АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин
__________________ Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
МАТЕМАТИКА
38.03.02 (080200.62) МЕНЕДЖМЕНТ
Курск – 201_
ВОПРОСЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА И ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ ПО
ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА
Раздел 1Линейная алгебра
1) Матрицы, виды матриц. Линейные операции над матрицами.
2) Умножение матриц. Свойства умножения матриц.
3) Обратная матрица.
4) Минор, базисный минор матрицы.
5) Теорема о базисном миноре.
6) Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
7) Элементарные преобразования матрицы.
8) Теорема об элементарных преобразованиях матрицы.
9) Определители 2-го, 3-го, n-го порядков. Их свойства.
10) Правило Крамера.
11) Метод Гаусса.
12) Теорема Кронекера-Капелли.
13) Однородная система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.
Свойства ее решений.
14) Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных
алгебраических уравнений.
15) Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных
алгебраических уравнений.
16) Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств.
17) Базис и размерность линейного пространства.
18) Операции над векторами в координатной форме в линейном пространстве.
Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
19) Определение линейного оператора.
20) Матрица линейного оператора в данном базисе.
21) Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного
оператора.
22) Матрица и ранг квадратичной формы.
23) Преобразование квадратичных форм при переходе от одного базиса к другому.
24) Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду.
25) Типы квадратичных форм.
26) Критерий Сильвестра.
Раздел 2 Аналитическая геометрия
1) Декартова система координат в пространстве R3. Вывести формулы деления
отрезка в данном отношении.
2) Общее уравнение плоскости.
3) Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М0
4) Уравнение плоскости в отрезках.
5) Угол между плоскостями. Условие перпендикулярности и параллельности 2-х
плоскостей.
6) Каноническое уравнение прямой.
7) Параметрическое уравнение прямой.
8) Угол между прямыми.
9) Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса.
10) Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы.
11) Определение параболы. Каноническое уравнение параболы.
Раздел 3 Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Функция. Способы задания функций.
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
Предел функции в бесконечности.
Предел функции в точке x0 Односторонние пределы.
Теорема о связи бесконечно малых величин с пределами функций.
Бесконечно малая величина. Свойства бесконечно малых величин.
Бесконечно большие величины. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно
больших величин.
8) Основные теоремы о пределах функций.
9) 1-ый и 2-ой замечательные пределы.
10) Непрерывность функции в точке x0 Точки разрыва и их классификация.
11) Свойства функций непрерывных на отрезке.
12) Основные формулы и правила дифференцирования.
13) Производная сложной функции.
14) Понятие дифференцируемости функции в точке.
15) Теорема о дифференцируемости функции в точке x0
16) Производные высших порядков.
17) Дифференциал функции в точке x0
18) Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Лагранжа, Коши).
19) Правило Лопиталя.
20) Формула Тейлора.
21) Выпуклость функции. Точки перегиба.
22) Теорема о достаточном условии выпуклости функции.
23) Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
24) Асимптоты графика функции.
25) Исследование функций и построение графиков.
Раздел 4 Дифференциальное исчисление функций многих переменных
1) Предел и непрерывность функции двух переменных.
2) Частные производные.
3) Понятие дифференцируемости функции 2-х переменных в точке.
4) Дифференциал функции 2-х переменных.
5) Производная по направлению.
6) Градиент функции в точке. Физический смысл градиента.
7) Частные производные и дифференциалы высших порядков.
8)Экстремумы функции 2-х переменных.
Раздел 5 Интегральное исчисление функции одной переменной
1) Неопределенный интеграл и его основные свойства.
2) Таблица неопределенных интегралов.
3) Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
4) Метод интегрирования по частям.
5) Интегрирование рациональных функций.
6) Определенный интеграл и его основные свойства.
7) Формула Ньютона-Лейбница.
8) Метод замены в определенном интеграле.
9) Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
10) Приложения определенного интеграла.
11) Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.
12) Интеграл с переменным верхним пределом.
Раздел 6 Интегральное исчисление функций многих переменных
1) Определение двойного интеграла
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
2) Геометрический смысл двойного интеграла
3) Повторный интеграл
Раздел 7 Дифференциальные уравнения
1) Дифференциальное уравнение 1-го порядка. Общее и частное решение. Задача
Коши.
2) Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
3) Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
4) Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
5) Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
6) Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с
постоянными коэффициентами.
7) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с
постоянными коэффициентами.
Раздел 8 Ряды
1) Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда.
2) Необходимый признак сходимости ряда.
3) Свойства сходящихся рядов.
4) Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
5) Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
6) Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
7) Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
8) Степенной ряд. Область сходимости.
9) Теорема Абеля.
10) Свойства степенных рядов.
11) Разложение функций в степенные ряды.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ ДЛЯ
ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА
Вариант 1
1. Девять запечатанных пакетов с предложениями цены на аренду участков для бурения
нефтяных скважин поступили утром в специальное агентство. Сколько существует
различных способов очередности вскрытия конвертов с предложением цены?
а) 362880;
б) 9!;
в) 900;
г) 1000.
2. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность поражения цели первым стрелком
0,7, вторым – 0,8, третьим – 0,3. найти вероятность того, что только один стрелок
поразит мишень.
а) 0,284;
б) p1 q 2 q3  q1 p 2 q3  q1 q 2 p3 ;
в) 0;
г) 1.
3. Какому векторному равенству отвечает рисунок?
а) a  b  c  0 ;
б) a  b  c  0 ;
в) a  b  c  0 ;
г) a  b  c  0 .


