Домашнее задание №2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия Задача №1. 1 вариант

Домашнее задание №2.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Задача №1.



и
1
;

1
;
2
, b
3
;
1
;
0
1 вариант. 1) При каком значении m векторы a
компланарны?
2) Найти координаты вектора a , перпендикулярного векторам i и
если a  2 .
2 вариант. 1) Найти угол между векторами a и
2) Найти b , если a  6, a b 11 и a b  7 .
b
, если
c m; 0; 2
b3
i  j k
,
a
bab
.
3 вариант. 1) Найти угол между векторами a и b , если abab.
2) Найти внутренний угол при вершине С треугольника АВС, если А(-1; -2; 4),
В(3; 2; -2), С(3; -2; 1).
4 вариант. 1) Единичные векторы
Найти abbcca.
2) Найти угол между векторами
перпендикулярен вектору a  3b.
удовлетворяют условию
a, b, c
a
и
b
, если
a  2b
abc0
.
и вектор
2a  b
5 вариант. 1) Найти координаты единичного вектора a , перпендикулярного
- правая тройка векторов.
; i;
j j
k
векторам i  j и j  k , и такого, что a
e1
e2
2) Пусть
и
- единичные неколлинеарные векторы. Вычислить
2

, если e e  3.
e
5
e
3
e
e
1
2
1
2
1
6
вариант.
1)При
2
каких
значениях
m
тройка
правой?
b , компланарного с векторами
2) Найти координаты вектора
a

4
i

3
j
5
k и такого что, a  b .
перпендикулярного вектору
векторов






a
m
;
1
;
0
,b

1
;
2
;
1
,c
m

1
;
3
;
2
будет
i
a

b3
a

b
7 вариант. 1) Найти угол между векторами a и b , если 3
.
2) Векторы a и b образуют угол 120 . Найти  из условий, что
вектор a   b перпендикулярен вектору a  b.
8 вариант.
1

a1;1; ,
2

2) Найти
1) Найти координаты вектора
образует острый угол с ортом
a  b
, если
и
a
11
, b
23
k
b
и
и
b  2a
j
,
и
, если он коллинеарен вектору
b  3
.
a b 30
.
9 вариант. 1) Найти угол между векторами a и b , если abab.
2) Векторы a и b неколлинеарны. Найти число  , если векторы 1a2b и
3a   b коллинеарны.
10 вариант. 1) Найти координаты единичного вектора a , перпендикулярного
вектору b1;2;2 и образующего равные углы с векторами i и j .
7a  5b
2) Вектор a  3b перпендикулярен вектору
и
7
a

2
b
перпендикулярен вектору
. Найти угол между векторами
вектор
a и b.
a  4b
Задача №2.
1. Через фокус параболы y2 = 4x проведена прямая, пересекающая директрису в точке
с ординатой 5 . Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения
директрисы с осью Ох и перпендикулярной первой прямой.
2. Найти уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Ох,
если её эксцентриситет равен ε = 0.8, а прямая, проходящая через его левый фокус,
перпендикулярна прямой x + y = 10 и проходит через точку А(0, 4).
3. Найти уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в
начале координат, если известно, что две взаимно перпендикулярные прямые,
проходящие через фокус параболы и точку пересечения директрисы с осью Ох,
пересекаются в точке А(–3, 4), а параметр параболы положителен.
x2 y2

1,
a2 144
4. Найти большую полуось эллипса
если прямая, проходящая через его
левый фокус, перпендикулярна прямой x + 2y + 1 = 0 и проходит через точку А(–2, 6).
5. Найти уравнение гиперболы с центром в начале координат и фокусами на оси Ох,
если прямая
4x + 3y – 20 = 0
проходит через правый фокус гиперболы и
перпендикулярна асимптоте с положительным угловым коэффициентом.
6. Найти точку пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих
через фокусы гиперболы
x2 y2

1,
16 9
если известно, что точка А(1, 12) лежит на
прямой, проходящей через левый фокус гиперболы.
7. Найти уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в
начале координат, если точка А(–3, 6) лежит на прямой, которая проходит через ее
фокус и перпендикулярна прямой, соединяющей точку В(6, 9) и точку пересечения
директрисы параболы с осью Ох (параметр параболы положителен).
8. Определить координаты точки пересечения двух взаимно перпендикулярных
прямых, проходящих через фокусы эллипса
x2 y2

