Оптимальный прием радиосигналов

Св. план 2006, поз.78
Учебное издание
Карпушкин Эдуард Михайлович
Основы теории радиотехнических систем.
Учебное пособие
для студентов спец.
39.01.01 «Радиотехника»,
39.01.02 «Радиоэлектронные системы»,
39.01.03 «Радиоинформатика»
в 2-х частях
Часть 2
Оптимальный прием радиосигналов.
Редактор С.Б. Саченко
Подписано в печать
Гарнитура «Times».
Уч. = изд. л. 5,2
Формат 60х84 1/16
Печать ризографическая.
Тираж 250 экз.
Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 5,2
Заказ № 166
Издатель и полиграфическое исполнение: Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»
Лицензия на осуществление издательской деятельности №023330/0056964 от 01.04.2004
Лицензия на осуществление полиграфической деятельности №02330/0133108 от 30.04.2004
220013, Минск, П. Бровки, 6
Введение
Задачи, решаемые современными радиотехническими системами (РТС), характеризуются сложностью и разнообразием помеховой обстановки, поэтому разработка таких систем возможна лишь на базе современных методов оптимизации.
Проблему оптимизации РТС можно условно разделить на три составляющие:
• выбор (синтез) наилучших сигналов для достижения требуемых результатов;
• оптимальная обработка принимаемых радиосигналов;
• синтез сигнал – устройство обработки.
В данном пособии внимание уделяется проблемам оптимального приема (обработки) радиосигналов в РТС.
Основная задача приемов радиосигналов сводится к наилучшему выделению
или восстановлению полезной информации по сигналу, искаженному при распространении и в результате воздействия помех. Приемник, который наилучшим образом минимизирует искажения воспроизводимой или выделяемой информации из
принимаемого сигнала на фоне помех, называется оптимальным. Синтез оптимального приемника заранее (априорно) предполагает, что известны некоторые
характеристики полезного сигнала, канала связи и помех, а также их функциональное взаимодействие. Чем больше достоверных априорных сведений, тем легче
и точнее решается задача синтеза. Наконец, результаты синтеза оптимального приемного устройства зависят от выбора математически продуктивного критерия оптимальности, отражающего количественные характеристики искажений.
Задание условий приема и выбор критериев определяют минимальный уровень
искажений воспроизводимой или извлекаемой информации, т.е. определяют потенциальную помехоустойчивость оптимального приемника, которая не может
быть ниже помехоустойчивости реального приемника и характеризует степень его
технического совершенства. Иногда оптимальное устройство оказывается трудно
реализуемым или экономически не выгодным. Тогда обращаются к квазиоптимальным методам приема, при которых незначительное снижение помехоустойчивости компенсируется простотой аппаратурной реализации.
Теория оптимального радиоприема позволяет также определить наилучшие
формы сигналов – носителей информации, обеспечивающие наибольшую помехоустойчивость.
Решение основных задач теории оптимального радиоприема базируется на
хорошо разработанных методах математической статистики, непосредственно
применяемых к решению прикладных задач радиоэлектроники (работы А.Н.
Колмогорова, Н. Винера, ВА. Котельникова, Р.Л. Стратоновича, К. Шеннона и
др.) [2,3].
3
1. Основные задачи теории оптимальных методов радиоприема
Исходя из требований целевого назначения РТС, условий их функционирования, а также из методических соображений, для типовых РТС можно сформулировать шесть частных задач оптимального радиоприема:
1. Обнаружение сигнала.
2. Различение сигналов.
3. Оценка параметров сигнала.
4. Фильтрация сообщений.
5. Разрешение сигналов.
6. Распознавание образов.
При рассмотрении этих частных задач далее будем представлять на входе
приемника аддитивную сумму полезного сигнала S(t) и помехи n(t)
x(t)  S(t, λ)  n(t),
0 t  T;
A  expω(t  τ)    0 
S(t, λ)  
0, t  T, τ  T
(1)
(2)
В (1) и (2) λ  (λ1, λ 2,..., λ ш ) – параметры, от которых зависит сигнал
Конкретно для (2) λ1  A1, λ 2  ω, λ 3  , λ 4  τ, λ 5  T.
В принятой модели полезного сигнала S(t, λ) некоторые параметры могут быть
заранее известными. Известные параметры и их вероятностные характеристики
составляют априорные сведения. Неизвестные параметры сигнала, которые отражают полезную информацию, называются информационными, а остальные – сопутствующими.
К априорным сведениям относится и вид помехи n(t) . Далее во всех рассматриваемых задачах помеха представляет собой нормальный случайный процесс с
нулевым матожиданием и известной спектральной плотностью.
1. Для обнаружения сигнала
(3)
x(t)  λ iS(t)  n(t),
0  t  T, λ i  0,1
требуется установить сам факт наличия ( λ1  T ) или отсутствия ( λ 2  0 ) сигнала в принимаемой смеси x ( t ) , т.е. требуется по принятой реализации x(t) на интервале Т решить оптимальным образом, присутствует или отсутствует сигнал
S( t ) . По результатам решения должна быть синтезирована структурная схема оптимального обнаружителя полезного радиосигнала и определены количественные
характеристики качества обнаружения.
Задача характерна для систем радиолокации и радионавигации.
2. Задача различения сигналов
(4)
x ( t )  Si ( t , )  n ( t ), 0  t  Ti
состоит в оптимальном принятии решения о присутствии в принятой реализации
x(t) одного из m сигналов, где i  1, m . При m  1 задача различения переходит в
задачу обнаружения.
4
Результатами решения задачи различения являются синтез оптимальной структуры различителя и оценка ее помехоустойчивости. Задача характерна для систем
передачи информации и управления.
3. При решении задачи оценки параметров
(5)
x(t)  S(t, λ)  n(t),
0t T
неизвестный параметр λ i является случайной величиной с априорной вероятностью P(λ i ) .
Необходимо с минимальной погрешностью определить значение этого параметра λ i в принятой реализации x(t) . Если полезный сигнал S(t, λ) зависит от нескольких случайных параметров, то ставится задача о совместной оценке двух и
большего числа параметров. Оцениваемыми параметрами могут быть задержка  ,
частота  , фаза  , амплитуда А, длительность сигнала Т.
Результатом решения задачи являются синтез структурной схемы соответствующего оптимального измерителя и оценка потенциальной точности измерения.
Задача характерна для систем передачи и извлечения информации.
4. Задача фильтрации сообщений состоит в непрерывном выделении информационного сообщения  ( t ) из реализации
(6)
x ( t )  St , ( t )  n ( t ), 0  t  T,
причем сообщение  ( t ) рассматривается как случайный процесс с известными
статистическими характеристиками. Задача фильтрации переходит в задачу оценки параметра, если фильтруемый параметр за время наблюдения T не успел существенно измениться.
Задача фильтрации является более общей и сложной, чем задача оценки параметров. В результате решения задачи синтезируется структурная схема оптимального фильтра, как правило следящего, и производится потенциальная оценка точности выделения сообщения.
Задача фильтрации возникает в системах извлечения, передачи информации и
радиоуправления.
5. При оптимальном разрешении принимается реализация
x(t) 
m
 C j  Si (t, λ)  n(t),
τ 1
0  t  T,
(7)
которая представляет собой сумму нескольких налагающихся сигналов, зависящих
от параметров λ i (j  1, m) и помехи n(t) , коэффициент C j принимает значения 0
или 1. Требуется оптимальным образом не только разрешить (разделить) принимаемые полезные сигналы, но и произвести раздельную оценку их информационных
параметров. Следовательно, задачу разрешения можно рассматривать по двум
направлениям: разрешение-разделение и разрешение-измерение.
Результатами решения задачи являются синтез структурной схемы оптимального разделителя сигналов и потенциальная оценка разрешающей способности
выделяемых информационных параметров.
5
Разрешение-разделение характерно для систем передачи информации, а разрешение-измерение возникает в системах извлечения информации.
6. Задача распознавания образов (или задача классификации) связана с построением систем, предназначенных для определения принадлежности данного (исследуемого) объекта к одному из заранее выделенных классов объектов. Причем каждый объект описывается совокупностью основных характеристик

λ  λ1 , λ 2 ,..., λ m , заданных многомерным вектором, и дополнительной характеристикой μ , которая указывает на принадлежность объекта к некоторому классу.
Следовательно, в принимаемой реализации
(8)
x(t)  S(t, λ,μ)  n(t), 0  t  T,
по значениям параметров λ полезного сигнала устанавливается наиболее правдоподобное значение характеристики μ . При этом набор закономерных связей параметров λ и характеристика μ заранее известны в соответствии с принятой классификацией объектов.
Решение этой задачи, в частности, предусматривает пространственновременную и поляризационную обработку принимаемого сигнала, что характерно
для систем извлечения информации.
Все вышеуказанные задачи оптимального приема тесно связаны между собой и
в практических ситуациях некоторые из них должны решаться не раздельно, а
совместно. Ниже каждая из первых пяти задач будет рассматриваться достаточно
полдробно.
Перед тем как приступить к рассмотрению перечисленных задач, введем ряд
понятий и определений, которые позволят подойти к решению с единых позиций.
2. Понятие об апостериорной вероятности
Решение всех частных задач оптимального радиоприема осуществляется на основе априорных (предварительных) данных о сигнале, сообщении, помехи, канале
связи. К априорным данным можно отнести статистические характеристики реализаций на входе приемника: законы распределения амплитуды, частоты, фазы, задержки сигнала; закон распределения амплитуды сообщения; закон распределения
амплитуды помехи; вероятность появления полезного сигнала. К априорным данным относятся также знания о форме огибающей и виде информационной модуляции сигнала. С учетом априорных сведений знания, полученные наблюдателем в
результате анализа принятых колебаний, называются апостериорными и полностью описываются апостериорной плотностью вероятности.
Рассмотрим формирование апостериорной вероятности [1].
Пусть принятое колебание
x ( t )  S( t, )  n ( t ), 0  t  T,
(9)
представляет аддитивную смесь полезного сигнала S( t , ) и гауссовского белого
шума n(t) с известной спектральной плотностью N 0 . При дискретном наблюдении,
6
когда отсчеты в соответствии с теоремой Котельникова берутся через равноотстоящие моменты времени   t i  t i 1 на интервале 0, T , выборочные значения
принятого колебания x(t) в моменты времени t 1 , t 2 ,..., t k будут заключены в случайных величинах
x1  x ( t1 ), x  x 2 ( t 2 ), ... , x k  x ( t k ) . Очевидно, что
t
t
t
1 i
1 i
1 i
xi 
x
(
t
)
dt
,
S
(

