В пособии дается методика статистического

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Новосибирский государственный университет
Кафедра моделирования и управления промышленным производством
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по спецкурсу Н.М. Журавель "Статистические методы в системном
моделировании промышленного производства"
Прогнозирование региональной потребности статистическими
методами
Выпуск III
Новосибирск, 2008
В пособии дается методика статистического прогнозирования
потребности в каком-либо ресурсе для отдельных регионов и страны в
целом (на примере проката черных металлов). Информационной базой
являются динамические ряды потребления данного ресурса и факторов,
определяющих размеры этого потребления. Ценность методики
определяется комплексным использованием статистических методов и
возможностью работать с индексной информацией.
Составитель: к.э.н., доцент Журавель Н.М.
Рецензент: к.э.н., доцент - Маслов Е.В.
Становление регионального прогнозирования происходит в условиях острого
дефицита региональной информации, являющегося, с одной стороны, результатом
сокращения обязательной статистической отчетности предприятий и ее платностью для
исследовательских целей, с другой стороны, порожденного запросами математических
методов в региональном прогнозировании. В связи с этим возникает необходимость более
углубленной методической разработки 2-х положений: о принципах предварительного
содержательного анализа факторов для отбора наиболее существенных, о приемах
экономико-статистического моделирования для малых выборок.
Рассмотрим подробнее эти положения на примере прогнозирования региональной
потребности в прокате черных металлов. Общая схема факторов потребления проката
черных металлов содержит четыре уровня. На первом даны отрасли, расходующие 8590% всего внутреннего потребления готовой металлопродукции. На последующих
уровнях схемы даются в развернутом виде факторы потребления в каждой отрасли.
Возможны два пути изучения региональной потребности: дифференцированный и
унифицированный. Первый состоит в выявлении специфических факторов потребления
для каждого региона и построения системы индивидуальных экономико-статистических
моделей всех регионов. Второй путь предполагает разработку единой модели на основе
набора факторов, общего для всех регионов. Вследствие информационного дефицита
наиболее реализуемым статистическими методами следует признать унифицированный
способ моделирования. Для обеспечения адекватности модели реальным условиям общий
набор факторов необходимо проанализировать со следующих позиций:
- региональности, т.е. выявить, каков характер фактора - общеэкономический или
ярко региональный;
- динамичности (интенсивности изменений во времени) и предсказуемости;
- измеримости факторов и их информационного обеспечения.
Региональность факторов проявляется в обусловленности данным фактором районной
локализации прогнозируемой потребности и во влиянии фактора на различия в уровнях
потребления по регионам. Первый аспект мы учтём, рассмотрев размещение отраслей,
являющихся основными потребителями изучаемой продукции. При рассмотрении второго
аспекта решающее значение для отбора существенных факторов оказывает региональная
дифференциация единичной интенсивности действия факторов на потребность. По
чёрным металлам, например, основу различий в потреблении по регионам составляют
характеристики объёмов и структуры производства машиностроения и металлообработки,
капитального строительства, объём грузооборота и новое строительство на
железнодорожном транспорте и объём потребления нефти и газа.
Динамичность факторов влияет на изменчивость изучаемой потребности времени
двояким образом. Во-первых, может наблюдаться определённая тенденция в изменении
степени влияния единицы фактора, во-вторых, варьирует во времени количественный
уровень фактора. Для целей прогноза важно выделить факторы, обладающие первой
тенденцией и факторы, претерпевающие существенные количественные сдвиги во
времени. Для функций типа "потребность" такими факторами являются объём и структура
производства потребителей и непосредственные характеристики технического прогресса
как в отрасли-производителе, так и у потребителей. По чёрным металлам, например, это качество металла; уровень использования металла в машиностроении, в капитальном
строительстве; скорость поездов и др.
При анализе измеримости факторов решаются вопросы выбора измерителей.
Альтернативами для объёмных факторов являются натуральный или стоимостный
измеритель, для факторов качества - введение условных единиц качества или доли
продукции повышенного качества во всем
выпуске. Особо стоит вопрос об учёте
структуры производства потребляющих отраслей. При прогнозировании потребности в
той или иной продукции важно знание не структуры в общем виде, а её характеристик с
позиций материалоёмкости. Изменение структуры отрасли, многопозиционной по другим
признакам, но однородной по признаку материалоёмкости, практически не отразится на
изменении потребности этой отрасли в прогнозируемом материале. Следовательно,
необходима предварительная группировка подотраслей по уровню материалоёмкости с
помощью метода экспертных оценок или формальных статистических приёмов.
