Утёмов В.В., 2012г. Контрольная работа №1. Контрольная

Утёмов В.В., 2012г.
Контрольная работа №1. Контрольная работа №1.
Математический анализ. Часть 2.
направление подготовки 080100 – Экономика
Квалификация (степень) выпускника: бакалавр
Контрольные работы №1 и №2 по дисциплине «Математический анализ.
Часть 2» состоят из практической части. Задания по контрольным работам
сведены в один вариант. № варианта соответствуют последней цифре номера
зачетной книжки.
ВАРИАНТ №1
1.
Петр Петрович с детства мечтал о собственной автомастерской. Известно, что издержки,
связанные с содержанием автомастерской, включают следующие затраты: на покупку
оборудования (изнашивается за 10 лет) – 200000 руб., на заработную плату персоналу
96000 руб./год, на сырье – 200000 руб./год. В настоящее время годовое жалование Петра
Петровича составляет 60000 руб. (в случае открытия собственного дела Петр Петрович
собирается оставить прежнюю работу). На покупку оборудования он собирается
использовать свои сбережения 500000 руб., которые приносят ему ежегодно 4%. Петр
Петрович ожидает ежегодно получать выручку, равную 400000 руб. Является ли открытие
автомастерской выгодной операцией?
2.
Исследовать ряд на сходимость с помощью теоремы сравнения и признака Даламбера:

а)
 4 n 1
n 1
3.
4.
3

;
б)
4
 n 2 1
n 1

;
в)
n2
 4n
Найдите экстремум функции двух переменных: z  e
Найдите несобственные интегралы:
x
2
x
2

 y2 .
 

1
5.
.
n 1
2

x
  1 dx ;
 x 2  1


Найти общие решения:
1) yy’ - x2 = 0,
2) y’cos2 x + y = tg x,
3) y” - 4y’ + 3y = 0,
4) y   y   1  sin 2 x .
5) y’- y = 0. Найти частное решение при начальных условиях y|x=2 = 1.
ВАРИАНТ №2
1.
Квалифицированный врач-косметолог, который за 1 час своей работы зарабатывает 400
руб., решает постелить новый паркет в своей квартире. Он обладает достаточной
сноровкой, чтобы сделать это самостоятельно и даже быстрее, чем профессиональный
паркетчик. Ему потребуется для выполнения работы 50 часов, в то время как паркетчику –
70 часов. Выгодно ли косметологу нанимать паркетчика, если расценки паркетчика
Утёмов В.В., 2012г.
составляют: а) 200 руб./час; б) 300 руб./час; в) 400 руб. При какой цене услуг паркетчика
его наем становится невыгодным для врача-косметолога?
2.
Исследовать ряд на сходимость с помощью теоремы сравнения и признака Даламбера:
а)

5
 3n  2
;
б)

2
1
n 1
n 1
n
;
в)

3n
.

n 1 n  12
3.
Найдите экстремум функции двух переменных: z  6 x y  2 y  24 x  30 y .
4.
Найдите несобственные интегралы:
2



5.
3
dx
x 2  2x  2
Найти общие решения:
1) (1+x2)y’ + y2 = 0,
2) y’sin x - y cosx = 1,
3) 9y”- y = 0,
4) y   2 y   1  3e 2 x .
5) y’y = x. Найти частное решение при начальном условии y|x=1 = 3.
ВАРИАНТ №3
1.
Петр Петрович с детства мечтал о собственной автомастерской. Известно, что издержки,
связанные с содержанием автомастерской, включают следующие затраты: на покупку
оборудования (изнашивается за 10 лет) – 200000 руб., на заработную плату персоналу
96000 руб./год, на сырье – 200000 руб./год. В настоящее время годовое жалование Петра
Петровича составляет 60000 руб. (в случае открытия собственного дела Петр Петрович
собирается оставить прежнюю работу). На покупку оборудования он собирается
использовать свои сбережения 500000 руб., которые приносят ему ежегодно 4%. Петр
Петрович ожидает ежегодно получать выручку, равную 400000 руб. Является ли открытие
автомастерской выгодной операцией?
2.
Исследовать ряд на сходимость с помощью теоремы сравнения и признака Даламбера:

2
а)  n
;
n 1 7  6
3.

