Выбор инвестиционной и заемной политик финансовым

Труды ИСА РАН 2008. Т. 32 (2)
Ерешко Ант. Ф.
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН
ВЫБОР ИНВЕСТИЦИОННОЙ И ЗАЁМНОЙ
ПОЛИТИК ФИНАНСОВЫМ ИНСТИТУТОМ
В ДИНАМИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
1. Введение
Работа базируется на работе автора [1] и работе [2], которая здесь
приводится в адаптированном виде для автономности изложения и демонстрации преемственности. Основное продвижение состоит в распространении подхода [2] на модельное описание одной из организаций инвестиционного проекта в деятельности Банка, доказательстве теоремы о
внешней активности финансового института на основе схемы динамического программирования и выводу формулы для конечного значения
собственного капитала банка в многошаговом процессе.
Рассматривается поток клиентов с общей моделью поведения. Клиенты делают вклады и, начиная с некоторого момента, получают возможность брать индивидуальный льготный кредит под процент, меньший, чем на внешнем рынке. Предполагается заданной динамика потребного капитала С для участников. Рассмотрение ведётся на некотором заданном интервале времени. Банк объединяет клиентов в отдельный поток и анализирует выгоду, привлекая поток новых клиентов обещанием меньшего процента по кредиту.
Для удобства рассмотрения деятельности Банка и клиентов на временных интервалах выделяется два подинтервала: «рабочий» для капитала и «операционный» для проведения расчетов. Будем предполагать,
что все операции Банком проводятся в равноотстоящие друг от друга по
времени  расчётные операционные периоды n  1,2,..., N . В операционный период Банк проводит текущие операции по договорам с клиентами, заключает новые договоры с клиентами, а также производит кредитно-депозитные операции на внешнем рынке заимствований и инвестиций. Значения финансовых показателей Банка до проведения текущих
Динамика неоднородных систем, 2008
Ерешко Ант. Ф.
102
операций будем отмечать верхним индексом "-", а их состояние после
окончания операций в текущий момент n – верхним индексом "+". Будем считать, что продолжительность операционных периодов значительно меньше интервалов между соседними операционными периодами  (см. выше). Поэтому операционные периоды на временной шкале
фактически являются моментами времени. Все процентные ставки рассчитываются относительно промежутка времени  между операционными периодами (моментами), в течение которого капитал «работает».
Согласно договору, заключаемому между клиентом и Банком, клиент k :
– в операционные периоды n  nk0 , n1k ,..., nkrk , делает взносы на личные счета в Банке в размере VkD (n) . На текущую сумму на счетах, которую обозначим U kD ( n) , Банком затем начисляются проценты по ставке
uk , n (здесь D обозначает вклад (Deposit)).
– в момент nkrk участник получает право взять в Банке кредит в размере U kC
на срок до периода nkrk  sk , по которому в периоды
n  nkrk 1, nkrk  2 ,..., nkrk  sk производит текущие кредитные выплаты в раз-
мере VkC (n) (здесь C – кредит (Credit));
Вклады клиента на счета в Банка будем называть внутренними депозитами, а выданные Баком кредиты участникам – внутренними кредитами.
Кредитные выплаты участников VkC (n) определяются размерами
кредитов и ставками vk , под которые предоставляется кредит, а также
