Прямая призма

СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1
Тема 2
Тема 3
Понятия о многогранниках
Тела вращения
Задачи к разделу «Поверхности и объемы
многогранников
и
круглых
тел»для
самостоятельного решения
Ответы
1
С.
2
6
11
15
Тема 1 Понятия о многогранниках
Стереометрия – это раздел геометрии, в котором
изучаются пространственные фигуры.
Основные фигуры стереометрии: прямая призма,
правильная пирамида, конус, шар, цилиндр и др.
Призмы и пирамиды – это многогранники. Конус, шар,
цилиндр – это тела вращения. Повторим главные
формулы для вычисления площадей поверхностей и
объемов этих фигур.
Прямая призма
Прямая
призма
АВСDA1B1C1D1
АВСD
–
основание
призмы,
Н = АA1 – высота призмы
Р = АВ + ВС + СD + АD
Рис 1
- периметр основания призмы.
Sбок – площадь боковой поверхности призмы.
V – объем призмы.
S бок  P  H ,
V  S осн  H .
Правильная пирамида
SАВС – правильная пирамида
Р = АВ + ВС + АС – периметр
основания.
H = SD – апофема пирамиды.
Sосн – площадь основания
АВС.
Н = SO – высота пирамиды
S бок 
1
Ph
2
1
V   S осн  H
3
2
Рис 2
Правильная усеченная пирамида
ОО1 = Н – высота пирамиды
DD1 = h – апофема
пирамиды
Р1,
Р2
–
периметры
оснований
S1, S2 – площади оснований
S бок 
1
( P1  P2 )  h
2
1
V   ( S1  S 2  S1 S 2 )  H
3
Рис 3
Решение задач
1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда a
и b. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости
основания
под
углом
.
Определить
Sбок
параллелепипеда.
Дано: АВСDA1B1C1D1 –
прямоугольный
параллелепипед.
АВ = а, ВС = b, АСА1 = .
Найти:
Sбок параллелепипеда.
Рис 4
Решение:
Проекция диагонали А1С параллелепипеда на
плоскость основания АВСD есть АС (диагональ
основания). Поэтому угол  между АС1 и плоскостью АВСD
измеряется углом А1СА. Из А А1С находим
AA1  AC  tg  a 2  b 2  tg  H .
Подставляем в формулу Sбок  P  H
3
S бок  (2a  2b) a 2  b 2  tg  2(a  b) a 2  b 2 tg .
2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды
длиной m наклонено к плоскости основания под углом .
Найти объем пирамиды.
Дано:
SАВСD
–
правильная пирамида,
SD = SA = SC = SB = m
SOB = .
Найти: V
Решение:
АВСD – квадрат – изображается произвольным
параллелограммом. Точка О пересечение диагоналей
изображает центр квадрата. Соединим середину стороны
АВ (F) с вершиной пирамиды S.
Получим апофему FS.
1
V   S осн  H - объем пирамиды,
3
S осн  S ABCD  x 2 , где х = АВ – сторона основания,
Н = SО – высота пирамиды. Угол  = SOB.
Из  SВO находим SO  H  m  sin  , BO  m  cos .
Из ОАВ находим x  OB 2  m 2 cos .
Подставляем в формулу объема:
1
1
2
1
V  x 2  H   2m 2 cos 2   m sin   m 3  cos 2   sin   m 3 sin 2 cos 
3
3
3
3
Ответ: V 
1 3
m sin 2 cos  .
3
Задачи для самостоятельного решения
1. Площадь поверхности куба 96 см2. Найти ребро куба.
2. Найти площадь диагонального сечения прямоугольного
параллелепипеда, высота которого равна 12 см, а
стороны оснований – 8см и 6 см.
4
3. По данной стороне основания a = 9 см и b =6 см найти
высоту правильной треугольной пирамиды.
4. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен
V.Угол наклона ее бокового ребра к плоскости
основания равен . Найти боковое ребро пирамиды.
5. В прямом параллелепипеде стороны основания равны
a и b. Большая диагональ основания равна меньшей
диагонали
параллелепипеда.
Найти
объем
параллелепипеда.
5
Тема 2 Тела вращения
Главные формулы для вычисления площадей
поверхностей и объемов цилиндра, конуса, шара.
Цилиндр
Н – высота цилиндра;
R – радиус основания цилиндра;
S бок  2RH
Площадь боковой поверхности
равна произведению 2 , радиуса
основания и высоты цилиндра.
S полн  2R( H  R)
Рис 6
Площадь полной поверхности цилиндра равна
Произведению 2, радиуса основания и суммы высоты
цилиндра и радиуса основания.
V  R 2 H
Объём цилиндра равен произведению , квадрата
радиуса основания и высоты цилиндра.
Конус
L – образующая конуса;
R – радиус основания;
H – высота конуса.
Sбок  RL
- площадь боковой
поверхности равна произведению ,
радиуса основания и образующей.
Рис 7
Sполн  R( L  R) - площадь полной поверхности
равна произведению , радиуса основания и суммы
образующей и радиуса основания.
6
1
V  R 2 H - объем конуса равен одной трети
3
произведения , квадрата радиуса основания и высоты
конуса.
Шар
R – радиус шара;
D – диаметр шара;
S  4R 2  D 2 -
Рис 8
площадь
поверхности
шара
равна
учетверённому произведению  и
радиуса шара в квадрате или
произведению  и диаметра шара в
квадрате
4
1
V  R 3  D 3 - объем шара равен одной шестой
3
6
произведения  и диаметра шара в кубе.
Решение задач
1. Угол при вершине осевого сечения конуса равен
2, а сумма длин его высоты H и образующей L равна m.
Найти объем и полную поверхность конуса.
Дано: АВС – осевое сечение конуса.
АСВ = 2,
H+L=m
Найти: V и Sполн.
Рис 9
7
Решение
1
V  R 2 H - объем конуса;
3
R  L sin  - радиус основания конуса;
H  L cos - висота конуса;
1
1
V  L2 sin 2   L cos   L3 sin 2  cos  .
3
3
Полная поверхность
Sполн   R( L  R)   L sin   L  L sin     L2 sin  (1  sin  )
По условию H + L = m; следовательно,
L
m
;
1 cos 
L  L cos  m ,
m
L
2 cos 2
 .
2
Подставим это значение L в формулы объема и полной
поверхности конуса:
1 m3 sin 2  cos    m3  sin 2  cos 
V 

