1. Дифференциальные уравнения, порядок уравнения, общее, частное, решения и... геометрический смысл. 2. Дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными.

Экзаменационные вопросы по математике для ZBМ-Физ-2-1
1. Дифференциальные уравнения, порядок уравнения, общее, частное, решения и их
геометрический смысл.
2. Дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными.
3. Однородные дифференциальные уравнения I порядка, их решение.
4. Линейные дифференциальные уравнения I порядка, их решение методом Бернулли.
5. Линейные дифференциальные уравнения I порядка, их решение методом вариации
произвольной постоянной.
6. Уравнения Бернулли.
7. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
8. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка:
y ( n )  f ( x) ;
b. y "  f ( x, y ') ;
c. y "  f ( y, y ') .
a.
9. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка. Структура общего
решения (доказать теорему).
10. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка. Получить
характеристическое уравнение.
11. Решение однородных линейных дифференциальных уравнений II порядка, если:
a. корни действительные и различные;
b. корни действительные и равные;
c. корни комплексные.
12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка. Структура общего
решения (доказать теорему).
13. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений II порядка с правой
частью в случае, когда:
a. f ( x)  Pn ( x) ;
b. f ( x)  Aex ;
c. f ( x)  A cos x  B sin x .
14. Числовые ряды. Сумма ряда. Определение сходимости.
15. Гармонический ряд и геометрическая прогрессия.
16. Необходимый признак сходимости рядов.
17. Достаточные признаки сходимости:
a. сравнения;
b. Даламбера;
c. интегральный признак Коши;
d. радикальный признак Коши.
18. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
19. знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
20. Степенные ряды. Теорема Абеля.
21. Радиус сходимости степенного ряда.
22. Ряды Тейлора и Маклорена.
23. Разложение в ряд Маклорена функций:
a. f ( x)  e x ;
b. f ( x)  sin x ;
c. f ( x)  cos x ;
d.
f ( x)  (1  x) m .
Тестовые задания к экзамену.
Дифференциальные уравнения и их системы
А
В
С
Д
1. Дифференциальное уравнение F ( x, y, y , y ,..., y ( n ) )  0 называется:
уравнением с частными производными;
обыкновенным дифференциальным уравнением I-го порядка;
обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка;
уравнением с частными производными n-го порядка.
А
В
С
2. Порядком дифференциального уравнения называется:
наивысшая степень одной из производных уравнения;
наивысший порядок производных уравнения;
сумма всех порядков производных, входящих в уравнение.
3. Какое геометрическое толкование можно дать следующему рисунку:
А
В
С
Д
А
В
С
Д
интегральные кривые дифференциального уравнения;
поле направлений дифференциального уравнения;
частное решение дифференциального уравнения;
частный интеграл дифференциального уравнения.
4. Какое геометрическое толкование можно дать следующему рисунку:
интегральные кривые дифференциального уравнения;
поле направлений дифференциального уравнения;
частное решение дифференциального уравнения;
частные интеграл дифференциального уравнения.
5. Каждому из вопросов 5.1, 5.2 подберите соответствующий ответ. Ответ
запишите, например, в виде: 5.1-А, 5.2-В.
5.1. Общим решением дифференциального уравнения F ( x, y, y )  0 называется?
5.2. Общим интегралом дифференциального уравнения F ( x, y, y )  0 называется?
y   (x)
 ( x, y , c )  0
А
В
y   ( x, c )
y   f ( x, y )
С
Д
6. Какое из дифференциальных уравнений является уравнением с
разделяющимися переменными:
6.1. y   f1 ( x)  f 2 ( y) ;
6.2. f1 ( x)  f 2 ( y)dx  f 3 ( x)  f 4 ( x)dy  0 .
Ответы:
А уравнение 6.1 является, 6.2 не является;
В уравнение 6.1 не является, 6.2 является;
С 6.1 и 6.2 не являются;
Д 6.1 и 6.2 являются.
7. Функция f ( x, y ) называется однородной функцией n-го измерения, если
справедливо тождество:
А f (tx, ty)  t n f ( x, y) ;
В f (tx, y)  t n f ( x, y) ;
С
f ( x, ty)  t n f ( x, y) ;
Д f (tx, ty)  f (t n , x, y) .
y   f ( x, y )
8. Дифференциальное уравнение
относительно x и y , если функция f ( x, y ) является:
А линейной функцией;
В однородной функцией любого измерения;
С однородной функцией I-го измерения;
Д функцией нулевого измерения.
называется
однородным
9. Однородное дифференциальное уравнение I-го порядка решается путем
подстановки:
А y  U V ;
В
С
Д
y U  x;
U
y ;
V
x
y .
U
10. Дифференциальное уравнение I-го порядка называется линейным, если оно
имеет вид:
dy
 f ( x, y ) , где f ( x, y ) - функция нулевого измерения;
А
dx
В M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 , где M ( x, y ) и N ( x, y ) - функция одного измерения;
dy
 P( x)  y  Q( x) .
С
dx
А
В
С
А
С
А
С
11. Уравнение Бернулли имеет вид:
dy
 P( x)  y  Q( x)  y n ;
dx
dy
 P( x)  Q( x)  y n ;
dx
dy
 P( x)  x  Q( x) .
dx
12. Линейное уравнение первого порядка решается путем подстановки:
U
y ;
y  x U ;
В
V
x
y ;
y  U V .
Д
U
13. Уравнение Бернулли решается путем подстановки:
U
y  x U ;
В y ;
V
x
y  U V ;
Д y .
U
14. Чтобы дифференциальное уравнение M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 представляло
собой уравнение в полных дифференциалах, нужно, чтобы было выполнено условие:
M N
M N


