Билет 1. Вопрос 1. Аналого-цифровое и цифро

Билет 1. Вопрос 1. Аналого-цифровое и цифроаналоговое преобразование. Параметры типичных АЦП
и ЦАП.
При аналого-цифровом преобразовании АЦП содержит
компараторы на каждый дискретный уровень входного
сигнала, и при определении уровня только
компараторы, соответствующие уровням ниже уровня
входного сигнала, выдают на выходе сигнал. Также
существуют АЦП, которые последовательно
приближаются к входному уровню, с каждым шагом
отнимая по верхнему разряду и замеряющие
следующий разряд. При обратном преобразовании
стабильный источник напряжения включается на время,
пропорциональное преобразуемому цифровому коду, а
затем сигнал фильтруется ФНЧ. Разрядность - важная
характеристика ЦАП/АЦП, определяет количество
дискретных уровней, которые может определить
устройство, то есть его точность. Определяется в битах.
Частота оцифровки - частота, с которой снимаются
сигналы на АЦП и выдаются на ЦАП, требуется, чтобы
она была хотя бы в два раза больше, чем частота
максимального входного сигнала, иначе результат на
выходе будет некорректен. Частоты современных АЦП
применяемых, например, в осциллографах составляет
около 50-200Мгц, а для мощных систем типа
многоканальных приемников сотовых сетей составляют
и гигагерцы. АЦП считается высокоточным уже при 14
разрядах (16 тысяч дискретных значений), но
современные АЦП доходят и до 24 разрядов (16
миллионов дискретных значений).
Структурная схема БИХ-фильтра:
Билет 1. Вопрос 2. БИХ фильтры и их свойства.
Устойчивость БИХ фильтров.
БИХ фильтр - фильтр с бесконечной импульсной
характеристикой, то есть использующий свой же выход
в качестве входа, образуя обратную связь. Основное
свойство фильтра в том, что импульсная переходная
характеристика имеет бесконечную длину во времени, а
передаточная функция записывается в дробнорациональном виде. Разностное уравнение БИХфильтра записывается таким образом:
, где P порядок входного сигнала, Q - порядок обратной связи,
- коэффициенты входного сигнала, - коэффициента
обратной связи,
- входной сигнал,
- выходной
сигнал. Передаточная функция БИХ-фильтра:
Билет 2. Вопрос 2. Преобразование Фурье
периодического сигнала. Преобразование Фурье
дискретного сигнала.
Преобразование Фурье - разложение исходной функции
на элементарные гармонические колебания различных
частот. Для периодического сигнала преобразование
будет иметь конечное число членов, так как исходный
сигнал уже является гармоникой или их суммой, а
значит преобразование будет иметь вид ступенчатых
функций на частотах, обратных периоду исходного
сигнала. Для дискретного сигнала преобразование
будет иметь бесконечное число членов, так как каждый
член - приближение к дискретному значению, но
идентичность с исходным сигналом будет достигнута
только при бесконечно большом количестве членов.
Если подвергнуть исходный сигнал
преобразованию Фурье, то получившаяся функция будет
называться спектральной плотностью
. Обратное же преобразование
Для устойчивости БИХ-фильтра необходимо и
достаточно, чтобы все полюса его передаточной
функции по модуля были меньше единицу (лежали
внутри единичного круга на z-плоскости).
По передаточной функции легко отличить БИХ фильтр от
КИХ фильтра: в БИХ-фильтре присутствует обратная
связь.
Билет 2. Вопрос 1. Дискретные сигналы, стандартные
дискретные сигналы. Линейные дискретные системы с
постоянными параметрами.
Дискретный сигнал - сигнал, принимающий конечно
число значений. Цифровой сигнал - дискретный,
принимающий свои значения в конечные моменты
времени. Дельта-функция Дирака - функция, имеющая
значение бесконечности в точке
, а в остальных
точках имеющая значение 0, но при этом
.
Цифровой сигнал обычно выражается набором
ступенчатых сигналов конечного числа высот. Зная
импульсную характеристику систему и входной сигнал,
можно узнать выходной сигнал как их свертку:
, где
Фурье проводится так:
.
Спектральное разрешение (мера количества возможных
частот при преобразовании Фурье) зависит от
временного окна, которое может позволить иметь
меньшее разрешение по времени, но большее по
частоте. Оконное преобразование Фурье это
, где
–
оконная функция, позволяющая исследовать сигнал
только на каком-то определенном промежутке
времени, так как в реальных устройствах неизвестно
предыдущее состояние сигнала и будущее. С ее
помощью возможно выделить основную частоту при
растекании спектра, а остальные заметно ослабить.
Одним из важных свойств преобразования Фурье
является линейность, то есть спектр суммы сигналов
равен сумме спектров сигналов. Также при изменении
масштаба оси времени, то есть замены
на
его
фильтра:
. КИХ-фильтры всегда
устойчивы, так как не требуют наличия обратной связи.
Общая схема реализации КИХ-фильтра:
.
и
– входные сигналы. Система называется
устойчивой, если с течением времени
стремится к
конечному значению (асимптотически устойчивой, если
к нулю). Примеры систем:
В нелинейных системах может не выполняться условие
линейности:
. Например, если
нелинейный элемент – зона насыщения, то
:
1
Если сумма
A=0.5
импульсных
A=1
0.5
характеристи
к системы
0
конечна, то
система
называется
-0.5
устойчивой.
