1. 2. Решение.

1. Решить неравенство x 3  9 x  3 3 x 2  3 3  0 .
Решение.
x 3  9 x  3 3x 2  3 3  0 , ( x  3 ) 3  0 , x  3  0 , x  3 .
Ответ: x  3 .
2. Как с помощью прямоугольной плитки размером 7 см на 9 см
начертить отрезок длиной 1 см?
Решение.
Чертим отрезок длиной 28 см с помощью стороны прямоугольной плитки
7 см (4 отрезка). Затем на этом отрезке отмечаем 27 см с помощью стороны
плитки 9 см (3 отрезка). Оставшаяся часть равна
3. Целые числа a, b, c таковы, что
28-27=1 см.
1 1 1
   0 . Доказать, что число
a b c
a 2  b 2  c 2 является квадратом некоторого целого числа.
Решение.
Так как
bc  ac  ab  0,
1 1 1
bc  ac  ab
   0 , то
0 и 
a b c
abc
abc  0.
Рассмотрим
a  b  c 2
выражение
 a 2  2ab  b 2  2(a  b)c  c 2  a 2  2ab  b 2  2ac  2bc  c 2 
a 2  b 2  c 2  2(ab
 ca
 bc)  a 2  b 2  c 2 .

0
4. К числу 43 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы
полученное четырехзначное число делилось на 45. Найдите все решения.
Решение.
Обозначим неизвестные цифры через а и b. Тогда четырехзначное число
можно записать в виде
.
По признаку делимости на 5 b = 0 или b = 5. Рассмотрим оба случая.
1) Пусть 6 = 0. Полученное число
делится на 9 тогда и только тогда,
когда сумма его цифр, равная а + 7, делится на 9. Отсюда а =2.
2) Пусть b = 5. Аналогично находим, что а = 6.
Ответ: четырехзначное число равно 2430 или 6435.
5. Две биссектрисы треугольника пересекаются под углом 60°. Докажите,
что один из углов этого треугольника равен 60°.
Решение.
Пусть биссектрисы AA1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I.
Допустим, что AIC1 = 60°. По теореме о внешнем угле треугольника
откуда
BAC + BCA = 120° и ABC = 180°– BAC – BCA = 60°. Но это еще не все
решение: ведь может случиться, что AIC = 60°. Однако тогда IAC + ICA =
120°, откуда BAC + BCA = 240°, что невозможно.
6. Найдите все целые a , при которых дробь
a 2  21a  17
равна целому
a
числу.
Решение.
Разделим почленно числитель дроби на знаменатель:
Представление алгебраической дроби в виде суммы многочлена и дроби с
тем же знаменателем, у которой степень числителя меньше степени
знаменателя, называется выделением целой части дроби; многочлен и
называется целой частью дроби.
В данном случае целая часть дроби равна а-21. Так как разность а- 21 при
всех целых а принимает целые значения, то вопрос задачи сводится к
следующему: при каких целых а дробь
— равна целому числу?
Для полного ответа на этот вопрос нужно перебрать все делители числа
17, включая и целые отрицательные.
Получаем числа: 1, —1, 17, —17.
Ответ: ±1,± 17.
7. В озере водятся караси, окуни щуки. Два рыбака поймали вместе 70
рыб, причем
5
7
улова первого рыбака – караси, а
улова второго - окуни.
9
17
Сколько щук поймал каждый, если оба поймали поровну карасей и окуней?
Решение.
Первый поймал число рыб, кратное 9, а второй – 17. Но можно подобрать
только два числа, дающие в сумме 70 так, чтобы одно делилось на 9, а второе
- на 17. Это числа 36 и 34. Значит, первый поймал 36 рыб, а второй – 34.
Тогда из условия следует, что оба поймали по 20 карасей и 14 окуней.
Значит, первый поймал еще 2 щуки, а второй – 0.
8. Найти область изменения функции: y 
2x  1
.
x1
Решение.
Первый способ. Область определения данной функции
. Для
нахождения области изменения удобно данную функцию записать в таком
виде:
Дробь
.
принимает в области определения функции всевозможные
значения, кроме нуля. Следовательно, областью изменения данной функции
является множество всех действительных чисел, кроме,
.
Второй способ. Разрешают данное уравнение функции относительно
Получают
.
Откуда
действительным числом, кроме 2.
следует,
что
может
быть
.
любым