1. Системы линейных уравнений

1
§ 1. Системы линейных уравнений
Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в
следующем виде:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1
a x + a x + a x + ... + a x = b
 21 1
22 2
23 3
2n n
2
.



am1 x1 + am 2 x2 + am3 x3 + ... + amn xn = bm
(1)
Здесь x1, x2, , xn – неизвестные величины, aij (i = 1,2, , m; j =1, 2, , n) –
числа, называемые коэффициентами системы (первый индекс фиксирует номер
уравнения, второй — номер неизвестной), b1, b2, , bm –числа, называемые
свободными членами.
Решением
системы
будем
называть
упорядоченный
набор
чисел
x1, x2, , xn, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.
Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что ни
одного решения нет.
Система, имеющая решение, называется совместной.
Если система имеет только одно решение, то она называется определенной.
Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной
(совместной и неопределенной).
Если система не имеет решений, то она называется несовместной.
Система, у которой все свободные члены равны нулю, (b1 = b2 == bn = 0),
называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как набор из
n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы.
Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), то
система называется квадратной.
Две системы, множества решений которых совпадают, называются
эквивалентными или равносильными (совпадение множеств решений означает,
2
что каждое решение первой системы является решением второй системы, и
каждое решение второй системы является решением первой).
Две несовместные системы считаются эквивалентными.
Преобразование, применение которого превращает систему в новую
систему,
эквивалентную
равносильным
исходной,
преобразованием.
называется
эквивалентным
Эквивалентными
или
преобразованиями
являются: а) умножение обеих частей уравнения на число, отличное от нуля,
б) прибавление к одному уравнению другого уравнения. Очевидно, что
прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на какое-либо
число, также является эквивалентным преобразованием. Эквивалентность
преобразований а) и б) читателю предлагается доказать самому. Также читателю
предлагается доказать самому, что с помощью преобразований а) и б) можно
получить новую систему, которая будет отличаться от исходной только тем, что в
новой системе два любых уравнения исходной системы переставлены местами.
Введём новое понятие. Прямоугольную таблицу, состоящую из p строк и q
столбцов, будем называть матрицей размера pq:
 a11 a12 a13

 a21 a22 a23
   

 a p1 a p 2 a p 3

a1q 

 a2 q 
 

 a pq 

Числа aij называются элементами матрицы. Первый индекс фиксирует
номер строки, а второй – номер столбца, где находится данный элемент. Если
p = q, то есть число столбцов матрицы равно числу строк, то матрица называется
квадратной. Элементы aii образуют главную диагональ матрицы.
Матрицу будем обозначать заглавной латинской буквой. Две матрицы
называются равными, если они одного размера и на одинаковых местах в
них стоят одинаковые элементы. Матрица М называется нулевой матрицей
(М = 0), если все её элементы равны нулю.
Матрица
3
 a11

 a21


 am1
b1 

b2 


bm 
 a1n
 a2 n
a12
a 21
  
am 2  amn
(2)
называется расширенной матрицей системы (1).
Элементарными преобразованиями матрицы будем называть умножение
всех элементов любой строки (или просто любой строки) на отличное от нуля
число и прибавление ко всем элементам любой строки соответствующих
(стоящих в том же столбце) элементов другой строки. Можно показать, что
элементарными преобразованиями можно получить из данной матрицы, такую
матрицу, у которой при сохранении всех остальных строк две строки поменяются
местами. Очевидна справедливость утверждения: если к расширенной матрице
некоторой системы уравнений I применить элементарное преобразование, то
получится матрица, являющаяся расширенной матрицей системы II,
эквивалентной системе I.
Матрица (2) называется ступенчатой, если
1) ниже нулевой строки расположены только нулевые строки;
2) первый ненулевой элемент каждой строки равен 1;
3) если первый ненулевой элемент i-й строки расположен в столбце ji, то
а) ji+1 > ji
б) все элементы a kji = 0 при всех k  i.
Матрица
1

0
0

0
0

2
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
3
2
7
0
0
2
3
6
0
0
5
4
1
0
0
0