Сформированная при этом структура может быть введена в модель либо непосредственно
в виде суммарного объёма производства каждой группы, либо через структурные
коэффициенты, отражающие удельный вес каждой группы в общем объёме производства
отрасли.
Для решения вопроса о моделировании в условиях малых выборок при региональном
прогнозировании можно рекомендовать испытание ряда приёмов. В частности, можно
пойти по пути искусственного увеличения числа наблюдений за счёт более дробного
районирования. Есть второй путь-уменьшение числа факторов в модели, которое
достигается
агрегированием
факторов
или
использованием
многошагового
моделирования на основе выявления причинно-следственных зависимостей между
факторами.
В ИЭиОПП СО РАН совместно с институтом экономики чёрной металлургии
ЦНИИчермета проведена серия расчётов по прогнозированию региональной потребности
в прокате черных металлов. Прогнозные модели строились двух видов: однофакторные на основе анализа временных рядов показателей потребления проката по регионам,
многофакторные - на основе анализа региональных временных рядов показателя
потребления и
влияющих на него факторов: валовая продукция промышленности X1,
объем строительно-монтажных работ Х2, валовая продукция машиностроения и
металлообработки Х3.
Однофакторные модели. Приемы исследования временных рядов отдельного
показателя давно разработаны и широко распространены. Имеется довольно богатый
формальный аппарат: выявление тенденций методом скользящих средних, наименьших
квадратов; линейного и нелинейного программирования (при наличии ограничений);
прогнозирование случайной компоненты по авторегрессионной модели; выделение
сезонных и циклических колебаний; методы экспоненциального сглаживания и
гармонических весов и др. Их использование для прогноза означает экстраполяцию на
будущее либо тенденции показателя, либо его сезонных и циклических колебаний, либо
характера инерционной зависимости показателя от его значений в предыдущие моменты
времени. Следовательно, эти методы применимы тогда, когда динамика показателя носит
стабильный характер и можно предположить ее сохранение в будущем. Такие
предпосылки, как правило, с определенными допущениями, соблюдаются для
интегральных показателей больших систем в целом (например, для спроса на массовую
традиционную продукцию отрасли), но не для экономических показателей отдельного
предприятия.
Если по временному ряду показателя {Yt}
методом наименьших квадратов (или
иным методом) найдена его аппроксимирующая функция
f(t)
такая, что
последовательность отклонений {t=yt-f(t)}, t=1,…,Т, можно считать выборкой случайной
величины, то при условии неизменности тенденции во времени f(t) может быть
использована как прогнозная функция. Но чаще всего эти отклонения не случайны и не
независимы, тогда для них (отклонений) строится авторегрессионная схема и
окончательно модель принимает вид
S
Y (t )   b jY (t  j )  f (t )  
(1)
j 1
Для построения прогнозной функции потребности черных
использованы два типа моделей:
(2)
Y1 (t )  a3t 3  a2t 2  a1t  a0  b jY (t  j )  1
Y2 (t )  e( a3t
3
 a2t 2  a1t  a0 )
S
Y (t  j )
j 1
bj
 2
металлов были
(3)
Специально разработанным алгоритмом 1 предусмотрена возможность фиксировать
один или группу коэффициентов из множества {a3, a2, a1, a0} на нулевом уровне, и, тем
самым, получать различные виды тенденции (остальные коэффициенты оцениваются в
процессе построения авторегрессионной модели). Некоторые из авторегрессионных
коэффициентов bj тоже могут быть заданы равными нулю, т.е. можно исследовать и
оценивать неполные схемы авторегрессии.
Программа позволяет получить в чистом виде и тенденцию, и авторегрессионную
схему любого порядка - для этого достаточно задать равными нулю все коэффициенты bj
(j =1,…,S) или aj (j=0, 1, 2, 3).
Таблица 1
Члены модели
Номер модели
Тип 2
Тип 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a2t2
exp(a2t2)
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
1
1
a1t
exp (a1t)
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0
1
1
a0
exp(a0)
1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
1
1
b
(
t

1)
b1Y(t-1)
1 1 1 1 1 1 0 0 1 1
0
0
Y1
b
(
t

1)
b2Y(t-1)
1 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0
0
Y2
Нуль обозначает отсутствие коэффициента.
Как видно из набора моделей (табл. 1), для исследования отбирались как чистая
авторегрессионная модель (№ 9), тенденция изменения во времени (№ 11, 12), так и
смешанные модели. Для прогноза потребностей проката выбираются модели с
минимальными отношениями остаточной дисперсии Y к его общей дисперсии 2ост/2общ.
