Тема 3 Непрерывные функции. Точки разрыва функции. Теоретические вопросы 1. Определение непрерывной функции в точке. 2. Односторонние пределы. Точки разрыва функции и их классификация. 3. Операции над непрерывными функциями: непрерывность суммы конечного числа функций; непрерывность произведения конечного числа функций; непрерывность частного двух функций. 4. Непрерывность основных элементарных функций: непрерывность линейной функции; непрерывность тригонометрических функций; непрерывность показательной функции; непрерывность логарифмической функции; непрерывность обратных тригонометрических функций. 5. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. 6. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Контрольные вопросы 1. Какие из следующих утверждений верны: 1) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв первого рода, имеет в точке х = а разрыв первого рода; 2) произведение функции, имеющей в точке х = а разрыв второго рода, и функции, непрерывной в точке х = а, имеет в точке х = а разрыв второго рода; 3) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв второго рода, и функции, непрерывной в точке х = а, может иметь в точке х = а разрыв первого рода; 4) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв второго рода, и функции, непрерывной в точке х = а , имеет в точке х = а разрыв второго рода; 5) произведение двух функций, имеющих в точке х = а разрыв второго рода, может иметь в точке х = а устранимый разрыв; 6) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого рода, и функции, имеющей в точке х = а разрыв второго рода, может иметь в точке х = а разрыв первого рода; 7) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв второго рода, может иметь в точке х = а разрыв первого рода; 8) произведение функции, имеющей в точке х = а разрыв первого рода, и функции, непрерывной в точке х = а, имеет в точке х = а разрыв первого рода; 9) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого рода, и функции, имеющей в точке х = а разрыв второго рода, может иметь в точке х = а разрыв второго рода; 10) произведение функции, имеющей в точке х = а разрыв первого рода, и функции, имеющей в точке х = а разрыв второго рода, имеет в точке х = а разрыв второго рода; 11) сумма функции, имеющей в точке х = а устранимый разрыв, и функции, непрерывной в точке х = а, может быть функцией, непрерывной в точке х = а; 12) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого рода, и функции, непрерывной в точке х = а , имеет в точке х = а разрыв первого рода; 13) произведение двух функций, имеющих в точке х = а разрыв первого рода, может иметь в точке х = а разрыв второго рода; 14) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв второго рода, имеет в точке х = а разрыв второго рода; 15) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого рода, и функции, непрерывной в точке х = а , может быть функцией, непрерывной в точке х = а; 16) произведение двух функций, имеющих в точке х = а разрыв второго рода, имеет в точке х = а разрыв второго рода; 17) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв первого рода, может быть непрерывной в точке х = а ; 18) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв первого рода, может иметь в точке х = а разрыв второго рода. 2. Какие из следующих утверждений верны: 1) множество значений функции, непрерывной на интервале, является интервалом; 2) множество значений функции, непрерывной на интервале, может быть отрезком; 3) если функция принимает на отрезке все промежуточные значения, то она непрерывна на этом отрезке; 4) множество значений функции, непрерывной на отрезке, может быть интервалом; 5) множество значений функции, непрерывной на всей числовой прямой, может быть полуинтервалом; 6) множество значений функции, определённой на отрезке является отрезком; 7) если функция имеет на отрезке наибольшее и наименьшее значения, то она непрерывна на этом отрезке; 8) множество значений функции, непрерывной на всей числовой прямой, может быть отрезком; 9) множество значений функции, определённой на отрезке может быть интервалом; 10)если функция непрерывна на интервале, то она ограничена на этом интервале; 11)любая функция, определённая на отрезке, ограничена на этом отрезке; 12)любая функция, определённая на отрезке, имеет наибольшее значение. 