схемой погашения кредита. vk – это специальная внутренняя ставка,
установленная Банком для его участника проекта согласно условиям договора. Невыплаченную сумму кредита участника в произвольный момент r после получения кредита обозначим U kC ( r ) .
Средства, собранные от участников, Банк, по мере надобности, использует для выдачи им же кредитов U kC . Временно свободные средства
инвестируются в рынок, например, размещаются на депозитных счетах
других банков. Для определенности все формы такого инвестирования
будем называть внешними инвестициями, и обозначать H nD, n1 . Ставки по
внешним депозитам обозначим  n, n1 (r ) , они могут зависеть от рыночной
конъюнктуры на момент r .
Выбор инвестиционной и заёмной политик…
103
Если в операционный период n имеющихся средств недостаточно
для выдачи кредитов участникам коалиции, то Банк заимствует средства
на кредитном рынке, которые мы будем называть внешними кредитами.
Обозначим такой кредит через H nC, n1 , а кредитные выплаты в некоторый период r через QnC, n1 (r ) . Здесь H nC, n1 – и идентификатор кредита,
и объем средств, заимствованных в период n на срок до операционного
периода n1 . Остаток основной суммы кредита H nC, n1 в произвольный
момент времени t обозначим H nC, n1 (t ) . Ставки по внешним кредитам
обозначим через  n, n1 .
Активы Банка в этом проекте в произвольный момент времени t
можно описать формулой
At  ( Kt ,U tC , H tD ) ,
(1.1)
где K t – это сумма наличных средств в кассе и безналичных денежных
средств на расчетных счетах до востребования, которую для удобства
изложения мы будем называть кассой, U tC – вектор невыплаченных основных сумм внутренних кредитов участников U kC (t ) , а H tD – вектор
внешних депозитов H rD, r1 (t ) .
Сумма активов в денежном выражении запишется так:
At  Kt  (U tC , H tD )  e .
(1.2)
Здесь и далее e – единичный вектор соответствующей размерности.
Обязательства Банка выразим формулой
Ot  (U tD , H tC ) ,
(1.3)
где U tD – вектор внутренних депозитов U kD,t (образованных суммой периодических взносов, досрочных изъятий и начисленных процентов),
H tC – вектор невыплаченных основных сумм внешних кредитов Банка
H rC, r1 (t ) . И депозиты, и кредиты, входящие в формулу (1.3), также как и
для формулы (1.1), могут различаться по размерам, срокам, ставкам и
условиям досрочного пополнения и изъятия.
Сумма обязательств Банка запишется так:
Ot  (U tD , H tC )  e .
(1.4)
104
Ерешко Ант. Ф.
Согласно основному бухгалтерскому уравнению, текущий собственный капитал Банка в этом проекте равен
Et  At  Ot .
(1.5)
если к окончанию операционного периода n величина некоторого
внешнего вклада равна H rD, r1 (n) , то к началу операционного периода
n 1
H rD, r1 (n  1)  H rD, r1 (n)  (1  0.01   r , r1 (n)) ;
(1.6)
если к окончанию операционного периода n сумма вклада участника k
равна U kD  ( n) , то к началу операционного периода n  1
U kD  (n  1)  U kD  (n)  (1  0.01  uk ,n ) ,
(1.7)
где uk , n – текущая ставка процента по этому вкладу.
Если по окончании некоторого операционного периода n непогашенная сумма кредита U kC участника k равна U kC  (n) , то к началу периода n  1 эта сумма составит
U kC  (n  1)  U kC  (n)  (1  0.01  vk ) .
(1.8)
