РЕШЕНИЯ 10 класс математикаx
реклама
10 класс 1. Сколько решений имеет уравнение: 7х2 – 21 х + 7 = 0. Постройте график функции у = 7х2 – 21 х + 7. 2. На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок AF пересекает медиану BD в точке Е так, что АЕ = ВС. Докажите, что BF = FE. 3. Натуральные числа a, b, c, d, e, f удовлетворяют системе равенств a b cd c d ef e f ab Найдите сумму a+b+c+d+ e+f этих чисел. 4. Старший брат говорил младшем: «Когда мне было столько лет, сколько тебе сейчас, то я был втрое старше тебя, а когда тебе будет столько лет, сколько мне сейчас, то нам вместе будет 60 лет. Сколько лет братьям? 5. Найдите все целые решения уравнения x 2 2 xy 2 x y 1 0 . Решение 10 класс 1. 4 решения. 2. Продолжим медиану BD до точки G так, что DG = BD. ABCG параллелограмм B F E A D C G Из АВ = ВС = АG следует, что AEG - равнобедренный, то есть AEG AGE . Но тогда EBF BEF и ВF = FE. 3. Ответ: 12 или 21. Сложив все три равенства системы, перенеся все слагаемые в одну часть, получим аb – а – b + сd – с – d =ef – e – f = 0, или (а – 1)(b – 1) + (с – 1)(d – 1) + (е – 1)(f – 1) = 3 (1) Так как а, b, с, d, е, f — натуральные числа, то все три слагаемые в левой части — целые неотрицательные числа. Поэтому возможны следующие 2 случая. 1. Все слагаемые в левой части равны по 1. Тогда а –1 = b – 1 = с – 1 = d – 1= е – 1 = f – 1 = 1, то есть а = b = с = d = е = f = 2, что, очевидно, удовлетворяет данной системе. В этом случае а + b + с + d + е + f =12 2. Одно из слагаемых в левой части равно 0. Пусть, например (а –1)( b –1) =0, тогда одно из чисел а или b равно 1 и уравнение (1) примет вид (c – 1)(d – 1) + (e – 1)(f – 1) = 3 (2) В этом уравнении в левой части либо стоят слагаемые 0 и 3, либо 1 и 2. А) Пусть стоят числа 0 и 3. Заметим, что, не ограничивая общности, можно считать, (c – 1)(d – 1)= 0, (e – 1)(f – 1) = 3, так как если а, b, с, d, е, f — решение системы, то и наборы c, d, e, f, a, b и e, f, a, b, c, d также ее решения (т.е. решение ищем с точностью до перестановок пар и перестановок чисел в каждой паре). Таким образом, одно из чисел с или d равно 1, а числа е и f – это 2 и 4. Тогда е + f = 6 и f e = 8, и, следовательно, решениями системы будут пары чисел (1,6), (1,7), (2,4). Поэтому сумма а + b + с + d + е + f = 21. Б) Если же в левой части (2) стоят слагаемые 1 и 2, то либо 1) с и d – это числа 2 и 2, а е и f – числа 2 и 3, либо 2) с и d – это числа 2 и 3 а е и f числа 2 и 2. Но эти пары не удовлетворяют соотношению с + d = e f. Следовательно, решениями системы (с точностью до перестановок) являются указанные выше пары. 4.Пусть возраст братьев в настоящий момент c и m. Старшему брату было столько, сколько младшему сейчас с-т лет назад. Тогда младшему было т-(ст)=2т-с Так как старший брат был тогда в 3 раза старше младшего, то получаем уравнение т=3(2т-с), откуда 5т=3с. Младшему брату будет столько лет, сколько старшему, через с-т лет. Тогда старшему брату будет 2с-т лет. Так как им 60 лет, то получим второе уравнение с+2с-т=60. Т. к. 3с=5т, то из этого уравнения имеем 5т-т=60, откуда т=15. Следовательно с=25 . 5. Ответ: (0; 1): (- 1; 0). Преобразуем данное уравнение, выразив переменную y через x2 1 , так переменную x: x - 2xy + 2x – y = 0 y(2x + 1) = x + 2x + 1 y = 2x 1 2 как 2x + 1 2 0 при любых целых значениях x. Для того, чтобы y было целым, необходимо и достаточно, чтобы дробь x2 принимала целые значения. 2x 1 Заметим, что НОД(2x + 1; x) = НОД(x + 1; x) = 1, поэтому числа x 2 и 2x + 1 взаимно простые. Следовательно, выражение x2 принимает целые 2x 1 значения, если 2x + 1 = 1. Таким образом, решения данного уравнения: x = 0, y = 1 или x = - 1, y = 0. (можно выразить переменную y через переменную x: x 2 - 2xy + 2x – y = 0 y(2x + 1) = x 2 + 2x + 1 как 2x + 1 у= x 2 2x 1 4 x 2 8x 4 1 , 4y = , 4у = 2х +3 + так 2x 1 2x 1 2x 1 0 при любых целых значениях x. Для того, чтобы y было целым, необходимо и достаточно, чтобы дробь 1 принимала целые значения. 2x 1 Таким образом, 2x + 1 = 1 и решения данного уравнения: x = 0, y = 1 или x = 1, y = 0.)
