Урок для 11 класса по теме

3ий урок комбинированный
Урок для 11 класса.
Тема: «Применение производной к решению задач».
Цели урока:
 Обучающие:
повторить
основные
формулы
и
правила
дифференцирования, применение производной к исследованию
функции, нахождению наибольшего и наименьшего значения функции,
физический и геометрический смысл производной; сформировать
умение комплексного применения знаний, умений, навыков и их
перенос в новые условия; проверить знания, умения, навыки
учащихся по данной теме.
 Воспитательные:
содействовать
формированию
творческой
деятельности учащихся.
 Развивающие: содействовать развитию мыслительных операций:
анализ, синтез, обобщение; формированию умений самооценки и
взаимооценки.






1.
2.
3.
4.
5.
6.
Оборудование:
Мультимедийный проектор.
Презентация с целеполаганием и заданиями.
Приложения с основными формулами и правилами
дифференцирования (для каждого ученика).
Карточки с заданиями.
Карточки для проведения рефлексии, оценочные листы
Разноуровневое домашнее задание.
План урока:
Организационное начало урока, целеполагание. (4 минуты)
Актуализация знаний (8 минут)
Групповая работа (13 минут)
Проверка выполненных заданий. (10 минут)
Итог занятия, рефлексия. (5 минуты)
Домашнее задание.
Ход урока:
1. Организация начала урока. Целеполагание.
Время: 4 минуты
Форма: фронтальная работа.
Учителем сообщается тема урока и предлагается ученикам определить
цели урока и самостоятельно выбрать из предложенных трёх групп цели,
которые они ставят для себя на данном уроке. Демонстрация целей идёт с
помощью мультимедийного проектора. Цели классифицируются по
мотивам обучения:
Ломакина
Ирина
Владимировна
1
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
3ий урок комбинированный
 Когнитивные: уточнить основные понятия и законы темы,
углублённо рассмотреть конкретные вопросы во время
решения задач.
 Креативные: провести самостоятельное исследование по теме,
применить имеющиеся знания в нестандартной ситуации.
 Оргдеятельностные: проявить и развить свои способности,
организовать свои цели, составить реальный план, выполнить
его и оценить свои результаты.
На основании выбранных целей учащиеся поднимают кружок определённого
цвета: 1 группа – коричневый, 2 группа – красный, 3 группа – зелёный.
2. Актуализация субъективного опыта учащихся, их знаний.
Время: 8 минут
Метод: репродуктивный
Форма: фронтальная работа
Задача: повторить и закрепить навыки вычисления производной,
применение производной к решению задач;
проверить сформированность грамотной математической речи.
Форма подачи заданий: мультимедийный проектор.
Ответы учащиеся демонстрируют на переносных досках.
Задание 1.
1. Зная правило дифференцирования произведения двух функций, составьте
формулу (u∙v∙w)΄ = …
Ответ: u΄vw + uv΄w + uvw΄
2. Зная связь первой производной и экстремумов, установите, как определить
вид экстремума по второй производной.
Задание 2.
Составить алгоритм отыскания промежутков выпуклости вверх и вниз для
функции у = 2х6 – 5х4.
Ответ: 1. у΄=12х5 – 20х3
2. у΄΄=60х4 – 60х2
3. у΄΄=0 при х=0, х=1, х=-1.
4. у΄΄> 0, функция выпукла вниз при х ≤ -1, х ≥ 1.
5. у΄΄< 0, функция выпукла вверх при -1 ≤ х ≤ 1.
Задание 3.
Установить соответствие между предложенными графиками у=f΄(x) и
формулами, задающими функцию у=f(x).
1. у=х2-1
2. у=х3- 1
3. у=(х-1)2
4. у=-х2 -1
А
Б
В
Г
Ломакина
Ирина
Владимировна
2
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
3ий урок комбинированный
Ответы:
1- Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – В.
Анализ итогов работы.
3. Применение знаний и умений.
Время: 13 минут
Метод: частично – поисковый
Форма: групповая письменная
Задача: содействовать формированию активной творческой деятельности,
развивать мотивацию учащихся, сформировать умение
комплексного применения знаний, умений, навыков и их перенос в
новые условия; проверить знания, умения, навыки учащихся по
данной теме.
Форма подачи заданий: карточки
Учащиеся согласно заявленным целям на урок распределяются по группам,
заполняют оценочный лист.
2
1
3
Каждой группе предлагаются задания.
Группа 1. Когнитивные мотивы обучения.