Если по окончании некоторого операционного периода n непогашенная сумма внешнего кредита H nC, n1 равна H rC, r1 (n) , то к началу периода n  1
H rC, r1 (n  1)  H rC, r1 (n)  (1  0.01   r ,r1 )
(1.9)
Входящие фазовые потоки Pn1 , соответствующие обязательным
по договорам приходным операциям, в операционный период n составляют:
– VnD – обусловленные договорами, текущие взносы на внутренние
депозитные счета участников;
– Vn D –дополнительные взносы на внутренние депозитные счета (по
выбору участника, если эта возможность предусмотрена договором);
– VnC –обусловленные договорами текущие выплаты участников по
внутренним кредитам;
– VnC –дополнительные кредитные выплаты участников по внутренним кредитам (если эта возможность предусмотрена договором);
Выбор инвестиционной и заёмной политик…
105
– H n1,D – возврат средств с внешних депозитов, срок которых истекает в период n .
Формально обязательные приходные операции Банка можно представить в виде кортежа векторов:
Pn1  (VnD ,VnD ,VnC ,VnC , H n1, D ) ,
(1.10)
а если как сумму, то в виде скалярного произведения
Pn1  (VnD ,VnD ,VnC ,VnC , H n1, D )  e .
(1.11)
Мы будем предполагать, что в операционный период n участник k
не производит досрочного изъятия части вклада, поэтому
U kD  (n)  U kD  (n)  VkD (n)  VkD (n) .
(1.12)
Для расчета текущих кредитных выплат участника могут использоваться различные схемы (расписания выплат). При любой схеме, если
очередная выплата участника k в операционный период n равна VkC (n) ,
а невыплаченная сумма кредита к началу этого периода равна U kC  (n) ,
то оставшаяся невыплаченной часть кредита составит
U kC (n)  U kC  (n)  VkC (n)
(1.13)
Если непогашенная сумма кредита U kC после обязательной кредитной выплаты в период n равна U kC (n) , то остаток этой суммы U kC  (n)
после дополнительной (досрочной) выплаты в этот период на сумму Vk,Cn
равен
U kC  (n)  U kC (n)  VkC,n   k (VkC,n ),
 k (VkC,n )  0 ,
(1.14)
где  k (Vk,Cn ) – штраф за досрочную выплату.
Штраф за досрочную выплату  k (Vk,Cn ) увеличивает собственный
капитал Банка. Если дополнительной кредитной выплаты не производится, то U kC  (n)  U kC (n) .
Размеры средств H n1,D , накопленных на внешних депозитах, срок
которых истекает в период n , зависят как от условий вкладов, так и от
объемов изъятий части депозитных средств в предшествующие периоды.
Ерешко Ант. Ф.
106
Входящие управляемые потоки Pn2 , допустимые в силу соответствующих договоров, включают в себя:
– Vn0,D – первые взносы участников на внутренние депозиты по договорам, заключенным в операционный период n (Банк решает, сколько
новых участников и с договорами какого вида принять в состав проекта);
– QnD - досрочные изъятия части внешних депозитов;
– H n0,C – внешние кредиты, полученные в текущий период.
Компонентам вектора Vn0,D соответствуют договоры новых участников, компонентам векторов QnD соответствуют внешние депозиты
H nD1 , n2 , n1  n, n2  n , а компонентам векторов H n0,C – кредиты Банка
H nC, n1 . Все управляемые переменные, выбираемые Банком, можно запи-
сать в виде кортежа векторов
Pn2  (Vn0, D , QnD , H n0,C ) ,
(1.15)
Pn2  (Vn0, D , QnD , H n0,C )  e .
(1.16)
или в денежной форме
Выбор вектора Vn0,D ограничен текущим спросом на услуги Банка
со стороны потенциальных участников.