)

S
(
t
,

)
dt
,
n

(10)
i
i


 n ( t )dt
 t 
 t 
 t 
i
i
i
и n i  x i  Si (), i  1,2,...,k
(11)
Если выборочные значения x1 , x 2 ,..., x k описываются совместной плотностью
вероятности Pk (x1 , x 2 ,..., x k ) , а соответствующие выборочные значения помехи –
плотностью вероятности Pk (n1 , n 2 ,..., n k ) то совместная плотность вероятности
P(λ,x1,x 2 ,...,x k ) согласно теореме умножения вероятностей примет вид
P(λ,x1,x 2 ,...,x k )  Pk (x1,x 2 ,...,x k )  P(λ/x1,x 2 ,...,x k )  Ppr (λ)P(x1,x 2 ,...,x k /λ)
(12)
где Ppr (λ) - априорная плотность вероятности информационного параметра λ .
Отбросив в (12) левую часть равенства и учитывая, что Pk (x1 , x 2 ,..., x k ) не зависит от интересующего нас параметра λ , получим
P(λ/x1,x 2 ,...,x k )  R  Ppr (λ)  P(x1,x 2 ,...,x k /λ)
В (13) условная плотность вероятности
Pps (λ)  P(λ/x1,x 2 ,...,x k )
(13)
(14)
называется апостериорной плотностью вероятности, так как в ней заключено все
то, что можно узнать о параметре λ после приема колебания x(t).
Условная плотность вероятности
L(λ)  P(x1,x 2 ,...,x k /λ)
(15)
называется функцией правдоподобия и показывает, насколько одно возможное
значение параметра λ более правдоподобно, чем другое при фиксированных значениях x1 , x 2 ,.., x k .
Нормирующий коэффициент R принимается равным
1


R    Ppr ( ) L( )d   .
 

С учетом (12) и (13) выражение (11) примет вид
Pps (λ)  RPpr (λ)L(λ) .
(16)
(17)
В (17) показано, как из априорных данных и результатов анализа принятого
колебания формируется апостериорное знание.
Для дискретного параметра λ , принимающего одно из нескольких значений
7
λ1 , λ 2 ,..., λ m с априорными вероятностями Ppr (λ i ), i  1,2,..., m , (17) запишется в
виде
Pps (λ i )  RPpr (λ i )L(λ i ),
m

где R    Ppr (λ i )L(λ i )
i 1

(18)
1
Раскроем структуру функции правдоподобия L(λ i ) для указанного дискретного наблюдения.
Совместная плотность вероятности для случайной величины n i , i  1,2,..., m ,
имеет вид

k
2
 1 k 2 
exp  
 ni   
 N0 i 0

где согласно (10) для нормального распределения приняты:
ние n i   0 ,
 N 
Pk (n1, n2 ,..., nk )    0 
  
(19)
матожида-
n i2   N 0 /2Δ , а корреляционный момент ni  n j  0 при i  j .
дисперсия
Считая значение параметра λ фиксированным за время наблюдения, подставим значение n i из (11) в (19), учитывая при этом, что якобиан преобразования от
переменных n i к переменным x i равен единице. Полученное выражение
 x ,x ,...,x m 
Pk   x1  S(λ),x 2  S(λ),...,x m  Sm (λ)  P  1 2
  L(λ) 
λ


 N0 
π

 Δ 

k
2
 1 k

exp 
 xi  Si (λ)2 Δ 

 N0 i 0

(20)
и является функцией правдоподобия информационного параметра  .
Если принимаемый сигнал зависит от нескольких параметров λ1, λ 2 ,...,λ i то
(20) примет вид
k


 N  2
 1 k

2


L(1 ,  2 ,...,  e )    0   exp 
x

S
(

,

,...,

)



.
i
i 1 2
e

N




0 i 1



(21)
При непрерывности наблюдения необходимо перейти к пределу при   0
 1 T

2
lim k Δ Pn (n1,n 2 ,...,n m )  P  n(t)   exp 
 n (t)dt 
N
Δ 0
0
0


k 
(22) (23)
 1 T

lim k Δ L(λ)  F(λ)  exp 
 x(t)  S(t,λ)2 dt 

N0
Δ 0
0


k 
8
Коэффициент пропорциональности k Δ в (22) и (23) зависит только от Δ , а
функцию F(λ) в (23) в дальнейшем будем называть функционалом правдоподобия.
Таким образом, при непрерывной обработке принимаемой смеси (2.9) выражение для апостериорной вероятности информационного параметра λ примет вид:
 1 T

Pps (λ)  RPpr (λ)  F(λ)  RPpr (λ)  exp  
x(t)

S(t,λ)
dt
(24)


.

0
N
0


При решении частных задач оптимального приема чаще приходится оперировать с отношением апостериорных вероятностей или функционалов правдоподобия.
3. Критерии оптимального приема
Ранее было отмечено, что оптимизация приема зависит от выбранного критерия и заданных условий приема. Критерии – это количественные характеристики
искажений принимаемых (извлекаемых) сообщений.
В зависимости от назначения радиосистемы критерии могут быть разными.
При выбранном критерии оптимальный приемник радиосистемы обеспечивает
минимальные искажения сообщения, уровень которых часто называют потенциальной помехоустойчивостью. Реальный приемник при заданных условиях приема
не может превзойти потенциальную помехоустойчивость, а может лишь стремиться к ее достижению.
Рассмотрим некоторые критерии оптимального приема, которые нашли
наибольшее применение в радиосистемах.
3.1. Критерий минимума среднеквадратической ошибки
Этот критерий является удобным при восстановлении воспроизводимого непрерывного сообщения и может быть использован в задачах фильтрации.
Если воспроизводимое непрерывное сообщение λ(t) , с известными корреляционной функцией R λ (τ) или спектральной плотностью Fλ (ω) , и аддитивная помеха
n(t), с известными корреляционной функцией R n (τ) спектральной плотностью
Fn (ω) , поступают на вход оптимального приемника, то на выходе его воспроизве
денное сообщение λ (t) будет отличаться от переданного на величину ошибки ε(t) :

ε(t)  λ(t)  λ (t) .
(25)
Наиболее полно ошибку ε(t) характеризуют математическим ожиданием
m ε  ε(t)  и корреляционный функцией R(τ)  ε(t)  mε ε(t  τ)  mε   . Однако на практике достаточной характеристикой ошибки является средний квадрат
ошибки
1
ε (t) 
2π
2

 Fε (ω)dω ,
(26)

9
где спектральная плотность ошибки определяется выражением

Fε (ω) 
 R ε (τ)  e
 jωτ
dτ .
(27)

Отсюда следует критерий минимума среднеквадратической ошибки, который
сводится к минимизации выражения (26)
 ε 2 (t)  мин.
(28)
3.2. Критерий максимума отношения сигнал/шум
Данный критерий чаще всего используется при линейной фильтрации полученного сигнала S(t) известной формы на фоне аддитивного нормального случайного шума n(t) с заданной спектральной плотностью N 0 .
Если x(t) = S(t)+n(t) – аддитивная смесь полезного сигнала с нормальным случайным шумом на входе оптимального приемника, a y(t)  y s (t)  y n (t) – полезная
и шумовая составляющая на его выходе, то критерий максимума отношения сигнал/шум записывается в виде
Pys
(29)
 q max ,
Py n
где Pys и Py n - соответственно пиковое значение мощности полезного сигнала и
мощности (дисперсии) шума на выходе оптимального приемника,
3. 3. Критерий идеального наблюдателя
Пусть имеется некоторое число различных сигналов Si (t) i  1,2,..., n , лишь
один из которых может поступать аддитивно, с шумом на вход приемника на интервале наблюдения. Сигналы могут быть детерминированными, квазидетерминированными либо случайными.
После приема смеси
x(t)  Si (t)  n(t), 0  t  T,
(30)
могут быть выдвинуты разные гипотезы, какой из сигналов Si (t) был передан.
В зависимости от числа возможных вариантов передаваемых сигналов, задача
обнаружения одного из них приемником подразделяется на бинарную и многоальтернативную. В бинарных задачах на интервале наблюдения передается один из
двух сигналов. Частным случаем бинарной задачи является обнаружение факта
передачи или отсутствия одного сигнала. В многоальтернативных задачах требуется идентифицировать принятый сигнал с одним из n сигналов с известными характеристиками, причем n>2.
Для бинарной задачи обнаружения (различения двух сигналов) критерий идеального наблюдателя запишется в виде
P(S1 )  P(S2 /S1 )  P(S2 )  P(S1/S 2 )  мин.,
(31)
10
где P(S1 ) и P(S2 ) - известные априорные вероятности передачи сигналов S1 и
S2 (P(S1 )  P(S2 )  1), P(S2 /S1 ) и P(S1/S 2 ) -условные вероятности ошибки выделения сигналов S1 и S 2 соответственно, при приеме смеси относительно порога h.
Выражение (31) минимизирует общую вероятность ошибки в бинарной задаче
обнаружения.
При обнаружении одного сигнала критерий (31) примет вид
P(S1 )  P(0/S1 )  P(0)  P(S1/0)  мин.,
(32)
где P(0) – априорная вероятность отсутствия сигнала, P(0/S1 ) – вероятность пропуска сигнала , P(S1/0) – вероятность ложной тревоги.
Для многоальтернативной задачи обнаружения критерий идеального наблюдателя примет вид
n
 P(Si )  P(S j/Si )  мин.,
(33)
ji 1
где P(S j /Si ) – условная вероятность ошибки того, что при передаче сигнала S i
принят какой-то другой сигнал S j , т.е. i  j .
Критерии (31), (32), (33) являются частными случаями более обобщенного критерия среднего риска r , минимизирующего средние потери
r
n
 Cij  P(S j/Si )  мин.,
(34)
ji 1
i j
где весовые
коэффициенты стоимости Cij характеризуют потери (или выигрыш)
при соответствующем исходе.
Критерий идеального наблюдателя применяется в основном для оптимизации
приема в системах передачи дискретной информации. В радиолокационных системах, из-за отсутствия знаний об априорных вероятностях, критерий идеального
наблюдателя не используется.
3.4. Критерий максимума апостериорной вероятности , отношения правдоподобий.
Задачу оптимизации приема смеси (30) можно построить на сравнении апостериорных вероятностей (24)
Pps (S1 ) ≷ Pps (S 2 ) ≷…≷ Pps (S u ) ,
(35)
 1 T

2 


P
(
S
)

RP
(
S
)

exp

x
(
t
)

S
(
t
)
dt
где ps i
(36)