1
I. По графику производной схематически изобразить
график функции и график второй производной.
II. Определите значение параметра b, при котором функция
y
x
возрастает на отрезке [b-5; b+4].
ex
Группа 2. Креативные наклонности.
2
I. По предложенному решению составить условие задачи.
Ломакина
Ирина
Владимировна
3
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
3ий урок комбинированный
Решение:
1. D(у) = R
y΄=-3x2-12x, k(x0)=-3x02 - 12x0,
2. 1 способ хв=12:(-6)=-2
2 способ k΄(x0) = -6x0 – 12
k΄(x0) = 0 при x0 = -2
k΄
+
-2
k
max
хmax = -2
3. у=f(x0) + f΄(x0)(x- x0)
у=-13 + 12(х+2)
у=12х + 11
II. Предложите несколько формул, задающих функцию у=f(x), если
f ( x)  4 cos( 2 x  1) sin( 2 x  1) 
6x
6x 2  1

18
(3x  1) 4
(данное задание является пропедевтическим для изучения темы
«Первообразная»)
Группа 3. Оргдеятельностные приоритеты деятельности.
I. Описать алгоритм нахождения наибольшего
и наименьшего значения функции у=f(x) на
отрезке [a;b]. Составить блок-схему.
3
II. Составить план решения следующей задачи:
Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t)=18t2 – t3 (x- в
метрах, t- в секундах). Определите, в какой момент времени из промежутка
[4;8] скорость точки будет наибольшей и найдите в это время ускорение.
4. Защита учащимися выполненных работ.
Время: 10 минут
Форма: фронтальная
Задача: проверить знания, умения, навыки учащихся по данной теме.
Учащиеся оформляют решения на доске и поясняют ход выполнения
заданий. Каждая группа, выслушивая защиту других, готовит им вопросы.
Работа первой группы.
№ 1.
Для графика функции у=f(x): f΄(x)>0  f(x) возрастает [-5;-2,8],[-0,4;3,5]
f΄(x)<0  f(x) убывает [-2,8;-0,4,[3,5;5]
f΄(x)=0 и производная меняет знак с плюса на
минус при х=-2,8 и х=3,5 х=-2,8 и х=3,5
точки максимума
f΄(x)=0 и производная меняет знак с минуса на
плюс при х=-0,4 х=-0,4 точка минимума
Ломакина
Ирина
Владимировна
4
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
3ий урок комбинированный
Для графика функции у=f ΄΄(х): f΄(x) убывает на промежутках [-3,5;-1,5],
[0,5;1,5], [2,8;5] значит функция у=f΄΄(x)
отрицательна на этих промежутках и
обращается в нуль при х=-3,5, х=-1,5, х=0,5,
х=1,5, х=2,8
f΄(x) возрастает на промежутках [-5;-3,5],
[-1,5;0,5], [1,5;2,8] значит функция у=f΄΄(x)
положительна на этих промежутках.
№ 2. D(у)=R, y  
1 x
, у΄>0 при х <1 и непрерывна при х=1, значит функция
ex
возрастает на промежутке (-∞; 1], т.е. b+4≤1, b≤-3.
Работа второй группы.
№ 1. Учащиеся представляют составленные ими условия задачи. Классу
предлагается проанализировать решение и условия и выбрать наиболее
точную формулировку.
Формулировка учителя: Напишите уравнение касательной к графику
функции у=-х3-6х2+3, которая имеет наибольший угловой коэффициент.
№ 2. f ( x)  cos 2 (2 x  1)  6 x 2  1 
2
(3x  1) 3
Все остальные функции будут отличаться от данной свободным членом.
Работа третьей группы.
№ 1.
Найти наибольшее значение функции y=f(x) на отрезке [a,b].
1. Найти производную данной функции.
2. Найти критические точки.
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.
4. Найти значение функции в отобранных критических точках и концах
отрезка.
5. Выбрать наибольшее значение функции.
№ 2.
План решения
Реализация плана
1. Отыскать функцию, задающую 1. V(t)=x΄(t), V(t)=36t – 3t2
скорость у= V(t).
2. Найти производную функции V(t). 2. V΄ (t)= 36 – 6t
3. Указать критические точки.
3. V΄ (t)=0 при t=6
4. Выбрать точки, принадлежащие 4. 6 принадлежит отрезку [4,8]
отрезку [4,8]
5. Найти значение функции V(t) при 5. V(4)=96 м/с, V(6)=108 м/с,
х=4, х=6, х=8
V(8)=96м/с
6. Записать ответ, выбрав наибольшее 6. max V(t) = V(6) =108 м/с
[4;8]
из найденных значений.