А
;
В
;
x
y
y
x
С
M N

;
x
x
Д
2M 2 N

.
x 2
y 2
15. Дифференциальные уравнения 15.1 F ( x | , y | , y || )  0 и
допускают понижение порядка путем подстановки:
А
y  x U ;
Д
y   P(x) ; y   P
В
dP
.Е
dx
y  U V ;
y   P ; y   P  .
С
15.2 F ( y, y | , y || )  0
y   P( y ), y   P 
dP
;
dy
Oтвет запишите в виде, например, 15.1-А, 15.2-В.
16.
Дифференциальное
уравнение
называется:
А линейным неоднородным;
В однородным n-го порядка;
С
нелинейным неоднородным n-го порядка;
Д линейным однородным n-го порядка.
А
В
С
Д
y ( n )  a1 y ( n 1)  a 2 y ( n  2)  ...  a n y  f ( x)
17. Дифференциальное уравнение y ( n )  a1 y ( n 1)  ...  a n 1 y   a n y  0 называется:
линейным неоднородным;
неоднородным n-го порядка;
нелинейным неоднородным n-го порядка;
линейным однородным n-го порядка.
18. Если дифференциальное уравнение y  a1 y  a2 y  0 имеет два частных
решения y1 и y 2 , то:
А
y1  y2 будет, C1 y1  C2 y2 не будет решением;
В
y1  y2 и C1 y1  C2 y2 будут решениями;
С
C1 y1  C2 y2 будет, а y1  y2 не будет решениями;
Д
y1  y2 и C1 y1  C2 y2 могут быть, а могут и не быть решениями.
19. Если y1 и y 2 - два линейно независимых решения дифференциального
уравнения y  a1 y  a2 y  0 , то общее решение этого уравнения будет:
А
В
C1 y1  C2 y2 ;
y1  y2 ;
С1 y1
C1e y1x  C2 e y2 x .
С
;
Д
C2 y2
20. Если Вронскиан системы функций y1 , y 2 ,..., y n : а) равен нулю; б) не равен
нулю, то функции будут соответственно:
А линейно независимы и линейно зависимы;
В линейно зависимы и линейно независимы;
С тождественно равными нулю и линейно независимы.
21. Если дифференциальное уравнение y  a1 y  a2 y  f ( x) имеет какое-либо
частное решение y ч.н. , а соответствующее однородное уравнение имеет общее решение
y о.о , то общее решение неоднородного уравнения будет:
А C1 yч.н.  С2 yо.о. ;
В y ч . н .  C 2 y о .о . ;
С yч.н.  yо.о.
;
Д y ч . н .  y о .о . .
22. Однородное линейное уравнение с постоянными
y  a1 y  a2 y  0 имеет характеристическое уравнение вида:
k 2  a1k  a2 y  0 ;
А
В k   a1k   a2 k  0 ;
2
С y  a1k  a 2  0 ;
Д k 2  a1k  a2  0 .
коэффициентами
y
(n)
23. Решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами
 a1 y ( n 1)  ...  a n y  0 ищется в виде:
А
y  ex ;
В
y  e kx ;
С
y  k  ex ;
Д
y  C1 cos kx  C2 sin kx .