,
ps i
i

N


0 0
Решение о приеме сигнала принимается по вычисленной максимальной апостериорной вероятности. Если Pps (S j )  макс ., то принимается решение о приня-
тии сигнала S j (t) с заданными показателями качества.
При приеме одного из двух сигналов критерий максимума апостериорной вероятности сводится к критерию отношения апостериорных вероятностей
11
Pps (S1 )
Pps (S 2 )
≷1.
(37)
В задачах радиолокации, когда речь идет об обнаружении одиночного сигнала,
записывается отношение их функционалов правдоподобия
 1 T

2 


exp 
x
(
t
)

S
(
t
)
dt

1

 N 0 0

F(S1 )

≷h ,
(38)
T
F(0)
 1

exp 
x 2 ( t )dt

 N 0 0

где h - порог обнаружения. Соотношение (38) известно как критерий отношения
правдоподобий. Если отношение правдоподобий превышает порог, то принимается решение о наличии сигнала, в противном случае – о его отсутствии.
Критерий, по которому при заданном значении вероятности ложной тревоги Pлт  P(S1 / 0) , определяемой порогом h 0 , минимизируется вероятность пропуска Pпроп  P(0/S1 ) или максимизируется вероятность правильного обнаружения
Pпо  1  Pпроп , называется критерием Неймана-Пирсона.
Рассмотренные критерии и их модификации охватывают весь круг задач, решаемых оптимальным приемом.
4. Оптимальный линейный фильтр
Рассмотрим два классических случая построения оптимальных линейных
фильтров по двум разным критериям: минимуму среднеквадратической ошибки и
максимума отношения сигнал/шум.
Линейный фильтр, минимизирующий среднеквадратическую ошибку при выделении полезного сигнала из аддитивного шума, будем в дальнейшем называть
оптимальным линейным фильтром, а линейный фильтр, максимизирующий на выходе отношение сигнал-шум, – согласованным фильтром. При рассмотрении этих
случаев будем считать сигнал и шум независимыми стационарными случайными
процессами с известными характеристиками (корреляционными функциями или
спектральными плотностями).
Пусть на вход линейного фильтра (ЛФ), (рис.1), поступает сигнал S(t) с известной корреляционной функцией rs () и аддитивный шум n(t) с корреляционной
функцией rn ( )
x( t )  S( t )  n( t ), 0  t  T
где Т – время анализа.
12
(39)
x(t)
ЛФ
y(t)
Рис.1
Задача состоит в нахождении импульсного отклика ЛФ – g(t), минимизирующего
среднеквадратичную ошибку

 2 ( t )  Ŝ( t )  S( t  )
2
(40)
при выделении сигнала S(t).
В (40) Ŝ( t ) – оценка сигнала S(t) на выходе ЛФ, а  – временной сдвиг, создаваемый ЛФ.
Анализ будем проводить на интервале наблюдения (0, T) . Сигнал на выходе
ЛФ определяется свёрткой
T
Ŝ( t )   g()  x ( t  )d
(41)
0
Выражение для среднеквадратической ошибки при этом примет вид
 T


2
 (t )     S (t   )  n(t   )  g ( )d  S (t  ) 

  0

  s2
2

(42)
T

  g (1)d1    rs (1   2 )  rn (1   2 )  g ( 2 )d 2  2rs (1  ) 
0
 0

T
В (42)  2   2
min
среднеквадратическая ошибка принимает минимальную
величину, если выполняется равенство
T
 rs (  t )  rn (  t ) g(t )dt  rs (  )
(43)
0
Интегральное уравнение (43) называется уравнением линейной регрессии Винера-Хопфа и является основным уравнением линейной фильтрации по заданному
критерию. Решая уравнение (43), находят импульсный отклик g(t) оптимального
ЛФ. Общая теория и синтез таких фильтров были разработаны А.Л. Колмогоровым и Н. Винером [2]. Определим физическую реализацию оптимального ЛФ, выразив среднеквадратическую ошибку через спектральную плотность ошибки
F () и осуществив ряд подстановок и преобразований
13
1 
 F ()d .
2  
2 
(44)
Спектральную плотность ошибки F () найдем, вычислив функцию корреляции ошибки



r ()  Ŝ( t )  S(t  )  Ŝ( t  )  S( t    )  rŝ ()  rs ()  rsŝ ()  rŝs () .
(45)
Так как преобразование Винера-Хинчина, связывает F () и r () линейно, то
F ()  Fŝ ()  Fs ()  Fsŝ ()  Fsŝ () .
(46)
В (45) и (46) rŝ () и Fŝ () –корреляционная функция и спектральная плотность
оценки сигнала, r () и F () – корреляционная функция и спектральная плотность сигнала, rs () и Fsŝ () – функции взаимной корреляции и взаимная спектральная плотность сигнала и его оценки, rŝs ( ) и Fŝs () – взаимная корреляция и
спектральная плотность оценки сигнала и сигнала. В (45) в целях упрощения записи опущена задержка  ЛФ, которая в дальнейшем будет учтена. Спектральная
плотность сигнала оценки, исходя из теории линейных систем, имеет вид
Fŝ (ω)  k(jω)  Fx (ω)  k(jω)   Fs (ω)  Fn (ω),
2

где k(jω) 
 g(t)  e
 jωt
2
(47)
dt – коэффициент передачи ЛФ, Fn (ω) – спектральная

плотность шума, Fx (ω) - спектральная плотность аддитивной смеси на входе ЛФ.
Получим выражение для взаимной спектральной плотности Fssˆ (ω)

Fssˆ (ω) 
 rssˆ (τ)  e
 jωτ





dτ 

ˆ  τ)  e jωτdτ 
S(t)  S(t




 jωτ
dτ 
S(t)   S(τ1)  n(τ1)  g(t  τ  τ1)dτ1  e



 


  Ts (t  τ1)  g(t  τ  τ1)  e
 jωτ
(48)
dτ1dτ  k* (jω)  Fs (ω)
 
где k (jω) – функция, комплексно сопряженная с k(jω) . Выполнив аналогичные
преобразования для Fŝs (ω) , получим
Fŝs (ω)  k(jω)  Fs (ω)
(49)
Если не принимать во внимание задержки ЛФ, то коэффициент передачи в (48)
и (49) является вещественной величиной.
Окончательное выражение для спектральной плотности ошибки без учета за14
держки ЛФ с учетом (47), (48) и (49) примет вид
Fε (0)  k 2 (ω)   Fs (ω)  Fn (ω)  Fs (ω)  2k(ω)  Fs (ω),
(50)
Взяв производную спектральной плотности ошибки по коэффициенту передачи
и приравняв ее к нулю, получим выражение для оптимального коэффициента ЛФ
dFs (ω)
 2k(ω)  Fs (ω)  Fn (ω)   2Fs (ω)  0,
dk(ω)
(51)
Fs (ω)
k опт (ω) 
Fs (ω)  Fn (ω)
С учетом задержки сигнала получим
Fs (ω)
 e jωΔ ,
Fs (ω)  Fn (ω)
При этом спектральная плотность ошибки примет вид:
F ()  Fn ()
F  ()  s
,
Fs ()  Fn ()
k опт (ω) 
а среднеквадратическая ошибка
1  Fs ()  Fn ()
2


d,

2   Fs ()  Fn ()
max
(52)
(53)
(54)
Анализ (54) показывает:
 0  , когда Fs (ω)  Fn (ω)  0 , что выполняется
а) ошибки равны нулю  ε 2


min
или при отсутствии шума, или когда спектры сигнала и шума не перекрываются.
б) при полном или частичном перекрытии спектров сигнала и шума ошибка
минимальна, когда Fs (ω)  Fn (ω)
1
ε

min 2π

2
 Fn (ω)dω  σ n ,
2
(55)

Ошибка максимальна, когда Fs (ω)  Fn (ω)
ε
2
1

2π


Fs (ω)dω  σ s2 ,
(56)

и восстановление сигнала ЛФ невозможно.
Следовательно, оптимальный ЛФ, синтезированный по критерию минимума
среднеквадратической ошибки, – это полосовой фильтр, настроенный на эффективную полосу выделяемого полезного сигнала.
Лучшие результаты фильтрации можно получить применяя предискажение, т.е.
предварительно пропуская на передающей стороне сигнал через ЛФ 2 и оптимизи15
руя коэффициенты передачи обоих фильтров с целью получения минимума среднеквадратической ошибки. Однако и в этом случае выигрыш зависит от относительной ширины полосы перекрытия сигнала и шума.
Оптимальные линейные фильтры охватывают мало практически интересных
случаев обработки сигналов.
5. Согласованный фильтр
5.1. Синтез и анализ.
Пусть на вход ЛФ (рис.1) поступает аддитивная смесь полезного сигнала S(t)
известной формы и стационарного случайного процесса типа белого шума n(t) со
спектральной плотностью Fn (ω)  N 0 /2
x(t)  S(t)  n(t),
0  t  T,
(57)
где Т - длительность полезного сигнала.
Поставим теперь задачу получения на выходе ЛФ такого полезного сигнала,
отношение пиковой мощности которого к мощности шума максимизируется.
Обозначим процесс на выходе ЛФ функцией
y(t)  y c (t)  y n (t),
(58)
состоящей из полезной составляющей y c (t) и шумовой y n (t) .
Если k(jω)  k(ω)  e jψ(ω) –коэффициент передачи ЛФ,

S(jω)  S(ω)e
jψ(ω)
 S(t)  e

 jωt
dt – спектральная функция сигнала S(t), то по-

лезный сигнал на выходе ЛФ выразится равенством
1
yc (t) 
2π


S(jω)  k(jω)  e j t dω,
(60)

Мощность (дисперсия) шума на выходе ЛФ равна
σ2
n
1
 Pn 
2π



N
Fn (ω)  k(jω) dω  0
4π

2

2
k(jω) dω,
(61)

Отношение мощности мгновенного значения полезного сигнала на выходе ЛФ
в некоторый момент времени t 0 к мощности выходного шума
q
yc (t)
σ 2n
2

1
2π


S(jω)  k(jω)  e jωτ0 dω

N0
4π



,
(62)
2
k(jω) dω
Найдем такой коэффициент передачи k ( j ) , при котором отношение (62) в момент времени t 0 достигает максимума. На основании неравенства БуняковскогоШварца
16
2


f1 (ω)  f 2 (ω)dω




2
f1 (ω) dω



f 2 (ω)
2
dω

получим
q
1
2π


2
S(jω) dω 

N0
2
1
где
2π






2
k(jω) dω

2
k(jω) dω

2E c
N0
,
(63)