3. Привести пример двух разрывных в точке xо функций f(x) и g(x), таких, что их сумма будет непрерывной в точке xо. 4. Привести пример двух разрывных в точке xо функций f(x) и g(x), таких, что их произведение будет функцией, непрерывной в точке xо. 5. Функции p(x) и k(x) разрывны в точке хо, f(x) = p(x) k(x). Можно ли утверждать, что функция f(x) разрывна в точке хо? 6. Функция p(x) непрерывна в точке хо , а функция k(x) разрывна в точке хо, f(x) = p(x) k(x). Можно ли утверждать, что функция f(x) разрывна в точке хо? 7. Функции p(x) и k(x) разрывны в точке хо, f(x) = p(x) + k(x). Можно ли утверждать, что функция f(x) разрывна в точке хо? 8. Функция p(x) непрерывна в точке хо , а функция k(x) разрывна в точке хо, f(x) = p(x) + k(x). Можно ли утверждать, что функция f(x) разрывна в точке хо? 9. Привести пример функции, непрерывной и неограниченной на данном интервале. 9. Привести пример функции, заданной на отрезке и неограниченной на этом отрезке? 10.Верно ли, что если функция f(x) непрерывна при x > 0 и ограничена, то существует правостронний предел этой функции в точке 0? 11.Является ли непрерывность функции в точке достаточным условием её ограниченности в некоторой окрестности этой точки? 12.Является ли непрерывность функции в точке необходимым условием её ограниченности в некоторой окрестности этой точки? 13.Всегда ли функция, непрерывная на отрезке, достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значений? 14. Может ли функция, непрерывная на интервале, достигать на нём наибольшего и наименьшего значений? 15. Привести пример функции, имеющей устранимый разрыв в точке а) х = 0; б) х = 2; в) х = 2. Задачи для практических занятий 1. Найти точки разрыва функции: 2 если х 0; x, а) f ( x) б) f ( x) x 1, 2 если х 0. 0, 1 x , в) | x | f ( x) x , 0, если если в каждой если х 0. f ( x) e 1 x 1 Исследовать функцию в точке xо = 1. 3. Исследовать функцию 4. В каких точках имеют разрывы функции f ( x) f ( x) x x2 4 на точке разрыва 2. 1 х 0; х 0; х 0. Определить скачок функции и построить график. g ( x) если непрерывность на непрерывность. 1 и x2 ? Выяснить разницу в поведении функций вблизи 2 ( x 2) точек разрыва. 5. x 2 1 не определена f ( x) 3 x 1 Функция в точке x = 1. Каким должно доопределённая 6. быть f (1) , чтобы функция, таким образом стала непрерывной? cos x sin x y Функции и не определены в y x x точке x = 0. Указать характер графиков этих функций в окрестности точки x = 0. 7. Сколько точек разрыва ( и 1 функция ? f ( x) ln | x | 8. При каких какого рода) имеет значениях параметров а и b функция если x ; 2 sin x, 2 f ( x) a sin x b, если x ; 2 2 cos x, если x . 2 является непрерывной. Задачи для самостоятельной работы 1. Найти точки разрыва функции. Определить скачок функции в каждой точке разрыва и построить график: sin x, если x , x 1, x 5, если 2 если 1 x 6, б) f ( x) x, если x , а) f ( x) x, 2 1 , если x 6; x . cos x, если x7 2. Установить характер разрыва функции f (x) в точке xо: 2 2 а) f ( x) х 16 , xо = 4; б) f ( x) х 7 , xо = 4; х4 х4 1 х в) f ( x) е , xо = 0; г) f ( x) tgx , xо = ; х2 2 д) f ( x) sin x , xо = х2 4 2; е) f ( x) sin( x 5) , xо = -5; x5 ж) f ( x) arctg 1 , xо = 4; x4 3. Исследовать функции на непрерывность: 2 3 2 2 а) f ( x) 3sin x cos x 1 ; б) f ( x) x sin x x cos 2 x . 5 cos x sin x( 1 ) cos x 4. а) Дана функция f ( x) 1 . Найти точки разрыва сложной x 3 1 функции z . 