б)
3
 n3  4 ;
n 1

5n
в)  2
.
n 1 n  4
Найдите экстремум функции двух переменных: z  8 x  y  12 xy  1 .
3
1
2
4.
Найдите несобственные интегралы:
0
5.
Найти общие решения:
1) 2y’ + x2y = 0,
2) y’ + 2y x-1 = (e-x)2x-1,
3) y”+ 4 y = 0,
dx
 x ln x
3
Утёмов В.В., 2012г.
4) y   y   5e x .
5) y’x = y. Найти частное решение при начальном условии y|x=1 = 2.
ВАРИАНТ №4
1.
Квалифицированный врач-косметолог, который за 1 час своей работы зарабатывает 400
руб., решает постелить новый паркет в своей квартире. Он обладает достаточной
сноровкой, чтобы сделать это самостоятельно и даже быстрее, чем профессиональный
паркетчик. Ему потребуется для выполнения работы 50 часов, в то время как паркетчику –
70 часов. Выгодно ли косметологу нанимать паркетчика, если расценки паркетчика
составляют: а) 200 руб./час; б) 300 руб./час; в) 400 руб. При какой цене услуг паркетчика
его наем становится невыгодным для врача-косметолога?
2.
Исследовать ряд на сходимость с помощью теоремы сравнения и признака Даламбера:
а)

3
 5 n  13
;
б)
n 1
3.

5
;

n 1 7  n
в)
n3
.
n
n 1 4


Найдите экстремум функции двух переменных: z  x y  2 y  x  5 y .
2
1
3
2
2
dx

4.
Найдите несобственные интегралы: 1 x  1 .
5.
Найти общие решения:
3
1) x (y2 - 4)dx +y dy = 0,
2) y’ + 2y x-1 = 5x-2,
3) y”+ 4 y’ + 5y= 0,
4) y   5 y   6 y  cos x .
5) 3y - y’x = 0. Найти частное решение при начальном условии y|x=-1 = 8.
ВАРИАНТ №5
6.
Петр Петрович с детства мечтал о собственной автомастерской. Известно, что издержки,
связанные с содержанием автомастерской, включают следующие затраты: на покупку
оборудования (изнашивается за 10 лет) – 200000 руб., на заработную плату персоналу
96000 руб./год, на сырье – 200000 руб./год. В настоящее время годовое жалование Петра
Петровича составляет 60000 руб. (в случае открытия собственного дела Петр Петрович
собирается оставить прежнюю работу). На покупку оборудования он собирается
использовать свои сбережения 500000 руб., которые приносят ему ежегодно 4%. Петр
Петрович ожидает ежегодно получать выручку, равную 400000 руб. Является ли открытие
автомастерской выгодной операцией?
7.
Исследовать ряд на сходимость с помощью теоремы сравнения и признака Даламбера:

а)
3
 4 n 1
n 1

;
б)
4
 n 2 1 ;
n 1

в)
n2
 4n
n 1
.
8.
Найдите экстремум функции двух переменных: z  e
9.
Найдите несобственные интегралы:
x
2

Утёмов В.В., 2012г.
 y2 .
 

1
10.
x
2
2

 x  1 dx ;
 x 2  1


Найти общие решения:
1) yy’ - x2 = 0,
2) y’cos2 x + y = tg x,
3) y” - 4y’ + 3y = 0,
4) y   y   1  sin 2 x .
5) y’- y = 0. Найти частное решение при начальных условиях y|x=2 = 1.
ВАРИАНТ №6
6.
Квалифицированный врач-косметолог, который за 1 час своей работы зарабатывает 400
руб., решает постелить новый паркет в своей квартире. Он обладает достаточной
сноровкой, чтобы сделать это самостоятельно и даже быстрее, чем профессиональный
паркетчик. Ему потребуется для выполнения работы 50 часов, в то время как паркетчику –
70 часов. Выгодно ли косметологу нанимать паркетчика, если расценки паркетчика
составляют: а) 200 руб./час; б) 300 руб./час; в) 400 руб. При какой цене услуг паркетчика
его наем становится невыгодным для врача-косметолога?
7.
Исследовать ряд на сходимость с помощью теоремы сравнения и признака Даламбера:

а)
 3n  2 ;
n 1
8.
5
б)

2
1
n 1
n
;

3n
в) 
.
n 1 n  12
Найдите экстремум функции двух переменных: z  6 x y  2 y  24 x  30 y .
2

9.
Найдите несобственные интегралы:


10.
3
dx
x 2  2x  2
Найти общие решения:
1) (1+x2)y’ + y2 = 0,
2) y’sin x - y cosx = 1,
3) 9y”- y = 0,
4) y   2 y   1  3e 2 x .
5) y’y = x. Найти частное решение при начальном условии y|x=1 = 3.
ВАРИАНТ №7
6.
Петр Петрович с детства мечтал о собственной автомастерской. Известно, что издержки,
связанные с содержанием автомастерской, включают следующие затраты: на покупку
оборудования (изнашивается за 10 лет) – 200000 руб., на заработную плату персоналу
96000 руб./год, на сырье – 200000 руб./год. В настоящее время годовое жалование Петра
Петровича составляет 60000 руб. (в случае открытия собственного дела Петр Петрович
Утёмов В.В., 2012г.
собирается оставить прежнюю работу). На покупку оборудования он собирается
использовать свои сбережения 500000 руб., которые приносят ему ежегодно 4%. Петр
Петрович ожидает ежегодно получать выручку, равную 400000 руб. Является ли открытие
автомастерской выгодной операцией?
7.
Исследовать ряд на сходимость с помощью теоремы сравнения и признака Даламбера:
а)
8.