2
S(jω) dω  E c – энергия входного полезного сигнала.

Таким образом, отношение мощности полезного сигнала к мощности шума на
выходе любого линейного фильтра не может превышать величины
2E c /N 0  q макс .
Указанная максимальная величина q имеет место при максимальном значении
интеграла в числителе выражения (62):


S(jω)  k(jω)  e jωτ0 dω  макс .
(64)

Из выражения (64) вытекает требование к коэффициенту передачи k(jω) ЛФ
максимизирующего отношение (63), которое достигается при выполнении условия
k(jω)  C  S* (jω)  e jωτ0
(65)
где С – постоянный коэффициент, учитывающий ослабление или усиление сигнала
ЛФ, а
(66)
S* (jω)  S(ω)  e jψ(ω) –
функция, комплексно сопряженная со спектральной функцией входного полезного
сигнала S(t).
Линейный фильтр, комплексный коэффициент передачи которого удовлетворяет условию (65), называется оптимальным согласованным фильтром для сигнала S(t).
Для согласования фильтра из (64) с учетом (59) и (66) получим равенства:
k(jω)  C  S(jω) ,  (ω)  - ψ(ω)  ωt 0 
(67)
из которых следует, что амплитудно-частотная характеристика согласованного
фильтра пропорциональна амплитудно-частотному спектру ожидаемого сигнала, а
фазо-частотная характеристика равна сумме фазового спектра входного сигнала,
взятого с обратным знаком, и фазовой задержки (ωt 0 ) .
Фаза гармонических составляющих полезного сигнала на выходе согласован17
ного фильтра (60) равна
ωt   (ω)  ψ(ω)  ω(t  t 0 )
(68)
и при t  t 0 становится нулевой, т.е. в момент времени t 0 все гармонические составляющие сигнала имеют одинаковую фазу и их амплитуды складываются
арифметически, образуя пик сигнала на выходе фильтра. Спектральные составляющие шума на выходе фильтра при этом имеют случайные фазы.
Найдем выражение для импульсного отклика g(t) согласованного фильтра,
применив обратное преобразование Фурье от коэффициента передачи
1
g (t ) 
2


k ( j )  e
j t

C
d 
2


S * ( j )  e  j (t0 t )d  C  S (t0  t ), (69)

Таким образом, импульсным откликом согласованного фильтра является зеркально отображенная функция сигнала S(t) относительно времени t 0 умноженная
на коэффициент С (рис. 2).
g ( t ), s( t )
g( t )
s( t )
0
T
Рис. 2
t0
Из (69) и рис. 2 видно, что для практически реализуемого согласованного
фильтра t 0  T . Обычно берут t 0  T .
Форма сигнала на входе согласованного фильтра определяется по теореме
Дюамеля
T
T
0
0
y(t)   x(t  τ)  g(τ)dτ   S(t  τ)  n(t  τ)   C  S(t 0  τ)dτ 
T
T
0
0
(70)
 C  S(t  τ)  S(t 0  τ)dτ  C  S(t 0  τ)  n(t  τ)dτ
Откуда форма полезного сигнала на выходе фильтра
T
yc (t)  C  S(t  τ)  S(t 0  τ)dτ  C  R c (t  t 0 ),
(71)
0
с точностью постоянного коэффициента С представляет автокорреляционную
функцию сигнала S(t), которая в точке t  t 0 принимает максимальное значение,
18
пропорциональное энергии входного полезного сигнала
yc (t)max  yc (t 0 )  C  R(0)  C  E c
(72)
Дисперсия  ц2 шумовой составляющей сигнала y n (t) находится из ее корреляционной функции
r(t1,t 2 )  y n (t1)  y n (t 2 ) 
TT
 C
2
  S(t 0  τ1)  n(t1  τ1)  S(t 0  τ 2 )  n(t 2  τ 2 )dτ1dτ 2

00
TT
C
2
  rn (t1  t 2  τ2  τ1)  S(t 0  τ1)  S(t 0  τ 2 )dτ1dτ 2 
00
TT
 C2   δ(t1  t 2  τ 2  τ1) 
00
(73)
N0
 S(t 0  τ1)  S(t 0  τ 2 )dτ1dτ 2 
2
T
N
N
 C 0  S(t)  S(t  t1  t 2 )dt  C2 0  R c (t1  t 2 )
2
2
2
0
При выводе конечного выражения (73) принимались во внимание дельтаN
коррелированность белого шума, rn (τ)  0 δ(τ) , и фильтрующие свойства дельта2
функции.
В (73) при t1  t 2  τ  0 получаем дисперсию шума на выходе фильтра
σ 2n  C 2 
N0Ec
,
2
(74)
Отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра в момент времени
t 0 с учетом (69) и (74)
C2E 2
2E
q


,
2
N
E
N
2
0
σn С 
0
2
можно пересчитать к отношению сигнал/шум на входе фильтра
P
P
2E 2Pс вх  Т эф  Δf эф
q

 Т эфΔf эф с вх  B с вх  Bq вх ,
N0
N 0Δf эф
Pn вх
Pn вх
Pc
(75)
(76)
где Т эф , Δf эф – эффективная длительность и полоса частот полезного сигнала
S(t), B  Т эф  Δf эф – база сигнала.
19
Следует учесть, что максимальное отношение сигнал-шум на выходе согласованного фильтра определяется только энергией сигнала и спектральной плотностью шума и не зависит от формы сигнала.
В общем случае, когда шум n(t) не белый и является нормальным стационарным процессом со спектральной плотностью N(ω) , коэффициент передачи согласованного фильтра определяется по формуле:
CS* (jω)  jωt 0
k(jω) 
e
,
N(ω)
(77)
Отношение сигнал/шум на выходе фильтра в этом случае равно
2

1
q
2π

S(jω)k(jω)e jωt 0 dω



2
N(ω)  k(jω) dω
1

2π



2
S(jω)
dω,
N(ω)
(78)

Максимально возможное значение этого отношения определяется величиной
q макс
1

2π



2
S(jω)
dω,
N(ω)
(79)
Формально коэффициент передачи оптимального фильтра (77) для произвольного аддитивного стационарного гауссова шума можно представить в виде произведения коэффициентов передачи двух последовательно включенных линейных
фильтров, первый из которых обеляющий, а второй – согласованный с полезным
сигналом на выходе обеляющего фильтра
k(jω)  k1(jω)  k 2 (jω) 
C1
C2

S* (jω)e  jωt 0 ,
N(ω) N(ω)
(80)
Так как есть определенная свобода в выборе фазовой характеристике обеляющего фильтра, то можно достигнуть физической реализуемости оптимального
фильтра.
Исходя из вышеизложенного, укажем основные свойства согласованных
фильтров (СФ).
1. Среди всех линейных фильтров СФ на фоне белого шума дает на выходе
максимальное отношение мощности пикового значения выходного сигнала и
мощности шума, равное 2Ec
.
N0
2. Сигнал на выходе СФ по форме совпадает с функцией автокорреляции
входного сигнала.
3. Функция корреляции шума на выходе СФ имеет вид функции корреляции
входного сигнала.
4. СФ сложного сигнала в базу раз сжимает по длительности входной сигнал
и в базу раз улучшает входное отношение сигнал/шум, если прием осуществля20
ется в полосе сигнала.
5. Физически осуществимый СФ должен иметь t 0  T (время запаздывания
фильтра не меньше длительности сигнала).
В ряде применений, особенно при приеме простых сигналов, используют
квазиоптимальные фильтры, которые проще СФ в реализации и осуществляют
согласование с сигналом по эффективной полосе. Это фильтры с передаточной
функцией прямоугольного вида, одиночного резонансного колебательного контура, гауссовой резонансной кривой. Для простых форм сигналов квазиоптимальные фильтры ухудшают отношение сигнал/шум по сравнению с СФ на величину, не превышающую 15 %. Функции квазиоптимальных фильтров обычно
выполняют усилители промежуточной частоты.
5.2. Примеры согласованных фильтров.
1. Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса.
A , 0  t  T
S(t)   0
,
0,
0

t,
t

T

где Т - длительность импульса, A 0 – его амплитуда.
(81)
Спектральная функция сигнала
T
S(jω)  A 0  e  jωt dt 
0
A0
(1  e  jωT ),
jω
(82)
Если задержка СФ t 0  T , то коэффициент передачи равен
k(jω)  C  S* (jω)e jωt 
CA0
(1  e jωT ),
jω
(83)
На рис. 3,а в соответствии с (83) представлена возможная схема СФ для видеоимпульса длительности Т, состоящая из видеоусилителя с коэффициентом усиления CA 0 , интегратора, линии задержки на t 0  T и вычитающего устройства.
На рис. 3,б показаны напряжения на выходе отдельных элементов схемы.
Напряжение на выходе СФ описывается выражением
tT
y c (t)  C  A 2  T(1 
), 0  t  2T,
(84)
T
21
s( t )
1
2
4

сA0
yc ( t )
3
T
а)
S( t )
A0
t
0
Т
1
t
0
2
Т
сA02T
t
0
3
Т
сA02T
t
0
4
7
0
Т
2Т
сA02T
t
0
Т
2Т
б)
Рис. 3
Другая реализация СФ на линии задержки с отводами и сумматором приведена
на рис.4.
22
S( t )
s( t )
сA0
1
сA0
1)
T
…
1234
t
Т
0
n
сA02T
2)
а)
2
yc ( t )
Т
0

б)
2Т

t
T
n
Рис. 4
Форма выходного сигнала тем ближе к описанию (84), чем больше количество
отводов (меньше длительность ступеньки). Импульсный отклик этого фильтра равен
1, 0  t  T
,
(85)
g(t)  rect(T  t)  
0, t  0, t  T
2. Согласованный фильтр для прямоугольного радиоимпульса
S(t)  A 0 cosω 0 t, 0  t  T
(86)
Спектральная функция сигнала
T
S(jω)   A 0cosω0 t  e
 jωt
0
где cosω0 t 
При

A 0  e j(ω0 ω)T  1 e  j(ω0  ω)T  1 
dt 


 , (87)
2  j(ω0  ω)
j(ω0  ω) 

1 jω 0 t
e
 e  jω 0 t .
2
t0  T
коэффициент передачи СФ равен
k(jω)  C  S (jω)  e
*
 jωT
A0  e jωT  e jω0T e jωT  e jω0T 
C