Так, для расчёта прогнозов по общероссийской потребности в прокате более
предпочтительны модели 1, 5-7, 11, 12. Ниже представлены данные прогноза потребления
проката для России на пятилетний период (в индексах к базовому периоду):
Потребление проката по
Потребление проката по
Номер
Номер
модели
модели
модели
модели
2
3
2
3
1
2,668
3,411
7
2,679
3,394
5
2,982
3,171
11
2,999
3,196
6
2,629
3,355
12
2,601
3,331
Многофакторные модели. Применение методики множественного регрессионного
анализа к информации, представленной в форме индексов, встречает некоторые
трудности. Действительно, если информация задана в индексах, причем каждый регион
отнесен к своему базисному основанию, то разные регионы оказываются
несопоставимыми: при одном и том же индексе натуральные значения их могут сильно
различаться. Например, индексу потребления проката, равному 1,03, соответствует в
натуре в одном случае около 500 тыс. т, а в другом - 10 000 тыс.т.
Этот факт, а также наличие определенной неоднородности информации по районам и
регионам потребовали разработки в ходе исследования некоторых приемов и методов,
связанных как с решением проблемы неоднородности исходной совокупности, так и
особенностями индексной информации.
Для построения многофакторных регрессионных моделей использовались следующие
приемы:
1) взвешенный метод наименьших квадратов;
2) классификация районов и регионов и построение отдельных моделей по каждому
классу.
Первый прием. Целесообразность применения взвешенного метода наименьших
квадратов для индексной информации видна из следующих рассуждений. Параметры
регрессионного уравнения для индексов (Yjt = itXijt) для t-го года отыскиваются из
условия минимизации
 (Y jt   it X ijt )
j
i
При переходе к натуральным переменным по Y вместо индексов уравнение перепишется
как
 (Y jt / Y j 0   it X ijt )2  min
j
или
i
 (Y   
jt
j
it
( X ijt  Y j 0 ) 2  (1/ Y j20 )  min
i
Таким образом, приходим к взвешенному методу наименьших квадратов, с весами по
наблюдениям Pjt  Y j20 . Модель в индексах для прогноза будет Yjt   it ( X ijtYj 0 ) , поэтому
необходимо минимизировать сумму
 (Yit   it (Y j 0 X ijt )2
j
т.е. модель в индексах необходимо строить с весовыми коэффициентами Pjt  Y j20 .
При построении прогнозных регрессионных моделей выделяются следующие этапы.
1.Учет зависимости потребления проката не только от первичных факторов, фактора
времени t, но и от преобразованных факторов.
2.Расчет для каждого года матрицы коэффициентов корреляции по взвешенным
наблюдениям и их анализ.
3.Построение регрессионных моделей для каждого года и анализ их параметров:
коэффициентов регрессии в стандартизованном масштабе (β), множественных
2
коэффициентов корреляции (R), остаточных дисперсий (  ост
) и значений критерия
Фишера.
4. Построение прогнозных функций потребностей проката по полученным
ежегодным регрессионным моделям: для соответствующих коэффициентов модели
конструируются динамические ряды и отыскиваются их аппроксимирующие функции.
Для каждого года с учетом преобразованной информации рассчитаны матрицы
коэффициентов корреляции и регрессионные уравнения. Анализ уравнений показал, что
влияние факторов по годам колеблется существенно. В качестве примера в табл. 2
приведены виды моделей и их характеристики для одного из годов. Для всех моделей
расчетное значение критерия Фишера (Fрасч) меньше табличного, равного 19,43, что
говорит о существенности регрессионных уравнений. С учетом динамики изменения
коэффициентов регрессии для построения прогнозных моделей оставлены модели №8, 12
и 13. Анализ остаточных дисперсий коэффициентов регрессии для некоторых видов
аппроксимирующих функций и контрольные расчеты уровня потребления проката по
моделям №8, 12 и 13 показал, что более приемлемым оказывается прогноз с учетом
линейного изменения коэффициентов. Таким образом, прогнозная функция потребления
проката, например, по модели № 8, выглядит так:
b b t b b t
Y (t )  (b0  b1t )  01 11  02 12
X2
X3
Потребность в прокате по регионам, рассчитанная по такой модели, составит (в индексах):
Север ......................... 2,73
Сибирь ............................. 2,83
Юг…. ..................... ..2,76 Дальний Восток ................... 2,73
Урало-Поволжье . .. 2,79 Россия .................................. 2,73
Второй прием повышения адекватности моделей изучаемым процессам потребления
проката предусматривает разбиение общей совокупности районов на группы, близкие по
характеру потребления проката, и моделирование внутри таких групп. Здесь возможно
использование как многочисленных методов многомерной классификации районов по
исходной информации, так и методов, основанных на анализе результатов моделирования
по всей изучаемой совокупности. Поскольку первые широко применяются и
общеизвестны, остановимся подробнее на классификации районов с помощью анализа
отклонений фактических значений функции потребления от ее линейной аппроксимации
на общей совокупности.
