урок»Размещение из n элементов по k

У р о к 75
РАЗМЕЩЕНИЕ ИЗ п ЭЛЕМЕНТОВ ПО k (k ≤ n)
Цели: ввести понятие размещения из п элементов по k, где k ≤ n; вывести формулу
нахождения числа размещений с помощью комбинаторного правила умножения;
формировать умение решать комбинаторные задачи с применением данной формулы.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Вычислить:
14!
а) 12! ;
15!
в) 2! · 16! ;
30!
б) 29! · 2! ;
24! · 1!
23! .
г)
2. Составить всевозможные двухбуквенные слова, используя буквы:
а) ы, т, в (ты; вы);
б) н, о, а (но, на, он, ан).
3. Анна (А), Белла (Б) и Вера (В) купили билеты в кинотеатр на 1-е, 2-е и 3-е места
первого ряда. Перечислить все возможные способы, которыми девочки могут занять эти
три места.
(Р3 = 3! = 6: АБВ, АВБ; БАВ, БВА; ВАБ, ВБА.)
III. Проверка домашнего задания.
С обязательным вынесением на доску решения.
№ 750 (б).
Решение
(п + 1)! · п = п! (п + 1) · п > п! (п + 1) в п раз.
IV. Объяснение нового материала.
1. Для актуализации знаний предложить для решения № 839 (а, б).
Решение
( п  1)! п!( п  1)

п!
п!
а)
= n + 1;
п!
п!
1
1


 2
б) (п  2)! п!(п  1)(п  2) (п  1)(п  2) п  3п  2 .
2. З а д а ч а. Из четырех конфет – ириска (и), леденец (л), карамель (к), шоколадная
(ш) – Марина решила последовательно съесть три. Перечислите все варианты, которыми
это можно сделать.
Это задача о выборе трех элементов из четырех с учетом порядка выбора.
Начинаем перечисление с анализа условия: первую конфету можно выбрать одним
из четырех способов; для каждой первой конфеты вторую можно выбрать тремя
способами из трех оставшихся; для каждой второй третью конфету можно выбрать
двумя способами из двух оставшихся. Мы сразу видим количество вариантов – по
правилу умножения их 4 · 3 · 2 = 24 – и алгоритм записи в таблицу (в первой строке
комбинации, начинающиеся с «и», во второй – с «л» и т. д.).
илк
илш
икл
икш
ишл
ишк
лик
кил
шил
лиш
киш
шик
лки
кли
шли
лкш
клш
шлк
лши
кши
шки
лшк
кшл
шкл
Каждую такую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех
элементов, называют размещением из четырех элементов по три.
3. Определение. Размещением из п элементов по k (k  n) называется любое
множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных п
элементов.
k
A
n
О б о з н а ч е н и е.
(читается «А из п по k»).
Подчеркиваем, что в этом определении важен не только выбор, но и порядок
элементов в выборе.
4. Формулу можно вывести по правилу умножения, причем, для частного случая, мы
уже знаем алгоритм. Можно сильному классу попробовать вывести самостоятельно:
Ank 
n!
(n  k )!
– формула вычисления числа размещений из п по k.
Очень важный момент при изучении этой формулы – рассмотреть случай, когда п = k.
Тогда получается размещения из п элементов по п отличаются друг от друга только
порядком элементов, то есть представляют собой перестановки из п элементов.
Будем считать по определению 0! = 1, в этом случае
Апп 
п!
( п  п)! , то есть Апп  п!  Рп .
5. Рассмотрим примеры 1 и 2 со с. 181–182 учебника.
V. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
№ 754.
Решение
Пронумеруем места в купе (с 1 по 4) и будем «выдавать» каждому из трех членов
семьи номер места. Из 4 элементов (номеров мест) будут делаться выборки по 3 элемента,
при этом важен не только состав выборки, но и порядок расположения в ней элементов.
Число способов равно числу размещений из 4 по 3:
А43 
4!
1! = 2 · 3 · 4 = 24.
О т в е т: 24 способа.
№ 756, № 757. Самостоятельное решение с последующей проверкой.
При решении этих заданий следует уделять внимание обоснованию выбора формулы
для подсчета числа размещений, не допуская формализма.
Ученики могут решить эти задания не только по формуле, но и применяя
комбинаторное правило умножения. Следует поощрять и этот способ решения, так как он
позволяет осознать структуру самой формулы и лучше ее запомнить.
№ 760.
Решение
а) Выбираем 2 места для фотографий из 6 свободных мест в альбоме:
А62 
6!
6! 4! · 5 · 6
 
 30
(6  2)! 4!
4!
.
б) Выбираем 4 места для фотографий из 6:
А64 
6!
6! 2! · 3 · 4 · 5 · 6
 
 360
(6  4)! 2!
2!
.
в) Выбираем 6 мест из 6 (делаем всевозможные перестановки из 6 фотографий):
А66 = Р6 = 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.
О т в е т: а) 30 способов; б) 360 способов; в) 720 способов.
№ 762.
Решение
а) Выбираем 4 цифры из 5 данных, порядок выбора имеет значение:
А54 
5!
5!

(5  4)! 1! = 2 · 3 · 4 · 5 = 120.
б) Выбираем 4 цифры из 5, но на первое место нельзя выбирать ноль. Используем
метод исключения лишних элементов: если на первое место выбран ноль, то после этого
выбираем еще на 3 места цифры из 4 оставшихся, получаем А4 = 2 · 3 · 4 = 24 «нулевых»
комбинаций, которые недопустимы.
Количество всех четырехзначных чисел, которые можно составить из данных 5 чисел,
3
А54 = 2 · 3 · 4 · 5 = 120.
3
4
Значит, допустимых А5 – А4 = 120 – 24 = 96.
равно:
О т в е т: а) 120 чисел; б) 96 чисел.
VI. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется размещением из п элементов по k?
– Запишите формулу для вычисления числа размещений из п элементов по k.
– Чему равно 0!? 1!?
Домашнее задание: № 755, № 758, № 759, № 767.