андрея – А, Бориса – Б и т.д.. Если двое участников уже
сыграли между собой, то будем соединять их точки отрезками.
Б
В
А
Г
Е
Д
Число игр, уже проведённых, равно числу рёбер, т.е.7.
Чтобы найти число игр, которые осталось провести, построим ещё один
граф с теми же вершинами, но рёбрами будем соединять тех участников,
которые ещё не играли друг с другом. (Если точки из одного множества
соответствуют точкам из другого, будем соединять их сплошной линией, а если
не соответствуют – пунктирной).
Б
В
Г
А
Е
Д
Рёбер у этого графа оказалось 8, значит, осталось провести 8 игр.
8
Ответ осталось провести 8 игр.
3.8 Метод кругов Эйлера
Этот метод даёт ещё более наглядное представление о возможном
способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.
Один из величайших математиков петербургский академик Леонард
Эйлер за свою долгую жизнь (он родился в 1707 г., а умер в 1783 г.) написал
более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги. Эйлер писал
тогда, что «они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».
Наряду с кругами в подобных задачах применяют прямоугольники и другие
фигуры.
Пример. Часть жителей города умеет говорить только по-русски,
часть – только по-узбекски и часть умеет говорить на обоих языках. Поузбекски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей
говорят на обоих языках?
Решение. Составим схему
В кружке под буквой «У» обозначим жителей, говорящих по-узбекски,
под буквой «Р» - по-русски. В общей части кружков обозначим жителей,
говорящих на обоих языках. Теперь от всех жителей (100%) отнимем кружок
«У» (85%), получим жителей, говорящих только по-русски (15%). А теперь от
всех, говорящих по-русски (75%), отнимем эти 15%. Получим говорящих на
обоих языках (60%).
Глава 4. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
В ходе работы для исследования мною были подобраны 8
текстовых задач, представленных в приложении 1. Каждая вторая задача
являлась логической.
В исследовании принимали участие 18 обучающихся группы 911Ф
Омского технологического колледжа. Для повышения уверенности
учащихся работа проводилась анонимно.
9
На выполнение данной работы учащимся было отведено 45 минут, они могли
решать задачи в любом удобном для них порядке.
Результаты анализа выполненных работ представлены в таблице:
Задачи
1
2
3
4
5 6
7
8
Верные логические рассуждения и ответ
5
3
7
1
9 4
7
1
Неверные логические рассуждения и ответ
12
6
1
Верный ответ при отсутствии решения
1
Неверный ответ при отсутствии решения
Описки,
совпадающие
с
опечаткой
1
1
в
1
2
1
2
решении, выложенном в интернет
Отсутствие ответа или его неполнота
1
Не приступили к решению этой задачи
3
5
9
15
8 12 10 16
Из таблицы видно, что к решению первой задачи (задача на вычисление
процентов и нахождение части целого числа) приступили все, однако
правильный ответ был получен лишь пятью из них. Неправильность остальных
ответов вызвана невнимательным прочтением условия задачи.
Задачи на движение и производительность (3 и 7) были решены с
одинаковым успехом, что свидетельствует о сохранившихся у студентов
умениях решать задачи из школьного курса.
Большие затруднения вызвала четвертая задача: 15 человек к ней просто
не приступили, 2 обратились к интернету, но не смогли проанализировать то,
что списали и лишь один человек дошел решение до правильного ответа.
Наибольшее количество правильных ответов дано на пятую задачу. Я
думаю это обусловлено тем, что подобные задачи рассматривались нами на
уроках математики за день до проведения исследования, и соответственно в их
памяти еще сохранился алгоритм решения этих задач.
Из логических самой легкой (4 правильных ответа) оказалась шестая
задача. Что, на мой взгляд, вызвано возможностью ее решения методом
подбора.
10
Серьезные затруднения вызвала и 8 задача (задача на переливания): 16
человек к ней не приступали, а из 2 осмелившихся 1 человек запутался в
собственных выводах.
Заключение:
учащихся
Гипотеза
просматривается
исследования
отсутствие
подтвердилась.
навыков
У
анализа,
логического мышления и упрощения
Литература
1. Ш. А. Алимов Алгебра и начала анализа
2. П. К. Анохин Философия информационной цивилизации
3. В. А. Далингер Методика реализации внутрипредметных связей при
обучении математике
4. Ю.М. Колягин Задачи в обучении математике
5. Ф. Ф. Лысенко Подготовка к ЕГЭ-2014 учебно-методическое пособие
6. В. Г. Махров Развивающие задачи по математике
7. В .Г. Махров Решение логических задач
8. И. В. Ященко Математика: типовые экзаменационные варианты: 36
вариантов
9. http://fizmatolimp.ru/8-9-kl.html (Логические задачи для учеников 8-9
классов)
10.
http://egemaximum.ru/
И другие интернет ресурсы.
Приложение 1
ЗАДАЧА 1. Во фруктовом отделе магазина находится 1000 фруктов,
причем 76% из них – не цитрусовые. Известно, что 65% цитрусовых
составляют не апельсины. Сколько апельсинов в отделе?