4. Каково значение производной функции y  12 ln x  x 2  3 в точке x0  1 ?
а) 4;
б) 6;
в) 0;
г) -1.
5. Найти
x
2
dx
.
 2x  3
а)
1 x3
ln
C;
4 x 1
б)
1 x 1
ln
C;
4 x3
в) ln x 2  2 x  3  C .
6. На железнодорожной станции имеется шесть запасных путей. Сколькими способами
можно расставить на них четыре поезда?
а) 360;
б) 180;
в) A64 ;
г) 720.
7. Победитель соревнования награждается: призом (событие А), денежной премией
(событие В), медалью (событие С). Что представляет собой событие А+В?
а) награждение победителя или призом, или премией, или и тем, и другим;
б) награждение победителя и призом, и премией, и медалью;
в) награждение премией и медалью.
1 0 
 . Чему равна матрица B  A 4 ?
8. Дана матрица A  
0

1


1 0 
 ;
а) 
 0  1
 1 0
 ;
б) 
 0 1
 1 1
 ;
в) 
 0 1
 1  1
 .
г) 
0 1 
9. Какие из данных прямых перпендикулярны прямой 2 x  y  3  0 ?
а) 4 x  8 y  17  0 ;
б) 4 x  8 y  13  0 ;
в) y  2 x  7 ;
г) y 
1
x  3.
2
10. Найти
а)
2x  3
 4 x  7dx .
1
13
x  ln 4 x  7  C ;
2
8
б) x  C ;
в) ln 4 x  7  C ;
г)
1
x  ln 4 x  7  C .
2
11. Сколькими способами можно рассадить 5 гостей за круглым столом?
а) 120;
б) 360;
в) 5!;
г) P5 .
12. Вероятность произведения двух событий равна:
а) сумме вероятностей;
б) произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого,
найденную в предположении, что событие произошло;
в) произведению вероятностей.
13. Выяснить, какие из приведенных ниже матриц имеют обратные:
 2 1
 
а)  1 0  ;
 3 1
 
 0 0 0


б)  0 0 0  ;
 1 2 3


 1 2 3


в)  0 2 3 ;
 0 0 3


 1 2 3


г)  2 3 4  .
 3 5 7


14. Чему равен lim  1 ?
n
n 
а)  ;
б) -1;
в) не существует;
г) 1.
15. Какие из приведенных утверждений являются неверными?
а) в точке экстремума производная функции равна нулю или не существует;
б) в точке экстремума функция меняет знак;
в) в точке экстремума производная функции меняет знак;
г) в точке, в которой производная равна нулю или не существует, может не быть
экстремума.
16. Из 20 рабочих нужно выделить 6 любых рабочих для работы на определенном
участке. Сколькими способами это можно сделать?
а) 38760;
6
б) C 20
;
в)
20!
;
6!14!
г) 360.
17. Стрелок делает три выстрела по мишени. Вероятность попадания при первом
выстреле равна 0,85, при втором – 0,8, при третьем – 0,75. какова вероятность, что
мишень будет поражена хотя бы два раза?
а) 0,8975;
б) 0,95;
в) 0,5;
г) 0,9305.
1 2 5 