,
2  j(ω0  ω)
j(ω0  ω) 
(88)
Если в (87) ω0T  2πk, k  1,2,3,..., то
k ( j)  CA 0 (1  e  jT ) 
j
02   2
,
(89)
23
S( t )
A0
t
T
сA02
t
1
T
2
сA02
t
cA02T
t
3
б)
Рис. 5
В соответствии с (89) на рис. 5,а приведена функциональная схема СФ, состоящая из полосового усилителя с коэффициентом усиления CA 0 , линии задержки
на t з  T , вычитающего усилителя и идеального колебательного контура
ω02  1/LC – резонансная частота колебательного контура, jω/(ω02  ω2 ) – передаточная функция контура). На рис. 5,б изображены диаграммы, поясняющие работу СФ. Напряжение на выходе СФ описывается выражением
tT 

cosω 0 t,
y с (t)  CA 0 T1 
(90)
T


3. Согласованный фильтр для пачки прямоугольных импульсов.
В импульсной радиолокации чаще всего приходится обрабатывать не одиночный радиоимпульс, а пачку. Синтезируем СФ для пачки из n периодически следу24
ющих прямоугольных импульсов
S(t) 
n 1
 S0 (t  iTп ),
i 0
0  t  nTп
(91)
где S0 (t) , 0  t  T , – одиночный прямоугольный импульс с энергией
E 0 , Tп – период следования импульсов.
Спектральная функция пачки импульсов (91)
S(jω) 
nTп

S(t)e
 jωt
n 1 (i 1)Tп
dt  
i 0
0

S0 (t  iTп )e
 jωt
n 1
dt  S0 (jω)  e  jωTпi ,
(92)
i 1
iTп
где S0 (jω) – спектральная функция одиночного импульса.
При t 0  nTп коэффициент передачи СФ для пачки импульсов будет равен
k(jω)  CS (jω)e
*
 jωtTп
 CS*0 (jω)e jωTп
n 1
 e jω(n 1)Tп  e jωtTп 
i 0
,
n 1
(93)
 CS*0 (jω)e jωTп  e jωtTп  k 0 (jω)  k1(jω)
i 0
где k 0 (jω)  CS 0 (jω)e
*
 jωTп
n 1
, k1(jω)   e
 jωTп
i 0
n 1
, S (jω)  S 0 (jω)  e jωTп .
*
*
i 0
Первый сомножитель в (93) есть коэффициент передачи СФ для одиночного
радиоимпульса, а второй - частотная характеристика сумматора задержанных импульсов с выхода СФ.
На рис. 6 приведена функциональная схема СФ на линии задержки с отводами
для пачки из когерентных радиоимпульсов.
s( t )
nTn
k 0 ( jw)
0
Tn
…

(n  2)Tn (n  1)Tn
yc ( t )
Рис. 6
На практике трудно осуществить задержку на длительность пачки радиоимпульсов, поэтому используют линию задержки на один период повторения импульсов Tп с обратной связью с выхода на вход. Такое устройство называют рециркулятором.
25
s( t )
k 0 ( jw)
yc ( t )
ОУ

Tn
Рис. 7
На рис. 7 представлена функциональная схема рециркулятора, состоящая из
операционного усилителя, линии задержки на Tп и узла, обеспечивающего нужный коэффициент обратной связи α . Обычно берут коэффициент α  1 , чтобы не
возникало самовозбуждения.
Комплексная частотная характеристика рециркулятора в соответствии с (93)
равна
n 1
k p (jω)   αie jωtTп 
i 1
1
1  α  e jωtTп
.
(94)
k1 ( j)
1
1 
1
1 
0
2
4
6
Tг
Рис. 8
Амплитудно-частотная характеристика рециркулятора (рис. 8) является периодической функцией частоты и имеет вид гребенки с максимумами равными
1/(1  α) при частотах ω  2πn/Tп , n  0,1,2,... . Отсюда и другое название рециркуляторов – гребенчатые фильтры.
Наибольшее отношение сигнал-шум на выходе рециркулятора составляет
(1  α)  (1  α n ) 2 2Ec
q p макс 

,
1 α
N0
(95)
4. Согласованный фильтр для цифрового сигнала
В современных РТС широко используются сложные сигналы с дискретной фазовой или частотной модуляцией. Свойства этих сигналов в основном определя26
ются свойствами модулирующей цифровой последовательности
N
u(t)   a i  rectt  (i  1)τ 0 ,
(96)
i 1
где a i  – символы цифровой последовательности длительности  0 , принимающие
значения
1, (i - 1)τ 0  t  iT0
rectt  (i  1)τ 0   
,
0, др. зн - ия t
а N - количество символов в цифровой последовательности.
Импульсный отклик СФ для цифровой последовательности (96)
g(t)  C  U(T  t) , где T  Nτ 0 представляет собой функцию, в которой без учета
коэффициента С порядок следования символов цифровой последовательности инверсный (обратный) по отношению к сигнальной цифровой последовательности.
На рис. 9,а приведена функциональная схема СФ для бинарной Мпоследовательности с генераторным полиномом x 3  x 2  1  0 и c  1 . В состав
СФ входят генератор тактовых импульсов (ГТИ) с частотой следования f t  1/τ 0 ,
регистр сдвига (PC) на 7 разрядов (N  23  1  7) , блок весовых коэффициентов
(БВК), который отражает характер импульсного отклика g(t) путем инвертирования или неинвертирования выходных сигналов с соответствующих разрядов PC,
арифметический сумматор (Σ) и согласованный фильтр для одиночного прямоугольного импульса длительности  0 (СФО). Временные диаграммы, поясняющие
работу фильтра, изображены на рис. 9,б. В описанной схеме регистр сдвига можно
заменить линией задержки с отводами. С помощью линии задержки с отводами,
блока весовых коэффициентов и сумматора можно построить схему СФ для сигнала с ЛЧМ.
6. Обнаружение радиосигналов
Как указывалось ранее, задача обнаружения радиосигналов характерна для
всех РТС и предшествует всем частным задачам оптимального приема, так как
прежде чем извлечь или воспроизвести информацию из принятого радиосигнала,
необходимо однозначно ответить на вопрос, присутствует ли в момент наблюдения полезный сигнал на входе приемника или отсутствует.
Бинарный характер задачи обнаружения связан с наличием на входе приемника
аддитивного шума. Обнаружение радиосигнала может быть простым и сложным.
При простом обнаружении, помимо априорных данных о радиосигнале и шуме,
известны возможные моменты времени присутствия полезного сигнала в принимаемой смеси. Сложное обнаружение отличается необходимостью оценки временного положения радиосигнала.
27
ГТИ
U( t )
1
2
3
4
5
6
7
PC
g(t )
y
CФО
y c (t)
а)
U( t )
1
t
-1
g(t )
1
t
-1
7
y

t
-1
y c (t)
t
б)
Рис. 9
28
Далее мы будем рассматривать простое обнаружение, а вопросы оценки временного положения радиосигнала являются предметом отдельного обсуждения.
Ниже рассматриваются три случая обнаружения: обнаружение известного радиосигнала, обнаружение известного радиосигнала с неизвестной фазой, обнаружение
радиосигнала с неизвестной фазой и флюктуирующей амплитудой.
6.1 .Обнаружение известного (детерминированного) радиосигнала
Пусть принятая смесь
x(t)  λS(t)  n(t), 0  t  T,
(97)
где n(t) – белый гауссов шум со спектральной плотностью Fп (ω)  N 0 /2, S(t) - полезный сигнал с известными параметрами, определяемый на интервале [0,Т]. Параметр λ неизвестен и может принимать одно из двух значений:
λ  1 (сигнал присутствует в смеси), λ  0 (сигнал отсутствует в смеси). Считаем, что S(t) и n(t) некоррелируемые процессы.
Для синтеза оптимальной структуры обнаружителя воспользуемся критерием
максимума отношения правдоподобия (38)
F(1)
(98)
A
,
F(0)
Отношение (98) будет, по крайней мере, не меньше единицы, если в принимаемой смеси присутствует сигнал S(t).
Функционал правдоподобия при наличии сигнала S(t) на входе приемника
 1 T

2


F(1)  exp 
x(t)

S(t)
dt
(99)
,

N
00


Функционал правдоподобия при присутствии на входе приемника только шума
(λ  0)
 1 T 2

F(0)  exp 
x
(t)dt
,

N


0 0
(100)
Отношение функционалов правдоподобия (99) и (100)
 1 T

2

exp  
x(t)

S(t)
dt



T
 E

 N 0 0

2

 exp  

x(t)

S(t)dt

N
N
 1 T



0
00
2

exp  
x
(t)dt
,

 N 0 0

(101)
 2 T

 E 

 exp 
x(t)

S(t)dt

exp

  h0

N
N
 0 0

0

29
T
где E   S 2 ( t )dt – энергия сигнала, h 0 – порог, относительно которого оценивает0
ся величина отношения.
Прологарифмируем обе части выражения (101)
T
 x ( t )S( t )dt ≷ h ,
(102)
0
где порог h  N 0 / 2F / N 0  ln h 0 .
Структурная схема оптимального обнаружителя приведена на рис. 10.
y  h,   1
x(t)
T
0

yk
ПУ
y  h,   0
h
УС
S( t )
Рис.10
Из рис. 10 и выражения (102) следует, что оптимальная процедура обнаружения сигнала состоит в вычислении функции взаимной корреляции между входной
смесью x(t) и опорным сигналом S(t) (который является копией переданного сигнала) сравнении полученного значения с порогом h в пороговом устройстве (ПУ) в
момент времени, определяемый устройством синхронизации (УС). Если велиT
Y
чина на выходе интегратора (  ) не меньше порога h, то принимается решение
0
о наличии полезного сигнала на входе приемника, в противном случае – его отсутствии.
Для простоты анализа будем считать коэффициент отношения полезного сигнала на входе к опорному равным 1, коэффициент передачи перемножителя также
равным 1.
Величина
T
T
2
T
y   x ( t )S( t )dt   S ( t )dt   n ( t )S( t )dt  y c  y n ,
0
0
(103)
0
состоит из полезной составляющей и шумовой.
Полезная составляющая Yc в момент сравнения с порогом численно равна
энергии сигнала, что соответствует пику автокорреляционной функции входного
сигнала S(t). Дисперсия шумовой составляющей Yu , аналогично преобразованиям
30
(73), равна
N E
 2n  0 ,
2
Отношение сигнал/шум на входе порогового устройства
(104)
E2
2E
(105)
q