Для анализа
-1
0
2
4
6
8
10
устойчивости
систем можно применять критерии устойчивости,
например, критерий Найквиста, который гласит, что
система устойчива, если ее годограф при изменении
частоты от 0 до
охватил точку -1 полраза. Или
чтобы все корни характеристического уравнения
системы лежали в пределах единичного круга (на
плоскости z).
Билет 3. Вопрос 2. КИХ фильтры и их свойства.
Устойчивость КИХ фильтров.
КИХ фильтр – фильтр с конечной импульсной
характеристикой, чье основное свойство в том, что в
какой-то момент времени его импульсная
характеристика становится равной точно нулю.
Разностное уравнения КИХ-фильтра записывается таким
образом:
, где P - порядок
входного сигнала, - коэффициенты входного сигнала,
Bode Diagram
Magnitude (dB)
, где A – линейный оператор,
Bode Diagram
0
-20
-40
-2
0
10
0
-10
-20
-30
-2
10
10
0
10
И для полосно-пропускающего
и режекторного:
Frequency (rad/s)
Frequency (rad/s)
Bode Diagram
Bode Diagram
0
50
-10
40
Magnitude (dB)
Билет 3. Вопрос 1. Понятие устойчивости дискретной
линейной системы. Критерий устойчивости.
Линейная система – система, в которой выполняется
принцип линейности, то есть
и
На основе КИХ можно создавать фильтры низких и
высоких частот, а также полосо-пропускающие или
полосо-заграждающие фильтры. Типичная ЛАЧХ
фильтров низких и высоких частот соответственно:
Magnitude (dB)
Преобразование Фурье дифференцированного сигнала
будет равно преобразованию Фурье исходного,
помноженного на , а преобразование Фурье
интегрированного сигнала будет равно преобразованию
Фурье исходного, деленного на .
Magnitude (dB)
спектр будет равен
- входной сигнал. Передаточная функция БИХ-
-20
-30
-40
-50
30
20
10
0
10
Frequency (rad/s)
Полосно-пропускающий
0
0
10
Frequencyфильтра
(rad/s)
свертка
фильтр – это
низких и высоких частот, а режекторный – их сумма.
Фильтр высоких частот на КИХ можно получить,
используя оконное преобразование
.
Билет 4. Вопрос 1. Теорема Котельникова. Основная
интерполяционная формула, ее достоинства и
недостатки.
Теорема Котельникова гласит, что если аналоговый
сигнал имеет ограниченный спектр, то он может быть
восстановлен без потерь по своим дискретным
отсчетам, взятым с частотой больше удвоенной верхней
частоты его спектра. При дискретизации с частотой
меньше удвоенной верхней частоты спектра сигнала
возникает алиасинг, то есть частота, которая выходит за
пределы половины частоты дискретизации, отражается
в спектральной области относительно верхней частоты
спектра сигнала. Основная интерполяционная формула,
по которой, при соблюдении теоремы Котельникова,
может быть восстановлен исходный сигнал:
, где
– период
дискретизации,
. Для устранения
высокочастотных помех с сигнала перед его
оцифровкой устанавливается ФНЧ, также это позволяет
гарантированно получить сигнал без алиасинга. Для тех
же целей ФНЧ устанавливается на выходе ЦАП. Для
оцифровки узкополосного высокочастотного сигнала он
переносится в силу тригонометрии в начало спектра и
там уже оцифровывается, а при восстановлении
учитывается этот перенос.
Билет 4. Вопрос 2. Виды ошибок квантования в
цифровых фильтрах. Шум аналого-цифрового
преобразования в случае округления и усечения.
Разрядность - важная характеристика ЦАП/АЦП,
определяет количество дискретных уровней, которые
может определить устройство, то есть его точность.
Определяется в битах. Частота оцифровки - частота, с
которой снимаются сигналы на АЦП и выдаются на ЦАП,
требуется, чтобы она была хотя бы в два раза больше,
чем частота максимального входного сигнала, иначе
результат на выходе будет некорректен. В связи с этим
при умножении или сложении чисел некоторый разряд
будет округляться, и это является ошибкой квантования.
Также среди ошибок квантования стоит отметить шум
аналого-цифрового квантования (чаще всего он
является белым, но не всегда) и неточность реализации
характеристик цифрового фильтра из-за округления их
параметров. Ошибку квантования можно представить в
виде модели идеального фильтра
(с
неквантованными коэффициентами
и )и
паразитного фильтра
, коэффициенты которого
зависят от погрешностей
, рассматриваемых
как статически независимые величины с равномерными
распределениями. Джиттером называются случайные
фазовые или частотные отклонения сигнала,
возникающие вследствие нестабильности исходного
сигнала или различной скорости распространения
частотных составляющих одного сигнала. В АЦП джиттер
вызван тем, что у кварцевого генератора, который
задает частоту дискретизации, имеются ненулевые
фазовые шумы, таким образом, моменты времени
получения отсчетов расположены на временной оси не
совсем равномерно, это приводит к размыванию
спектра и ухудшению качества сигнала.