Таблица 2. Характеристика моделей
Вид модели
R
2
 ост
Fрасч
1
y  a  bi x1  b2 x2
0,779
0,00129
12,297
2
y  a  bi x2  b2 x3
0,805
0,00115
14,714
3
y  a  bi x12  b2 x22
0,780
0,00129
12,377
4
y  a  bi x22  b2 x32
0,799
0,00119
14,092
5
6
7
y  a  b1 ln x1  b2 ln x2
0,777
0,811
0,780
0,0013
0,00113
0,00128
12,160
15,304
12.378
0,816
0,800
0,00110
0,00118
15,860
14,182
10 y  a  b2 ln 2 x2  b3 ln 2 x3
11 y  a  b1e 2 x1  b2e 2 x2
0,731
0,00153
9,178
0,780
0,00128
12,481
12 y  a  b2e 2 x2  b3e 2 x3
13 y  a  b1 / e 2 x1  b2 / e 2 x2
0,790
0,00123
13,277
0,811
0,00112
15,374
14 y  a  b1 /(1  ln x1 )  b2 /(1  ln x2 )
15 y  a  b1 /(1  ln x2 )  b2 /(1  ln x3 )
0,773
0,819
0,00132
0,00108
11,919
16,275
8
9
y  a  b1 ln x2  b2 ln x3
y  a  b1e x1  b2e x2
y  a  b1 / x2  b2 / x3
y  a  b1 ln 2 x1  b2 ln 2 x2
Основу способа составляют исследования характера зависимости фактических
значений моделируемого показателя Yф от рассчитанных по уравнению регрессии Yр.
Последние, по существу, представляют собой линейную комбинацию вектора
независимых переменных ( x ). Если зависимость Yф от Yр. представить графически, то по
оси абсцисс мы ранжируем объекты соответственно величине комбинации их входных
характеристик, а по оси ординат объекты располагаются в соответствии со значением
выходного показателя.
В идеальном случае при функциональной линейной зависимости y от х точки
должны располагаться на биссектрисе координатного угла. По характеру отклонений
фактических точек от этой прямой можно судить о степени близости реальной
зависимости к линейной. Выделим два момента: а) общий разброс точек, являющийся
оценкой аппроксимирующей способности уравнения регрессии, и б) порядок
расположения точек, позволяющий проверить гипотезу о близости реальной связи к
линейной.
Действительно, если реальная зависимость близка к линейной, то разброс точек
вокруг биссектрисы вызывается только недоучетом каких-то независимых переменных и
последовательность в их расположении должна носить случайный характер. Если же в
последовательности расположения точек может быть выявлена система, т.е. в
определенных частях графика они концентрируются преимущественно выше или ниже
биссектрисы, то это означает непригодность единой линейной модели для описания
моделируемого явления. В этом случае можно предположить наличие неоднородности
совокупности по одному или нескольким независимым переменным, нарушающим
линейный характер зависимости.
Гипотеза о том, что совокупность отклонений y =Yф-Yр не случайна, может быть
проверена соответствующими статистическими методами. Для подтверждения этой
гипотезы упорядоченная вдоль биссектрисы координатного угла последовательность
точек (Yф-Yр) каким-либо приемом (таксономией, визуально и т.п.) разбивается на
группы. Полученная группировка используется либо для корректировки единой модели с
помощью искусственного квазипризнака, либо для построения набора частных моделей
групп. В первом случае объектам, попавшим в каждую группу, присваивается цифровой
код, который и вводится в модель. Полученный при "квазипризнаке " коэффициент
используется затем для коррекции свободного члена управления регрессии.
При прогнозировании региональной потребности в прокате нами был избран второй
путь. Сначала были получены общие регрессионные модели y=f(x1, x2, x3) за каждый из
трех лет по всей совокупности районов; вычислены относительные отклонения (Yр Yф)/Yф района за каждый год. Анализ относительных отклонений позволил сформировать
4 класса (табл.3).