2
;

n
n 1 7  6
б)

3
 n3  4
;
в)
n 1

5n
.

2
n 1 n  4
Найдите экстремум функции двух переменных: z  8 x  y  12 xy  1 .
3
1
2
9.
Найдите несобственные интегралы:
3
dx
 x ln x
0
10.
Найти общие решения:
1) 2y’ + x2y = 0,
2) y’ + 2y x-1 = (e-x)2x-1,
3) y”+ 4 y = 0,
4) y   y   5e x .
5) y’x = y. Найти частное решение при начальном условии y|x=1 = 2.
ВАРИАНТ №8
6.
Квалифицированный врач-косметолог, который за 1 час своей работы зарабатывает 400
руб., решает постелить новый паркет в своей квартире. Он обладает достаточной
сноровкой, чтобы сделать это самостоятельно и даже быстрее, чем профессиональный
паркетчик. Ему потребуется для выполнения работы 50 часов, в то время как паркетчику –
70 часов. Выгодно ли косметологу нанимать паркетчика, если расценки паркетчика
составляют: а) 200 руб./час; б) 300 руб./час; в) 400 руб. При какой цене услуг паркетчика
его наем становится невыгодным для врача-косметолога?
7.
Исследовать ряд на сходимость с помощью теоремы сравнения и признака Даламбера:

а)
 5 n  13 ;
n 1
8.
3

5
б) 
;
n 1 7  n
в)
n3
.
n
n 1 4


Найдите экстремум функции двух переменных: z  x y  2 y  x  5 y .
2
1

dx
9.
Найдите несобственные интегралы: 1 x  1 .
10.
Найти общие решения:
1) x (y2 - 4)dx +y dy = 0,
2) y’ + 2y x-1 = 5x-2,
3
3
2
2
Утёмов В.В., 2012г.
3) y”+ 4 y’ + 5y= 0,
4) y   5 y   6 y  cos x .
5) 3y - y’x = 0. Найти частное решение при начальном условии y|x=-1 = 8.
ВАРИАНТ №9
11.
Петр Петрович с детства мечтал о собственной автомастерской. Известно, что издержки,
связанные с содержанием автомастерской, включают следующие затраты: на покупку
оборудования (изнашивается за 10 лет) – 200000 руб., на заработную плату персоналу
96000 руб./год, на сырье – 200000 руб./год. В настоящее время годовое жалование Петра
Петровича составляет 60000 руб. (в случае открытия собственного дела Петр Петрович
собирается оставить прежнюю работу). На покупку оборудования он собирается
использовать свои сбережения 500000 руб., которые приносят ему ежегодно 4%. Петр
Петрович ожидает ежегодно получать выручку, равную 400000 руб. Является ли открытие
автомастерской выгодной операцией?
12.
Исследовать ряд на сходимость с помощью теоремы сравнения и признака Даламбера:

а)
3
 4 n 1

;
б)
n 1
4
 n 2 1

;
в)
n2
 4n
.
n 1
n 1
13.
Найдите экстремум функции двух переменных: z  e
14.
Найдите несобственные интегралы:
2
x
2

 y2 .
 

1
15.
x
2

 x  1 dx ;
 x 2  1


Найти общие решения:
1) yy’ - x2 = 0,
2) y’cos2 x + y = tg x,
3) y” - 4y’ + 3y = 0,
4) y   y   1  sin 2 x .
5) y’- y = 0. Найти частное решение при начальных условиях y|x=2 = 1.
ВАРИАНТ №0
11.
Квалифицированный врач-косметолог, который за 1 час своей работы зарабатывает 400
руб., решает постелить новый паркет в своей квартире. Он обладает достаточной
сноровкой, чтобы сделать это самостоятельно и даже быстрее, чем профессиональный
паркетчик. Ему потребуется для выполнения работы 50 часов, в то время как паркетчику –
70 часов. Выгодно ли косметологу нанимать паркетчика, если расценки паркетчика
составляют: а) 200 руб./час; б) 300 руб./час; в) 400 руб. При какой цене услуг паркетчика
его наем становится невыгодным для врача-косметолога?
12.
Исследовать ряд на сходимость с помощью теоремы сравнения и признака Даламбера:

а)
5
 3n  2 ;
n 1

б)
2
1
n 1
n
;

3n
в) 
.
n 1 n  12
Утёмов В.В., 2012г.
13.
Найдите экстремум функции двух переменных: z  6 x y  2 y  24 x  30 y .
2

14.
Найдите несобственные интегралы:


15.
3
dx
x 2  2x  2
Найти общие решения:
1) (1+x2)y’ + y2 = 0,
2) y’sin x - y cosx = 1,
3) 9y”- y = 0,
4) y   2 y   1  3e 2 x .
5) y’y = x. Найти частное решение при начальном условии y|x=1 = 3.