Ломакина
Ирина
Владимировна
5
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
3ий урок комбинированный
Блок-схема № 1.
у=f(x),
[a;b]
y= f΄(x)
да
нет
f΄(x)=0
да
х1, х2… хn
да
х1, … хn
лежат на
нет
max f(x) = f(a)
нет
f(a)> f(b)
max f(x) = f(b)
[a,b]
отрезке
f(x1), f(x2)…
f(xn), f(a), f(b)
да
нет
f(x1)наиб
да
max f(x) = f(х1)
нет
f(xn)наиб
[a,b]
max f(x) = f(хn)
[a,b]
5. Подведение итогов урока, рефлексия.
Время: 5 минут
Задача: определить уровень достижения целей урока и меру участия
каждого учащегося в занятии, оценка работы школьников.
Ломакина
Ирина
Владимировна
6
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
3ий урок комбинированный
Рефлексия.
На листочках для рефлексии учащимся предлагается изобразить в виде
прямых, как изменялись во время урока три параметра: личная активность,
самочувствие, самостоятельность. По шкале ординат отмечено время урока.
о
мин
мин
0
15 30 45
активность
мин
15 30 45
самостоятельность
15 30 45
самочувствие
Каждая группа заполняет оценочные листы.
Заслушиваются итоги каждой группы.
№
Ф.И.
Самооценка
Оценка группы
1.
2.
…
6. Домашнее задание.
Ученикам предлагается домашнее задание по трём уровням сложности,
обращается внимание на номер третий, он одинаковый у всех и является
дополнительным.
Домашнее задание.
Группа А
Группа В
Группа С
1. Проводятся касательные к
графику функции y = 3x – x2
в точке с абсциссой 2 и в
точке максимума. Найдите
площадь
треугольника,
образованного осью ординат
и этими касательными.
2. Придумайте функцию
y = f(x), у которой значение
в точке максимума меньше
значения в точке минимума.
3. Составьте блок-схему для
исследования функции с
помощью производной.
1. Напишите уравнение
такой касательной к графику
функции
y  (2 x  3) 2 x  3  x 2 ,
которая
не
пересекает
прямую у = х
1. Найдите все отрицательные
a, для каждого из которых
касательные
к
параболе
у = (х-1)2, проведенные через
точку оси Oy с ординатой a
высекают на оси Ox отрезок
длины 4.
Ломакина
Ирина
Владимировна
2. Придумайте функцию, у
которой два минимума и ни
одного максимума. Задайте
её формулой, исследуйте и
постройте график.
2. Придумайте непрерывную
функцию, график которой
будет
иметь
наклонную
асимптоту,
задаваемую
уравнением
у=0,5х-1.
Опишите эту функцию своими
3. Составьте блок-схему для свойствами.
исследования функции с
помощью производной.
3. Составьте блок-схему для
исследования функции.
7
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
3ий урок комбинированный
Алгоритм урока.
Этапы урока
Задачи
Постановка
целей урока
Актуализация
знаний
Время
Деятельность
учащихся
Результаты
работы
педагогической
системы
Определить цель и 4
задачи урока
минуты
Ставят цели урока
Весь класс
Повторить
и 6 минут
закрепить основные
теоретические знания
и
практические
умения.
Выполняют
задания,
составленные с учётом
уровня
мотивации
обучения
путём
фронтальной работы
РазноуровнеСодействовать
15
вая работа в формированию
минут
группах
активной творческой
личности, развивать
мотивацию учащихся
Решают
в
группе Весь класс
задания по уровням
учебной мотивации
«Защита»
решений
По два представителя Весь класс
от группы защищают
свои
решения,
а
остальная часть класса
оценивает их
Развивать
10
вариативное
и минут
критическое
мышление, систему
взаимооценки.
Проверить
знания,
умения,
навыки
учащихся по данной
теме
Итог
урока, Подвести
итоги 5 минут
рефлексия
занятия и участия в
нём каждого ученика
Оценивают себя по Весь класс
трём
параметрам:
активность,
самостоятельность,
самочувствие
Домашнее
задание
Решают задания
Определить уровень
ЗУН учеников при
выполнении
дифференцированного домашнего
задания
Ломакина
Ирина
Владимировна
8
Качест
во (%)
(после
урока)
Весь класс
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11