18. При каких значениях а, в, с для матрицы A   a 4 b  выполняется равенство
  1 c  5


A2  0 ?
а) a  1 ; b  2 ; c  5 ;
б) a  2 ; b  10 ; c  2 ;
в) a  0 ; b  1 ; c  4 ;
г) a  1 ; b  1 ; c  10 .
19. График функции y  f x  имеет вид
y
0
a
x
Каков график ее производной?
у
у
а
20. Какие из функции являются ограниченными?
у
а
а
а) y  e  x ;
2
б) y  e x ;
2
sin x
;
x2
в) y 
г) y  sin x  cos x .
21. Директор корпорации рассматривает заявления о приеме на работу 10 выпускников
университета. На одном из предприятий корпорации имеются три различных вакансии.
Сколькими способами директор может заполнить эти вакансии?
а) A103 ;
б) 720;
в) 10  9  8 ;
г) 360.
22. Стрелок трижды стреляет по одной мишени. Вероятность попадания при каждом
выстреле одна и та же и равна 0,8. Каков закон распределения случайной величины X –
числа попаданий в мишень?
а) биноминальный;
б) закон Пуассона;
в) геометрическое распределение.


23. Вычислить значение производной в точке x 0  0 y  ln e 2 x  e 4 x  1  2 x
а) 0;
б) 2;
в) 2  2 ;
г) 5  3 2 .
24. Среди перечисленных функций убывает на всей области определения функция:
а) y 
2x
;
1 x2
1 x 2
б) y 
;
x
в) y  x 3  x 2 ;
г) y  x 3  x 2 .
25. Найти
x
2
dx
 2x
а) ln x 2  2 x  C ;
б)
1
x
ln
C;
2 x2
в)
1
ln x 2  2 x  C ;
2
г) 0.
Вариант 2
1. Слово «интеграл» составлено из букв разрезной азбуки. Наудачу извлекают и
карточки и складывают в ряд друг за другом в порядке появления. Сколько возможных
соединений можно составить из букв этого слова?
а) A84 ;
б) 1680;
в) 8  7  6  5 ;
г) 200.
2. Стрелок шесть раз стреляет по одной мишени. Вероятность попадания при каждом
выстреле 0,8. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х –
числа попаданий в мишень.
а) 4,8; 0,96;
б) 4,8; 0,9;
в) 5,2; 0,85;
г) 5,2 0,9.
sin 2 3 x
?
x 0
x2
3. Чему равен lim
а) 1;
б) 0;
в)  ;
г) 9.
1 0 3 
1 0
 и A  
 :
4. Какие из операций можно выполнять над матрицами A  
 2 1  1
 3 1
а) A  B ;
б) A  B ;
в) B  A ;
г) B   A .
5. Вычислить

ln 3 x
dx
x
а) x 2 ln 3 x  C ;
б)
1
ln 3x 2  C ;
2
в) ln 3x  C .
6. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Сколько возможных
соединений можно составить из цифр телефонного диска?
5
а) A10пов
т;
б) 10 5 ;
в) 1000;
г) 200.
7. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением:
0, приx  0