0
0

1
0 
является ступенчатой матрицей.
Теорема 1. Каждая матрица конечным числом элементарных преобразований
приводится к ступенчатому виду.
4
Доказательство. Пусть матрица А имеет вид (2). Если А – нулевая матрица, то она
имеет ступенчатый вид.
Если А  0, то будем считать, что есть i-я строка, в которой первый элемент
не равен нулю. Доказательство проведём по индукции по числу строк р. Если
i  1, то поставим i-ю строку на первое место. Таким образом, без ограничения
общности можно считать, что элемент а11  0. Умножив первую строку на а11–1 и
проведя переобозначение элементов, получим а11 = 1. Если р = 1, то теорема
доказана.
Пусть р > 1 и для р – 1 теорема доказана. Для каждого i > 1 вычтем из i-й
строки первую строку, умноженную на
1
ai1a11
. В новой матрице все
коэффициенты ai1  0 , i  1.
Рассмотрим матрицу В, получающуюся из матрицы А отбрасыванием
первой строки. По индукции можно считать, что матрица В имеет ступенчатый
вид. Пусть в матрице В первые ненулевые элементы расположены в столбцах с
номерами 1  k 2  k3   . Вычтем из первой строки вторую, умноженную на a1k 2 ,
третью строку, умноженную на a1k 3 , и т. д.
Пусть матрица системы (1) приведена элементарными преобразованиями к
ступенчатому виду. Полученная матрица является расширенной матрицей
некоторой
системы,
эквивалентной
исходной
системе.
Будем
называть
неизвестную xi базисной, если в некотором уравнении все коэффициенты при
x1,x2,,xi–1 равны нулю, а коэффициент при xi отличен от нуля (то есть, равен
единице). Все остальные неизвестные назовём свободными.
Если расширенная матрица системы уравнений приведена к ступенчатому
виду, и последняя ненулевая строка этой матрицы имеет вид (0,0,0,,0,1), это
значит, что система уравнений, эквивалентная исходной системе, содержит
уравнение
0х1 + 0х2 + 0хп = 1
(3)
Очевидно, что это уравнение не имеет решения, откуда следует, что
исходная система несовместна.
5
Пусть в приведённой к ступенчатому виду расширенной матрице системы
(1) нет строки (3). Предположим, что переменные х1,х2,,xr – базисные, а хr+1,,xn
– свободные. Тогда преобразованная система имеет вид
 x1 0  0  a1,r 1 x r  1    a1,n x n  b1
0 x
 0  a 2 ,r 1 x r  1    a 2 ,n x n  b2

2


   
 0 0  x r  a r ,r 1 x r  1    a r ,n x n  br
(4)
Если свободным переменным присвоить произвольные значения, то из
полученной системы можно определить значения базисных переменных. В этом
случае система уравнений совместна и неопределённа, и ясно, что система имеет
бесконечное множество решений. Если все свободные неизвестные положить
равными нулю, то полученное таким образом решение будем называть базисным
решением системы.
Если свободным неизвестным приданы конкретные числовые значения и
через них выражены базисные неизвестные, то полученное решение называется
частным решением.
Если свободные неизвестные выражены через параметры и через них
выражены базисные неизвестные, то получается решение, которое называется
общим решением.
Если в приведённой системе (4) все неизвестные базисные, то исходная
система является совместной и определённой.
Если в однородной системе число неизвестных превосходит число
уравнений, то такая система неопределённа. Это следует из того, что если
матрицу такой системы привести к ступенчатому виду, то в системе уравнений с
полученной ступенчатой матрицей, во-первых, не может быть уравнений типа (3),
и во-вторых не может не быть свободных неизвестных.
В системах уравнений 1. и 2. найти общее решение, найти базисное
решение.
6
3 x1
2 x
 1
 x1

 x1
1. 
 x1
2 x1

3 x1
x
 1
 3 x1
 2x
 1
 x1

2.  x1
 x
 1
 2 x1
 x
 1
 2x2
 3x 2
 2 x3
 2 x3
 x4
 x4
 2 x5
 2 x5
 x6
 x6
 3x 7
 2 x7
 x8
 x8
8
 15
 3x 2
 5x2
 5 x3
 3x 4
 2x4
 2 x5
 3x5
 x6
 2 x6
 2 x7
 4 x7
 4 x8
 x8
 34
 17
 x2
 10 x 3
 4x4
 4 x5
 4 x6
 3x 7
 8 x8
 75
 x2
 x3
 3x 4
 6 x5
 x6
 7 x7
 2 x8
 50
 13 x 2
 5 x3
 3x 4
 x5
 x6
 7 x7
 5 x8
 44
 14 x 2
 12 x 3
 5x4
 x5
 x6
 2 x7
 x8
 24
 6x2
 x3
 x4
 4x2
 2x2
 4 x5
 x6
 3
 x6
2
 5 x5
 2 x6
 17
 x5
 3x 6
 x4
2
 x4
 2x2
 2x2
 x4
 3x5
 2 x7
 7
 3x 7
7
 4x2
 x3
 x4
 3x5
 x6
 x7
 3
 2x2
 2 x3
 2x4
 3x5
 2 x6
 2 x7
 12
Решить системы уравнений.
8 x1
3 x
 1
4 x1
3 x
 1
7 x1
 6 x2
 3x2
 2 x2
 3x2
 4 x2
 x1  2 x2
3 x
 x2
 1
 x1  5 x2
5 x  3x
2
 1
2 x1  3x2
 5 x3  2 x4  21
 2 x3  x4  10
 3x3  x4  8
 x3  x4  5
 5 x3  2 x4  8
x3
 2 x3
 4 x3
 x3
 x4
 x4
 x4
 2 x4
2 x1  5 x2
5 x
 3 x2
 1
3x1  4 x2
3x  11x
2
 1
2 x1  x2
 3x5
 2 x5
 2 x5
 3x5
 x5
0
 3
3
6
3
 4 x3
 2 x3
 3x3
 15 x3
 x3
 3 x4
 4 x4
 2 x4
 11x4
 2 x4
 3x5
 3x5
 5 x5
 5 x5
 8 x5
 18
3
 20
 72
 23