Документ 399485

Уравнения Эренфеста
(0.1)
(0.2)
P, T , N1 , N 2 
dP, T , N1 , N 2    S  dT  V  dP  1  dN1   2  dN 2
1  dN1   2  dN 2  0
dP  0
dN1  dN 2
dT  0
1   2
Условие равновесия дают кривую равновесия фаз в плоскости P,T:
(0.3)
1  P,T   2  P,T 
Для скачка (изменения) параметров в разных фазах обычно вводят обозначение:
(0.4)
A2  A1   A .
Соответственно:
2  1    0 .
(0.5)
Для каждой из фаз справедливо обычное термодинамическое соотношение:
d   s  dT    dP ,
(0.6)
из которого сразу следует уравнение Клайперона – Клаузиуса.
dp
s 
(0.7)
dT
 
Поскольку в данном случае претерпевают разрыв первые производные от
химического потенциала (соответственно, и от других термодинамических
потенциалов), поэтому такой фазовый переход относится к первому роду.
Если    0 ,  s  0 , а претерпевают разрыв вторые производные, то
для изменения химического потенциала в каждой фазе нужно вместо соотношения
(0.8) записать более точное:

  
  s  dT    dP  ( P )T  dP  2  T P
(0.9)
Из уравнения для кривой равновесия (0.3) тогда следует:

2
(0.10) dP  2 
 
 


 T P 

(  )T 
 P

2
 dP  dT 
 dP  dT  cP  dT 2
 cP 


T 
( P )T 
 dT 2  0
Из физического требования единственности кривой равновесия следует, что
дискриминант соответствующего квадратного уравнения для dP dT равен нулю.
Тогда


 
cP 
 T   ( P )T    cP  ,

T  ( P )T 
P 

и однозначно определена производная давления по температуре.
(0.11)
(0.12)
dP
dT

  
 T P 
(  )T 
 P 

2
T ( P )T 

(  )T 
 P 
  
 T P 
 

cP 
T

 T P 
Последние соотношения называются уравнениями Эренфеста и выполняют роль
уравнения Клайперона – Клаузиуса для фазовых переходов Второго рода.
Теория Ландау фазовых переходов II-рода
(1)  T , P,   0 T , P   a T   2  b  4  h 
в котором
(2)
a T     T  Tc  , где   0
b0
При отсутствии внешнего поля (h=0) графики (1) для различных температур
имеют вид:
4
 0.5 T c  
4
2
 T c 
 1.5 T c  
0.1875
0
2
2
2.5
0

2
2.5
Найдем минимум химического потенциала, продифференцировав исходное
выражение по квадрату параметра порядка η2, когда нет поля h.
 T , P, 
2
 a T   b 
 3 0 
2

откуда
 4
   a T  b    T  Tc  b
при T  Tc , а для T>Tc решений нет.
Химический потенциал для равновесного значения параметра порядка меньше, чем
в симметричной фазе, где η2=0.
2
(5)  T , P   0 T , P    2  T  Tc  2
Энтропия при T<Tc меньше, а теплоемкость в Tc больше и при переходе в
симметричную фазу терпит скачек.
(6)
s T , P   s0 T , P    2  T  Tc  b
c    2  Tc b
(7)
Вторая производная по температуре от химического потенциала терпит разрыв в
Tc, а сам химический потенциал и энтропия непрерывны.
Повторим поиск минимума химического потенциала, но теперь при наличии
поля h.
 T , P, 

(8)
0
2   (T  Tc)   2  b  3  h  0
0.2
2   T
T c 
3
2 b 
0
h
0.2
1
0

1
trace 1
trace 2
Введем понятие восприимчивости
   h и продифференцируем соотношение
(8) по h, тогда для восприимчивости 
получим уравнение
2
(9)
0  2  a    6  b    1 ,
из которого следует формула
(10)
  2a61b2
Обратим внимание, что восприимчивость непосредственно связана со второй
производной химического потенциала по параметру порядка.
2
(11)
 2

1

Знак второй производной химического потенциала, совпадающий со знаком
восприимчивости, говорит об устойчивости системы. Из трех корней уравнения (8)
при T  Tc и h  0 два
1*   3*   (T  Tc ) / b , согласно (10) соответствуют положительной
восприимчивости,
поэтому они устойчивы.
1
(12)   4(T T )  0 при T  Tc
c
Для асимптотически нулевого  *  0 восприимчивость
10.090742
15
10
( x )
5
0.25
0
0
0
1
x
(13)   2(T1Tc )  0 при T  Tc
2
2
,
а при температуре ниже критической нулевой корень неустойчив. Около Tc у
восприимчивости особенность. При T  Tc равновесное значение параметра
порядка задается, естественно, статической положительно определенной
восприимчивостью  *    h .
Вероятность определенного значения параметра порядка можно получить из
распределения Гиббса.

H ( )
T

H ( )T ln G ( )
T

F ( )
T
w( )  e Z  G ( )  e Z
eZ
Для твердых тел при изменении намагниченности мало объём обычно практически
не меняется, поэтому
(13)
(14)
w( ) 
Поскольку
  ( )
e T
 PV
T
 NT( )

e
e
Z e
 * 
 0 , распределение (14)

дисперсией
(15)
*
2 *
T* TN ( )( *) 2NT   (2 )( *)
 2  TN 1
2

- это распределение Гаусса с
2 (* ) T   0
 N
 2
Флуктуация параметра порядка (15) согласуется с ФДТ и стремится к нулю при
N   , поскольку в (15) параметр порядка и восприимчивость  отнесены к одной
частице. Однако около точки фазового перехода восприимчивость бесконечна,
поэтому в этой области необходима более точная теория, учитывающая
флуктуации .