Если на внешнем депозите H rD1 , r 2 к началу периода n была некоторая сумма H rD1 ,r 2 (n) , то остаток суммы после изъятия с депозита средств
в объеме Qr1D, r 2 (n) составит величину
H rD1 ,r 2 (n)  H rD1 ,r 2 (n)  Qr1D, r 2 (n)  r1 , r 2 (Qr1D, r 2 (n)),
r1 , r 2 ( H r1D,r 2 (n))  0.
(1.17)
Обязательные расходные операции Rn1 составляют:
– U n1,C – выдача этим клиентам кредитов;
– Vn D – досрочный возврат вкладов клиентам, пожелавшим изъять
часть вклада или разорвать договор;
– QnC – кредитные выплаты, предусмотренные договорами по внешним кредитам.
Выбор инвестиционной и заёмной политик…
107
Для каждого клиентского договора выполняется условие, согласно
которому размер кредита U kC , выдаваемого участнику k в операционный период nkrk , равен разности между величиной потребного капитала
для клиента C
r
nkk
и накопленным вкладом U kD (nkrk ) , т.е.
U kC  C
r
nkk
 U kD (nkrk ) k : nkrk  n.
(1.18)
Поэтому, обязательные расходные операции могут быть выражены
следующими формулами
Rn1  ((U n1, D  U n1,C ),VnD , QnC )  (Cn ,VnD , QnC ) ,
(1.19)
Rn1  (Cn ,VnD , QnC )  e .
(1.20)
Здесь Cn – вектор, компоненты которого – величины потребного
капитала для клиента C rk .
nk
Остаток по вкладу участника k после досрочного возврата части
вклада Vk D ( n) определяется условиями договора и рассчитывается по
некоторой формуле
U kD  (n)  U kD  (n)  VkD (n)   k (VkD (n) .
(1.21)
Размеры кредитных выплат QnC зависят от схемы выплат. Если очередная выплата внешнего кредита H rC,r1 в операционный период n равна
QrC, r1 (n) , а невыплаченная сумма кредита к началу этого периода равна
H rC, r1 (n) , то оставшаяся невыплаченной часть кредита составит
H rC,r1 (n)  H rC,r1 (n)  QrC,r1 (n)
(1.22)
Заметим, однако, что величина H rC, r1 (n) не обязательно совпадает по
размеру с H rC, r1 (n) , невыплаченной суммы кредита к концу операционного периода n – в операционный период также возможно досрочное
погашение части этой суммы.
Для того чтобы Банк мог производить обязательные текущие расходные операции, требуется, чтобы расход средств в текущем операционном периоде n не превышал объема кассы к началу периода и прихода средств в этот период.
Ерешко Ант. Ф.
108
Иначе говоря, должны выполнятся неравенства
K n  Pn1  Pn2  Rn1 , n  1,2,...N .
(1.23)
Расходными операциями, производимыми по выбору Банка, Rn2 в
операционный период n для оптимизации финансовых потоков, являются:
– H n0, D  ( H nD, n1 , H nD, n1 ,...H nD, n1 ) – размещение свободных средств на
1
2
m
внешних депозитах;
– QnC – полное либо частичное досрочное погашение внешних кредитов.
Rn2  ( H n0, D , QnC ) ,
(1.24)
в денежной форме
Rn2  ( H n0, D , QnC )  e .
(1.25)
Досрочное погашение внешних кредитов может, проводится по
условиям кредитного договора. Если непогашенная сумма кредита H rC,r1
после очередной выплаты в операционный период n равна H rC, r1 (n) , то
остаток этой суммы H rC, r1 (n) после досрочного погашения в этот период
на сумму QrC, r1 (n) описывается формулой
H rC, r1 (n)  H rC, r1 (n)  QrC, r1 (n)   r , r1 (QrC,r1 (n)),
 r , r1 (QrC,r1 (n))  0.
(1.26)
Если дополнительных кредитных выплат не производится, то
H rC,r1 (n)  H rC,r1 (n) .
Управляемые расходные операции по выбору Банка производятся из
остатка средств после проведения обязательных расходных операций,
поэтому должны выполняться неравенства