По каждому из 4 классов проведены расчеты большого числа регрессионных
моделей. Анализ значений множественного коэффициента корреляции, остаточной
дисперсии, стандартизованных коэффициентов и их дисперсий позволил отобрать ряд
моделей. Для классов 1-3 ими оказались модели вида:
1) y = a0+b1x1+b2t
2) y = a0+b1ln x3+b2/(1+ln x2)
3) y = a0+b1/x2+b2/x3
4) y = a0+b1/exp(x1)+ b2/(1+ln x2)
5) y = a0+b1 ln x1+b2t
6) y = a0+b1 ln x2+b2t
7) y = a0+b1 ln x3+b2t
Для 4-го класса отобраны модели:
1) y = a0+b1 ln x3+b2et
2) y = a0+b1 ln x3+b2/e2t
Таблица 3. Характеристика классов
Номер
класса
Величина
отклонения, %
1
2
3
4
-20, 20
20, 50
-20, -50
Более 50
относительного Число районов и Наименование регионов в классах
регионов в классе
7
5
3
4
Юг
Север и Центр
Урало-Поволжъе
Сибирь, Дальний Восток
Пример прогноза потребления проката по I- и 5-й моделям (в индексах) приведен в
табл. 4.
Таблица 4. Прогноз потребления проката
Вид модели
y = a0+b1x1+b2t
y = a0+b1 ln x1+b2t
1-й класс
Юг
3,14
2,79
2-й класс
Север
2,45
2,13
3-й класс
Урало-Поволжье
2,97
2,98
Итак, для прогнозирования региональной потребности целесообразно использовать
комплекс моделей, чтобы иметь возможность сопоставить различные варианты будущего
потребления того или иного ресурса и количественно оценивать их различия. В частности,
по результатам изложенного исследования можно рекомендовать следующий набор
моделей:
1. Смешанная модель авторегрессии и тенденции во времени для общероссийской и
региональной потребности ресурса.
2. Общероссийские множественные регрессионные модели, построенные с учетом
динамики исходной информации и коэффициентов регрессии статистических моделей.
3. Система региональных регрессионных моделей, полученных после классификации
районов и регионов по близости действия факторов потребления.
Как правило, наибольшего доверия заслуживают прогнозы, получаемые на основе
моделей третьей группы. И только в случае резкого уменьшения числа степеней свободы
для расчета параметров модели вследствие разбиения на классы следует ориентироваться
на модели второй группы. Прогнозы по моделям первой группы используются как база
для сравнений, по ним можно судить об уровне потребления проката при сохранении
сложившихся закономерностей формирования потребностей.
В табл. 5 приведены результаты прогноза для некоторых характерных районов по
всему комплексу моделей.
Таблица 5. Результаты прогноза для некоторых характерных районов.
Район
Юг
Урало-Поволжье
Сибирь
Россия
Тип модели
y=at+b
2,722
2,68
2,22
2,60
y=b0(t)+b1(t)/x2+b2(t)/x3
2,76
2,79
2,83
2,73
y=b0+b1x+b1x1+b2x4
3,14
2,97
3,61
-
Как видим, для данных районов отмечается повышение уровня потребления металла
по мере возрастания сложности модели, что характерно и для России в целом. Однако
имеются районы, для которых эта закономерность не соблюдается. Следовательно,
дифференцированное моделирование региональной потребности оправдано, поскольку
дает индивидуальные прогнозы по регионам, отличные от общеросийских.
Задание для самостоятельной работы по теме
"Прогнозирование региональной потребности статистическими методами"
1 этап. Получение общей регрессионной модели.
По данным приведенным в табл. 6, следует получить линейную регрессионную
модель у = a0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 для всей совокупности за 9 г.
Для нахождения параметров модели и относительных отклонений y =(Yф-Yр)/Yф
рекомендуется воспользоваться пакетом статистических программ.
2 этап. Классификация районов с помощью анализа отклонений фактических
значений функции "потребление готового проката" от её линейной аппроксимации по
общей совокупности районов.
Для проведения классификации рекомендуется нанести на график относительные
отклонения расчетных значений "потребления готового проката" от фактических,
полученные на I этапе.
С помощью графика нужно выявить характерные интервалы отклонений и
сформировать классы районов, попадающих в эти интервалы. Полученные результаты
оформить в таблицу:
№
класса
1
2
3
4
Величина
относительного Число районов Наименование районов и их
отклонения, %
в классе
номера
Например
-20  20
20  50
-20  -50
более 50
3 этап. Получение внутриклассовых тенденций показателя "потребление готового
проката".