24.
Характеристическое
уравнение
дифференциального
уравнения
y  a1 y  a2 y  0 имеет два различных действительных корня k1 и k 2 . Тогда общее
решение этого уравнения будет:
А
В C1 cos k1 x  C2 sin k 2 x ;
C1e k1x  C 2 e k2 x ;
С
e k1x  e k 2 x ;
Д
C1e k1x  C 2 e k2 x .
25.
Характеристическое
уравнение
дифференциального
уравнения
y  a1 y  a2 y  0 имеет комплексные корни k1    i и k 2    i . Тогда общее
решение дифференциального уравнения будет:
e x (C1 cos x  C 2 sin x) ;
А
В
C1 cos x  C2 sin x ;
С
Д
ex (C1 cos x  C2 sin x) ;
C1ex  C 2 e x .
26.
Характеристическое
уравнение
дифференциального
уравнения
имеет два одинаковых
y  a1 y  a2 y  0
k1  k 2 . Тогда общее решение
дифференциального уравнения будет:
А C1e k1x  C 2 e k2 x ;
В C1 cos k1 x  C2 sin k1 x ;
С
e k1x (C1 cos k 2 x  C2 sin k 2 x) ;
Д
C1e k1x  C 2  x  e k1x .
27. Характеристическое уравнение неоднородного линейного уравнения
y   a1 y   a 2 y  Pm ( x)  e ax имеет корни k1 и k 2 не равные a . Укажите, какое это решение
(ответы А, В) и вид его (ответы С, Д, Е, F). Ответы запишите в виде: 27-А-Е.
А
общее;
В частное;
ax
Q m ( x )e ;
С
Д Qm ( x)(C1e k1x  C 2 e k2 x ) ;
Е
Qm ( x)  x r  e ax , r  0 ;
F
Qm ( x)e ax (C1e k1x  C 2 e k2 x ) .
28. Характеристическое уравнение неоднородного линейного уравнения
y   a1 y   a 2 y  Pm ( x)  e ax имеет корни k1 и k 2 . Число a равно хотя бы одному корню
характеристического уравнения. Укажите, какое это решение (ответы А, В) и вид его
(ответы С, Д, Е, F). Ответы запишите в виде: 28-В-С.
А частное;
В общее;
ax
С Q m ( x )e ;
Д Qm ( x)(C1e k1x  C 2 e k2 x ) ;
Е
Qm ( x)  x r  e ax ;
F
Qm ( x)e ax (C1e k1x  C 2 e k2 x ) .
29. Характеристическое уравнение неоднородного линейного уравнения
y  a1 y  a2 y  e ax ( Pm(11 ) ( x) cos bx  Pm(22) ( x) sin bx ) имеет корни k1 и k 2 . Если число a  ib
равно одному из корней k1 или k 2 , то частное решение имеет вид:
А xeax Qm ( x)(C1 cos bx  C 2 sin bx) , где m  max{ m1 , m2 } ;
В
xeax (Qm(1) ( x) cos bx  Qm( 2) ( x) sin bx) , где m  max{ m1 , m2 } ;
С
e ax (Qm(1) ( x) cos bx  Qm( 2) ( x) sin bx) , где m  max{ m1 , m2 } ;
e ax Qm ( x)(C1 cos bx  C 2 sin bx) , где m  max{ m1 , m2 } .
Д
30. Характеристическое уравнение неоднородного линейного уравнения