F  x    x 3 , при 0  x  1 .
1, приx  1

Найти вероятность попадания на участок от 0,5 до 0,8.
а) 0,5;
б) 0,387;
в) 1;
г) 0.
8. График функции имеет вид
у
а
0
х
Каков график ее производной?
у
у
0
а
х
0
у
а
х
0
а
х
9. Выбрать функцию, график которой наиболее точно соответствует рисунку
у
0
а) y   x 
1
;
x
б) y   x 
1
;
x
в) y  x 
1
.
x
10. Найти
x
3
ln xdx .
х
а) 
1 4 1 4
x  x ln x  C ;
16
4
б) x 4  ln x  C ;
в) x 3  x 5  ln x  C
11. Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4
разных сорта пирожных?
а) 84;
6
б) C 4пов
т;
в) С 96
г) 100.
12. Найти выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратичное отклонение по
данному статистическому распределению выборки
xi
30
40
50
60
70
ni
3
7
10
10
20
а) 163,24; 12,5;
б) 163,24; 12,78;
в) 170; 25;
г) 170; 30.
13. Какие из данных прямых параллельны прямой x  2 y  3  0 ?
а) 4 x  8 y  17  0 ;
б) 4 x  8 y  11  0 ;
в) y  2 x  7 ;
г)
x 4
  1;
10 5
14. Выяснить, какие из данных функций заданы неявно:
а) y  sin 3 x ;
б) y  tgx  y   3 x ;
в) x  y  xy ;
г) y  x  e x .
15. Произведение бесконечно малой и бесконечно большой величин является:
а) бесконечно малой величиной;
б) бесконечно большой величиной;
в) константой;
г) неопределенностью.
16. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов
расписания при выборе из 11 дисциплин.
а) A115 ;
б) 55440;
в) 1100;
г) 11000.
17. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработают первый сигнализатор 0,95;
второй – 0,9. найти вероятность того, что при аварии сработают только один
сигнализатор.
а) 0;
б) 0,5;
в) 0,14;
г) 1.
18. Траектория движения точки М(х, у), которая при своем движении остается вдвое
ближе к точке А(-1; 1), чем к точке В(-4; 4) есть:
а) прямая линия;
б) окружность;
в) гипербола;
г) парабола.
19. Какие из перечисленных функций непрерывны в точке х=0:
а) y 
1
;
x
б) y  3 x ;
1, приx  0
в) y  
;
x
,
приx

0

 x, приx

г) y  0, приx .
 x, приx

20. При каких целых a, b, c функция F x   2e 3 x 1 является первообразной для функции
f x   ae bx c ?
а) a=3, b=3, c=1;
б) a=6, b=3, c=1;
в) a=1, b=2, c=0.
21. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует
вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены различные
приз?
5
а) A10пов
т;
б) 10 5 ;
в) 1000;
г) 100.
22. Студент знает 40 вопросов из 50-ти вопросов программы. Найти вероятность того,
что студент знает 2 вопроса из 3-х экзаменационного билета.
а) 0,8;
б) 0,2;
в)  0,4 ;
г) 0,5.
23. Какие из перечисленных функций являются бесконечно большими при x   ?
а) y  x ;
б) y  sin x ;
в) y  ln x ;
г) y 
1
.
x2
24. График какой функции изображен на рисунке
у
х
0
а) y  x  1e x ;
б) y  x  1e  x ;
в) y  x  1e  x ;
г) y  x  1e x .