,
2
N
E
/
2
N
n
0
0
Таким образом, корреляционный приемник в обнаружителе обеспечивает на
своем выходе, как и согласованный фильтр, пиковое значение полезной составляющей, пропорциональное энергии сигнала Е и максимальное отношение сигнал/шум, равное 2E / N 0 . Отсюда вытекает структура обнаружителя известного
сигнала на СФ, которая приведена на рис. 11.
y  h,   1
Pc
x(t)
СФ
y СФ
ПУ
y  h,   0
h
УС
Рис. 11
Отличительной особенностью обнаружителя на СФ (рис. 10 и 11) является ненадобность в опорном генераторе. По помехоустойчивости обе схемы равнозначны. При сложности построения СФ выбирают корреляционный вариант обнаружителя. На рис. 12 приведены формы напряжений на выходе коррелятора и СФ для
прямоугольного импульса.
Определим количественные характеристики качества обнаружения, воспользовавшись критерием Неймана-Пирсона. Так как смесь на входе приемника подчиняется нормальному закону распределения, а операции в обнаружителе линейные,
то величина Y также будет описываться нормальным законом распределения.
Найдем характеристики законов распределения величины Y для двух возможных
случаев.
Пусть   1, тогда
T
y 1    S (t )  n(t )   S (t )dt ,
0
T
T
m1  y1   S (t )dt   n(t )  S (t ) dt  E ,  12  ( y1  m1) 2 
2
0
0
EN 0
.
2
(106)
31
S( t )
t
Т
0
yк
Е
t
Е
t
Т
0
y СФ
Т
0
(С=1)
2Т
Рис. 12
При   0
T
y0   n(t ) S (t )dt , m0  y0  0,  02  ( y0  m0 ) 2 
0
EN 0
  12   2 .
2
(107)
Плотности распределения случайных величин Y1 и Y0 в соответствии с (106) и
(107) имеют вид
 ( y1  m1)2 
1
1
 y0 
(108)
P( y1) 
exp  
,
P(y
)

exp

0
 2 
2
2
2
2

2





2
2


На рис. 13 приведены графики распределений (108).
P ( y)
P( y1 )
Pлт
P( y1 )
Pпо
y
0
32
h
m
Рис.13
Для выбранного порога h вероятность правильного обнаружения составит
 2h 2 E 

N N 
 hE 
0 ,
(109)
Pпо  P(1/1)   P( y1)dy1  1  Ф 
 1 Ф 0
 EN / 2 
2
E
/
N


0
0


h




а вероятность ложной тревоги – соответственно
2h






N0 
h
,
(110)
Pлт  P(1/ 0)   P( y0 )dy0  1  Ф 
1 Ф

 EN / 2 
2
E
/
N


0
0


h




В (109) и (110) функция Ф( x) 
1
2
x

t2
e  2 dt
называется интегралом вероятно-

сти. Основные свойства интеграла вероятности:
а) Ф()  1 ,
б) Ф(0)  0,5 ,
в) Ф(x )  1  Ф( x ) .
На рис. 14 изображены зависимости Pпо  f (2 E / N 0 , Pлт ) , которые называются
характеристиками обнаружения.
С помощью характеристик обнаружения по заданным Pпо и Pлт можно определить необходимое отношение сигнал/шум 2E / N 0 на входе порогового устройства и величину порога h. Часто в литературе встречается понятие пороговый сигнал. Это сигнал, энергия которого при заданной Pлт обеспечивает обнаружение
требуемой Pпо . Например, при Pлт  0,1 и требуемой Pпо  0,8 (рис. 15) пороговому сигналу соответствует q  2 .
Pпо
Pлт1  0,5 Pлт 2  0,1
Pлт3  0,01
Pлт4  0,001
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
2Е
N0
Рис. 14
33
7
I0 ()
5
4
3

1
-3 -2 -1
1
Рис. 15
2 3
Основные выводы:
1. Качество обнаружения известного сигнала с заданным Pпо и Pлт не зависит
от формы сигнала и определяется только максимальным отношением сигнал/шум
на выходе коррелятора или согласованного фильтра.
2. Полученные количественные оценки качества обнаружения следует рассматривать как теоретический верхний предел (потенциальные возможности).
3. Синтезирование структуры оптимальных обнаружителей известных сигналов можно рассматривать как оптимальные когерентные приемные устройства.
6.2. Обнаружение радиосигнала со случайной начальной фазой
На практике начальная фаза принимаемого сигнала часто заранее не известна,
поэтому рассмотрим этот случай с учетом априорных сведений о фазе.
Смесь на входе обнаружителя
x(t )    S (t , )  n(t ), 0  t  T,
(111)
где S (t , )  S0 (t )  cos(0   ), Fп ( )  N 0 / 2,
So(t) – известная огибающая,  – случайная начальная фаза,
 по прежнему принимает значения 1 или 0,
Fп () – спектральная плотность шума.
Будем считать начальную фазу равномерно распределенной, т.е.
1
,
2
Тогда отношение правдоподобия запишется аналогично (101)
P() 
34
(112)
 1 T

2
exp     x(t )  S (t , ) dt 
 E 2 T

 N0 0

( ) 
 exp    x(t ) S0 (t )cos(0t   )dt  
 1 T

 N0 N0 0

exp    x 2 (t )dt 
 N0 0

T
T
 E 2 

 exp     cos   x(t ) S0 (t )cos 0tdt  sin   x(t ) S0 (t )sin 0tdt   
(113)

 N0 N0 
0
0



 E 2

 exp    Z cos(   ) 
 N0 N0

При получении конечного выражения в (113) введены обозначения:
Z  X2  Y2 ,
  arctgY/X
T
X   x ( t )S0 ( t ) cos 0 tdt,
0
T
Y   x ( t )S0 ( t ) sin 0 tdt,
(114)
0
С физической точки зрения Z – огибающая функции взаимной корреляции
входной смеси с копией входного полезного сигнала.
Безусловное отношение правдоподобия
2


0
1
P( )( )d 
2
 E  1
 exp  

 N 0  2
где I 0 ( ) 
1
2
2
2

0

0
 E2

exp  
Z cos(   ) d 
 N0

 2Z

 E   2Z 
exp 
cos(   ) d  exp  

 I0 
N
N
0   N0 
 0


 cos(  )
e
2
,
(115)
d – модифицированная функция Бесселя первого рода
0
нулевого порядка. На рнс. 15 представлен график этой функции, являющейся монотонно возрастающей функцией своего аргумента. При Y  1 ее можно представить первым членом разложения в экспоненциальный ряд

e 
1
9
I 0 ( ) 


...
(116)
1 
,
2  8 128 2

35
Из (115) следует алгоритм оптимального обнаружения сигнала со случайной
начальной фазой
 E   2Z 
/
exp  
(117)
  h0 ,
 I0 
N
N
0  0

Ввиду монотонности функции I 0 ( ) это правило эквивалентно следующему:
 2Z  E
ln I 0 
 ln h0/ ,
(118)

 N0  N0
Обычно аргумент модифицированной функции Бесселя первого рода нулевого
порядка для случаев, имеющих практическое значение больше единицы, поэтому,
если воспользоваться разложением (116), получим правило сравнение огибающей
z с некоторым порогом h
(119)
Z h,
которое далее используется для построения структур оптимальных обнаружителей.
В соответствии с правилом (119) и соотношениями (114) на рис. 16 приведена
структурная схема оптимального обнаружителя радиосигнала с неизвестной
начальной фазой.
1

x
T
0
S0 (t ) cos(0t )
x(t)
КВ
x2
ОГ

2
S0 (t ) sin(0 t )
S0 (t ) sin(T0 t ) y
2

0
x 2  y2
z z  h,   1
z
ПУ
y2
z  h,   0
КВ
h
УС
Рис. 16
Схема состоит из двух корреляционных квадратурных каналов как естественного результата при незнании начальной фазы сигнала.
Шумы в каналах, будучи взаимно независимыми, суммируются в сумматоре по
мощности, вдвое ухудшая отношение сигнал/шум на его выходе.
Таким образом, снижение помехоустойчивости приема является платой за случайность начальной фазы радиосигнала. Рассматриваемый случай обнаружения
(рис. 16) – классический случай оптимального некогерентного приема.
На рис. 17 приведена другая структурная реализация оптимального обнаружителя радиосигнала с неизвестной фазой - на основе СФ.
36
1
x(t)
2
z  h,   1
3
z
КД
СФ
ПУ
z  h,   0
УС
h
Рис. 17
Импульсный отклик фильтра g( t )  C  S(T  t ,  0 ) согласован с радиосигналом
S(t), имеющим некоторое фиксированное значение  0 . Огибающая корреляционной функции Z входной смеси x(t) выделяется на входе детектора огибающей
(ДО). Потенциальные возможности структур рис. 16 и рис. 17 при количественной
оценке качества, обнаружения одинаковы.
В некоторых научных источниках [4] приводятся другие модификации обнаружителей радиосигналов с неизвестными фазами. Интерес представляет корреляционно-фильтровая структура обнаружителя (рис. 18), которая содержит, помимо
обязательных узлов (УС, ПУ), перемножитель (х), радиоинтегратор (РИ) на частоте f пр () , линейный детектор огибающей (ЛДО).
 пр
1
x(t)
2
ЛДО
РИ
z  h,   1
3
z
ПУ
S0 ( t ) cos(0  пр ) t
ОГ
z  h,   0
h
УС
Рис. 18
Особенность схемы (рис. 18) состоит в том, что в перемножителе принятая
смесь x(t) умножается на копию полезного сигнала, у которого несущая частота
относительно несущей частоты полезного сигнала сдвинута на величину  пр . За
перемножителем следует идеальный радиоинтегратор, настроенный на частоту
 пр (колебательный контур с малым коэффициентом затухания). Колебания с выхода радиоинтегратора детектируются линейным детектором огибающей, значение
выходного напряжения которого при t=T с точностью до постоянного коэффициента равно z. На рис. 19 изображены эпюры напряжений на отдельных элементах
схем обнаружителей фильтрового («а» - структура рис. 17 и корреляционнофильтрового «б» - структура рис. 19) типов для прямоугольного радиоимпульса.
37
1
t
1
t
T
2
T
t
3
2
t
3
T
а)
t
2T
t
T
б)
Рис. 19
Расчеты показывают, что потенциальная помехоустойчивость корреляционнофильтрового обнаружителя радиосигнала с неизвестной начальной фазой мало отличается от потенциальной помехоустойчивости фильтрового (корреляционного)
обнаружителя.
Найдем соотношения для построения характеристик обнаружения.
Считаем фазу  принимаемой смеси (111) постоянной, и в силу линейности
операций, выполняемых в обнаружителе, случайные величины X и Y в выражении
(114) являются нормально распределенными с одинаковыми дисперсиями
2x  2y  2  N 0 E / 2.
Условные математические ожидания их соответственно равны
mx  X  E  cos; m y  Y  E  sin .
(120)
(121)
Кроме того, случайные величины X и Y взаимно независимы, поэтому при
наличии в смеси (111) полезного сигнала случайная величина Z подчиняется
обобщенному закону Релея (закону Райса)
 Z 2  E 2   2Z 
2Z
  I0 
, Z  0
P1 (z) 
exp 