2 f ( x) f ( x ) 2 б) Дана функция f ( x) ln 1 . Найти точки разрыва функции x 1 f 2 ( x) . z 2 1 f ( x) в) Дана функция f ( x) х . Найти точки разрыва сложной х2 функции z = f(f(x)). f ( x) ln 1 . Найти точки разрыва сложной x функции z = f(f(x)). г) Дана функция 5. Доопределить следующие функции в точке разрыва так, чтобы они стали непрерывными: 2 tg 2 x а) f ( x) ; б) f ( x) 4 x 5x ; в) f ( x) 4 x 2 ; x x 3x 2x 1 cos г) f ( x) ; д) f ( x) х 1 ; e) f ( x) 1 x 1 ; 3 1 x 1 x3 1 x2 1 x ж) f ( x) sin x sin 1 ; з) f ( x) 1 x . x Проверочная работа № 3 – 0 (с решением) 1. Пользуясь определением, доказать непрерывность функции f(x) = 4x2 5x + 2 в каждой точке xо R. 2. Найти точки разрыва функции 2, если f ( x) 4 x 2 , если x 2, если x 2, 2 x 2, x 2. Определить скачок функции в каждой точке разрыва и построить график. 3. Исследовать функцию f(x) = arctg 2 на непрерывность x 1 в точке xо = 1. x 1 4. Найти точки разрыва функции f ( x) и 2 2 x ( x 3x 4) определить их характер. Решение проверочной работы № 3 – 0 1. Пусть х приращение аргумента в точке xо R. Найдем соответствующее приращение функции: f f ( x x) f ( x ) 4( x x) 2 5( x x) 2 (4 x 2 5x 2) 4 x 2 8x x 4(x) 2 5x 5x 2 4 x 2 5x 2 8x x 4(x) 2 5x Применяя теоремы о пределе суммы и пределе произведения функций, получим: lim f lim (8x x 4(x) 2 5x) x 0 x 0 8x lim x 4 lim (x) 2 5 lim (x) 0 . x 0 x 0 x 0 Значит, по определению функция непрерывна в каждой точке xо R. 2. Рассмотрим односторонние пределы функции в точках, в которых меняется аналитическое задание функции числитель и знаменатель обращаются в ноль): x = 2 и x = 2. При x 20 предел рассматривается слева от точки x = 2, имеем: lim f ( x) lim 2 2 x 2 0 x 2 0 При x 2+0 предел рассматривается справа от точки x = 2, имеем: lim f ( x) lim 4 x2 0 . x 2 0 x 2 0 Так как односторонние пределы конечны, но не равны lim f ( x) 2 , lim f ( x) 0 , x 2 0 x 2 0 то x = 2 является точкой разрыва I рода. Скачок функции в этой точке разрыва равен 2. Рассмотрим односторонние пределы при x 2 0 и x 2 +0: lim f ( x) lim 4 x2 0 , x 20 x 20 lim f ( x) lim ( x 2) 0 . x 20 x 20 Односторонние пределы конечны и равны, значит существует предел функции в точке x = 2, но функция в этой точке не определена. x = 2 точка устранимого разрыва. f (x) = arctg 2 не определена в точке xо = 1, x 1 нарушено условие существования f (1), значит, функция не является непрерывной в этой точке. Найдём односторонние пределы функции в этой точке: lim arctg 2 , lim arctg 2 . x 1 2 x 1 0 x 1 2 x 1 0 Они конечны, но не равны. Значит, нарушено и второе условие существования предела функции в этой точке. Итак, точка xо = 1 точка разрыва первого рода. 4. Представим данную функцию в виде: x 1 x 1 f ( x) . 2 2 2 x ( x 3x 4) x ( x 1)( x 4) 3. Функция Рассмотрим односторонние пределы функции в особых точках ( в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль): x = 1, x = 0, x = 4. При x 10 предел рассматривается слева от точки x = 1, значит x < 1 и |x 1| = (x 1). Имеем: x 1 1 x lim lim 2 2 2 x ( x 3 x 4 ) x 1 0 x 1 0 x ( x 1)( x 4) 1 1 . lim 5 x 1 0 x 2 ( x 4) При x 1+0 предел рассматривается справа от точки x = 1, значит x > 1 и |x 1| = (x 1). Имеем: x 1 x 1 lim lim 2 2 2 x 1 0 x ( x 3x 4) x 1 0 x ( x 1)( x 4) 1 1 lim . x 1 0 x 2 ( x 4) 5 Так как односторонние пределы конечны, но не равны x 1 x 1 1 1 lim , lim , 5 x 1 0 x 2 ( x 2 3x 4) 5 x 1 0 x 2 ( x 2 3x 4) то x = 1 является точкой разрыва I рода. Рассмотрим односторонние пределы при x 0 и x +0: x 1 1 x lim lim 2 2 2 x ( x 3 x 4 ) x 0 x 0 x ( x 1)( x 4) 1 lim . 2 x 0 x (4) Предел при x +0 можно и не рассматривать, поскольку x = 0 уже является точкой разрыва II рода. Наконец, при x 40 предел рассматривается слева от точки x = 4 и (x + 4) < 0. Имеем: x 1 1 x lim lim 2 2 2 x ( x 3 x 4 ) x 4 0 x 4 0 x ( x 1)( x 4) 1 lim , 16 ( x 4 ) x 4 0 значит x = 4 является точкой разрыва II рода и второй односторонний предел можно не рассматривать. Ответ. x = 1 - точка разрыва I рода, x = 0 и x = 4 - точки II рода. разрыва