,

3
6 
8 cos
24 cos 6
2
2
Sп  
m sin  (1  sin  )
2
4 cos
Ответ:
4 


  m 2  sin  cos 2 (450  )
2 cos
2
V
  m  sin  cos 
;
6 
3
2
24 cos
8
2
4 
2
2
.


  m 2  sin  cos 2  450 
Sn 
2 cos
4



2
.
2
2. В конус вписан цилиндр, высота которого равна
радиусу основания конуса. Найти угол между осью конуса
и его образующей, если полная поверхность цилиндра
относится к площади основания конуса как 3:2.
Решение
Обозначим радиус основания
конуса ОВ через R, а радиус
цилиндра OL – через Х. Так
как по условию ML = R, то
полная поверхность цилиндра
3
S n  2x 2  2xR  R 2
2
2
или x  Rx 
3 2
R  0 , откуда
4
R
3
x2   R
;
2
2
х2 - отрицательное решение не годится.
LB R  x 1
1

 ,   arctg .
Из  LМВ находим tg 
LM
R
2
2
1
Ответ:   arctg .
2
3. В правильную треугольную призму вписан шар,
касающийся трех граней и обоих оснований призмы. Найти
отношение поверхности шара к полной поверхности
призмы.
Рис 10
x1 
Решение.
Если через центр шара О
провести
плоскость,
параллельную
основаниям
9
призмы, то в сечении призмы получим равносторонний
треугольник КLМ, равный основанию призмы, а в
Рис 11
сечении шара – большой круг
PNQ, вписанный в треугольник КLМ.
В правильном треугольнике КLМ все углы одинаковы,
а линия LО будет биссектрисой угла КLМ = 300.
Из  LОN, где ОN = R и NLO = 300, найдем
LN  R 3 .
Следовательно, LM  a  2R 3 .
Боковая поверхность призмы
Sбок  3  LM  H  3  2R 3  2R  12R2 3 ,
а площадь основания призмы
Sосн 
a  3R 2 R 3  3R

 3R 2 3 .
2
2
Следовательно, полная поверхность призмы
Sn  12R 2 3  6R 2 3  18R 2 3
Поверхность шара равна 4R
Искомое отношение равно
Sш
4 R 2
2
2 3



