УДК 51(06) Проблемы современной математики Н.А. КУДРЯШОВ, Д.И. СИНЕЛЬЩИКОВ, И.Л. ЧЕРНЯВСКИЙ Московский инженерно-физический институт (государственный университет) ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ВОЛН ДАВЛЕНИЯ ПРИ ПУЛЬСИРУЮЩЕМ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ВЯЗКОЭЛАСТИЧНОЙ ТРУБКЕ Предложена математическая модель для описания пульсирующего течения жидкости в вязкоэластичной трубке при малых числах Уомерсли, с учетом сил вязкого сопротивления потоку. Получено семейство эволюционных уравнений для описания распространения нелинейных волн давления. Обсуждаются особенности волновых процессов. При изучении нелинейных волновых процессов, в частности, пульсовых волн давления в кровотоке для артерий среднего и крупного калибра, важно учитывать осцилляции средней по сечению скорости течения вследствие периодической работе сердечной мышцы. Одним из возможных путей учета колебательной природы течения является рассмотрение гармонической осциллирующей добавки в градиенте давления, отвечающей основной частоте сокращений левого желудочка [1]. Течение вязкой несжимаемой жидкости в вязкоэластичной трубке, усредненное по поперечному сечению в приближении длинных волн, имеет вид: R R u 2 2 t x 0 2 u 1 ut u ( u ) 2(1 )uRt Px x R r r R R h0 h P w h0 tt kh0 xx h0 txx t 2 20 2 Pe R0 R0 где ( x, t ) малое возмущение радиуса трубки ( R R0 , (1) R0 , где R0 - равновесный радиус трубки), u ( x, t ) средняя по сечению осевая компонента скорости жидкости, P( x, t ) давление жидкости, u 2 u 2 - корректирующий коэффициент. Многие особенности течения жидкости в трубке определяются профилем осевых скоростей. Для градиента давления, имеющего осевую осциллирующую компоненту: P c 1 cos(t ) , Дж. Р. Уомерсли полуx чил профиль скоростей для установившегося течения в виде [2]. ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7 117 УДК 51(06) Проблемы современной математики cR 2 u ( x, r , t ) 4 c eit r 2 1 Re i R 3 2 r J0 i R 1 3 2 J 0 (i ) (2) Профиль (2) содержит усредненную, не зависящую от частоты, и осциллирующую компоненту. Первое слагаемое отвечает течению Пуазейля, а второе характеризует пульсации потока. Характерной безразмерной величиной в пульсирующем потоке, помимо числа Рейнольдса, является число Уомерсли R . Оно определяет соотношение между толщиной пограничного слоя и радиусом трубки. Рассматривая случай малых чисел Уомерсли (α ~ 0.13), отвечающий течению в артериях среднего калибра [1], и удерживая в степенных разложениях функций Бесселя в профиле скоростей (1) члены порядка не выше 6 , получим выражения для средней по сечению мгновенной скорости , силы сопротивления и корректирующего коэффициента: u cR 2 sin(t 0 ) u 1 cos(t ) u cos(t 0 ) , f 8 2 2 2 , 8 R 1 cos(t 0 ) R 1 cos(t 0 ) 4 2 sin(t ) 3 72(1 cos(t )) (3) Отметим, что средняя мгновенная скорость и поток запаздывают, относительно градиента давления, на фазу 0 = arctg(α2/6). Для чисел Уомерсли порядка 2 приближенный закон сопротивления согласуется с точным с относительной погрешностью менее 15 %. Переходя далее к безразмерным переменным, с учетом соотношений (3), и применяя, аналогично [3], метод асимптотических разложений в длинноволновом приближении, получен набор нелинейных эволюционных уравнений с переменными коэффициентами для описания пульсовых волн в осциллирующем потоке. Работа выполнена при поддержке МНТЦ в рамках проекта В-1213. Список литературы 1. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.: Мир, 1983. 2. Womersley J.R. Oscillatory flow in arteries: the constrained elastic tube as a model of arterial flow and pulse transmissions // Phys. Med. Biol., 1957. V. 2. P. 178-187. 3. Синельщиков Д.И., Чернявский И.Л. Нелинейные эволюционные уравнения для описания возмущений при течении жидкости в вязко-эластичной трубке с учетом сил сопротивления // Науч. сессия МИФИ-2006: Сб. науч. тр. В 16 т. М.: МИФИ, 2006. Т. 7. С. 126-127. ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7 118