y  a1 y  a2 y  e ax ( Pm(11 ) ( x) cos bx  Pm(22) ( x) sin bx имеет корни k1 и k 2 . Если число a  ib не
равно ни одному из корней k1 или k 2 , то частное решение имеет вид:
А xeax Qm ( x)(C1 cos bx  C 2 sin bx) , где m  max{ m1 , m2 } ;
В
e ax Qm ( x)(C1 cos bx  C 2 sin bx) , где m  max{ m1 , m2 } ;
С
xeax (Qm(1) ( x) cos bx  Qm( 2) ( x) sin bx) , где m  max{ m1 , m2 } ;
Д
e ax (Qm(1) ( x) cos bx  Qm( 2) ( x) sin bx) , где m  max{ m1 , m2 } .
Ряды
1. Если U 1 ,U 2 ,....,U n ,.... - числовая последовательность, то
n
lim
n
U
k 1
M
N
P
S
k
U k ,
k 1

U
k 1
k
,
называется соответственно:
рядом, суммой ряда, частичной суммой;
суммой ряда, частичной суммой, рядом;
частичной суммой ряда, суммой ряда, рядом;
частичной суммой ряда, рядом, суммой ряда.
2. Необходимым признаком сходимости ряда

U
k 1
n
M
n
lim
n 
U
k 1
k
является:
k
 0;
N
lim U n  0 ;
P
lim U n  C  const ;
S
lim
n 
n 
1
0.
n  U
n
3. Если для рядов с положительными членами


 Pk и
P
k 1

k
k 1
выполняется Pk  Pk

, то :
M
из сходимости ряда

 Pk следует сходимость
k 1
N
из расходимости ряда

P
k 1

k
;

 Pk следует сходимость ряда
k 1
P
из сходимости ряда

P
k 1
k

следует сходимость

P
k 1

k

P
k 1
k
.
4. Признак Даламбера сходимости числового ряда

P
k 1
членами Pk заключается в том, что:
;
k
с положительными
M
lim
Pk 1
 q , q  1 - ряд расходится, q  1 - ряд сходится;
Pk
N
lim
k
P
lim
S
lim
k 
Pk  q , q  1 - ряд расходится, q  1 - ряд сходится;
k 
Pk 1
 q , q  1 - ряд расходится, q  1 - ряд сходится;
k  P
k
Pk , q  1 - ряд расходится, q  1 - ряд сходится.
k
k 
5. Признак Коши сходимости числового ряда

P
k 1
k
с положительными членами
Pk заключается в том, что если:
P
M
lim k 1  q , q  1 - ряд сходится, q  1 - ряд расходится;
k  P
k
N
lim
P
lim
S
lim
Pk  q , q  1 - ряд сходится, q  1 - ряд расходится;
k
k 
Pk 1
 q , q  1 - ряд сходится, q  1 - ряд расходится;
k  P
k
Pk  q , q  1 - ряд сходится, q  1 - ряд расходится.
k
k 
Интегральный
6.
признак
Коши
сходимости
числового
ряда

P
k m
невозрастающими членами заключается в том, что

M
 P( x)dx сходится, то ряд сходится;
если


N
 P( x)dx расходится, то ряд сходится;
если
m

P
 P( x)dx сходится, то ряд сходится;
если
m

S
Pk 1 ( x)
dx сходится, то ряд сходится.
P( x)
m

если
7. Ряд
U
k
называется абсолютно сходящимся, если ряд:

M
U
k 1

N

k 1

k 1
k
U k сходится;

