Тема 7. Линии второго порядка. Занятие 26. Линии второго

Тема 7.
Линии второго порядка.
Занятие 26. Линии второго порядка.
Лекция 16.
Основные вопросы.
1. Каноническое уравнение параболы.
2. Исследование формы параболы по её каноническому уравнению.
1. Каноническое уравнение параболы.
Определение 5. Параболой называется геометрическое место точек
плоскости , равноудаленных от данной точки F , называемой фокусом параболы, и данной прямой D , называемой ее директрисой.
Пусть дана некоторая парабола и на ней произвольная точка М(х,у) .
Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс
проходила через фокус F данной параболы перпендикулярно к директрисе и
имела положительное направление от директрисы к фокусу. Расстояние от
директрисы до фокуса обозначим буквой Р . Начало координат расположим
посередине между фокусом и директрисой (рис. 7.5.)
у
 p 
 , y

К  2
М(х ,у)
p
2
p
2
D 
0 x  p 
F  ;0 
 2

P
x
М 1 (х,-у)
Рис. 7.5. К выводу уравнения параболы
Будем считать, что фокус F не лежит на директрисе (р ≠ 0) . Тогда по
определению параболы
ÊÌ  FP
в векторной форме .
(1)
В координатной форме это равенство запишется
p 

KM   x  ;0
2 

p 

FM   x  ; y 
2 

2
2
p

p

2
(2)
 x    y    x
2

2

Возведя обе части уравнения в квадрат и упрощая получим уравнение параболы в виде
y 2  2 px
(13)
Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Величина Р – параметр параболы.
2. Исследование формы параболы по её каноническому
уравнению.
1) Симметрия параболы . Если координаты точки М(х,у) удовлетворяют уравнению (13) , то ему будут удовлетворять также координаты точки
М1(х1 ,у) .
Следовательно, парабола симметрична относительно оси 0х . Ось симметрии
параболы называется осью параболы (в нашем случае это ось 0х).
2) Вершина параболы . Точка пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы. Из уравнения (13) видно, что при х = 0 у = 0 .
Следовательно, парабола проходит через начало координат и точка 0(0,0)
будет её единственной вершиной.
3) Область расположения параболы . Так как y 2  0 è P  0 , то из
уравнения (13) следует, что и x  0 , т.е. вся парабола расположена в правой
полуплоскости 0ху .
4) Форма параболы . Выразим в явном виде у из уравнения (13) :
y   2 px . Рассмотрим часть параболы, расположенную в правой четверти
координатной плоскости. Её уравнение y  2 px . Из этого уравнения видно, что с увеличением абсциссы х ордината у монотонно возрастает.
Учитывая свойство симметрии, можно заключить, что парабола
2
y  2 px имеет форму, показанную сплошной кривой на рис. 7.6, а).
у
у
M x , y 
2p
y
d
p
2
2

r
F1
x
Text
Text
p
2
F
х
F
M  x , y 
F1
px
y
2
2

х
2
D D1
x
y
2p

D
y
2
px
2
p
Text
2
p
Text
2
а)
б)
Рис. 7.6. Возможные расположения парабол
Если система координат выбрана аналогично, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис. 7.6, а) – пунктирная кривая), то её каноническое
уравнение имеет вид y 2  2 px .
В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью параболы совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение x 2  2 py , если она лежит в верхней полуплоскости (рис. 7.6, б) – сплошная кривая) и
x 2  2 py - если в нижней полуплоскости (рис. 7.6, б) – пунктирная кривая).
5) Фокальный радиус параболы - расстояние r от точки М параболы
( y  2 px ) до фокуса F . По определению параболы
p
rd x
2
2
6) Директриса и эксцентриситет параболы . Из последнего равенства
в принятой системе координат директриса данной параболы имеет уравнение
p
(14)
x
2
r
Так как для эллипса и гиперболы отношение
есть постоянное число,
d
r
равное ε – эксцентриситету, то естественно и для параболы отношение  1
d
тоже назвать эксцентриситетом. Таким образом эксцентриситет параболы
r
(15)
  1
d
Общие выводы
1) Из рассмотрения кривых второго порядка следует, что эллипс, гипербола и парабола – и только эти кривые, обладают общим геометрическим
r
свойством:
 .
d
2) Алгебраическое уравнение одной и той же линии второго порядка
может иметь различный вид. Его вид зависит от того, как будет расположена
линия относительно декартовой системы координат. Можно показать, что путем преобразований прямоугольных координат :
1. поворота осей координат и
2. их параллельного переноса
удается привести исходные уравнения линий к их каноническим уравнениям.
Кроме того, эти кривые описываются общим по форме записи полярным
уравнением
p

1   cos 
где p – фокальный параметр кривой (длина перпендикуляра, восстановленного из фокуса до пересечения с кривой).
ε – эксцентриситет (эллипса: ε < 1; параболы : ε = 1; гиперболы : ε > 1)
 и  - полярные координаты (полюс помещен в левый фокус).
ействительных или мнимых (слившихся)).