D.3. Системы эконометрических уравнений Пример Варианты индивидуальных заданий Требуется

D.3. Системы эконометрических уравнений
Пример решения типовой задачи смотри в разделе 3.
Варианты индивидуальных заданий
Даны системы эконометрических уравнений.
Требуется
1.
Применив необходимое и достаточное условие идентификации,
определите, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.
2.
Определите метод оценки параметров модели.
Запишите в общем виде приведенную форму модели
Вариант 9
Модель денежного рынка:
 Rt  a1  b11M t  b12Yt  1 ,

Yt  a2  b21 Rt  b22 I t   2 ,
I  a  b R   ,
3
33 t
3
 t
где R – процентные ставки; Y – ВВП; M – денежная масса; I – внутренние
инвестиции.
Рассмотрим пример. Изучается модель вида
Ct  a1  b11  Yt  b12  Ct 1  1 ,
I  a  b  r  b  I   ,
 t
2
21 t
22
t 1
2

rt  a3  b31  Yt  b32  M t   3 ,
Yt  Ct  I t  Gt ,
где Ct – расходы на потребление в период t , Yt – совокупный доход в
период t , I t – инвестиции в период t , rt – процентная ставка в период t , M t
– денежная масса в период t , Gt – государственные расходы в период t , Ct 1
– расходы на потребление в период t  1 , I t 1 инвестиции в период t  1 .
Первое уравнение – функция потребления, второе уравнение – функция
инвестиций, третье уравнение – функция денежного рынка, четвертое
уравнение – тождество дохода.
Модель представляет собой систему одновременных уравнений.
Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.
Модель включает четыре эндогенные переменные
 Ct , It , Yt , rt 
и
четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные – M t и
Gt и две лаговые переменные – Ct 1 и I t 1 ).
Проверим необходимое условие идентификации для каждого из
уравнений модели.
Первое уравнение: Ct  a1  b11  Yt  b12  Ct 1  1 . Это уравнение
содержит две эндогенные переменные Ct и Yt и одну предопределенную
переменную Ct 1 . Таким образом, H  2 , а D  4  1  3 , т.е. выполняется
условие D  1  H . Уравнение сверхидентифицируемо.
Второе уравнение: I t  a2  b21  rt  b22  I t 1   2 . Оно включает две
эндогенные переменные I t и rt и одну экзогенную переменную I t 1 .
Выполняется
условие
D 1  3 1  H  2 .
Уравнение
сверхидентифицируемо.
Третье уравнение: rt  a3  b31  Yt  b32  M t   3 . Оно включает две
эндогенные переменные Yt и rt и одну экзогенную переменную M t .
Выполняется
условие
D 1  3 1  H  2 .
Уравнение
сверхидентифицируемо.
Четвертое уравнение: Yt  Ct  I t  Gt . Оно представляет собой
тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации
нет.
Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации.
Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.
Ct
It
rt
Yt
Ct 1
I t 1
Mt
Gt
I уравнение
–1
0
0
b11
b12
0
0
0
II уравнение
0
–1
b21
0
0
b22
0
0
III уравнение
Тождество
0
1
0
1
–1
0
b31
0
0
0
0
b32
0
1
–1
0
В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы
коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение,
должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.
Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не
входящих в уравнение, имеет вид
It
rt
I t 1
Mt
Gt
II уравнение
–1
b21
b22
0
0
III уравнение
Тождество
0
1
–1
0
0
0
b32
0
1
0
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной
подматрицы 3  3 не равен нулю:
b22
0
0
0
b32
0
Достаточное
0
0  b22b32  0 .
1
условие
идентификации
для
данного
уравнения
выполняется.
Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не
входящих в уравнение, имеет вид
Ct
Yt
Ct 1
Mt
Gt
I уравнение
–1
b12
0
0
III уравнение
Тождество
0
1
b11
b31
0
0
b32
0
1
–1
0
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной
подматрицы 3  3 не равен нулю:
b12
0
0
0
b32
0
Достаточное
0
0  b12b32  0 .
1
условие
идентификации
для
данного
уравнения
выполняется.
Третье уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не
входящих в уравнение, имеет вид
Ct
It
Ct 1
I t 1
Gt
I уравнение
–1
0
b12
0
0
II уравнение
Тождество
0
1
–1
1
0
0
b22
0
1
0
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной
подматрицы 3  3 не равен нулю:
b12
0
0
0
b22
0
Достаточное
0
0  b12b22  0 .
1
условие
идентификации
для
данного
уравнения
выполняется.
Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы.
Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим
образом:
Ct  A1  11Ct 1  12 I t 1  13 M t  14Gt  u1 ,
I  A   C   I   M   G  u ,
 t
2
21 t 1
22 t 1
23
t
24 t
2

rt  A3   31Ct 1   32 I t 1   33 M t   34Gt  u3 ,
Yt  A4   41Ct 1   42 I t 1   43 M t   44Gt  u1.