S
U
k 1
сходится;
U k 1
сходится;
Uk

P
k
k
сходится.
k
с
8. Знакочередующийся ряд P1  P2  P3  P4  ...  (1) n 1 Pn  ... ( Pi  0) сходится
(признак Лейбница), если
lim Pn  0 ;
P1  P2  P3  ...  Pn  ... и
M
n 
N
P1  P2  P3  ...  Pn  ... и
lim Pn  0 ;
P
P1  P2  P3  ...  Pn  ... и
lim
S
P1  P2  P3  ...  Pn  ... и
lim
n 
Pn1
0;
n P
n
n 
n
Pn  0 .
9. Если U 1 ( x), U 2 ( x),..., U n ( x),... функциональная последовательность, то
n
 U k ( x) , lim
k 1
n 
n
U
k 1
k

U
k 1
k
( x ) называются соответственно:
M
N
P
S
рядом, суммой ряда, частичной суммой;
суммой ряда, частичной суммой, рядом;
частичной суммой, суммой ряда, рядом;
рядом, частичной суммой, суммой ряда.
M
N
10. Степенным рядом называется ряд вида:
a
a a
a0  1  22  ...  nn  ... ;
x x
x
x
x
a 0  a1  2  a 2  3  a3  4 x  ...  a n (n  1) x  ... ;
P
a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ... ;
S
a0 
an
a1
a2

 ... 
 ... .
2
x  x0 ( x  x0 )
( x  x0 ) n
11. Степенной ряд a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ... сходится абсолютно, если R радиус сходимости и выполняется:
M
где R  lim n a n ;
x  R,
n 
N
x  R,
P
x  R,
S
x  R,
M
N
P
S
a n 1
;
n  a
n
1
где R  lim
;
n  n
an
где R  lim
an
.
n  a
n 1
где R  lim
12. Степенной ряд a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ... в области сходимости можно:
только почленно дифференцировать;
только почленно интегрировать;
не допускается почленное дифференцирование и интегрирование;
можно почленно дифференцировать и интегрировать.
13. Для того чтобы функция f (x) могла быть разложена в степенной ряд на
интервале ( R; R ) необходимо, чтобы эта функция имела непрерывные производные
( x) ,
любого порядка в окрестности точки x  a , и этот ряд, называемый рядом Тейлора, имеет
вид:
f (a)
f (a) 2
f ( n ) (a) n
f ( x)  f (a) 
x
x  ... 
x  ... ;
M
1!
2!
n!
N
f ( x)  f ( a ) 
f (a)
f (a)
f ( n ) (a)
( x  a) 
( x  a) 2  ... 
( x  a) n  ... ;
1!
2!
n!
P
f ( x)  f (0) 
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n
x
x  ... 
x  ... ;
1!
2!
n!
S
f ( x)  f (0) 
f (0)
f (0)
f ( n ) (0)
( x  a) 
( x  a) 2  ... 
( x  a) n  ... .
1!
2!
n!
M
14. Функция e x разлагается в ряд Тейлора вида:
x2 x4 x6
1


 ... ;
2! 4! 6!
N
x
P
1
S
x
M
x3 x5 x7


 ... ;
3! 5! 7 !
x x2 x3


 ... ;
1! 2! 3!
x2 x3 x4


 ... .
2
3
4
15. Функция sin x разлагается в ряд Тейлора вида:
x2 x4 x6
1


 ... ;
2! 4! 6!
x3 x5 x7


 ... ;
3! 5! 7 !
N
x
P
1
S
x2 x3 x4
x


 ... .
2
3
4
M
x x2 x3


 ... ;
1! 2! 3!
16. Функция cos x разлагается в ряд Тейлора вида:
x2 x4 x6
1


 ... ;
2! 4! 6!
N
x
P
1
S
x
x3 x5 x7


 ... ;
3! 5! 7 !
x x2 x3


 ... ;
1! 2! 3!
x2 x3 x4


 ... .
2
3
4
17. Ряд Фурье – это ряд вида:
M
N
P
S
a0
2
a0
2
a0
2
a0
2

  a k (cos x) k  bk (sin x) k ;
k 1

ak
b
 k ;
sin kx
k 1 cos kx


  a k cos kx  bk sin kx ;
k 1

  a k cos x k  bk sin x k .
k 1