2
Sп 18R 3 9 3
27
2
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить поверхность шара, вписанного в
треугольную пирамиду, все ребра которой имеют длину а.
2. В конус, длина образующей которого равна15 см и
длина радиуса основания 9 см, вписан шар. Найти объем
шара.
3. Высота цилиндра на 10 см длиннее радиуса
основания, а площадь полной поверхности равна 144 см2.
Найти длину радиуса основания и высоты цилиндра.
10
Задачи к разделу «Поверхности и объемы
многогранников и круглых тел»
для самостоятельного решения
1. Площадь поверхности куба 150 см2. Найти его
объем.
2. Площадь полной поверхности куба равна 3 дм2.
Найти длину диагонали грани куба.
3. Найти объем прямоугольного параллелепипеда,
если стороны его основания 2 см и 3 см, а диагональ
параллелепипеда 38 см.
4. Основанием прямоугольного параллелепипеда
служит квадрат со сторонами, равными 2 см. Найти объем
этого параллелепипеда, если его диагональ образует с
плоскостью основания угол 450.
5. В основании призмы лежит равносторонний
треугольник, площадь которого равна 9 3 см2. Найти
объем призмы, если ее высота в 3 раз больше стороны
основания.
6.
Найти
полную
поверхность
правильной
четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 34 см,
а диагональ боковой грани – 5 см.
7. Сторона основания правильной треугольной
пирамиды равна 6 см, а боковое ребро образует с
плоскостью основания угол 450. Найти объем пирамиды.
8. Боковая поверхность правильной четырехугольной
пирамиды равна 60 см2,сторона основания 6 см. Найти
объем этой пирамиды.
9. Площадь поверхности одного шара равна 393 см2.
Найти площадь поверхности другого шара, у которого
радиус в 3 раз меньше, чем у данного.
10. Площадь поверхности одного шара равна 49 см2.
Найти площадь поверхности другого шара, объем которого
в 27 раз больше объема данного шара.
11. Площадь боковой поверхности цилиндра равна
24 см2, а его объем равен 48 см3. Найти его высоту.
11
12. Площадь осевого сечения цилиндра равна
6
см2.