Rn2  K n  Pn1  Pn2  Rn1 , n  1,2,...
(1.27)
После всех расходных операций в кассе Банка могут оставаться
средства K n .
K n1  K n  K n  Pn1  Pn2  Rn1  Rn2
(1.28)
Выбор инвестиционной и заёмной политик…
109
2. Вариант модели с одношаговым кредитом и депозитом.
По сравнению с моделью 1 сделаем следующие упрощения.
1) Рассматривается ровно по одному виду внешних депозитов и кредитов – это краткосрочные, на один шаг модели (т.е на срок  ), депозиты и кредиты.
2) Фиксируется сценарий притока новых клиентов.
3) Для внутренних депозитов возможность досрочного изъятия или
пополнения вклада не предусматривается. Также не предусматривается
возможность досрочного погашения внутреннего кредита.
4) Множество вариантов договоров участников ограничивается некоторым фиксированным набором из M типовых договоров.
После этого формулы раздела 1 принимают следующий вид.
Текущие активы
At  ( Kt ,U tC , H tD ) ,
(2.1)
At  Kt  H tD  U tC  e .
(2.2)
Ot  (U tD , H tC ) ,
(2.3)
Ot  H tC  U tD  e .
(2.4)
Текущие обязательства
Текущий собственный капитал
Et  At  Ot  (U tC  U tD )  e  Kt  H tD  H tC .
(2.5)
Динамика вкладов и кредитов между операционными периодами
H nD1  H nD   (1  0.01   n ) , U kD, n1  U kD, n  (1  0.01  u k , n ) ,
U kC, n1  U kC, n  (1  0.01  vk ) , H nC1  H nC   (1  0.01   n ) ,
где нижний индекс n соответствует операционному периоду, а k – номеру договора.
Выпишем приходы и расходы в операционный период:
Pn1  (Vn0, D ,VnD ,VnC , H nD  ) , Pn1  (Vn0, D ,VnD ,VnC ,)  e  H nD  ,
Поскольку сценарий притока новых клиентов в модели 2 задан, то в
этой модели, в отличие от модели 1, поток Vn0,D рассматривается как
обязательный.
Vn0,D  Yn   , Pn2  H nC  , Rn1  (Cn , H nC  ) , Rn1  H nC   Cn  e , Rn2  H nD  .
Ерешко Ант. Ф.
110
Динамика накоплений и невыплаченных кредитных сумм участников в операционный период
U kD, n  U kD, n  VkD,n
, U kC,n  U kC,n  VkC,n
Соотношение (1.23) трансформируется в ограничение на внешний
кредит
H nC   (VnD , VnC , Cn )  e  H nC   H nD   K n , n  1,2,... .
(2.6)
Соотношение (1.28) преобразуется в ограничения на размер внешнего депозита
H nD   (VnD ,VnC , Cn )  e  H nC   H nD   K n  H nC  , n  1,2,... .
(2.7)
Касса после завершения всех операций в период n будет равна
K n  (VnD ,VnC , Cn )  e  K n  H nD   H nC   H nC   H nD  , n  1,2,.... . (2.8)
и
K n1  K n
(2.9)
Управление в модели 2 свелось к выбору внутренних ставок uk , n , k
и
значений
переменных
H nC  , H nD  .
Покажем,
что
переменные
H nC  , H nD  можно перевести в список фазовых переменных, т.е. исключить из параметров управления.
Введем дополнительные переменные Gn .
Gn  (Vn0, D ,VnD ,VnC , Cn )  e  H nC   H nD   K n .
(2.10)
Добавим к модели 2 естественное с точки зрения практики условие
на внешние ставки
0   n   n , n  1,2,..., N
(2.11)
и сформулируем в качестве цели управления максимизацию собственного капитала Банка к концу периода управления: EN  max .
3. Решение оптимизационной задачи методом динамического
программирования
В соответствии с вышеизложенным баланс наличных средств доступных банку в период n , n  0,1,..., N 1 , равняется:
Gn  (Vn0, D ,VnD ,VnC , Cn )  e  H nC   H nD   K n
Далее также при всех n , n  0,1,..., N 1 :
ограничения на кассу
Выбор инвестиционной и заёмной политик…

