Математические основы теории потребления

Министерство образования Республики Беларусь
Белорусский государственный университет
Механико-математический факультет
Кафедра математических методов теории управления
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
________________________
Рег.№ __________________
«____» ______________ 2007 г.
Базовая учебная программа дисциплины
«Математические основы теории потребления»
для студентов специальности 1-31 03 01-03
«Математика. Экономическая деятельность»
Минск
2007
Автор:
доктор физико-математических наук, профессор,
член корреспондент НАН Беларуси
Валентин Викентьевич Гороховик
Рецензент:
доктор физико-математических наук, профессор
Петр Петрович Забрейко.
Одобрена на заседании кафедры
математических методов теории управления
протокол № __ от __ ________ 2007 г.
Одобрена на заседании
Ученого совета механико-математического факультета
протокол № ___от _________ 2007 г.
Ответственный за редакцию:
лаборант 1 квалификационной категории
Ольга Николаевна Сороколетова
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
В специальном курсе изучаются математические модели, которые
описывают поведение потребителя при выборе им плана потребления (набора
товаров и т. п.) из некоторого множества доступных ему планов, называемого
потребительским множеством. Классическая теория потребления исходит из того,
что отношение предпочтения потребителя может быть задано в виде полного
упорядочения множества планов потребления и даже, более того, для которого
существует функция полезности. Такое предположение не всегда адекватно
реальным экономическим моделям, поэтому в последнее время в экономикоматематических исследованиях все чаще встречаются работы, в которых
предполагается, что отношение предпочтения потребителя задано произвольным
асимметричным и транзитивным бинарным отношением. Это требует
перестройки всей теории потребления. Программа специального курса отражает
эти (и другие) современные тенденции развития математической теории
потребления. В частности, она включает такие разделы как бинарные отношения,
их классификация, свойства и структура; аналитическое представление бинарных
отношений; теория спроса, основанная на общем понятии минимальности в
упорядоченных пространствах и др.
"Математические основы теории потребления"
Цель курса " Математические основы теории потребления"
— сформировать у студентов целостное представление о
математических понятиях и результатах теории упорядоченных
множеств и их приложениях к задачам общей теории принятия
решений и, в частности, к задачам теории потребления в экономике.
Тематический план курса
"Математические основы теории потребления"
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Темы
Введение. Бинарные отношения.
Отношения толерантности и
отношения эквивалентности
Отношения предпочтения.
Бинарные отношения на группах
Бинарные отношения на векторных
пространствах
Теория полезности. Существование
функций полезности для отношений
тотального предпочтения.
Порядковая сепарабельность и
существование функций полезности
для отношений тотального
предпочтения.
Теория полезности для отношений
предпочтения, определенных на
векторных пространствах.
Функции спроса. Общая теория.
Функции спроса на упорядоченных
векторных пространствах
Всего аудиторных часов
ИТОГО:
Количество часов
Лекции
КСР
2
4
1
6
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
4
1
28
6
34
Тема 1. Введение. Бинарные отношения.
Определение понятия бинарного отношения. Операции над бинарными
отношениями. Простейшие свойства бинарных отношений. Симметричная и
асимметричная части бинарных отношений.
Тема 2. Отношения толерантности и отношения эквивалентности.
Лемма Цорна для семейств множеств. Отношения толерантности.
Предклассы
и
классы
толерантности.
Отношения
эквивалентности.
Фактормножество. Отношение равноценности, порожденное отношением
толерантности.
Тема 3. Отношения предпочтения.
Асимметричные
бинарные
отношения.
Бинарные
отношения,
сопровождающие асимметричное бинарное отношение. Отношения предпочтения
и сопровождающие их бинарные отношения. Отношения тотального и
совершенного предпочтения. Отношения упорядочения и их связь с отношениями
предпочтения. Теорема Шпильрайна о погружении отношения предпочтения в
отношение тотального предпочтения. Представление отношения предпочтения в
виде пересечения доминирующих его отношений тотального предпочтения.
Тема 4. Бинарные отношения на группах.
Диагонально-аддитивные бинарные отношения на группах. Множество
положительных элементов диагонально-аддитивного бинарного отношения.
Операции над бинарными отношениями, сохраняющие свойство диагональной
аддитивности. Характеристика свойств диагонально-аддитивных бинарных
отношений через свойства множества положительных элементов. Характеристика
основных классов диагонально-аддитивных бинарных отношений.
Тема 5. Бинарные отношения на векторных пространствах.
Бинарные отношения, согласованные с алгебраическими операциями
векторного пространства. Характеристика основных классов бинарных
отношений, согласованных с алгебраическими операциями векторного
пространства.
Тема 6. Теория полезности. Существование функций полезности для
отношений тотального предпочтения.
Функции полезности для отношений тотального предпочтения.
Определение. Существование функций полезности для отношений тотального
предпочтения, определенных на конечных и счетных множествах. Существование
функций полезности для отношений тотального предпочтения, определенных на
несчетных множествах. Непрерывные функции полезности для отношений
тотального предпочтения.
Тема 7. Порядковая сепарабельность и существование функций
полезности для произвольных отношений предпочтения.
Функции полезности для отношений предпочтения. Определение.
Существование функций полезности для отношений предпочтения, определенных
на конечных и счетных множествах. Порядковая сепарабельность и
существование функций полезности для отношений предпочтения, определенных
на несчетных множествах. Непрерывные функции полезности для отношений
предпочтения.
Тема 8. Теория полезности для отношений предпочтения,
определенных на векторных пространствах.
Существование линейной функции полезности для отношений тотального
предпочтения, определенных на векторных пространствах. Функциональное
представление
произвольных
отношений
тотального
предпочтения,
согласованных с алгебраическими операциями векторного пространства.
Функциональное представление отношений предпочтения, согласованных с
алгебраическими операциями векторного пространства и имеющих открытый
конус положительных элементов. Функциональное представление произвольных
отношений предпочтения,
векторного пространства.
согласованных
с
алгебраическими
операциями
Тема 9. Функции спроса. Общая теория.
Функция спроса индивидуального потребителя. Определение и примеры.
Свойства функции спроса индивидуального потребителя. Функции спроса
коллективного потребителя. Общие понятия.
Тема 10. Функции спроса на упорядоченных векторных
пространствах.
Характеристика функции спроса индивидуального потребителя с
отношением предпочтения, согласованным с алгебраическими операциями
векторного пространства и имеющим открытый конус положительных элементов.
Характеристика функции спроса индивидуального потребителя с произвольным
отношением предпочтения, согласованным с алгебраическими операциями
векторного пространства.
ЛИТЕРАТУРА
Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. – Москва: Наука, 1984.
Гороховик В.В. Выпуклые и негладкие задачи векторной оптимизации. – Минск:
Наука и техника, 1990. – 239 c.
Кирута А.Я., Рубинов А.М., Яновская Е.Б. Оптимальный выбор распределений в
сложных социально-экономических задачах. – Ленинград: Наука. Ленингр. отдние, 1980. – 168~с.
Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математическая теория экономической динамики и
равновесия. – Москва: Наука, 1973.
Никайдо X. Bыпyклые cтpyктypы и математичеcкая экономика –.M.: Mиp, 1972.
– 517c.
Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. – М.:Наука, 1978. – 352~c.