Задачи из учебника "Александров, Вернер и Рыжик." III.1 Треугольник ABC - равносторонний со стороной 1. (AK) - прямая, перпендикулярная его плоскости. |AK|=1. Вычислите: а). расстояние от A до (BKC). б). расстояние между (BK) и (AC). в). угол между прямыми (KC) и (AB). г). угол между (BK) и (AKC). д). угол между (BKC) и (ABK). III.2 В правильной пирамиде PABC точка K лежит на ребре PB; |AB|=2; угол APB = фи; |BK| = x. Выразите как функцию от x: а). расстояние от точки B до плоскости (AKC). б). расстояние между скрещивающимися прямыми (AK) и (BC). в). угол между скрещивающимися прямыми (AK) и (BC). г). угол между прямой (PB) и плоскостью (AKC). д). угол между плоскостями (AKC) и (PBC). III.3 В четырёхугольнике ABCO углы при вершинах A и С - прямые. |AO| = |CO| = 2; |AB| = x. Из точки O восстановлен перпендикуляр OP к плоскости (PABC). |OP|=1. Выразите как функцию от x: а). расстояние от O до (PAB); б). расстояние от B до (APC); в). расстояние между (AC) и (PB); г). расстояние между (AP) и (OC); д). угол между (PB) и (OC); е). угол между (PC) и (PAB); ж). угол между (PBC) и (PAO); III.4 Из вершины B ромба ABCD восстановлен перпендикуляр BK к плоскости ромба, т.е. к плоскости (ABCD). Пусть сторона ромба равна d, острый угол при вершине равен фи, а длина перпендикуляра BK равна x. Найдите как функцию от x: а). расстояние от точки A до плоскости (KCD); б). расстояние между скрещивающимися прямыми (AK) и (BD); в). угол между скрещивающимися прямыми (AK) и (BD); г). угол между прямой (CK) и плоскостью (AKD); д). угол между плоскостями (AKD) и (CKD). III.5 Пусть ABCDA1B1C1D1 - куб с ребром 1. Вычислите: а). расстояние от точки A до плоскости треугольника BC1D; б). расстояние между скрещивающимися прямыми (A1C) и (AD). в). угол между (AK1) и (DK2), где точки K1 и K2 середины рёбер A1B1 и BC; г). угол между прямой (CK3) и плоскостью (AK1K2), где K3 - середина ребра C1D1; д). угол между плоскостями (A1CC1) и (K1K2K3). III.6 Концы отрезка лежат на гранях двугранного угла величиной фи. а). есть ли связь между длинами проекций отрезка на плоскости граней и длиной прекции отрезка на ребро двугранного угла? б). Верно ли утверждение: "Концы отрезка равноудалены от плоскостей граней тогда и только тогда, когда отрезок образует с гранями разные углы." в). Пусть известны длина отрезка и расстояние от его концов до плоскостей граней. Можно ли найти расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит этот отрезок, а другая - ребро двугранного угла? Можно ли найти угол между этими скрещивающимися прямыми? г). Пусть некоторая точка делит этот отрезок в заданном отношении. При выполнении условий пункта в). можно ли найти расстояние от этой точки до граней двугранного угла? До ребра двугранного угла?