111

Kn  VnD ,VnC , Cn  en  H nC   H nD   H nC   0
или


Gn  H nC   0 , H nD,  VnD ,VnC , Cn  en  H nC   H nD   Kn  H nC 
или
H nD   H nC   Gn .
Перепишем динамику кассы с учётом введения переменной Gn :


Kn1  Kn  Kn  VnD ,VnC , Cn  en  H nC   H nD   H nC   H nD  
K n1  K n  K n  .
Полагаем, что 0   n   n , n  0,1,..., N 1 , n - номер операционного периода.
Выпишем динамические соотношения для баланса Gn :


Gn = Gn 1  VnD ,VnC , Cn  en  H nD1   n 1  H nC1   n 1 , n  1,2,..., N 1.
При этом начальные условия для переменных модели равняются:


G0  V0D ,V0C , C0  e0  H 0C   H 0D   K0
K 0  0 , H 0C   0 , H 0D   0 .
Выпишем основные соотношения для собственного капитала Банка
в соответствии с определением:


En  U nC   U nD   en  H nD   H nC   Kn ,


En1  U nC1  U nD1  en 1  H nD1  H nC1  Kn1 


 U nC1  U nD1  en 1  H nD   1   n   H nC   1   n  


  e  U
 Kn  VnD ,VnC , Cn  en  H nC   H nD   H nC   H nD  

 En  U nC   U nD 

H nD 
  n  H nC 
n
C
D
n 1  U n 1
n 
En

e
H nD 
n 1 
V
D
C
n ,Vn , Cn
  n  H nC 
  n  Fn
отсюда
En1  En  H nD    n  H nC    n  Fn ,
e
n

,
Ерешко Ант. Ф.
112
где величины Fn к моменту принятия решения о выборе управлений
H nD   0 , H nC   0 вполне определены фазовым состоянием процесса.
Тогда конечное значение критерия выписывается в виде:
EN  E0 
где

N 1

n

En1  En 


N 1

n 0

H nD    n  H nC    n 


N 1
 Fn ,
n 0

Fn   U nC  U nD  en  U nC1  U nD1  en 1  VnD ,VnC , Cn  en
определяется фазовыми переменными, и E0  0 .
Поскольку все обязательные приходы и расходы заданы, то в соответствии с полученными соотношениями оптимизационная задача будет
иметь следующий вид
N 1


max max...max max max max max max  H nD    n  H nC    n  B0 ,
H 0D  H 0C 
C
D
C
D
C
H ND3 H N
3 H N 2 H N 2 H N 1 H N 1 n  0
где критерий имеет аддитивный характер, а управления удовлетворяют
линейным ограничениям:
H nD   0 , H nC   0 , Gn  H nC   0 , H nD   H nC   Gn , n  0,1,..., N 1 .
Заметим, что исходная задача в силу аддитивности критерия может
быть переписана в виде:
 N 2 D
max max...max max max max   H n   n  H nC    n 
C
D
C
H 0D  H 0C 
H ND3 H N
3 H N  2 H N  2  n  0

 max max H ND1   N 1  H NC 1   N 1 
C
H ND1 H N
1





Gn  H nC   0 GN 1  H NC 1  0 , H nD   H nC   Gn , , H ND1  H NC 1  GN 1
n  0,1,..., N  2 .
Рассмотрим теперь задачу выбора управлений на шаге N  1
при фиксированных параметрах:
H 0D  , H 0C  ,..., H ND3 , H NC 3 , H ND2 , H NC  2 :


max max H ND1   N 1  H NC 1   N 1  BN 1
C
H ND1 H N
1
GN 1  H NC 1  0 , H ND1  H NC 1  GN 1
Выбор инвестиционной и заёмной политик…
113
H ND1  0 , H NC 1  0 .
Из анализа данной задачи линейного программирования следует,
что решение имеет вид:
Если GN 1  0 , то H NC 1  0 , H ND1  GN 1
Если GN 1  0 , то H NC 1  GN 1 , H ND1  0 .
Отсюда оптимальное значение критерия вспомогательной задачи на
шаге N  1запишется в виде:
BN 1   N 1  GN 1 , если GN 1  0 и BN 1   N 1  GN 1 , если GN 1  0 .
Имея зависимость для оптимального значения последнего члена в
формуле критерия, как функции от параметров на предыдущем шаге,
рассмотрим теперь аналогичную задачу на шаге N  2 :
Задача на шаге N  2 имеет теперь вид:
 N 3 D 
max max...max max   H n   n  H nC    n 
C
H 0D  H 0C 
H ND3 H N
3  n  0



 max max H ND2   N  2  H NC  2   N  2  k N 1  GN 1
C
H ND2 H N
2




,
где коэффициент k N 1 определяется знаком GN 1
Решение задачи на шаге N  2 :
max max  H ND2   N  2  H NC  2   N  2  k N 1  ( GN  2  H ND2   N  2 
C
H ND2 H N
2