ЗАДАЧА 2. Саша ходит в бассейн один раз в три дня, а Вася один
раз в четыре дня, Ваня – в 5 дней. Они встретились в бассейне в этот
11
понедельник. Через сколько дней и в какой день недели они встретятся снова?
ЗАДАЧА 3. Теплоход проходит от пристани А до пристани В по течению
реки за 3ч. А против течения – за 4 ч. За сколько часов проплывет это
расстояние плот?
ЗАДАЧА 4. На математическом конкурсе в VIII классе было предложено
несколько трудных и несколько легких задач. За каждую решенную трудную
задачу участник получал 3 балла, за легкую – 2 балла. Но за каждую
нерешенную легкую задачу у участника вычитался один балл. За нерешенную
трудную задачу баллы не вычитались. Миша решил 10 задач и набрал 14
баллов. Сколько легких задач было на конкурсе?
ЗАДАЧА 5. В чемпионате участвует 12 команд. Сколькими различными
способами могут быть распределены три различные медали?
ЗАДАЧА 6. В шести коробках лежат шарики: в первой – 1, во второй – 2,
в третьей – 3, в четвертой – 4, в пятой – 5, в шестой – 6. За один ход
разрешается в любые две коробки прибавить по одному шарику. Можно ли за
несколько ходов уровнять количество шариков во всех коробках
ЗАДАЧА 7. Валя и Света выполняют контрольную работу. Валя отвечает
за час на 12 вопросов работы, а Света – на 15. Они одновременно начали
выполнять работу, и Валя выполнила всю работу позже Светы на 15 минут.
Сколько вопросов в работе?
ЗАДАЧА 8. Для решения данной задачи используйте табличный метод
Некто имеет полное восьмилитровое ведро сока, он хочет поделиться
половиной со своим другом. Как ему это сделать, если у него есть только
трехлитровая банка и пятилитровый бидон?
Приложение 2
Решение задачи 1.
Цитрусовых
фруктов
в
магазине
апельсинов.
Ответ: в отделе 84 апельсина.
Решение задачи 2.
12
,
из
них
Чтобы узнать через сколько дней они встретятся нужно найти НОК (3;4;5). Так
как числа имеют только один общий делитель равный 1, то наименьшее общее
кратное равно их произведению, то есть НОК (3;4;5) = 60(дней). Так как они
встретятся только в один день, то найдем остаток от деления периода их
встречи на количество дней в неделю, то есть:
Понедельник Вторник
Среда
Четверг
Пятница
Суббота
Воскресенье
2
3
4
-
-
1
0
(ост.4).
Ответ: ребята встретятся через 60 дней, в пятницу.
Решение задачи 3.
Пусть
– собственная скорость теплохода,
– скорость течения реки, S
км – расстояние от пристани A до пристани B.
По условию
, требуется найти .
,
,
, тогда
,
.
Ответ: 24 часа.
Решение задачи 4.
Первое решение. Если бы все задачи, решенные Мишей, были
трудными, то он получил бы за них
баллов. Однако он
получил только 14 баллов и, значит, 16 баллов потерял. Если вместо
трудной задачи он решил легкую, то вместо 3 баллов он получил 2, т. е.
потерял 1 балл. За каждую нерешенную легкую задачу он по условию
также терял 1 балл. Итак, за каждую легкую задачу (независимо от того,
решил он ее или нет) Миша терял ровно 1 балл. Так как всего он потерял
16 баллов, то и число легких задач также равно 16.
Второе решение. Пусть х легких задач Миша решил, а у легких
задач не решил. Тогда он решил 10 – х трудных задач. Поэтому по
условию имеет место равенство
откуда после упрощения
,
. Следовательно, общее количество
легких задач равно 16.
13
Ответ: на конкурсе было 16 легких задач.
Решение задачи 5.
Решение данной задачи сводится к нахождению
, т.к. это размещения без
повторения, ведь, одна команда не может занять два или три места сразу.
.
Ответ: существует 1320 способов распределения медалей.
Решение задачи 6.
Всего шариков в коробках первоначально
после k ходов их станет
,а
. С другой стороны, общее количество
шариков в коробках в тот момент, когда во всех коробках станет шариков
поровну, равно
, где n – число шариков в одной коробке.
Отсюда
.
Но равенство невозможно при натуральных k и n, так как его правая часть
четна, а левая – нечетна.
Ответ: нельзя.
Решение задачи 7.
Пусть x вопросов в работе, тогда
работы Валей, а
ч – время выполнения всей контрольной
ч – время выполнения всей контрольной работы Светой.
Составляем уравнение:
,
,
.
.
Ответ: в контрольной работе 15 вопросов.
Решение задачи 8.
Ходы 1
2
3
4
5
6
7
8
9
8л
8
5
5
2
2
7
7
4
4
3л
-
3
-
3
1
1
-
3
-
5л
-
-
3
3
5
-
1
1
4
Ответ виден из таблицы.
14