25. Вычислить значение производной в точке x0  1 y  x  5 x  4 ln x
а) 0;
б) 10;
в) e ;
г) 2.
Ключи к тестам по дисциплине «Математика»
1
2
а, б
а, б
6
7
а, в
а
11
12
а, в, г
Б
16
17
а, б, в
а
21
22
а, б, в
а
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин
__________________ Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
СИТУАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА
Задача о фермере.
Вариант 1:
Представьте, что вы фермер и вложили в прошлом году в зерноводство,
животноводство и овощеводство всего 10 млн.д.е. и получил 780 тыс.д.е. прибыли. В
текущем году он собирается увеличить вложения в зерноводство в 2 раза, в
животноводство в 3 раза, а вложения в овощеводство оставить на прошлогоднем
уровне. На все это фермер выделяет 22 млн.д.е. Какую прибыль собирается получить
фермер в текущем году, если зерноводство приносит 10% прибыли на вложенные
средства, животноводство 8% и овощеводство 6%?
Вариант 2:
Рассмотрим задачу из примера 1 со следующими изменениями: зерноводство приносит
8% прибыли на вложенные средства, животноводство 10% и овощеводство 6%.
Вариант 3:
Рассмотрим задачу из примера 2 со следующими изменениями: Фермер получил
840 тыс.д.е. прибыли
Задачи
Матрицы и действия над ними
1.
а)
Найти сумму, разность, произведения двух матриц А и В.
,
;
б)
,
в)
;
,
;
г)
,
д)
,
е)
,
ж)
з)
;
;
;
,
,
;
;
и)
2.
,
Доказать, что матрицы А и В коммутирующие.
а)
3.
; б)
,
,
б)
а)
.
,
,
;
,
.
Вычислить (3А 2В)·С, если
,
5.
,
Даны матрицы А. В и С. Показать, что (АВ)·С=А·(ВС).
а)
4.
.
Найти
,
.
, если
; б)
.
6.
Найти матрицу Х, если 3А+2Х=В, где
,
.
7.
Найти АВС, если
а)
,
б)
,
,
;
,
.
8. Составить матрицу квадратичной формы
.
9. Восстановить квадратичную форму по заданной матрице
. Каждая ли из заданных
матриц может соответствовать некоторой квадратичной форме? Почему?
А)
; б)
10. Задана квадратичная форма
форму
,
.
. Найти квадратичную
, полученную из данной линейным преобразованием:
.
1. Найти вектор, выраженный через заданный Для данного вектора а найти
вектор b, такой что а
b, |b|=2∙|a|;
вектор с, такой что а с, |с|=|a|/4;
вектор d, такой что a||d, |d|=3∙|a|;
вектор e, такой что a e, |e|=1.
2. Разложение вектора в заданном базисе
Пусть в декартовой системе координат a={1,0,1}, b={0,2,-1}, c={3,1,0}, d={-1,0,4}.
а) Выяснить, будет ли тройка a, b, c линейно независима.
б) разложить вектор d по базису B: a, b, c; записать координаты d в этом базисе.
3.Найти угол между векторами
Пусть в декартовой системе координат а={2,1,0}, b={3,-2,
}, c={-4,-2,0}. Найти угол
между векторами
а) a и b;
б) а и с.
4. Написать канонические и параметрические уравнения прямой, параллельной заданной
прямой и проходящей через заданную точку.
Написать канонические и параметрические уравнения прямой, параллельной
прямой
, проходящей через точку М(1,2,3).
5. Найти точку пересечения прямой и плоскости
Найти точку А пересечения прямой
и плоскости 2x–y+3z+3 = 0.
6. Найти расстояние от точки до плоскости
Найти расстояние от точки (1,3,2) до плоскости 3x + y + z – 6 = 0
7. Найти полярные координаты точки M с декартовыми координатами (
) при
условии, что начала координат совпадают, а полярная ось совпадает с положительной
частью оси абсцисс.
8. Найти декартовы координаты точки M с полярными координатами (
) при
условии, что начала координат совпадают, а полярная ось совпадает с положительной
частью оси абсцисс.
9. В декартовой системе координат поверхность задана уравнением
Перепишем это уравнение в цилиндрической системе координат.
.
10. В декартовой системе координат поверхность задана уравнением
Перепишем это уравнение в сферической системе координат.
.
1.Определить
максимальное
приращение Δf(x0) функции
1000.
приращение
Δx аргумента x и
соответствующее
в точке x0 = 1, если x изменяется от 1 до
2.Определить максимальное по абсолютной величине приращение Δx аргумента x и
соответствующее
приращение
Δf(x0)
функции
в
точке x0 =
0,01,
если x изменяется от 0,01 до 0,001.
3.Переменная x получает приращение Δx в точке x0, т. е. Δx = x - x0. Определить
приращение
; в)
4.Найти f'(1),
; в)
Δf(x0),
если а)
; б)
.
если: а)
; б)
; г)
.
5.Доказать, что вектор-функция
, где
не имеет производной в точке x = 0.
6.Найти производную функции
.
7.Найти производную функции
8.Найти производную функции
9.Найти производную от вектор-функции
.
.
.
10.
Найти
производную
от
матричной
функции
,
где
a22(x)
=
|x|.
1. Исследовать на экстремум функцию Z=-4+6X-X2-Xy-Y2.
2. Написать
уравнение
касательной
плоскости
и
уравнение
нормали
к
поверхности 3ху2-2уZ+4Xz-2=0 в точке М0 (х0;у0;Z0), если Х0=-1 и У0=2.
3. Найти
наибольшее
и
наименьшее
значения
функции Z=X2+2Y2-2X-8Y+5 в
замкнутом треугольнике АОВ, ограниченном осями координат и прямой Х+у4=0 (рис. 1).
Рис. 1
4. Дан
интеграл
Требуется:
1)
построить
на