 H NC  2   N  2  VND2 ,VNC2 , C N  2  eN  2 )] 
 max max[1  k N 1   ( H ND2   N  2  H NC  2   N  2 ) 
C
H ND2 H N
2


k N 1  GN 2  k N 1  VND2 ,VNC2 , CN 2  eN 2 ]
GN  2  H NC  2  0 , H ND2  H NC  2  GN  2
Прямая


GN 2  H ND2   N 2  H NC 2   N 2  VND2 ,VN 2 , CN 2  eN 2  0
определяет на плоскости
H
D
C
N 2 , H N 2

области, где GN 1  0 и
GN 1  0 , что определяет значения k N 1 (=  N 1 или =  N 1 ).
Ерешко Ант. Ф.
114


При фиксированных значениях GN  2 и VND2 ,VNC 2 , CN  2  eN  2
решение оптимальной задачи будет иметь вид
Если GN  2  0 , то ,
Если GN  2  0 , то H NC  2  GN  2 , H ND2  0 .
Отсюда


BN 2  GN 2  rN 2  k N 1  VND2 ,VNC2 , CN 2  eN 2
rN  2  1  k N  2   1  k N 1   1 .
Далее аналогично рассмотрим задачу на шаге N  3 :
N 4


max max...max max[  H nD    n  H nC    n 
H 0D  H 0C 
C
H ND4 H N
4 n  0
 max max[ H ND3   N 3  H NC 3   N 3  rN  2  GN  2 
C
H ND3 H N
3


k N 1  VND2 ,VNC2 , CN 2  eN 2 ] .
Решение задачи на шаге N  3


max max[ H ND3   N 3  H NC 3   N 3  rN  2  H ND3   N 3  H NC 3   N 3 
H ND3 H NC 3
rN  2  GN 3  rN  2 
Прямая

VND3 ,VNC3 , CN 3

e
N 3
 k N 1 

VND 2 ,VNC 2 , CN  2
e
N 2 ]

GN 3  VND3 ,VNC3 , CN 3  eN 3  H ND3   N 3  H NC 3   N 3  0


определяет на плоскости H ND3 , H NC 3 области, где GN  2  0 и
GN  2  0 , что определяет значения k N  2 (=  N  2 или   N  2 )


При фиксированных значениях GN  3 и VND3 ,VNC3 , CN 3  eN 3 решение оптимальной задачи будет иметь вид
Если GN 3  0 , то H NC 3  0 , H ND3  GN 3
Если GN 3  0 , то H NC 3  GN 3 , H ND3  0 .


BN 3  rN 3  GN 3  rN  2  VND3 ,VNC3 , CN 3  eN 3 
 rN 1 
где

VND 2 ,VNC 2 , CN  2
e
N 2
,
.
Выбор инвестиционной и заёмной политик…
115
rN 3  1  k N 3   1  k N  2   1  k N 1   1, rN 1  k N 1 .
Проведя далее последовательно вычисления, получим
B0  r0  G0 

N 1
 rn  
VnD1,VnC1, Cn 1
n 1


e
n 1 ,

EN,opt

 B0 
N 1
 Fn ,
n 0

Fn   U nC  U nD  en  U nC1  U nD1  en 1  VnD ,VnC , Cn  en
Проводя затем прогонку слева направо, определяем шаг за шагом
значения rn , n  0,1,..., N  1 и окончательно E N opt .
Литература
1.Ерешко Ант.Ф. Оптимизационные и имитационные модели управления при пассивной эволюции банка. Труды ИСА РАН. Ант.Ф. Ерешко. Динамика неоднородных систем. Выпуск 31(1). - М.: Издательство ЛКИ, 2007. С. 23-35.
2.Гасанов И.И., Ерешко Ф.И. Моделирование ипотечных механизмов с самофинансированием. И.И. Гасанов, Ф.И. Ерешко. - М.: ВЦ РАН, 2007. 62 с.
3.Егорова Н.Е., Смулов А.М. Математические методы финансового анализа банковской деятельности (на примере крупного сберегательного банка). Егорова Н.Е.,
Смулов
А.М
//
Аудит
и
финансовый
анализ,
1998,
№
2,
http://www.finansy.ru/publ/fin/.