  N 0 
N0E
N
E
0


(122)
где I 0 (2z / N 0 ) - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Если в принимаемой аддитивной смеси (111) отсутствует полезный сигнал
(S( t, )  0) , то независимые гауссовские случайные величины X и Y имеют нулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии, а случайная величина Z
описывается релеевской плотностью распределения
 Z2 
2Z
, Z  0
P0 ( Z) 
exp 
(123)
 N0E 
N0E


На рис. 20 изображены графики распределений (122) и (123).
38
P(z)
P0 (z)
P1 (z)
Pпо
Pлт
Pпо
z
0
h
Рис. 20
Вероятность ложной тревоги


 V
V
exp
 

 2
N0 E / 2
Pлт   P0 ( Z )dZ 
h
h/
2

dV  e


h2
N0 E
(124)
,
Вероятность правильного обнаружения


h
h
EN 0
Pпо   P1( Z )dz 



 V  2E / N0   2E 
h
2E 


V exp  
,
I 0  V
 dV  Q
2
N
N
 EN 0

 
0
0


2


2

2
С учетом (116) имеем

Pпр 

h
EN0
1

2
 V 2  2E / N0 
 2E 
1
V exp  
exp V

 dV 
2
N

 2  2 E / N 0
0


2


h
EN 0
2
2
 
 
2
E
2
 V 
 

N0  
1
V exp   
dV 
2
2









E h
EN 0
e
2
y
2


 Eh 
.
dy  Ф 
EN

0 


2 

(125)
2
где Q( ,  ) – табулированная функция Маркума (интегральное распределение
Релея-Райса).
Из выражений (124) и (125) вытекает соотношение

1 
Pпо  Ф  2q  2ln
,
Pлт


(126)
39
где q 
E
– отношение сигнал/шум по мощности на входе обнаружителя.
N0
На рис. 21 представлены результаты расчетов по формулам (124), (125).
Pлт1  103
Pпо
Pлт 2  104
Pлт 3  105
Pлт 4  106
1
Pлт 5  108
0,8
0,6
0,4
0,2
0
2
3
4
5
6
7
8
2Е
N0
Рис.21
Для сравнения пунктирными линиями нанесены зависимости для
Pлт2  104 и Pлт3  106 при обнаружении известного сигнала. Анализ показывает, что проигрыш порогового значения отношения сигнал/шум по мощности
обнаружителя неизвестного радиосигнала обнаружителю известного сигнала составляет 1,1  1,3 .
Основные выводы:
1. Платой за незнание начальной фазы, при обнаружении радиосигнала, является усложнение структуры обнаружителя и увеличение энергии сигнала.
2. Структуры оптимальных обнаружителей радиосигналов с неизвестными
начальными фазами можно рассматривать как некогерентный оптимальный
прием.
6.3. Обнаружение радиосигнала со случайной начальной фазой и
флюктуирующей амплитудой.
В большинстве практических применений при обнаружении радиосигнала помимо неизвестной начальной фазы, флюктуирует его амплитуда. Рассмотрим оптимальное обнаружение на фоне белого гауссовского шума радиосигнала с неизвестной начальной фазой и случайной амплитудой
x(t )  S(t, , A)  n(t ), 0  t  T,
(127)
где S( t , , A)  A 0S0 ( t ) cos0 t   обнаруживаемый сигнал с неизвестными амплитудой А и фазой ( а ) , n(t) – белый шум со спектральной плотностью N 0 / 2 .
Будем считать амплитуду и фазу независимыми случайными величинами с
40
релеевским и равномерным законом распределения плотностей вероятности
P( A)  2 A exp( A2 ), P( )  1/2
P( A, )  P( A)  P( )
С учетом выражения (113) условное отношение правдоподобия
T
 A2 E

2A
0
( A, )  exp  

x(t ) S0 (t )cos(0t   ) dt  
N0 
 N0

0
(128)
 A2 E0 2 AZ

 exp  

cos(   ) 
N0
 N 0

T
1
где E0   S02 (t )dt – средняя энергия сигнала.
2
0
После усреднения по  имеем
2
 A2 E0 
 2 AZ 
 ( A)    ( A, )P( )d  exp  
  I0 

 N 0 
 N0 
0
Безусловное отношение правдоподобия


 A2 E0 
 2 AZ 
 A2
   ( A) P( A)dA   exp  
2
Ae
dA 
  I0 

N
N
0 
 0 


0

 
 2 AZ 
E0  2 
 2  I0 
 exp   1 
 A  AdA,
N0 
N
0


 

0
Поскольку [ 11]

 x
 I0   , x  e xdx 
0
2
2
1  4 
2
e
(129)
(130)
,
то (130) принимает вид


N0
Z2

exp 
,
N0  E0
N
N

E


 0 0
0 
(131)
Алгоритм обнаружения


N0
Z2
exp 
  h0 ,
N0  E0
N
N

E


 0 0
0 
или
 
E 
Z 2  N 0   N 0  E0  ln  h0 1  0    h
(132)
N
0




2
сводится к вычислению величины z (соотношения (114), являющейся квадратом
41
огибающей функции взаимной корреляции принимаемой смеси (126) и опорного
сигнала So ( t ) , и ее сравнения с порогом h. Следовательно, структура оптимального обнаружителя радиосигнала с неизвестными начальной фазой и амплитудой
(рис.22) отличается от структуры рис. 16 отсутствием устройства вычисления
квадратного корня из суммы квадратурных составляющих X2 + Y2.
1

x
T
0
КД1
S0 (t ) cos(0t )
x(t)

x2
z 2  h,   1
z2
ОГ
ПУ
2
S0 (t ) sin(0 t )
2

T
h
y2
y
0
z 2  h,   0
КД2
УС
Рис. 22
В структуре обнаружителя радиосигнала со случайными начальной фазой и
амплитудой на C  (рис. 23) вместо линейного детектора применяется квадратичный детектор (КД).
z 2  h,   1
x(t)
СФ
КД
УС
z2
ПУ
h
z 2  h,   0
Рис. 23
При анализе характеристик обнаружения структур рис. 22 и рис. 23 следует
иметь в виду, что сигнальные компоненты, как и шумовые, величин X и Y являются нормальными независимыми случайными величинами. Поэтому обнаружение
радиосигнала с неизвестными начальными фазой и амплитудой на фоне аддитивного белого шума можно рассматривать как обнаружение известного сигнала при
совместном действии модулирующего и аддитивного шумов.
Если X  X c  X ш , а Y  Yc  Yш , то математические ожидания сигнальных
компонент X c  AE 0 cos   E 0 A cos   0 ,
Yc  AE 0 sin   E 0 A cos  0,
(133)
42
2
2
  су
   Yc2  X c2  E 02 A 2
А их дисперсии  сх
2
cos  
E 02
2
Дисперсия аддитивной смеси сигнала и шума на выходе коррелятора
2
2
2
cш
 ш
 c2  ш
(1  q)
2
где  ш

. (134)
(135)
N0E0
– дисперсия шумовой компоненты на выходе коррелятора,
2
2
a q   c2 /  ш
 E 0 / N 0 – отношение сигнал/шум по мощности на выходе коррелятора. Отсюда очевидность (133) закона распределения плотности вероятности ве2
личины z близкого к экспоненциальному

2 
1
P1( z 2 ) 
exp   Z2  ,
(136)
2



2 cш
cш 

для смеси сигнала с шумом и


 

2 
exp   Z 2  ,
(137)
2



2 ш
ш 

для чисто шумового процесса на входе обнаружителя.
На рис. 24 приведены зависимости, рассчитанные по формулам (136) и (137)
для q = 3.
P0 ( z 2 ) 

1

 
P(z 2 )
0,5
P0 (z 2 )
0,4
0,3
P1 (z 2 )
0,2
Pлт
q3
0,1
z2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Рис. 24
Вероятность правильного обнаружения


 z2  2



h 
h
Pпо   P1 z dz   2 exp   2  dz  exp   2   exp  
 (138)
N
E
1

q


2

2

2

 0 0

cш
cш 
cш 


h
h
 
2
1
43
Вероятность ложной тревоги


 z2  2
 h 

h 
Pлт   P0 z dz  
exp

dz

exp


exp






 , (139)
2
2
2
N
E
2

2

2

0 0

ш
ш 
ш 


h
h
Из (138) и (139) следует
 
2
Pпо  Pлт
1
1
1 q
(140)
откуда пороговое значение отношения сигнал/шум равно
lg Pлт
(141)
1
lg Pпо
На рис. 25 приведено семейство характеристик обнаружения сигналов со случайной фазой и релеевскими флюктуациями амплитуды.
qп 
Pлт  102 Pлт  104
Pпо
Pлт  106
1
0,8
Pлт  108
0,6
0,4
0,2
q
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Рис. 25
Их особенность состоит в том, что с ростом отношения сигнал/шум вероятность правильного обнаружения сначала возрастает быстро, ориентировочно до
Pпо  0,6 , а затем этот процесс в области больших отношений сигнал/шум замедляется, так как изменяются лишь параметры распределения величины Z2 (ее дисперсии), растягивая распределение по оси абсцисс.
Энергетические потери в различных оптимальных обнаружителях радиосигналов удобно проследить на характеристиках обнаружения рис. 26, где зависимости
1, 2 и 3 соответственно отражают обнаружения известного сигнала, сигнала с неизвестной начальной фазой и сигнала с неизвестной начальной фазой и флуктуирующей амплитудой, построенных для случая Pлт  10 4 . Например, для обеспечения вероятности правильного обнаружения Pпо  0,9 относительно приема известного сигнала требуется в 1,2 раза увеличить энергию сигнала, если неизвестна
его фаза, и в 3,44 раза - если неизвестны фаза и амплитуда обнаруживаемого сигнала.
44
Pпо
Pлт  10
1
2
1
4
3
0,8
0,6
0,4
0,2
q
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Рис. 26
Основные выводы:
1. Незнание фазы и амплитуды обнаруживаемого радиосигнала приводит к существенным энергетическим потерям, особенно при Pпо  0,9 .
2. Структура оптимального обнаружителя радиосигнала с неизвестными
начальной фазой и амплитудой по сложности не отличается от структуры обнаружителя радиосигнала с неизвестной начальной фазой и характерна для оптимального некогерентного приема радиосигнала, прошедшего через реальный канал –
канал с переменными параметрами.
В инженерной практике всегда есть потребность в простых, удобных соотношениях, позволяющих с минимальными временными затратами производить
оценку параметров обнаружения. В частности, это касается определения значений
пороговых отношений сигнал/шум. Для обнаружения радиосигнала с неизвестными начальной фазой и амплитудой пороговое отношение сигнал/шум (q п ) определяется удобной формулой (141).
Пороговые значения отношения сигнал/шум в обнаружителях радиосигнала, с
известными параметрами и неизвестной начальной фазой находят в результате
решения системы двух уравнений (109) и (110) или (124) и (125). В [5] предложены
инженерные формулы для оценки этого параметра, погрешность которых не превосходит 15 %, если Pпо  0,9 , Pлт  0,1 .
Пороговое отношение сигнал/шум в обнаружителях известного сигнала
2