плоскости ХОу область интегрирования D; 2) изменить порядок интегрирования; 3)
вычислить
площадь
области D при
заданном
интегрирования.
5. Найти функцию U (Х, у), если ее дифференциал
и
измененном
порядке
6. Дана функция
, Показать, что
7.
8.
9.
10.
Задача 1.Вычислить интеграл:
А)
Б)
В)
Г)
Д)
Е)
Ж)
З)
И)
К)
М)
Л)
Н)
О)
Р)
П)
Т)
С)
У)
Ф)
Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
А)
Б)
Задача 3.Вычислить:
А) площадь фигуры, ограниченной линиями:
Б) длину дуги кривой:
и
;
,
В) объем тела, полученного вращением фигуры
оси
.
Задача 4.Найдите ту первообразную функции
, вокруг
график которой касается
прямой
Задача 5.Найдите те первообразные функции
графики которых
имеют с графиком функции
ровно две общие точки.
Задача 6. Найдите функцию, если угловой коэффициент касательной к её графику в
точке с абсциссой
определяется по формуле
а график проходит через
точку
Задача 7. Точка движется прямолинейно с ускорением
Найдите
закон движения точки, если в момент
её скорость равна 10
а координата
равна 8м.
Задача 8. Пользуясь основной таблицей интегралов, вычислите следующие интегралы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Задача 9. Пользуясь свойствами неопределённого интеграла, вычислите следующие
интегралы:
а)
б)
в)
г)
д)
Задача
10.
Вычислите
интегралы,
используя
следующее
интегрирования:
а)
б)
в)
г)
д)
1. Изменить порядок интегрирования.
2.Вычислить.
3. Вычислить.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
5. найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
е)
правило
6.
пластинка
задана
ограничивающими
ее
кривыми,
- поверхностная плотность.найти массу пластинки.
7.пластинка
задана
ограничивающими
ее
кривыми,
- поверхностная плотность.найти массу пластинки.
8.вычислить.
9. вычислить.
10.найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
11.найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
12.найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
13. найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
14. найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
15. найти объем тела, заданного неравенствами.
16.
тело
задано
ограничивающими
- плотность.найти массу тела.
его
поверхностями,
Задача 1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого
порядка
Задача 2. Решить однородное дифференциальное уравнение
Задача
3. Решить
дифференциальное
переменными
Задача
Задача
с
разделяющимися
. Найти частное решение, удовлетворяющее
начальному условию
Задача
уравнение
.
4. Решить
5. Решить
6. Решить
дифференциальное
однородное
линейное
уравнение
дифференциальное
дифференциальное
уравнение
уравнение
первого
порядка
Задача 7. Решить дифференциальное уравнение
Задача 8. Решить задачу Коши
Задача 9. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами
Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка
с
постоянными
коэффициентами
методом
Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:
А)
Б)
В)
Г)
Д)
Е)
Ж)
З)
Пример2. Найти область сходимости ряда
.
вариации:
Пример 3. Вычислить с точностью
интеграл
.
Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения
задачи Коши
.
Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье
А)
в интервале (-2, 2):
Б)
по синусам на интервале
Задача 1. Найти сумму ряда.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
1.31.
ТЕМЫ ПРЕЗЕНТАЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА
1. Понятие случайного события. Невозможные и достоверные события.
2. Полная группа событий. Пространство элементарных событий. Совместные и
несовместные события. Независимые события. Противоположные события.
3. Определение вероятности. Классическое определение вероятности.
4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Сумма и произведение событий.
Теоремы сложения совместных и несовместных событий.
5. Условная вероятность. Теоремы умножения зависимых и независимых событий.
6. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
7. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли.
8. Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность. Выборка.
9. Вариационный ряд. Графические средства изображения вариационных рядов.
10. Числовые характеристики вариационных рядов.
11. Методы расчета выборочных характеристик.
12. Понятие о статистической оценке. Оценки параметров распределения по
эмпирическим (выборочным) данным.
13. Несмещенность, эффективность и состоятельность оценок. Точечные оценки
параметров. Понятие об интервальном оценивании.
14. Линейное программирование. Примеры экономико-математических задач. Задача
линейного программирования (стандартная, каноническая и общая) и её геометрическая
интерпретация.
15. Графический метод решения задачи линейного программирования.
16. Множество планов (допустимые решения) данной задачи. Опорные планы и угловые
точки. Свойства планов. Вырожденные и невырожденные планы.