Найти площадь его боковой поверхности.
13. Угол при вершине осевого сечения конуса равен
600, а образующая равна 2 см. Найти площадь боковой
поверхности конуса, полагая   3,14 . Ответ записать с
двумя знаками после запятой.
14. Объем конуса равен 1,5 см2. Высота его равна 2 см.
Найти тангенс угла между высотой и образующей конуса.
15. Диагональ правильной четырехугольной призмы
наклонена к боковой грани под углом 300. Определить
наклон ее к основанию.
16. В прямой треугольной призме стороны основания
равны 10 см, 17 см, 21 см, а высота призмы – 18 см.
Определить площадь сечения, проведенного через
боковое ребро и меньшую сторону основания.
17. Боковое ребро L, равное 15 см, наклонной призмы
наклонено к
плоскости основания под углом 300.
Определить высоту призмы.
18. Основанием прямой призмы служит ромб;
диагонали призмы равны 8 см и 5 см; высота призмы 2 см.
Найти сторону основания.
19. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 м,
стороны основания равны 6 м и 8 м, одна из диагоналей
основания
равна
12
м.
Определить
диагонали
параллелепипеда
20. Расстояние между параллельными прямыми,
содержащими боковые ребра наклонной треугольной
призмы равны 2 см, 3 см и 4 см, а боковые ребра – 5 см.
Определить боковую поверхность призмы.
21. В прямом параллелепипеде стороны основания
равны 6 мм и 8 мм и образуют угол 300; боковое ребро
равно 5 мм. Определить полную поверхность этого
параллелепипеда.
22.
Боковая
поверхность
правильной
четырехугольной призмы равна 32 м2, а полная
поверхность – 40 м2. Найдите высоту.
12
23. В прямой треугольной призме все ребра равны.
Боковая поверхность равна 12 м2. Найдите высоту.
24. Высота правильной четырехугольной усеченной
пирамиды равна 7 см. Стороны основания равны 10 см и 2
см. Найдите боковое ребро пирамиды.
25. Высота правильной четырехугольной пирамиды
равна 7 см, а сторона основания равна 8 см. Определить
боковое ребро пирамиды.
26.
В правильной четырехугольной пирамиды
боковая поверхность равна 14,76 м2. Найдите сторону
основания и высоту пирамиды.
27. Найдите полную поверхность правильной
четырехугольной пирамиды, если сторона основания
равна 10 см, а боковое ребро пирамиды 13 см.
28. Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м.
Найдите диагональ осевого сечения.
29. Высота цилиндра на 10 см больше радиуса
основания, а полная поверхность равна 144 см2.
Определить радиус основания и высоту.
30. Чему равно отношение боковой поверхности
цилиндра к площади его осевого сечения?
31. В цилиндре радиус основания 2 см, а высота 7 см.
Определить радиус
круга,
равновеликого
полной
поверхности этого цилиндра.
32. Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 6 м,
высота 4 м. Найдите образующую.
33. Как относятся между собой боковая и полная
поверхности равностороннего конуса?
34. Образующая конуса наклонена к плоскости
основания под углом 600. Найти площадь основания
конуса, если длина образующей 12 см.
35. Высота цилиндра 12 см. Диагональ осевого
сечения 13 см. Найти боковую и полную поверхность
цилиндра.
36. Высота конуса 12 см, образующая 13 см. Найти
боковую и полную поверхность конуса.
13
37. Шар пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от
центра. Площадь сечения 1600 дм2. Определить радиус
шара.
38. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15
м, 50 м, 36 м. Найдите ребро равновеликого ему куба.
39. В прямом параллелепипеде стороны основания
2 2 см и 5 см образуют угол 450. Меньшая сторона
параллелепипеда равна 7 см. Найдите его объем.
40. Диагональ правильной четырехугольной призмы
равна 3,5 см, а диагональ боковой грани – 2,5 см. Найдите
объем призмы
41. В прямой треугольной призме стороны основания
равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей
высоте основания. Определить объем призмы.
42. Основанием пирамиды служит прямоугольник со
сторонами в 9 см и 12 см. Каждое из боковых ребер равно
12,5 см. Найдите объем.
43.
Основание пирамиды – равнобедренный
треугольник со сторонами 6 см, 6 см и8 см. Все боковые
ребра равны 9 см. Определить объем пирамиды.
14
Ответы:
Тема 1.
1)4 дм;
2)120 см2;
3) 3 см;
4) m  3
3V
;
sin 2  cos
3
5) V  2 sin  (ab) cos  .
Тема 2.
a2
1)
3) 14 см и 4см
;
3
Тема 3.
1) 125 см3; 2) 1 м;
3) 30 см3; 4) 8 2 см3;
5) 162 см3;
7) 45 3 см3; 8) 60 см3; 9) 131 см2; 11) 3 см; 12) 6 см2 ;
3
13) 10,88 см2; 14) ; 15) 450; 16) 144 см2; 17) 7,5 см; 18) 4,5 см;
4
19) 13; 9; 20) 45 см2; 21) 188 мм2; 22) 4 м; 23) 2 м; 24) 9 см;
25) 9 см; 26) 1,8 м; 4 м; 27) 340 см2; 28) 5 м; 29) 4 см; 14 см;
2
30)  ; 31) 6 м; 32) 5 м; 33)   34) 36 см2;
3
2
2
35) 60 см ; 72,5 см ;
36) 65 см2; 90 см2;
37) 41 дм; 38)
30 м; 39) 60 см3; 40) 3 см2; 41) 48 см3; 42) 360 см3; 43)
48 см3.
15
Основные слова и словосочетания
1 Плоскость.
2 Прямая призма
3 Периметр основания
4 Высота (призмы,
пирамиды).
5 Площадь боковой
поверхности
6 Объем прямой призмы
(пирамиды).
7 Пирамида правильная.
8 Апофема пирамиды
9
Площадь
боковой
поверхности пирамиды.
10 Усеченная пирамида
11 Периметр верхнего
(нижнего) основания
правильной пирамиды
12 Площадь оснований
пирамиды.
13 Стереометрия
14 Ребро пирамиды
15 Конус.
16 Шар.
17 Цилиндр.
18 Многогранник
19 Параллелепипед
прямоугольный
20 Проекция
21 Диагональное (основное)
сечение
22 Прямой параллелепипед
16
Учебное издание
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к разделу «Элементы стереометрии»
по курсу «Математика»
Для студентов подготовительного отделения
Факультета по работе с иностранными гражданами
Ответственный за выпуск
В.А.Клименко
Редактор Н.А.Гавриленко
Компьютерная обработка О.О.Бага
Подг. к печати
Формат 6084/16.
Тираж 100 экз. Себестоимость изд.
Издательство СумДУ при Сумском государственном университете
40007, г. Сумы, ул. Р.-Корсакова, 2
Свидетельство о внесении субъекта издательского дела к
Государственному реестру
Издано в типографии СумДУ
40007, г. Сумы, ул. Р.-Корсакова, 2
17