1,
25 9
если известно, что точка А(–2,
6) лежит на прямой, проходящей через его правый фокус.
9. Через правый фокус гиперболы
x2 y2

1
16 9
проведена прямая, перпендикулярная
асимптоте с положительным угловым коэффициентом. Определить уравнение прямой,
проходящей через левый фокус гиперболы и делящей пополам отрезок первой прямой
между осями Ох и Оу.
10. Найти уравнение гиперболы с центром в начале координат и фокусами на оси Ох,
если ее эксцентриситет равен 1.25, а взаимно перпендикулярные прямые, проходящие
через фокусы гиперболы, пересекаются в точке А(0, 5).
Задача №3.
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4 . Найти: 1) длину ребра А1А2 и
направляющие косинусы A1 A2 ; 2) косинус угла между рёбрами А1А2 и А1А3;
3) площадь грани А1А2А3; 4) уравнение грани А1А2А3; 5) объём пирамиды и её высоту,
опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3.
1. А1 ( 2, 0, 3), А2 (–2, 5, 0), А3 (–2, 0, 5), А4 (–1, 3,–2).
2. А1 ( 4, 2, 5), А2 ( 0, 7, 2), А3 ( 0, 2, 5), А4 ( 1, 5, 0).
3. А1 ( 2, 2, 8), А2 ( 5, 8, 0), А3 ( 0, 6, 5), А4 ( 7, 4, 7).
4. А1 ( 2, 4, 3), А2 ( 4, 7, 2), А3 ( 0, 8, 5), А4 ( 5, 3, 7).
5. А1 ( 1, 3, 2), А2 ( 6, 5, 2), А3 ( 3, 8, 5), А4 ( 2, 5, 6).
6. А1 ( 8, 4, 4), А2 (–4, 6, 0), А3 ( 4, 6, 5), А4 ( 5, 8, 1).
7. А1 (–1, 6, 0), А2 ( 3, 0, 4), А3 ( 3, 5, 5), А4 ( 2, 8, 7).
8. А1 ( 4, 4, 3), А2 ( 2, 7, 3), А3 ( 2, 4, 5), А4 ( 4, 7, 1).
9. А1 ( 6, 4, 2), А2 ( 8, 3, 3), А3 ( 3, 4, 5), А4 ( 6, 8, 5).
10. А1 ( 5, 5, 1), А2 ( 4, 3, 6), А3 ( 1, 3, 6), А4 ( 6, 2, –1).
Задача №4.
1. Доказать, что прямые
2
x

2
y

z

10

0 x


7
y

5
z

9
и 

x

y

z

22

0
3
14

параллельны и
найти расстояние между ними.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения плоскости
– 3y + 2z +1 =0 с прямыми:
x

5
y

1
z

3 x

3
y

4
z

5
 u 
5
2

1
4
62
3. Определить угол между прямой
xy
z
2
0


2
xy
z
1

0

и плоскостью, проходящей через точки: А(2,3,–1); В(1,1,0); С(0,–2,1).
4. Даны прямые:
x

1
y

2
z

5 x

7
y

2
z

1
 u 
2
34
3 2
2
x
Убедиться, что они лежат в одной плоскости, и составить уравнение этой
плоскости.
5. Найти угол, который образуют прямая
x

1 y

2 z
5


2

3
4
с плоскостью
плоскостью.
x – y – z + 1 =0. Найти координаты точки пересечения прямой с этой
6. При каком значении " " плоскость 5x – 3y + z + 1 =0 будет параллельна прямой
x4z10

z20
y3
7. Определить угол между прямой
3
x

y
z
2

0


2
x

4
y
z
1

0

и плоскостью, проходящей через точки: А(2,–3,–1), В(4,–1,0), С(0,–2,0).
8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М0 (2,–3, 5),
перпендикулярной плоскостям: 2x + y – 2z + 1 = 0 и x + y + z – 5 =0.
9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
x
1 y z
1
 
перпендикулярно
2 
2 3
плоскости 5x + y + 3z – 4 = 0.
10. Составить уравнение проекции прямой
x
1 y z
1
 
на
0 2 1
плоскость x + y – z + 1 = 0