17. Симплекс-метод. Основы метода. Симплексные таблицы. Экономическая
интерпретация элементов симплексной таблицы.
18. Выбор первоначального опорного плана.
19. Введение искусственных переменных. М- метод. Улучшение опорного решения.
20. Двойственность в линейном программировании. Взаимно-двойственные задачи
линейного программирования. Свойства двойственных задач. Теоремы двойственности.
Двойственный симплекс-метод.
21. Транспортная задача. Экономическая и математическая формулировка. Необходимые
и достаточные условия разрешимости транспорной задачи. Основные способы построения
первоначального опорного плана (метод северо-западного угла, наименьшей стоимости,
двойного предпочтения, аппроксимации Фогеля).
22. Потенциалы и их экономический смысл. Метод потенциалов.
23. Вырожденные транспортные задачи.
24. Целочисленное линейное программирование. Примеры целочисленных моделей.
Методы решения (Гомори и ветвей и границ).
25. Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ.
26. Задача об оптимальном назначении.
27. Нелинейное программирование. Постановка задачи.
28. Метод множителей Лагранжа.
29. Выпуклые и вогнутые функции. Задача выпуклого программирования. Условие
регулярности. Теорема Куна-Таккера.
30. Задача с линейными ограничениями. Метод Франка-Вульфа.
31. Динамическое программирование. Конечномерные оптимизационные задачи. Понятие
об оптимальном управлении. Уравнение Беллмана.
32. Задача о распределении ресурсов.
33. Элементы теории матричных игр. Основные определения. Антагонистические игры.
34. Матричные игры. Седловые точки. Максиминные и минимаксные стратегии.
Смешанная стратегия.
35. Игры 2х2.
36. Игры 2хm, nх2, графический метод их решения.
37. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования.
ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА
История появления алгебры как науки.
Алгебра: основные начала анализа.
Связь математики с другими науками.
Способы вычисления интегралов.
Тема реферата по математике: "Определение элементарных функций".
Тема реферата по математике: "Двойные интегралы и полярные координаты".
Тема реферата по математике: "Запись и вычисление дифференциальных
уравнений".
8. Тема реферата по математике: "История появления комплексных чисел".
9. Тема реферата по математике: "Сущность линейной зависимости векторов".
10. Тема реферата по математике: "Математические головоломки и игры: сущность,
значение и виды".
11. Основы математического анализа.
12. Основные концепции математического моделирования.
13. Математическое программирование: сущность и значение.
14. Методы решения линейных уравнений.
15. Методы решения нелинейных уравнений.
16. Основополагающие концепции математической статистики.
17. Определение уравнения переходного процесса.
18. Применение кратных либо тройных интегралов.
19. Решение смешанных математических задач.
20. Вычисление тригонометрических неравенств.
21. Математическая философия Аристотеля.
22. Основные тригонометрические формулы.
23. Математик Эйлер и его научные труды.
24. Определение экстремумов функций многих переменных.
25. Сущность аксиоматического метода.
26. Декарт и его математические труды.
27. Основные концепции математики.
28. Развитие логики и мышления на уроках математики.
29. Современные открытия в области математики.
30. Пределы и производные: сущность, значение, вычисление.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
ТЕМЫ ПРОЕКТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА
1. Векторная алгебра.
2. Метод координат. Прямая линия на плоскости.
3. Прямая линия на плоскости.
4. Прямая и плоскость в пространстве.
5. Прямая и плоскость в пространстве.
6. Полярные координаты. Кривые второго порядка.
7. Кривые второго порядка.
8. Действия над матрицами.
9. Вычисление определителей.
10. Вычисление обратной матрицы и решение матричных уравнений
11. Системы линейных уравнений. Теорема Крамера.
12. Вычисление ранга матрицы. Исследование системы линейных уравнений.
13. Решение неопределенных и однородных систем линейных уравнений.
14. Действия с n-мерными векторами. Линейная зависимость и линейная независимость
векторов.
15. Разложение вектора по базису.
16. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Предел числовой
последовательности.
17. Непрерывные функции. Вычисление пределов.
18. Производная и дифференциал функции.
19. Исследование функции и построение графика.
20. Исследование функции и построение графика.
21. Оптимизация функций. Формула Тейлора.
22. Частные производные. Полный дифференциал.
23. Градиент и производная по направлению.
24. Локальные экстремумы функции двух переменных.
25. Условный экстремум. Оптимизация функций.
26. Неопределенный интеграл.
27. Определенный интеграл. Несобственные интегралы.
28. Двойные интегралы.
29. Сходимость и расходимость числового ряда
30. Исследование степенных рядов