В качестве динамического ряда по каждому классу используются данные за 1-9 гг.
по потреблению готового проката. При этом по каждому году нужно рассчитать среднюю
величину потребления проката для всех районов, вошедших в определенный класс.
В качестве лучшей аппроксимации выбирается кривая с максимальной величиной
коэффициента детерминации.
Полученная по всем классам система регрессионных моделей используется для
прогноза на 10 и 20 годы.
4 этап. Прогноз по системе региональных регрессионных моделей.
Для получения прогнозных значений потребления проката по районам необходимо в
полученные на 3 этапе уравнения тенденции "у" подставить в качестве времени независимой переменной X - следующие значения: 10, 20.
Для 10 г. следует оценить качество прогноза, сравнив расчетные значения с
фактическими, содержащимися в табл. 6.
В качестве обобщающей оценки точности прогноза можно использовать среднюю
ошибку прогноза:
yфакт.  y роасч.
1
 
n
yфакт.
Таблица 6
Исходные данные для расчетов по теме "Прогнозирование региональной потребности статистическими методами"
(в индексах к базовому году, цифры условные)
№
п/п
Экономические регионы и районы
страны
Потребление готового проката за десятилетие, Y
1 год
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
I. Север и Центр Европейской части
Северный
Центральный
Волго-Вятский
Северо-Западный
Западный
II. Юг Европейской части
Юго-Западный
Донецкий
Южный
Кавказский
Северо-Кавказский
Центрально-Черноземный
Приднестровский
III. Урало-Поволжье
Северо-Уральский
Южно-Уральский
Поволжский
IV. Сибирь
Алтайский
Западно-Сибирский
Восточно-Сибирский
V. Дальний Восток
Дальневосточный
2
3
4
5
6
7
8
9
10 год
Продукция
промышленности. Х1
Объем
строймонтаж.
работ, Х2
9 год
9 год
Продукция
машиностроения и
металлообработки, Х3
9 год
0.95
1.01
1.06
1.14
1.18
1.07
1.07
1.18
1.30
1.33
1.00
0.99
1.09
1.36
1.27
1.12
1.15
1.24
1.75
1.48
1.10
1.20
1.29
1.74
1.65
1.27
1.25
1.38
1.86
1.67
1.56
1.33
1.50
1.97
1.81
1.52
1.38
1.52
2.14
1.94
1.68
1.45
1.54
2.32
2.08
1.66
1.54
1.65
2.37
2.16
1.64
1.65
2.04
2.53
2.58
1.68
1.40
1.32
2.21
2.39
2.02
2.22
2.45
3.54
3.46
1.07
1.11
1.08
1.05
1.12
1.03
1.13
1.23
1.12
1.15
1.13
1.32
1.19
1.25
1.17
1.05
1.09
1.05
1.30
1.03
1.30
1.56
1.24
1.28
1.24
1.64
1.56
1.38
1.67
1.30
1.28
1.30
1.74
1.68
1.49
1.65
1.43
1.32
1.37
1.81
1.78
1.85
1.91
1.52
1.48
1.48
1.88
1.94
2.08
2.09
1.58
1.60
1.48
1.99
1.95
2.34
2.19
1.65
1.61
1.51
2.01
2.20
2.85
2.27
1.83
1.64
1.51
2.14
2.24
2.87
2.16
1.93
2.29
1.97
2.01
2.01
2.70
1.62
1.39
1.84
1.86
1.65
1.55
2.33
3.28
2.45
2.73
2.83
2.52
2.53
0.17
1.02
1.18
1.07
1.09
1.29
1.19
1.06
1.21
1.17
1.30
1.47
1.40
136
1.55
1.43
1.47
1.43
1.47
1.58
1.82
1.58
1.67
2.02
1.67
1.67
1.95
1.67
1.79
1.95
1.94
1.69
2.21
2.68
1.24
1.78
1.69
1.29
3.20
2.87
1.11
1.19
1.15
1.18
1.33
1.17
1.25
1.18
1.07
1.55
1.25
1.30
1.73
1.29
1.17
1.90
1.49
1.31
2.05
1.27
1.50
2.12
1.58
1.55
2.26
1.65
1.64
2.23
1.63
1.55
1.96
2.19
2.18
2.47
1.63
1.63
3.23
2.70
2.87
1.12
1.13
1.04
1.35
1.39
1.49
1.58
1.69
1.79
1.90
2.29
1.86
2.57