1
1
q п  2 ln
 1,4  ln
 1,4  ,
1  Pпо 
Pлт


(142)
Пороговое отношение сигнал/шум в обнаружителях сигнала с неизвестной
начальной фазой:
2


1
1
q п  2 ln
 ln
 1,4  ,
1  Pпо 
Pлт


(143)
45
6.4. Обнаружение пакетов радиоимпульсов
В импульсных радиолокационных системах задачу обнаружения решают по
приему пакета N радиоимпульсов с периодом Tп , отраженных от наблюдаемого
объекта за время радиоконтакта с ним. Для этого случая модель действующего полезного сигнала
N
S (t , A , )   Ai S0 (t  (i  1)Tп )cos 0t  i ,
i 1
(144)
   
0  t  NTп , j  1, N, A j и  j – случайные значения амплитуд и фаз. Если
фазы радиоимпульсов пакета одинаковы (1   2  ...   N  ) или изменяются от
импульса к импульсу по заранее известному закону, то такой пакет называется когерентным.
Если начальные фазы радиоимпульсов пакета случайны и независимы, пакет
называется некогерентным.
6.4.1.Обнаружение когерентного пакета
Аддитивная смесь на входе обнаружителя
1
x(t )   S t , A j ,   n(t ), 0  t  NTп ,    ,


0
 
N
 
где S t , A j ,    Ai S0 (t  (i  1)Tп )cos 0t   ,


(145)
i 1
n ( t ) - белый гауссовский шум с Fп ()  N 0 / 2.
В общем случае для всех импульсов пакета начальная фаза может быть случайной и подчиняться равномерному закону распределения P()  1 / 2 , а для амплитуды {Aj} – флюктуировать по релеевскому закону Р(Аj) = 2Ajexp[-Aj2]. Воспользовавшись алгоритмом вычисления отношения правдоподобия, получим правило обнаружения когерентного пакета радиоимпульсов с неизвестной начальной
фазой и флюктуирующей амплитудой
2
2
N

N 
2 
Z    xi     yi   h,
 i 1 
 i 1 
(146)
T
где xi   X (t )  S0 t  (i  1)Tп  cos 0tdt ,
0
T
yi   X (t )  S0 t  (i  1)Tп sin 0tdt.
0
Структурная схема обнаружителя приведена на рис. 27, в ней когерентный
накопитель размещается между согласованным фильтром одиночного радиоим46
пульса (СФ) и квадратичным детектором (КД).
z 2  h,   1
x(t)
СФ
КН
СУ
z2
КД
̂
ПУ
h
z 2  h,   0
Рис. 27
Так как при когерентном суммировании амплитуда сигнальной составляющей
увеличивается в N раз (учитывается энергия всего пакета), а в N раз увеличивается
только дисперсия шума (значения складываемых шумовых составляющих не коррелированы), то выигрыш в отношении сигнал/шум по мощности на входе порогового устройства при обнаружении когерентного пакета радиоимпульсов возрастет
в N раз по сравнению с обнаружением одиночного радиоимпульса. При построении характеристик обнаружителя это и нужно учесть. При обнаружении когерентного пакета радиоимпульсов с неизвестной начальной фазой в структуре рис. 28
вместо квадратичного детектора применяется линейный детектор, а в характеристиках обнаружения следует учесть увеличение отношения сигнал/шум в N раз.
На рис. 28 приведены структурные схемы накопителя на линии задержки (а) и
многократного накопителя – рециркулятора (б), а также временные диаграммы (в),
поясняющие процесс накопления. С целью упрощения временные диаграммы построены для пакета прямоугольных видеоимпульсов (нулевая несущая частота).
6.4.2. Обнаружение некогерентного пакета
Для общего случая аддитивная смесь на входе обнаружителя
x(t )   S t , A j ,  n(t ), 0  t  NТп


 
(147)
N
1


где S t , A j ,    Ai S0 t  (i  1)Tп  cos 0t  i ,    ,


0
 
i 1
а фазы и амплитуды по-прежнему подчиняются равномерному и релеевскому законам распределения соответственно.
Правило принятия решения для этого случая:
2
Z 
N
 z i 2  h,
i 1
где
z i  x i2  y i2
(148)
47
t з  NTп
1
Tп
2Tп …
( N  1)Tп
NTп
2
а)
1
2
T
к<1
б)
1
t
NTп
2
t
Tп
в)
Рис. 28
Структурная схема (pис. 29), реализующая правило (149), содержит накопитель (сумматор) после квадратичного детектора.
z 2  h,   1
x(t)
СФ
КД
СУ
48
z2
Н
̂
ПУ
h
z 2  h,   0
Следует иметь в виду, что эффективность некогерентного накопителя будет незначительно уступать эффективности когерентного, если отношение сигнал/шум
по мощности на входе детектора значительно превышает 1. При малых отношени2
ях сигнал/шум на входе детектора (qвх  1) на его выходе qвых  qвх
и для достижения тех же характеристик обнаружения потребуется большая энергия пакета.
Например, при q вх  10 q вых  5 , а при q вх  0,1 q вых  0,01.
В последнем случае для реализации одинаковых характеристик обнаружения
потребуется не в 100, а в 500 раз увеличить время накопления (увеличить число
импульсов в пакете). Это означает, что некогерентная обработка пакета слабых радиоимпульсов нецелесообразна и нужно стремиться к когерентной обработке.
6.5. Обнаружение случайного сигнала.
Пусть в принимаемой смеси
(149)
x(t )   S (t )  n(t ), 0  t  T,
где  принимает значения 1 или 0, n ( t ) – белый гауссовский шум со спектральной плотностью Fn ()  N 0 / 2, а полезный сигнал S(t) – нормальный случайный процесс с нулевым средним и спектральной плотностью Fs () , некоррелированный с n(t). При этом x(t) – нормальный случайный процесс с нулевым
средним и дисперсией, равной сумме дисперсий процессов S(t) и n(t). Если эффективная полоса частот сигнала равна F  f 2  f1 , то функционал правдоподобия
гипотезы   1 определяется выражением
1


2 2 f 2
 T
1
 


F (1)  C1 exp    N 0 
F ( )d   x 2 (t )dt  ,
(150)




2F 
2 f1


 0


а функционалом правдоподобия гипотезы   0 примет вид
 1 T 2

F(0)  C 0 exp 
x
(
t
)
dt
(151)
,

N
0 0


Взяв отношение функционалов правдоподобия (150) и (151), выполнив соответствующие преобразования и логарифмирование, получим правило обнаружения
случайного сигнала
1
2F
2 f 2

Fs ( )d
2 f1
T
  X 2 (t )dt  h0 ,
(152)
2 f 2


0
1


N0 N0 
F
(

)
d

s

2F 

2

f

1

или
T
2
Z   Xф
( t )dt  h 0 ,
(153)
0
49
где X ф ( t ) – входная смесь, прошедшая через фильтр с полосой F .
Оптимальное правило принятия решения включает фильтрацию входной смеси
в диапазоне частот от f1 до f 2 , возведение ее в квадрат, интегрирование в пределах времени анализа (от 0 до Т) и сравнение с порогом h. Структурная схема, реализующая это правило, показана на рис. 30.
z  h,   1
x(t)

ПФ
T
z
0
ПУ
̂
СУ
z  h,   0
h0
Рис. 30
Оптимальным приемником является энергетический приемник смеси, пропущенной через полосовой фильтр (ПФ).
Определим характеристики обнаружения энергетического приемника.
Величина Z является случайной и подчиняется нормальному закону распределения, так как база случайного сигнала x ( t ) , F  T  1 и сумму множества независимых случайных величин x i за время наблюдения Т можно считать нормальной. Матожидание и дисперсия случайной величины Z1 (в смеси присутствует
случайный сигнал)
T
m1  z1 
2
  Sф (t )  nф (t ) dt  F  T ( Psф  Pnф );
0
12  z12  m12  2F  T  (Psф  Pnф ) 2 .
(154)
Матожидание и дисперсия случайной величины z 0 (в смеси отсутствует случайный сигнал)
m 0  z 0  F  T  Pnф ,  02  z 02  m 02  2F  T  P 2 nф
(155)
В формулах (154) и (155)
2 f
2
1
Psф 
F
 s ()d, Pnф  N 0  F,
2 2f
(156)
1
соответствует мощности сигнальной и шумовой составляющих на выходе полосового фильтра.
50
P(z)
P(z0 )
P(z1 )
Pпо
z
0
h
Pлт
Рис. 31
На рис. 31 приведены зависимости плотностей распределения нормальных
случайных величин z1 и z 2 . Вероятности Pлт и Pпо определяются выражениями

Pлт   P ( z0 )dz0 
h
1

2


h  m0
0
1
2 02

 ( z0  m0 ) 2 
 exp  2 2 dz0 
0


h
 t2 
 h  m0 
exp   dt  1  Ф 
,
2

0 



 (z  m ) 2 
1 
1 dz 
 1
exp
1

2
2




2

1
h
h


1

 t2 
 h  m1 
1

,

exp

dt

1

Ф



2

2 h  m


1




1
(157)

Pпо   P(z1 )dz1 
(158)
1
Подставив в формулы (157) и (158) значения из формул (154) и (155) получим
 2h  F2 TN 
0 ,
Pлт  1  .Ф 

N

F
2

FT
 0

 2h  F2 TN (1  q ) 
0
Pпо  1  .Ф 
,
N

F
(
1

q
)
2

FT
 0

где q 
Psф
Pnф
– отношение сигнал/шум (по мощности) на выходе
(159)
полосового
фильтра.
Из (159) следует, что увеличение отношения сигнал/шум в обнаружителе для
неизменного интервала наблюдения приводит к увеличению Pпо без изменения
Pлт .
51